专题3.1 图形的平移（4大考点+10大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.1图形的平移 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01平移的概念 知识点02平移的性质 知识清单 知识点03平移作图 知识点04点在平面直角坐标系中平移 题型01生活中的平移现象 题型02利用平移的性质求解 图形的平移 题型03利用平移解决实际问题 题型04网格中平移作图 题型05几何图形平移的综合问题 题型精讲 题型06求点沿x轴，y轴平移后的坐标 题型07已知图形的平移，求点的坐标 题型08已知点平移前后的坐标，判断平移方法 题型09平面直角坐标系中平移作图 题型0平面直角坐标系中的平移综合题（几何变换） 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解平移的概念，掌握平移的两要素（方向、距离)，能识别生活中的平移现象。 2.探索并掌握平移的基本性质：对应点连线平行且相等、对应线段平行且相等、对应 教学目标 角相等。 3.能在平面直角坐标系中探究图形平移与坐标变化的规律，理解坐标变化与平移的对 应关系。 重点： 1.平移的基本性质的理解与应用，能根据平移前后的图形找出对应点、对应线段和对 教学重难点 应角。 2.掌握平面直角坐标系中点的平移规律：左右平移横坐标加减，上下平移纵坐标加减。 1/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 难点： 1.理解平移性质中“对应点所连线段平行且相等”与“对应线段平行且相等”的区别 与联系。 2.在复杂图形或实际问题中，灵活运用平移性质解决问题，特别是利用平移进行图形 变换与坐标计算。 知识清单 知识点01平移的概念 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。注：平移=移动方向+移动距离 【即学即练1】 1.(25-26八年级下·全国·课后作业)下列现象属于平移的是() A.投篮时篮球的运动 B.用打气筒打气时，活塞的运动 C.钟摆的摆动 D.汽车雨刷的运动 2.(24-25七年级下·全国·课后作业)下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是() A.工作中的雨刮器 B.移动中的黑板 C.折叠中的纸片 D.骑行中的自行车 知识点02平移的性质 (1)图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置 (2)对应点间连线，这些线段长度相等，且对应直线平行 (3)对应点的连线即为平移的路径（直线），包括方向和距离 【即学即练2】 3.(25-26八年级上山东青岛期末)如图，ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，连接AD,若 BF=7cm,CE=lcm,则AD= cm. 2/20 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26七年级上·重庆期末)如图，三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm 若将三角形ABC沿射线AB方向平移xCm得到三角形DEF,DF与BC相交于点G,连接CF.则CF与 BE的位置关系是 ;若三角形CFG与三角形BGD的面积相差4cm2,则x= 知识点03平移作图 平移作图步骤：①找出能代表图形的关键点；②将原图中某一关键点按要求平移后，与原来点连接起来： ③过其他点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等，即确定其他关键点平移后的位置；④连接关键点， 还原图形 【即学即练3】 5.(25-26七年级上湖南长沙期末)如图，每个小正方形的边长都为1，三角形ABC的顶点都在格点上. D (I)平移三角形ABC,使点A平移到点D(点B平移到点E,点C平移到点F),画出平移后的三角形DEF: (2)连接AD、BE,这两条线段的关系是 (3)连接BE、BF,则三角形BEF的面积是 6.(25-26七年级上·河北石家庄·期末)如图，每个小正方形的边长都为1，三角形ABC的顶点和点D都在 格点上（每个小正方形的顶点叫格点）. 3/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)过点A作BC的平行线AM,点M在格点上： (2)沿直线平移三角形ABC,使点A平移到点D,点B平移到点E,点C平移到点F,画出平移后的三角形 DEF (3)线段AD与BE的数量关系是 位置关系是 在平移过程中线段AB扫过的面积是 知识点04点在平面直角坐标系中平移 1.左右平移（横坐标变，纵坐标不变）： -向右平移a个单位：c,y)→c+a,y -向左平移a个单位：c,y)→ca,y 2.上下平移（纵坐标变，横坐标不变）： ·向上平移b个单位：(c,y)→，y+b): -向下平移b个单位：（化，y)→化，yb). 口诀：右加左减，上加下减。平移前后图形形状、大小不变。 【即学即练4】 7.(25-26八年级上·浙江金华期末)将点A(1,-2)先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得 到点，则点A的坐标为 8.(24-25七年级下·辽宁盘锦开学考试)已知在平面直角坐标系x0y中，点A(-3,3),点B(-4,1,点 C(-2,2. VA 5-4-3-219 12.345x 、 (①)直接写出ABC的面积。 (2)将ABC平移，使得点A与点D(1,4)重合，得到△DEF,点B,C的对应点分别是点E,F ①画出平移后的△DEF,并写出点E和点F的坐标； ②若ABC中任意一点P(x,y)经同样的平移得到对应点为P'(x+m,y+n),则m-n= 题型精讲 4/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型01生活中的平移现象 【典例1】(25-26七年级上·上海松江·期末)中式连续纹样是一种独特的艺术形式，不仅承载着吉祥和美好 的寓意，还展现了古人对自然和生活的深刻理解，下面四个连续纹样中，属于四方连续纹样的是() 【变式1】(25-26七年级上·上海宝山月考)下列生活现象中是平移的是( A.钟摆的运动 B.汽车雨刷的运动 C.过安检时传送带上行李箱的运动 D.骑自行车时前后轮的转动 【变式2】(25-26七年级下·全国·单元测试)下列图形可以由组成它的一个基础图形通过平移得到的是() ★出 【变式3】(25-26八年级上山东青岛·期末)如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象 征国人齐头并进、步步登高.从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为() A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.中心对称 题型02利用平移的性质求解 【典例2】(25-26九年级上·山东烟台·期末)如图，ABC经过平移后得到△DEF,下列说法：①AB∥DE ;②AD=DE;③LACB=∠DFE;④ABC和ADEF的面积相等；⑤四边形ACFD和四边形BCFE的面积 相等.其中正确的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式1】(25-26八年级上山东济南期末)如图，在RtAABC中，∠A=90°，AB=6cm,BC=10cm.现 将△ABC沿AC方向平移3cm得到△A'B'C',边AB'与边BC相交于点D,若此时点A恰好在∠ABC的角平 分线上，则△A'DC的周长为() 5/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A.10cm B.13cm C.15cm D.16cm 【变式2】(25-26七年级上江苏南通期末)如图，锐角三角形ABC中，∠BAC=45°，将三角形ABC沿着 射线BC方向平移得到三角形A'B'C'(平移后点A,B,C的对应点分别是点A,B,C),连接CA,若在 整个平移过程中，∠ACA'和∠CA'B'的度数之间存在2倍关系，则∠ACA'不可能的值为() B A.15 B.30° C.45° D.90° 【变式3】(25-26七年级上·上海普陀·期中)如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=3cm, AC=4cm,BC=5cm,将三角形ABC沿BC方向平移acm(a<5S),得到三角形DEF,且AC与DE相交于 点G,连接AD.下列结论：①AD=EC=acm;②阴影部分的周长为l2cm;③如果a=2cm,那么三角形 ABC的周长比四边形ABFD的周长少2cm;④如果三角形ADG的面积比三角形EGC的面积小2cm',那么 a= 3cm:其中正确结论的个数有() A G B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型03利用平移解决实际问题 【典例3】(25-26九年级上山东烟台·期末)如图，将长为8cm,宽为4cm的长方形ABCD先向右平移3cm ,再向下平移2cm,得到长方形A'B'C'D',则阴影部分的面积为cm2. A D 【变式1】(25-26七年级上·上海期末)己知，直角梯形的上底为12厘米，下底为18厘米，高为12厘米.