第5章 分式与分式方程章节复习（6大考点+14大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级下册

第5章 分式与分式方程章节复习 教学目标 1. 理解分式概念，掌握分式有意义、无意义及值为0的条件，能区分分式与整式，发展符号意识。 2. 掌握分式基本性质，熟练进行约分、通分及四则混合运算，提升代数变形与运算能力。 3. 理解分式方程概念，掌握解法及验根步骤，能列分式方程解决实际问题，体会建模与转化思想。 教学重难点 1.重点 （1）分式的基本性质与运算：掌握分式基本性质，熟练约分、通分，准确进行分式乘除、加减及混合运算，这是本章核心技能。 （2）分式方程的解法与应用：掌握可化为一元一次方程的分式方程解法，能根据实际问题列方程并求解，检验解的合理性。 2.难点 （1）分式混合运算的准确性：运算步骤多、符号易出错，需灵活运用因式分解进行约分通分，综合运用法则确保结果最简。 （2）分式方程增根理解与建模：理解增根产生原因及验根必要性；从实际问题中抽象数量关系，准确建立分式方程模型。 知识点01 分式的定义 分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 知识点02 分式有无意义 值为零的条件 分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 知识点03 分式的基本性质 分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． （2）约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． （3）通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． （4）最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 和分数不能化简一样，叫最简分数． （5）最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． （2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． 　②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 知识点04 分式的运算 分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为 知识点05 分式方程 分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 知识点06 分式方程的应用 分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 题型01 分式、最简分式、最简公分母 【典例1】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列式子中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，需依据“形如（A、B为整式，且B中含有字母）的式子是分式”这一概念判断各选项 【详解】∵分式的定义是形如（A、B是整式，且B中含有字母）的式子， ∴对各选项逐一分析： A选项的分母是常数5，不含字母，属于整式，不是分式； B选项的分母是含有字母x的整式，符合分式定义，是分式； C选项的分母是常数2，是常数，属于整式，不是分式； D选项是多项式，属于整式，不是分式， 故选：B 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式的定义，分子与分母没有公因式的分式为最简分式． 根据最简分式的定义逐一判断各选项的分子分母是否存在公因式即可． 【详解】解：选项A中，的分子分母有公因式，约分后为，不是最简分式； 选项B中，无法分解因式，与分母无公因式，是最简分式； 选项C中，，的分子分母有公因式，约分后为，不是最简分式； 选项D中，分母，分子分母有公因式，约分后为，不是最简分式； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·山东泰安·期末）在分式，，，中，最简分式有_______个 【答案】2 【分析】本题考查最简最简分式，最简分式是分式的分子、分母没有非零的公因式，即不能再约分，据此判断即可解答． 【详解】解：，故不是最简分式； ，故不是最简分式； ，不能继续化简，是最简分式． ∴最简分式有2个． 故答案为：2． 【变式3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）分式与的最简公分母为____． 【答案】 【分析】此题考查了分式的最简公分母，掌握将所有多项式的分母分解因式，所有不同因式的乘积组成了分式的最简公分母是解题的关键．对分母进行因式分解，找到不同因式的乘积解题即可． 【详解】解：，， ∴分式与的最简公分母是， 故答案为：． 题型02 分式有无意义的条件 【典例2】（24-25八年级上·重庆北碚·期末）对函数，其自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式分母不为0，列出不等式求解即可． 【详解】解：函数中，可得，解得． 【变式1】（2026八年级下·全国·专题练习）关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．当时，分式的值为 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式没有意义 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质、分式有意义的条件及分式值为零的条件，先对分母因式分解，再结合相关知识点逐一分析选项即可． 【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意； B、当时，，此时原分式没有意义，原说法错误，不符合题意； C、当时，，此时原分式没有意义，原说法错误，不符合题意； D、当时，，此时原分式没有意义，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）若分式无意义，则的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是分母为零是解题的关键． 