正 方形的边长为13厘米，起始状态如图所示.若正方形固定不动，把直角梯形以2厘米秒的速度向右沿直线 平移，设直角梯形的平移时间为t秒，两个图形的重叠部分面积为S平方厘米，则当S=72时，t= 6/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级上江苏无锡·月考)如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人 员上下油罐使用，为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手，旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成 两段，该平台的长度约为1m,若油球高约18m,油擦底面圆直径约为？m,且顶处的扶于位置处于底面扶 手正对面上，若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为9m,则旋梯的扶手长度1的最小值为 m(本题中π≈3). 【变式13】(25-26七年级上·安微安庆期末)把图1中周长为16cm的长方形纸片分割成四张大小不等的正 方形纸片A,B,C,D和一张长方形纸片E,并将它们按图2的方式放入周长为24cm的长方形中.设正方形 C的边长为xcm,正方形D的边长为ycm.则 C A A B B CD E D 图1 图2 (1)用含x,y的式子表示正方形B的边长为， (2)图2中阴影部分的周长与正方形A的周长之比为· 题型04网格中平移作图 【典例4】(25-26八年级上江苏连云港周测)如图，ABC的顶点都在方格纸的格点上.将ABC向左平 移2格，再向上平移4格. 7/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B (I)请在图中画出平移后的△A'B'C': (2)再在图中画出ABC的高CD和中线AE. 【变式1】(25-26七年级下·全国·周测)如图，在边长为1的正方形网格上，平移三角形ABC,并将三角形 ABC的一个顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应. (I)请你作出平移后的三角形DEF; (2)线段AB与DE的位置与数量关系： (3)请求出三角形DEF的面积， 【变式2】(24-25七年级下·重庆永川期中)顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9×9 的正方形网格中有一个格点ABC.设网格中小正方形的边长为1个单位长度. (①)在网格中画出ABC向上平移4个单位后得到的△AB,C; (2)连接AA,、BB,,则这两条线段之间的关系 (3)求出△ABC,的面积 【变式3】(25-26七年级上·上海·月考)如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将ABC经过一次平移 后得到△A'B'C',图中标出了点B的对应点B,根据下列条件，利用格点和三角尺画图： 8/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)补全△A'B'C'; (2)画出平移的方向： (3)请在AC边上找一点D,使得线段BD平分ABC的面积，在图上作出线段BD; (4)连接AB,CB',求ABC的面积. 题型05几何图形平移的综合问题 【典例5】(24-25七年级下河北邯郸期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B与∠C互余，将 AB,CD分别平移到EF和EG的位置，∠EGF=32°. AED G (1I)求∠B的度数； (2)若AD=4,BC=10,求FG的长. 【变式1】(2026江苏南通一模)如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC,垂足为C, EF是由CD沿CE方向平移得到的.己知EF过点A,BE交CD于点G. E (I)求∠DCE的大小： (2)求证：△CEG是等边三角形. 【变式2】(24-25七年级下·陕西汉中期末)如图，将ABC向右平移得到aDEF,点A,B,C的对应点分 别是点D,E,F,连接CE并延长至点H,点B、C、E、F在一条直线上，连接AD,DH,∠BAD=2∠B. EG F (I)若∠EDF=40°，求∠DFE的度数； 9/20 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)若G是线段EF上的点，连接DG,且LDGH=LGDH,∠GDF=30°，试说明DF平分∠EDH. 【变式3】(24-25七年级下辽宁大连月考)【发现问题】如图1，点C为线段MN延长线上一点， LFMN=LMWE,连接EC,过点F的直线AB∥CE,求证：∠MFB=∠E. 小明想到了平行线可以改变角的位置而不改变角的大小，于是，他延长FM;小白想到把两个角分别放在两 个三角形中，于是他延长CM，请你按照小明或者小白的想法完成此问题. 【解决问题】如图2，ABC沿BA方向平移到△DEF(B、D、E共线)，M是线段BA延长线上一点， LB=Q,AC与EF相交于点G,PD、PG分别平分∠MDF、∠AGF且相交于点P,∠P=B,求a与B的 数量关系 【拓展问题】如图3，ABC沿AB方向平移到△DMN(B、D、M共线)，BC与DN相交于点P,PO、 AO分别平分∠DPC、∠BAC且相交于点O,请直接写出LAOP与∠M的数量关系. 图1 图2 图3 题型06求点沿x轴，y轴平移后的坐标 【典例6】(25-26八年级上·安徽池州·期末)点A1,-2)向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点B 的坐标为() A.（-1,) B.1,-1 C.(2,0 D.2,-6 【变式1】(2026甘肃模拟预测)在平面直角坐标系中，将点A2,-3)向左平移3个单位长度，再向上平移 2个单位长度后得到点，则点的坐标是() A.（-1,-1) B.5,-5 C.（-1,-5) D.5,-1 【变式2】(25-26八年级上·安徽滁州期中)在平面直角坐标系中，将点A(3,-4)先向左平移2个单位长度， 再向上平移3个单位长度后，得到的点的坐标为() A.（5,-7 B.(5,-1 C.(1,-7) D.1,-1 【变式3】(25-26八年级上福建福州期末)在平面直角坐标系中，将点A-1,1)向右平移2个单位长度得 到点A,再作A关于x轴的对称点A,则A的坐标为() A.(1,1 B.(1,-1) C.（-3,1 D.（-3,-1) 题型07己知图形的平移，求点的坐标 10/20 专题3.1 图形的平移 教学目标 1. 理解平移的概念，掌握平移的两要素（方向、距离），能识别生活中的平移现象。 2. 探索并掌握平移的基本性质：对应点连线平行且相等、对应线段平行且相等、对应角相等。 3. 能在平面直角坐标系中探究图形平移与坐标变化的规律，理解坐标变化与平移的对应关系。 教学重难点 重点： 1. 平移的基本性质的理解与应用，能根据平移前后的图形找出对应点、对应线段和对应角。 2. 掌握平面直角坐标系中点的平移规律：左右平移横坐标加减，上下平移纵坐标加减。 难点： 1. 理解平移性质中“对应点所连线段平行且相等”与“对应线段平行且相等”的区别与联系。 2. 在复杂图形或实际问题中，灵活运用平移性质解决问题，特别是利用平移进行图形变换与坐标计算。 知识点01 平移的概念 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。注：平移=移动方向+移动距离 【即学即练1】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列现象属于平移的是（   ） A．投篮时篮球的运动 B．用打气筒打气时，活塞的运动 C．钟摆的摆动 D．汽车雨刷的运动 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．解题的关键是注意平移是图形整体沿某一直线方向移动． 根据平移的定义，旋转的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、篮球运动是曲线运动，有旋转，不属于平移，不符合题意； B、活塞在打气筒内沿直线往复运动，符合平移特征，符合题意； C、钟摆是绕固定点摆动，属于旋转，不属于平移，不符合题意； D、雨刷是绕轴旋转运动，不属于平移，不符合题意； 故选：B. 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（   ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 【答案】B 【分析】本题考查了平移的定义，在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：A、工作中的雨刮器不属于平移，故该选项不符合题意； B、移动中的黑板属于平移，故该选项符合题意； C、折叠中的纸片不属于平移，故该选项不符合题意； D、骑行中的自行车不属于平移，故该选项不符合题意； 故选：B 知识点02 平移的性质 （1）图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置 （2）对应点间连线，这些线段长度相等，且对应直线平行 （3）对应点的连线即为平移的路径（直线），包括方向和距离 【即学即练2】 3．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，沿方向平移到的位置，连接，若，，则___________cm． 【答案】4 【分析】本题考查了平移的性质．直接利用平移的性质即可求解． 【详解】解：∵沿方向平移到的位置， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 4．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，三角形中，，，，．若将三角形沿射线方向平移得到三角形，与相交于点G，连接．则与的位置关系是________；若三角形与三角形的面积相差，则________． 【答案】 且 【分析】本题考查了图形的平移性质，三角形面积计算及通过面积差建立方程．根据平移后对应线段平行且相等即可判定与的位置关系，再利用“等面积法”求出平行线间的距离，通过面积差建立方程求解平移距离x的值． 【详解】解：由题意知，三角形在向右平移的过程中，点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F， 此时原来的点与其对应点平移的距离均相等， ∴， ∵和是对应点所连的线段，根据平移性质“对应点所连线段平行且相等”，可得， 由平移的性质知，设，则， ∵在平移过程中，点C到的距离与点F到的距离保持不变且相等， 即与间的距离相等， 又∵，，， ∴点C到的距离为， 设三角形的面积为，三角形的面积为，四边形的面积为， ∴， 由三角形与四边形的面积之和为四边形的面积以及四边形与三角形的面积之和为三角形， 得，， ∴， 将代入，得， ∴，即， 解得， 故答案为：且，． 知识点03 平移作图 平移作图步骤：①找出能代表图形的关键点;②将原图中某一关键点按要求平移后，与原来点连接起来; ③过其他点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等，即确定其他关键点平移后的位置;④连接关键点，还原图形. 【即学即练3】 5．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点都在格点上． (1)平移三角形，使点A平移到点D（点B平移到点E，点C平移到点F），画出平移后的三角形； (2)连接、，这两条线段的关系是______； (3)连接、，则三角形的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3) 【分析】本题考查作图—平移变换，利用割补法求三角形面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）利用平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质进行解答即可； （3）利用割补法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）解：连接、， 由平移的性质可知：，， 故答案为：平行且相等； （3）解： 故答案为：． 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)过点作的平行线，点在格点上； (2)沿直线平移三角形，使点平移到点，点平移到点，点平移到点，画出平移后的三角形； (3)线段与的数量关系是__________，位置关系是__________，在平移过程中线段扫过的面积是__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，20 【分析】本题主要考查了画平移图形，平移的性质，画平行线，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点M，连接，则即为所求； （2）根据点D和点A的位置可确定平移方式，再根据平移方式确定点E和点F的位置，进而作图即可； （3）根据平移的性质可得，在平移过程中线段扫过的面积是四边形的面积，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由平移的性质可得，在平移过程中线段扫过的面积是． 知识点04 点在平面直角坐标系中平移 1.左右平移（横坐标变，纵坐标不变）： - 向右平移a个单位：(x,y) (x+a, y); - 向左平移a个单位：(x,y) (x-a, y); 2.上下平移（纵坐标变，横坐标不变）： - 向上平移b个单位：(x,y) (x, y+b); - 向下平移b个单位：(x,y) (x, y-b). 口诀：右加左减，上加下减。平移前后图形形状、大小不变。 【即学即练4】 7．（25-26八年级上·浙江金华·期末）将点先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质． 根据平移的性质，向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加． 【详解】解：点向左平移4个单位长度，横坐标变为； 再向上平移5个单位长度，纵坐标变为； 故点的坐标为． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·辽宁盘锦·开学考试）已知在平面直角坐标系中，点，点，点． (1)直接写出的面积． (2)将平移，使得点A与点重合，得到，点B，C的对应点分别是点E，F． ①画出平移后的，并写出点E和点F的坐标； ②若中任意一点经同样的平移得到对应点为，则______． 【答案】(1) (2)①见详解，；②3 【分析】（1）利用割补法求三角形的面积即可； （2）①根据平移的性质作图，即可得出答案；②由题意知，是向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到的，则点的坐标为，即可得出的值，从而可得答案． 【详解】（1）解：的面积． （2）解：①如图所示： ∴； ②由题意知，是向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到的，则点的坐标为， ∵， ∴， ∴． 题型01 生活中的平移现象 【典例1】（25-26七年级上·上海松江·期末）中式连续纹样是一种独特的艺术形式，不仅承载着吉祥和美好的寓意，还展现了古人对自然和生活的深刻理解，下面四个连续纹样中，属于四方连续纹样的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用平移设计图案，熟练掌握平移的性质是解题的关键．四方连续纹样是指一个单位纹样向上下左右四个方向反复循环排列形成的装饰图案，根据平移的性质判断即可． 【详解】解：属于四方连续纹样的是选项D， 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·上海宝山·月考）下列生活现象中是平移的是（   ） A．钟摆的运动 B．汽车雨刷的运动 C．过安检时传送带上行李箱的运动 D．骑自行车时前后轮的转动 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的定义， 平移是物体沿直线移动且方向不变的运动． 【详解】解：∵A钟摆运动是旋转，B汽车雨刷运动是旋转，D车轮转动是旋转，均不是平移；C传送带上行李箱运动是沿直线移动且方向不变，∴是平移. 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）下列图形可以由组成它的一个基础图形通过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形的平移，根据平移的性质进行判断即可． 【详解】解：A：由组成它的一个基础图形旋转得到，故不符合题意； B：由组成它的一个基础图形平移得到，故符合题意； C：由组成它的一个基础图形旋转得到，故不符合题意； D：由组成它的一个基础图形旋转得到，故不符合题意； 故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换，熟练掌握平移是解题的关键； 根据平移可进行求解． 【详解】解：由图可知，四马之间存在的图形变换关系为平移， 故选：A． 题型02 利用平移的性质求解 【典例2】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查的是图形的平移，根据平移的性质逐一判断即可． 【详解】解：经过平移后得到， ∴，故①正确； ，故②不正确； ，故③正确； 和的面积相等，故④正确； 四边形和四边形都是平行四边形，且，即两个平行四边形的底相等，但高不一定相等， ∴四边形和四边形的面积不一定相等，故⑤不正确； 综上：正确的有3个 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的角平分线上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 首先根据勾股定理求出的长度，根据角平分线和线段平行的性质，可证出，故的周长可转换为，将长度代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵由平移得到， ∴， ∴， 又∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， ∵，， ∴其周长为， 故选C． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质，熟练掌握平移前后对应线段互相平行以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， 故选：C． 