根据分式无意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得． 故答案为：4． 【变式3】（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：式子 在实数范围内有意义， 有意义，即，解得， 且 ，解得 ． 故答案为：且． 题型03 判断分式变形是否正确 【典例3】（25-26八年级上·山西朔州·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质：“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为的整式，分式的值不变”，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、的分子不含因式，无法约分为，则，变形错误； B、，变形正确； C、的分子、分母没有同时乘同一个不为的整式，，变形错误； D、分式分子、分母同时加不符合分式基本性质，，变形错误． 故选：B 【变式1】（25-26八年级上·陕西延安·期末）下列分式变形正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质．熟悉分式的约分法则是解题的关键． 选项变号时出现错误，选项分子分母未同时除以，选项误把看作，选项分子、分母同时除以，变形正确． 【详解】对于选项：∵，而，两者分母不同，∴ 不相等； 对于选项： ∵与，分子中的未发生变化，∴分子分母未同时除以，∴等式不成立； 对于选项： ∵，∴变形正确； 对于选项：∵ ，除非，但，∴等式不成立． 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·期末）下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查判断分式的变形是否正确，根据分式的基本性质，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选D． 【变式3】（25-26七年级上·上海杨浦·期末）下列各式从左到右变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查分式的变形，熟练掌握分式的基本性质和分式的求值是解题的关键．通过化简分式验证每个选项的正确性，选项B的变形中，分子分母同乘了，但未考虑的条件，不符合分式的基本性质． 【详解】解：选项A: ，其中即，变形后分母为，符合分式的基本性质，故不符合题意； 选项B: ，变形中分子分母同乘，但未保证，若则中间步骤分母为零，不符合分式的基本性质，故符合题意； 选项C: ，等式成立，变形正确，故不符合题意； 选项D: ，符合分式的基本性质，故不符合题意． 故选B． 题型04 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【典例4】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如果分式中的都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值（） A．缩小为原来的倍 B．扩大为原来的2倍 C．不变 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子分母变化后的值的判断方法是解题的关键．先将、替换为扩大后的、，代入原分式并化简，再与原分式的值对比，判断其变化情况． 【详解】解：∵、都扩大为原来的2倍， ∴替换后所得分式为， ∵， ∴所得分式的值扩大为原来的2倍， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·湖南湘西·期末）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来倍 C．不变 D．扩大到原来的9倍 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 将x和y同时扩大3倍后代入分式，化简后与原分式比较即可解答． 【详解】解：将原分式中的x和y分别替换为和可得新分式为 ，即新分式是原分式的3倍， 所以分式的值扩大到原来的3倍． 故选A． 【变式2】（25-26八年级上·江西南昌·期末）若把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值________． 【答案】扩大倍 【分析】本题考查了分式的基本性质． 根据分式的基本性质，将x和y都扩大3倍后，分别计算新分式的分子和分母，再与原分式比较，得出分式值的变化情况 【详解】解：把分式中的x和y都扩大3倍，得到新的分式为： 所以分式的值扩大3倍． 故答案为：扩大倍． 【变式3】（24-25八年级上·山东滨州·期末）若分式的值为2，将x，y都扩大2倍，则变化后分式的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】解：因为， 所以， 故答案为：2． 题型05 分式方程无解与增根 【典例5】（25-26八年级上·广东汕头·期末）若关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程无解问题，掌握增根是使分母为零的根是解题关键． 将分式方程转化为整式方程求得，再由增根得出，从而求m． 【详解】解： 方程两边同时乘得，， 解得：， 方程有增根， ， 解得：， ， 解得：， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．0或1 B．或3 C．2或 D．或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键． 先解分式方程，再根据分式方程无解得关于m的方程即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得， ∵原分式方程无解， ∴当时，， 即， ∴或， ∴或． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·山东威海·期末）若分式方程有增根，则k的值是________． 【答案】1 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值． 【详解】解：， ， 因为方程有增根， 所以， 所以， 所以把代入整式方程，得， 解得， 故答案为：1． 【变式3】（25-26八年级上·陕西商洛·期末）若关于的分式方程无解，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，关键是将分式方程化为整式方程后，讨论无解的条件；将分式方程化为整式方程得到，把增根代入求解． 【详解】解： ， 两边同乘 （）得 ： ， 整理得 ， 移项得 ， 即 ， 解得 ， ∵分式方程无解时， ∴根为增根，即 ， 代入得 ， 解得 ． 故答案为：． 题型06 已知方程根的情况求参数的取值范围 【典例6】（25-26八年级上·四川泸州·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据分式方程解为正数、分式有意义的条件确定x的限制，再解分式方程得到x关于m的表达式，代入限制即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为0， ∴且， 即且， ， 去分母得：， 整理得， ∵且， ∴且， 解得：且． 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值是（   ） A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．3或0 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到，由于关于x的分式方程无解，分最简公分母为0分式方程有增根和化简后的整式方程无解两种情况可求得m． 【详解】解： 去分母，得， ． ∵关于x的分式方程无解， 当时，原方程无解， ∴， 当最简公分母， ， 当时，得， 综上m的值为1或， 故选A． 【变式2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，一元一次不等式．先解分式方程得到解，再根据解为正数列不等式，并考虑分母不为零的条件． 【详解】解：解方程， 去分母得， 解得． 由于方程的解是正数，所以，即． 又因为分母，即，则，解得， 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的解集和分式方程的正整数解的问题，读懂题意，正确解不等式组和分式方程是做题的关键．首先根据不等式组的已知解集求出的取值范围，然后利用分式方程的正整数解求出的取值范围，最后结合两个条件即可得出答案． 【详解】解：解不等式组： 解第一个不等式，可得， 解第二个不等式，可得， 又不等式组的解集为， ，即； 解分式方程： 可化为 ， 两边乘（）得，，即； 因为要求为正整数且， 所以且，即且， 同时为偶数，故为奇数， 结合，可得满足条件的整数为、、、， 故和为． 故答案为：． 题型07 求使分式为正（负）数时未知数的取值范围 【典例7】（24-25八年级上·广东汕头·期末）若分式的值为正数，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的值为正的条件，根据题意列出不等式成为解题的关键． 根据已知得出分式的分子为正数，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴，解得：． 故选C． 【变式1】（23-24八年级上·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为负数，而分母， ∴， 解得． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·山东临沂·期末）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的的值为______________． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴， ∴， ∴满足题意的x的值可以为2， 故答案为：2（答案不唯一）． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若分式的值为负数，求的取值范围． （2）若的值是一个整数，则整数可能取哪些值？ 【答案】（1）且；（2） 【分析】（1）根据分式值为负数的条件，分子分母异号，结合分子的取值情况，确定分母的符号，进而求出的取值范围； （2）根据分式值为整数的条件，分母是分子的约数，找出使得为的约数的整数的值． 【详解】解：（1）分式的值为负数，且， 且且． （2）的值是一个整数，且为整数， 可以为整数可能取． 【点睛】本题考查了分式的值的相关计算，掌握根据分式值的正负或整数情况，分析分子分母的关系是解题的关键． 题型08 分式的混合运算 【典例8】（25-26九年级下·湖北武汉·月考）化简：________________ 【答案】 【分析】先对第一个分式的分母因式分解，再确定最简公分母通分，合并分子后约分即可得到化简结果． 【详解】解： ． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）化简： 【答案】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 【变式2】（2026·陕西宝鸡·一模）化简：． 【答案】 【分析】根据分式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式3】（22-23九年级下·广西玉林·月考）化简：． 【答案】1 【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法化为乘法运算，最后约分即可． 【详解】解： ． 题型09 分式化简求值 【典例9】（2026·江苏无锡·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的加减运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得． 