【变式3】（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三角形的周长比四边形的周长少；④如果三角形的面积比三角形的面积小，那么；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，平移的性质，由平移性质可得，，可判断①；推出阴影部分的周长为三角形的周长可判断②；计算四边形的周长为，的周长为，作差可判断③；过A点作于H，利用面积法求出，根据列方程可解得，从而可判断④． 【详解】解：由平移性质可得，，故①不正确； 阴影部分的周长为，故②正确； 时，四边形的周长为， 的周长为：， 四边形的周长比三角形的周长多，故③不正确； 过A点作于H，如图， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 解得，故④正确， 故选：B． 题型03 利用平移解决实际问题 【典例3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为____． 【答案】44 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用平移的性质求出空白部分长方形的长，宽即可解决问题． 【详解】解：由题意，空白部分是长方形，长为，宽为， ∴阴影部分的面积． 故答案为：44． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期末）已知，直角梯形的上底为厘米，下底为厘米，高为厘米．正方形的边长为厘米，起始状态如图所示．若正方形固定不动，把直角梯形以厘米/秒的速度向右沿直线平移，设直角梯形的平移时间为秒，两个图形的重叠部分面积为平方厘米，则当时，_____． 【答案】或/或 【分析】本题考查一元一次方程的几何应用，直角梯形，长方形的面积等知识，分①当线段未进入正方形内部时，②当线段进入正方形内部，但点还在线段上时，③当点在线段的延长线上，但未进入正方形内部时，④点在线段的延长线上，线段在正方形内部，且进入正方形内部时，⑤当线段由正方形内部转为不在内部，但还在正方形内部时，⑥当线段由正方形内部转为不在内部时，共六种情况讨论列出方程或推导即可得解． 【详解】解：标记和作图如下，其中于，四边形是直角梯形，四边形是正方形： 依题意可知，，，， ∴， ∴，， ①当线段未进入正方形内部时，，，即， ∴， 此时重合部分是，， 此时无解； ②当线段进入正方形内部，但点还在线段上时，，，即， ∴， 则重合部分是直角梯形，， ∴， 解得； ③当点在线段的延长线上，但未进入正方形内部时，，，即，， ∴， 此时重合部分是五边形， ∴， 即此时无解； ④当点在线段的延长线上时，线段在正方形内部，且进入正方形内部时，，，即， ∴， 则重合部分是五边形， ∴， 此时无解； ⑤当线段由正方形内部转为不在内部，但还在正方形内部时，，，即， ∴， 则重合部分是长方形，， ∴， 解得； ⑥当线段由正方形内部转为不在内部时，，，即， ∴， 则此时重叠部分为线段或无重叠，无解； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【变式2】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手，旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上，若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，则旋梯的扶手长度l的最小值为________（本题中）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平移的性质，如图1所示，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，其中为平台，将向左平移使得点C与点B重合，此时点E与点重合，如图2所示，由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此时l有最小值，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，其中为平台， 将向左平移使得点C与点B重合，此时点E与点重合，如图2所示， 由平移的性质可得，则 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此时l有最小值， ∵油罐底面圆直径约为，高为， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴旋梯的扶手长度的最小值为， 故答案为：． 【变式13】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为．则 （1）用含，的式子表示正方形的边长为_____， （2）图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的应用，以及平移的性质，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）结合图形先推出正方形的边长，进而推出正方形的边长，即可解题； （2）结合图1中的长方形周长为，推出，利用平移的性质可知，阴影部分的周长可化为长方形的周长，再分别求出正方形的周长，阴影部分的周长，即可解题． 【详解】解：（1）正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的边长为， 正方形的边长为， 故答案为：； （2）图1中的长方形周长为， ， 整理得， 利用平移的性质可知，阴影部分的周长可化为长方形的周长， 图2的长方形周长为， 正方形的周长为，阴影部分的周长为， 图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为， 故答案为：． 题型04 网格中平移作图 【典例4】（25-26八年级上·江苏连云港·周测）如图，的顶点都在方格纸的格点上．将向左平移2格，再向上平移4格． (1)请在图中画出平移后的； (2)再在图中画出的高和中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了作图—平移变换，全等三角形的判定与性质，作图时要先找到图形的关键点． （1）分别按照平移的方向和距离确定对应点，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形； （2）根据网格作，垂足为D，再找出的中点E，再连接即可． 【详解】（1）解：如图， 即为所作． （2）解：如图，和即为所求．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中线． 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）如图，在边长为1的正方形网格上，平移三角形，并将三角形的一个顶点平移到点处，其中点和点对应，点与点对应． (1)请你作出平移后的三角形； (2)线段与的位置与数量关系：__________________； (3)请求出三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3) 【分析】本题考查了平移的性质，割补法求三角形面积，掌握平移的性质和割补法计算网格中图形面积是解题的关键． （1）根据平移的性质，先确定顶点到的平移方向与距离，再将顶点按相同方式平移得到对应点，顺次连接得到平移后的三角形； （2）利用平移的性质，平移前后对应线段平行且相等，直接判断与的位置和数量关系； （3）采用割补法，用包含三角形的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，或利用平移不改变面积的性质，计算原三角形的面积． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求． （2）解：∵是平移得到的， ∴线段与的位置关系是平行，数量关系是相等，即平行且相等． （3） ． 【变式2】（24-25七年级下·重庆永川·期中）顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个的正方形网格中有一个格点．设网格中小正方形的边长为个单位长度． (1)在网格中画出向上平移个单位后得到的； (2)连接、，则这两条线段之间的关系______． (3)求出的面积． 【答案】(1)见解析； (2)平行且相等； (3)． 【分析】本题主要考查作图的平移变换，三角形的高，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出、、的对应点、、即可． （2）利用平移变换的性质判断即可． （3）利用三角形的面积公式，即可求出的面积． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）线段、之间的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． （3）解：以为底边，其底边上的高为，， ， 故的面积为． 【变式3】（25-26七年级上·上海·月考）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用格点和三角尺画图： (1)补全； (2)画出平移的方向； (3)请在边上找一点，使得线段平分的面积，在图上作出线段； (4)连接，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)9 【分析】本题考查网格作图，平移的性质，三角形中线的性质和网格中的三角形面积，掌握好平移的性质与三角形面积的计算方法是关键． （1）根据平移的性质，作出点A的对应点，和点C的对应点，依次连接点，点，点即可； （2）根据平移的定义，平移方向为； （3）根据三角形中线平分三角形面积的性质，点为中点，作图即可； （4）运用割补法，从矩形面积中减去三个直角三角形面积即可． 【详解】（1）如图所示； （2）如图，平移方向：； （3）线段如图所示； （4）． 题型05 几何图形平移的综合问题 【典例5】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在四边形中，，与互余，将，分别平移到和的位置，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了平移的性质，掌握相关知识是是解决问题的关键．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． （1）根据平移的性质和平行的性质得到，然后利用互余计算出的度数； （2）根据平移的性质得到，，所以，然后利用可计算出的长． 【详解】（1）解：平移到的位置， ∴ ， 与互余， ； （2）解：，分别平移到和的位置，且 ，， ， ， ， 即， ． 【变式1】（2026·江苏南通·一模）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的．已知过点，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、平移的性质、线段垂直平分线的判定与性质．关键是结合等边三角形的边角特征，利用平移的平行关系推导角的等量关系，再通过线段垂直平分线的性质求出的内角，最终依据等边三角形的判定定理完成证明． （1）利用等边三角形“三线合一”的性质，由是中点，得出平分，从而计算出．再根据，得到，最后通过角的和差关系，用减去，即可求出的度数． （2）先根据平移性质，得到，再结合，推出，．接着，由，得出垂直平分，进而得到．最后，结合（1）中已得的，推出的三个内角均为，从而证明其为等边三角形． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：由平移可知：， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【变式2】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，将向右平移得到，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，连接并延长至点H，点B、C、E、F在一条直线上，连接，．    (1)若，求的度数； (2)若G是线段上的点，连接，且，，试说明平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理． （1）由平移的性质可得：，，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）由三角形的外角性质，得，由已知求得，推出，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：，， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， 由三角形的外角性质，得， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴平分． 【变式3】（24-25七年级下·辽宁大连·月考）【发现问题】如图，点为线段延长线上一点，，连接，过点的直线，求证：． 小明想到了平行线可以改变角的位置而不改变角的大小，于是，他延长；小白想到把两个角分别放在两个三角形中，于是他延长，请你按照小明或者小白的想法完成此问题． 【解决问题】如图，沿方向平移到（、、共线），是线段延长线上一点，，与相交于点，、分别平分、且相交于点，，求与的数量关系． 【拓展问题】如图，沿方向平移到（、、共线），与相交于点，、分别平分、且相交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】发现问题：见解析；解决问题：；拓展问题：． 【分析】发现问题：按照小明的想法，延长FM交EC于点H，利用平行线性质和已知角相等来推导； 解决问题：通过平移性质得到平行关系，再结合角平分线定义，利用三角形外角性质等推导α与β的关系； 拓展问题：根据平移性质、角平分线定义，结合三角形内角和等知识推导与的关系． 【详解】解：发现问题：延长交于点． ， ， ， ， ， ； 解决问题：如图， 由平移得， ， 平分，平分 即 ； 拓展问题：如图，延长PO交AC于点R， 由平移性质得， ， 平分，平分 ∴，， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 题型06 求点沿x轴，y轴平移后的坐标 【典例6】（25-26八年级上·安徽池州·期末）点向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移．根据平移的性质，向上平移改变纵坐标，向左平移改变横坐标，直接计算坐标变化即可． 【详解】解：点向上平移个单位， 纵坐标变为，此时点为； 又向左平移个单位， 横坐标变为， 此时点为. 故选：A． 【变式1】（2026·甘肃·模拟预测）在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，坐标的加减运算，掌握点的平移规律是解题关键． 根据点的平移规律：向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加，依次计算即可． 【详解】解：∵点向左平移个单位长度， ∴横坐标变为，纵坐标不变， ∴平移后点为； 再向上平移个单位长度， ∴横坐标不变，纵坐标变为， ∴点的坐标为． 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标平移的规则：横坐标左减右加，纵坐标上加下减． 【详解】∵点向左平移个单位， ∴横坐标变为； ∵再向上平移个单位， ∴纵坐标变为； ∴平移后的点的坐标为． 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度得到点，再作关于轴的对称点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移变换以及关于x轴对称点的性质，利用平移的性质得出点的坐标，再直接利用关于x轴对称点的性质得出点坐标． 【详解】解：∵点向右平移2个单位长度， ∴的横坐标为，纵坐标为1，即． ∵关于x轴的对称点为， ∴的横坐标不变为1，纵坐标变为，即． 故选：B． 题型07 已知图形的平移，求点的坐标 【典例7】（25-26九年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，沿x轴向右平移后得到，点的对应点是直线上的一点，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数、点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换是解题关键． 先根据平移的性质求出点的纵坐标为6，代入可得点的坐标，从而可得平移距离，再根据点坐标的平移变换规律即可得． 【详解】解：将沿轴向右平移后得到，且点的坐标为， 点的纵坐标为6， 当时，， 解得， ， 将沿轴向右平移个单位长度后得到， 平移后，点与点是对应点，且点的坐标为， ，即． 故选：C 【变式1】（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，，平移后点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形平移的性质和点的坐标变化规律，解题关键点在于确定平移的方向和长度，混淆平移方向是本题的易错点；根据点平移前后的坐标，确定平移的方向和长度，再根据横纵坐标的变化求得的坐标即可． 【详解】∵平移后得， ∴横坐标，纵坐标；即向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后得． 故选A． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，三角形是三角形经过某种变换后得到的图形．如果三角形中有一点的坐标为，那么变换后它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查坐标与图形的平移变化，根据对应点A、的坐标确定出平移规律，从而写出点Q的坐标，利用图形的变化方法是解题的关键． 【详解】解：由图可知，是三角形经过平移变换后得到的图形， ∵，， ∴平移规律为向右5个单位，向下4个单位， ∵， ∴对应点Q的坐标为． 故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移，使得点A平移到点，则平移后点B的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据点平移到点可得该线段平移的方法，用这个平移方法即可得到平移后点B的坐标．