【详解】解： ， 当时，原式， 【变式1】（2026·湖南娄底·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的运算法则，将除法转化为乘法并因式分解，约分后进行减法运算，化简分式，再将代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式2】（25-26九年级下·吉林·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： 当，时，原式． 【变式3】（2026·广东湛江·一模）先化简，再求值：已知，若a、2、4恰好是等腰的三边长，求的值． 【答案】， 【分析】先对括号内通分相加，再将除法化为乘法约分化简，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系，得出的值，代入计算即可． 【详解】解： ， a、2、4恰好是等腰的三边长， 或， 当时，等腰三角形的三边长为2、2、4，不能构成三角形，不符合题意； 当时，等腰三角形的三边长为2、4、4，能构成三角形，符合题意； ， ． 题型10 与分式有关的规律性问题 【典例10】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）观察下列各等式：，，，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的规律性问题． 观察各等式，两个分数的分子之和恒为8，且每个分式的分母均为其分子减去4，据此即可得到答案． 【详解】解：∵ 给出的等式中，两个分子之和均为8，且分母为分子减4， ∴ 一般形式应为分子为x和，分母分别为和， 即一般性的等式为， 故选：B 【变式1】（25-26九年级下·河南平顶山·期中）一组按规律排列的式子：，，，，…．若，则第9个式子是__________． 【答案】 【分析】观察可知，奇数项的符号为负，偶数项的符号为正，其中分子中字母a的指数等于序号，分母中字母b的指数等于序号的3倍减去1，据此可得答案． 【详解】解：第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为， 第4个式子为， ……， 以此类推可知，第n个式子为， ∴第9个式子为． 【变式2】（25-26八年级上·湖南益阳·期末）已知（且），，，，，则等于______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为3，再根据2026除以3的余数确定的值，即可作答． 【详解】解：∵（且）， ∴， 则， ∴， 因此，序列每3项循环一次，即周期为3， 则， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）观察下列分式：，，，，…．其中． (1)试写出第5个分式 ． (2)试写出第（为正整数）个分式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的规律探究，掌握分别观察符号、分子、分母的变化规律，再整合得到通式是解题的关键． （1）拆解分式的符号、分子的指数、分母的指数三部分，分别推导第项的规律，再组合； （2）拆解分式的符号、分子的指数、分母的指数三部分，用含的代数式表示规律，再组合． 【详解】（1）解：观察分式符号：第个正，第个负，第个正，第个负，规律为奇正偶负，第个为正； 分子中的指数：， 第个指数为； 分母中的指数：， 第个指数为， 所以第个分式为． （2）解：符号：； 分子的指数：； 分母的指数：， 故第个分式为． 题型11 分式方程的定义 【典例11】（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”逐一判断选项． 【详解】解：A选项：分母含未知数t，是分式方程； B选项：分母含未知数x，是分式方程； C选项：分母含未知数x，是分式方程； D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程； 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）给出下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】分式方程是分母中含有未知数的方程，判断每个方程是否含有分母且分母中含有未知数． 本题考查了分式方程的概念，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程① 中，右边分式分母含有未知数 ， ∴ ①是分式方程． ∵ 方程② 中，左边分式分母 含有未知数 ， ∴ ②是分式方程． ∵ 方程③ 中没有分式，是整式方程， ∴ ③不是分式方程． ∵ 方程④ 中， 是常数系数，没有分母含有未知数， ∴ ④不是分式方程． ∴ 是分式方程的是①②． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）请你利用代数式3，，，组成一个分式方程：__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】明确分式方程的分母必须含有未知数，通过合理组合给定代数式构造等式即可求解． 【详解】解：根据题意可得到，或或． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程：①；②；③；④，是分式方程的是________．（请填写序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查分式方程，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数，根据分式方程的概念：分母里含有字母的方程叫做分式方程一一判断，得出结果即可． 【详解】解：方程①②分母中不含未知数，故①②不是分式方程； 方程③④分母中含表示未知数的字母，故是分式方程； 故答案为： ③④． 题型12 解分式方程 【典例12】（2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）方程的解是_________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的求解，解题的关键是去分母将分式方程转化为一元一次方程．