本题考查了平移，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：点A的坐标为，点A平移到点， 故平移的方法为：向右平移2个单位，向上平移4个单位， 故将点向右平移2个单位，向上平移4个单位后，坐标为， 故选：B． 题型08 已知点平移前后的坐标，判断平移方法 【典例8】（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点平移到点处，正确的移动方法是（    ） A．向右平移4个单位长度 B．向左平移4个单位长度 C．向下平移4个单位长度 D．向上平移4个单位长度 【答案】B 【分析】平面直角坐标系平移中点的变化规律为：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，根据坐标变化判断平移方法即可． 【详解】解：∵点A的坐标为，平移后点B的坐标为， ∴两点纵坐标相等，没有发生上下平移，故排除C、D选项； 又∵，横坐标减少4，符合左移减的规律， ∴平移方法为向左平移4个单位长度． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点平移到点处，则下列方法正确的是（    ） A．向右平移6个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移4个单位长度 【答案】C 【分析】根据 “左减右加、上加下减”的平移规律，结合平移前后点的坐标变化确定平移方向与距离． 【详解】解：∵平移前点P的坐标为，平移后点的坐标为， ∴纵坐标保持不变，横坐标的变化量为， ∴根据“左减右加”的平移规律，点P需向左平移6个单位长度． 【变式2】（24-25八年级下·全国·期中）将点通过平移得到点，以下方式正确的是（　　） A．沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 B．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度 C．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 D．沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标平移，根据点的坐标平移法则：左减右加，上加下减，即可得解，熟练掌握点的坐标平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将点通过平移得到点，平移方式可为沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·北京西城·期中）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度，在建立平面直角坐标系后，线段的两个端点坐标分别为，．现将线段平移，使平移后线段的两个端点均在坐标轴上，则以下平移正确的是（   ） ①先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度； ②先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度； ③先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度． A．①② B．①③ C．③ D．② 【答案】B 【分析】本题考查了坐标系，点的平移，根据题意将线段平移，使平移后线段的两个端点均在坐标轴上，即平移后得到线段或，进而确定平移方式，即可求解． 【详解】解：如图所示， 将线段平移，使平移后线段的两个端点均在坐标轴上，即平移后得到线段或， 由图可得， ∵点A的坐标是，， ∴线段先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到， 由图可得， 同理得：线段先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到， 故选：B． 题型09 平面直角坐标系中平移作图 【典例9】（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，平面直角坐标系中，已知点，，，是的边上任意一点，经过平移后得到，点的对应点为． 则 (1)点的坐标为 ； (2)在图中画出； (3)的面积为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查图形的平移，利用网格求面积，掌握在平面直角坐标系中点平移的特点是解题的关键． （1）根据点的平移，可得平移的方向和距离，即可求解； （2）根据平移的方向和距离，分别求得平移后三个顶点的坐标，顺次连接即可； （3）利用网格，根据分割法即可求解． 【详解】（1）解：点的对应点为， 平移的方向和距离为：向右平移个单位，向下平移个单位， 又， 的坐标为． 故答案为； （2）解：如图所示，即为所作， （3）解：由图可得， 的面积为：． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为，，．将先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到． (1)请在图中画出； (2)写出平移后的三个顶点的坐标； （________，________） （________，________） （________，________） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查图形的平移作图，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将点A、B、C向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到，顺次连接三点即可； （2）根据的位置写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)作出向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的，点的坐标为________． (2)作出关于直线l对称的，使点C的对应点为． (3)写出直线l的函数表达式为________． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了作图，待定系数法求函数解析式，熟练掌握画图是解题的关键． （1）根据题意进行平移即可； （2）根据对应点作出图形； （3）由题意得直线l是第二、四象限的角平分线，进而写出函数解析式即可． 【详解】（1）解：图形如图所示，， 故答案为：． （2）解：图形如图所示 （3）解：根据关于直线l对称的，可得直线l是第二、四象限的角平分线， ∴直线l的函数解析式为， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，各顶点的坐标分别是，，． (1)将三角形先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到三角形，请在图中画出平移后的图形三角形； (2)请你写出三角形，三个顶点的坐标： ；______；______； (3)在轴上求作一点，使线段最小． 【答案】(1)见解析； (2)，，； (3)见解析． 【分析】本题考查了作图——平移变换，轴对称变换，坐标与图形，轴对称的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平移的性质确定点的对应点，再顺次连接即可； （）根据平面直角坐标系写出相应的坐标即可； （）找点关于轴的对称点，然后连接，交轴于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：根据平面直角坐标系可知，，，， 故答案为：，，； （3）解：如图，找点关于轴的对称点，然后连接，交轴于点，连接，则点即为所求， 理由：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短可得最小值为，点即为所求． 题型10 平面直角坐标系中的平移综合题（几何变换） 【典例10】（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点，的坐标分别为，． (1)请求出点的坐标； (2)将沿轴向左平移，当点落在直线上时，求线段扫过的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点A，C坐标得到，即可根据勾股定理求出，得到点的坐标； （2）由平移规律得到点，代入，求出点的坐标为，．连接，线段扫过的区域是和的面积之和，由此得到答案 【详解】（1）解： 点，点，，，， ，点的坐标为． （2）设点平移后在直线上的坐标为点， 将点代入，得， 解得， 点的坐标为，． 如图，连接，线段扫过的区域是和的面积之和， 线段扫过的面积为． 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，等腰中，，，点A，B分别在y轴、x轴的正半轴上，点位于第三象限，交x轴于点D，交y轴于点E． (1)求点A的坐标； (2)若，求线段的长； (3)在（2）的条件下，在坐标平面内，是否存在点P（与点C不重合），使得以P，B，D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一次函数的解析式求解及图形的对称和平移． （1）通过构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等求出点A的坐标； （2）先根据已知条件求出点B、C的坐标，进而求出直线的解析式，得到点E的坐标，从而求出的长； （3）根据全等三角形的性质，通过图形的对称和平移来找出符合条件的点P的坐标． 