先在方程两边同乘去分母，得到一元一次方程，再解得，最后检验，确认是原方程的解． 【详解】解： 方程两边同乘去分母，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 故答案为：． 【变式1】（2026·陕西榆林·一模）解方程：． 【答案】 【分析】根据解分式方程的基本步骤，求解即可，注意一定要验根． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 解得． 检验，当时，， ∴是原方程的根． 【变式2】（2026·浙江丽水·一模）解分式方程：． 【答案】分式方程无解 【分析】方程两边同时乘，化为整式方程，解整式方程，并检验，即可求解． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 解得：， 解得：， 检验：把代入， 是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 【变式3】（25-26八年级下·福建泉州·期中）解分式方程： 【答案】 【分析】先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 题型13 列分式方程 【典例13】（25-26八年级下·河南南阳·月考）我国明代《永乐大典》中记载了“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，一尺绫布和一尺罗布一共需要120文．问两种布每尺各多少钱？”设绫布有尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“绫罗各一尺总价120文”的等量关系列方程． 【详解】解：1丈=10尺， 绫罗总长度为 尺， 设绫布有尺， 罗布长度为尺， 绫布总售价为896文， 绫布每尺价格为文， 同理可得，罗布每尺价格为文， 绫、罗各一尺共值钱120文， ， 移项整理得． 【变式1】（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据传统配送时间比无人机配送时间多，列方程即可． 【详解】解：∵设传统方式配送速度为，无人机配送速度是传统方式配送速度的倍 ∴无人机配送速度为， ∴传统配送时间为，无人机配送时间为， ∵无人机配送时间比传统方式快，即传统配送时间比无人机配送时间多， ∴列方程得 ． 【变式2】（2026·江西吉安·模拟预测）某体育活动中心购买一批排球和计数跳绳．经询价得知，一个排球的价格比一根计数跳绳价格的3倍少8元，花160元购买跳绳与花400元购买排球的数量相同．若设一根跳绳的单价为x元，则可列方程：________． 【答案】 【分析】先设一根跳绳单价为x元，根据题意表示出一个排球的单价， 再利用“总价÷单价=数量”，结合两种购买的数量相同，列出方程即可． 【详解】设一根跳绳的单价为x元， 由题意得，一个排球的价格为元，花160元购买跳绳的数量为，花400元购买排球的数量为， ∵购买数量相同， ∴可列方程． 【变式3】（2026·山东东营·一模）某商店购进黄河口大闸蟹，第一次用4800元购进若干千克．卖完后，第二次每千克进价提高了4元，同样用4800元购进的数量比第一次少40千克，求第一次的进价．设第一次每千克进价为x元，根据题意列方程为______． 【答案】 【分析】根据总进价和单价分别表示出两次购进大闸蟹的数量，再根据两次购进数量的关系列方程． 【详解】解：设第一次每千克进价为元.则第二次每千克进价为元， 第一次购进大闸蟹的数量为千克， 第二次购进大闸蟹的数量为千克， 根据题意，第二次购进的数量比第一次少千克，列方程得：． 题型14 分式方程的实际应用 【典例14】（25-26八年级上·江苏南通·期末）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产50台机器，改造后生产600台机器所需时间与改造前生产400台机器所需时间相同．则改造后每天生产的机器台数为（   ） A．100 B．150 C．200 D．250 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，设改造后每天生产的机器台数为未知数，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合改造前后生产对应数量机器的时间相同列分式方程求解，最后检验并得到答案． 【详解】解：设改造后每天生产的机器台数为，则改造前每天生产台，根据题意得， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， ∴改造后每天生产的机器台数为150. 故选：B． 【变式1】（2026·江西吉安·二模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题可译为：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里/天，则可列方程：________． 【答案】 【分析】根据它们所需时间与规定时间的关系列方程即可． 【详解】解：设慢马的速度为里/天， 由题意可列方程：. 【变式2】（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期末）八年级学生去距离学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度． 【答案】骑车学生的速度为 【分析】设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，根据题意可得，乘坐汽车比骑自行车少用，据此列分式方程求解． 【详解】解：设骑车学生的速度为，则汽车的速度为， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：骑车学生的速度为 ． 【变式3】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）第一届“湘超”随着永州足球队的夺冠而结束．  其中株洲主场被誉为“魔鬼”主场，株洲足球队队员的拼搏精神与球迷的加油助威给我们留下了深刻的印象． 某体育用品商店在“湘超”比赛期间从厂家购买了A、B两种体育用品． 