【详解】（1）解：如图，作轴，垂足为F， 由题意得，， 在和中， ， ∴， ∴， 即点． （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 设线段的函数表达式为， 将，分别代入， 得，解得， ∴， 当时，， 即， ∴， ∴． （3）解：存在， 如图，作关于x轴对称的， ∴点C与点关于x轴对称，即， 设线段的函数表达式为， 将点和点代入， 得：，解得， ∴线段的函数表达式为，与x轴交点为， 即， 将线段平移得到线段，设线段的函数表达式为， 将点代入得：，解得， ∴线段的函数表达式为， 当时，则有，解得， ∴， ∴关于x轴的对称点， 综上所述，点P的坐标为或或． 【变式2】（25-26九年级上·吉林延边·期末）如图，在平面直角坐标系中，和均为等腰直角三角形，其中，，，且的顶点，．顶点C在第一象限，的顶点，顶点E在第二象限． (1)填空：点E的坐标为 ，点C的坐标为 ． (2)将沿水平方向向右平移，得到，点O，D，E的对应点分别为．设，和的重叠部分的面积为．用含有t的式子表示重叠部分的面积S，并写出t的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了坐标与图形的综合、一次函数与几何综合和等腰直角三角形的判定和性质，学会分类讨论是解决本题的关键． （1）过点E作于F，过点C作于点G，根据等腰直角三角形的性质求解即可； （2）根据题意分为三种情况：当点没有过y轴时；当点过y轴时没有过y轴时；当点过直线时，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点E作于F，过点C作于点G，如图， ∵和均为等腰直角三角形，且，， ∴，， 由题意得，点，，， ∴，， ∴，， ∴点E的坐标为， ∵是边上的中线， ∴点C的纵坐标为， ∴点C的坐标为， 故答案为：，； （2）解：∵是向右平移个单位得到的， ∴顶点为、、， 当点没有过y轴时，如图，此时， ∴，且， 由平移得，， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴ ； 当点过y轴时没有过y轴时，如图，此时， 同理可得，为等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ； 设直线的解析式为， 将点B和点C的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时， 解得， 设该点为K，则其坐标为， ∴， ∴当时，点和点K重合，点和点O重合， ∴当点过直线时，如图，此时， ∴， ∵和为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ， 综上所述，． 【变式3】（2025九年级下·吉林·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点在第一象限，正方形的顶点，点在轴的正半轴上，点在第二象限． (1)填空：点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点的对应点分别为．设，正方形与重叠部分的面积为． ①当点与点重合时，求的值； ②求关于的函数关系式，并写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)①；② 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形在坐标系中的位置与平移，等腰直角三角形的性质、正方形的性质，分情况讨论确定重叠部分的面积． （1）过点作于点，根据是等腰直角三角形，得到，得到点的坐标，根据正方形的性质得到点的坐标． （2）①当点与点重合时，得到，即； ②分别讨论当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质得到对应的关于的表达式． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作于点， 是等腰直角三角形， ，， 点的坐标是， ， ， 点的坐标是, 正方形的顶点， ， ， 点的坐标是； 故答案为：，； （2）解：①当点与点重合时，如下图所示， ， 此时， ， ②当时， 正方形与重叠部分为等腰直角三角形， 如图①所示， ， 由题意，得， ， 当时， 正方形与重叠部分为五边形， 如图②所示， , 由图可知：, 由（1）可知：，，， ， ， 当时， 正方形与重叠部分为等腰直角三角形， 如图③所示， ， 由题意，得， ， ， 整理得：， 综上所述，． 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）下列车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的定义：将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．根据平移的定义判断即可． 【详解】解：A．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； B．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； C．可由圆环沿水平直线方向移动得到，符合题意； D．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级下·辽宁沈阳·开学考试）在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据点平移后的对应点为，得出平移的方式，再根据平移的规律，即可得出答案． 【详解】解：∵点平移后的对应点为， ∴平移方式为向左平移个单位，向下平移4个单位， ∴点平移后的对应点的坐标是． 3．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，点为的平分线和的平分线的交点，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定； 连接、，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以是的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：，同理，所以图中阴影部分的周长就是边的长． 【详解】解：如图，连接、， ∵点为角平分线交点， ∴和分别平分和， ∴， ∵将平移，使其顶点与点重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 即图中阴影部分的周长为． 故选：D ． 4．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，，是边上的高，将沿射线方向平移得到，与交于点，且，连接，下列判断错误的是（     ） A． B．平分 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理．由平移的性质得到，，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，勾股定理求出，由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，因此． 【详解】解：由平移的性质得到，，故选项A正确； ∴，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴．故选项D正确； ∵，，， ∴；故选项C正确； 无法得到平分；故选项B错误； 故选B． 5．（2024·辽宁盘锦·三模）如图，直线交坐标轴于，两点，等边三角形的边在轴上，且点为线段的中点，若将沿轴竖直向上平移，当点落在直线上时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于，延长，交于，先求出，，得出，根据等边三角形的性质得出，进而求出平移距离，即可求出平移后的点坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于，延长，交于， ∵直线交坐标轴于，两点， 当时，，当时，， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴ ∵将沿y轴竖直向上平移，点落在直线上， ∴当时，， ∴，， ∵， ∴平移距离为， ∴平移后，点的坐标为． 二、填空题 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）将点先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点，则__________，__________． 【答案】 0 7 【详解】解：将点先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点， ∴， ∴． 7．