了解到的有关信息如下： 信息1：每个A种体育用品的进价比每个B种体育用品的进价多20元； 信息2：该体育用品商店用800元购进A种体育用品的数量是用320元购进B种体育用品的数量的一半． (1)求每个A种体育用品和每个B种体育用品的进价分别是多少元？ (2)经商谈，厂家给予该体育用品商店购买一个A种体育用品赠送一个B种体育用品的优惠，若体育用品商店需要购买B种体育用品的个数是A种体育用品的个数的2倍少6个，且该体育用品商店购买A，B两种体育用品的总费用不超过660元，求该体育用品商店最多可购买多少个A种体育用品？ 【答案】(1)每个A种体育用品的进价为25元，每个B种体育用品的进价为5元 (2)该体育用品商店最多可购买23个A种体育用品 【分析】（1）设每个B种体育用品的进价为元，则每个A种体育用品的进价为元，根据“用800元购进A种体育用品的数量是用320元购进B种体育用品的数量的一半”得到方程，即可解得结果； （2）设该体育用品商店购买个A种体育用品，则购买个B种体育用品，由于买一个 A 赠一个 B，实际只需支付 个 B 种用品的费用，且需满足总需求量 ，根据题意列不等式组，求解即可得到结果． 【详解】（1）解：设每个B种体育用品的进价为元，则每个A种体育用品的进价为元， 根据题意得， 解得， 经检验是所列方程的解，且符合题意， 则(元/个)， 答：每个A种体育用品的进价为25元，每个B种体育用品的进价为5元； （2）解：设该体育用品商店购买个A种体育用品，则购买个B种体育用品， 根据题意得， 解得， 答：该体育用品商店最多可购买23个A种体育用品． 一、单选题 1．（2026·山东济南·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同分母分式减法法则计算后，约分化简即可得到结果． 【详解】解：∵原式为同分母分式的减法，根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减， ∴ ， 对分子提取公因式得 ， ∴ 原式． 2．（25-26八年级下·四川乐山·月考）若方程有增根，则a的值为（   ） A． B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据增根定义确定增根的值，代入增根计算得到a的值． 【详解】解：， 方程两边同乘去分母，得， 去括号得， 则， ∵原分式方程分母为，方程有增根， ∴增根满足，即， 将代入整式方程，得， 解得：． 3．（2026·广西南宁·一模）如图是一张边长为a的正方形纸片，先沿某一方向剪去一个宽为2的矩形，再沿另一方向剪去一个宽为x的矩形，两次剪下的矩形面积恰好相等，则b可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： 又∵ ∴ 4．（25-26八年级下·重庆·月考）某商店为庆祝开业，购进甲、乙两种鲜花，购买甲种鲜花花费600元，购买乙种鲜花花费420元，且购买甲种鲜花的数量是购买乙种鲜花数量的2倍．已知购买一束乙种鲜花比购买一束甲种鲜花多花费20元，设购买一束甲种鲜花需元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据设定的单价分别表示出甲、乙两种鲜花的购买数量，再根据甲数量和乙数量的等量关系列方程即可 【详解】解：∵设购买一束甲种鲜花需元，购买一束乙种鲜花比甲多花费20元， ∴购买一束乙种鲜花需元， 根据题意得： 5．（2026年黑龙江齐齐哈尔市中考第一次模拟考试数学试卷）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】先解分式方程得到关于的表达式，再根据分式方程的解是非负数，且分母不为零，列出不等式求解的范围即可． 【详解】解：原方程为 ， ∵ ， ∴ 原方程可化为 ， 方程两边同乘 ，得 ， 展开整理得 ， 解得 ， ∵ 方程的解是非负数，且分母不能为零， ∴ ， 解得 且 ． 二、填空题 6．（2026·甘肃天水·一模）方程的解为________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的求解，解题思路为将分式方程去分母转化为一元一次方程，求解后检验即可得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：． 检验：当时，分母， 所以是原分式方程的解． 7．（25-26八年级下·山东日照·月考）若二次根式有意义，则的取值范围是______________． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，分别列出关于x的不等式，求解后取交集得到x的取值范围． 【详解】解：要使有意义，需同时满足二次根式被开方数非负和分式分母不为零，可得 解不等式，得， 解不等式，得且， 取两个解集的交集，得且． 8．（2026·山东青岛·一模）某工厂生产零件个，实际参与生产的人数是原计划人数的倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了个，若设原计划人数为人，则列出的方程是______． 【答案】 【分析】设原计划人数为人，根据总零件数分别表示出原计划和实际的平均每人生产零件个数，再结合实际平均每人生产零件个数比原计划少个的等量关系列出方程即可． 【详解】解：设原计划人数为人，则实际参与生产的人数为人， 原计划平均每人生产零件个数为， 实际平均每人生产零件个数为， 根据题意得． 9．（2026·四川绵阳·二模）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____． 【答案】 且 【分析】根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先解出分式方程的解，再根据解为正数且分式有意义列出不等式求解即可. 【详解】解：， 整理得， 方程两边同乘得， ， 展开整理得， 解得， 分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为， 且，即且， 解得且. 10．（25-26八年级下·重庆·月考）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为_____． 【答案】 【分析】解：