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C、D在x轴负半轴，将正方形平移得到正方形（点A、B、C、D的对应点分别是点、、、），若，，，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移，根据点，，确定平移规则，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴正方形先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到正方形， ∵， ∴，即：点的坐标为； 故答案为：． 8．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在中，，点，，依次在斜边上，分别以，，，为斜边在内作四个直角三角形，且满足，点，分别在边，上．若，，则这四个直角三角形的周长的和是______． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，平移的性质，根据勾股定理求出的长，由题意通过平 移可知，四个直角三角形的周长的和为三角形的周长，据此解答即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 如图， 由题意将移到边上，将边平移到边上， ∴四个直角三角形的周长的和， 故答案为：12． 9．（24-25七年级下·湖南湘西·月考）如图，在三角形中，，将三角形以每秒的速度沿所在的直线向右平移，所得的对应图形为三角形．设平移时间为，若要使成立，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是根据平移的性质得到，分以下两种情况讨论即可． 当点移到点右侧时，当点在点，点之间时． 【详解】解：当点移到点右侧时，如下图 ， ， ， ， （秒）； 当点在点，点之间时，如下图 ， ， ， （秒）； 故答案为：或． 10．（25-26八年级上·天津西青·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接． （1）线段的长是__________； （2）当取得最小值时，点M的坐标是__________． 【答案】 (1)1 (2) 【分析】本题考查两坐标间的距离，两点之间，线段最短，勾股定理，一次函数的解析式即性质，点的平移，将转化为是解题的关键． （1）由直线m与x轴平行，，可得点的纵坐标为，点的纵坐标为，再根据轴，即可求解； （2）将点向上平移1个单位得到，连接，设，则，求出，则，得到，当最小时，即取得最小值，再根据为定值，进而得到取得最小值，求出直线的解析式，令求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵直线m与x轴平行，， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∵轴， ∴； 故答案为：； （2）将点向上平移1个单位得到，连接， 设，则， 则， ∴， ∴， 当三点共线时，最小，即取得最小值， ∵为定值， ∴此时，取得最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，在边长为1个单位的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，顶点C的坐标为． (1)将向右平移4个单位，再向下平移5个单位得到，请你画出； (2)将作关于x轴对称，得到，请你画出； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）确定平移后的对称点，再顺次连接即可． （2）确定关于x轴对称的对称点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示：△即为所求 （2）解：如图，即为所求作的三角形 ． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，，两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线，是街道两边沿，现规划修建一座过街人行天桥． (1)天桥应建在何处才能使由单位经过天桥走到单位的路程最短？在图②中作出此时桥的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）． (2)根据图①中提供的数据计算由单位经过天桥走到单位的最短路线的长（单位：）． 【答案】(1)画图见解析   作法见解析 (2) 【分析】（1）由经过天桥走到的最短路程为，由于是定值，因此只需要考虑使最短．因为它们是分散的两条线段，故先将其中一条平移，如图平移到，此时连接交于，即可得桥的位置； （2）过点作的垂线，垂足为，则由经过天桥走到的最短路线的长：，在中，运用勾股定理求出的长，即可求出最短路线的长． 【详解】（1）解：作法：①将点竖直向下平移到点，使（长度如题图①）， ②连接，与交于点， ③过点作于点， ④连接，． 天桥建在处能使由单位经过天桥走到单位的路程最短，如图①． （2）解：过点作的垂线，垂足为，如图②． 由（1）得，，， 连接， ， 在和中 ， ， ． 在中，，， ， 则， ． 故由单位经过天桥走到单位的最短路线的长为． 【点睛】本题主要考查了平移最短路线问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，有一定难度，根据“两点之间，线段最短”找到桥址的位置是解题的关键． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)草地的面积为．理由见解析 【分析】本题考查了图形的平移，长方形面积的计算，掌握通过平移转化图形，将不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． （1）模仿图②的折线形式，设计一条有两个折点的折线，向右平移1个单位后连接端点，形成封闭图形； （2）剩余面积为大长方形面积减去阴影面积，阴影部分可通过平移转化为宽为，长为的长方形，面积为 b，因此剩余面积均为； （3）用平移法将小路左侧的草地向右平移个单位，拼成新的长方形，计算新长方形的面积即为草地面积． 【详解】（1）解：（答案不唯一）如图所示． （2）解：大长方形面积：都是； 阴影面积：不管形状怎么变，水平宽度始终是，长是，所以阴影面积都是； 剩余面积：大长方形面积−阴影面积； ∴． 故答案为：；   ； ． （3）解：草地的面积为． 理由：把“小路”沿着左右两条边线“剪去”，将左侧的草地向右平移个单位长度， 得到一个新长方形，它的长为，宽为，故其面积是． 14．（25-26八年级上·河南安阳·月考）如图，在直角坐标系中，边长为4的等边三角形的顶点都在轴上，顶点在第二象限内，经过平移或轴对称都可以得到． (1)沿轴向右平移得到，则平移的距离是_____个长度单位；与关于直线对称，则对称轴是_____； (2)已知点的纵坐标为，则点的坐标为____； (3)连接，交于点，求的度数． 【答案】(1)4；轴 (2) (3) 【分析】（1）由点的坐标为，根据平移的性质得到沿轴向右平移 2 个单位得到，则与关于轴对称； （2）根据等边三角形的性质求出点的坐标为，再根据与关于轴对称，即可求解． （3）根据平移或对称的性质得到，而，得到，根据证得，即可证得． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，边长为4， ∴点的坐标为， ∴沿轴向右平移4个单位得到； ∴与关于轴对称， 故答案为：4；轴； （2）解：∵点的坐标为，是等边三角形，点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵与关于轴对称， ∴点D的坐标为， 故答案为：． （3）解：如图，∵与是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、平移的性质、三角形全等的判定和性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 15．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图1，在长方形中，，． (1)则的长为______； (2)如图2，，垂足是E，作点F的对称点D，连接，． ①若连接，试求的长； ②若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段、上时，请求出相应的m的值． 【答案】(1) (2)①；②当点落在上时，；当点落在上时， 【分析】本题考查了轴对称与平移变换、勾股定理等知识点．在计算过程中，注意识别平移过程中的不变量． （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）①利用长方形的性质、勾股定理及三角形面积公式求解；②依题意画出图形，利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值即可； 【详解】（1）解：∵长方形， ∴； 在中，， 由勾股定理得：； （2）解：①∵，， ， ， 在中，， 由勾股定理得：； ∵对称， ∴垂直平分， 设与交于点，则， ∵，即：， ∴， ∴； ②设平移中的三角形为，如图： 由对称点性质可知，．， 由平移性质可知，． ①当点落在上时， ， ， ， ，即； ②当点落在上时， ， ， ， ， ∵， ∴， 为等腰三角形， ， ，即． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $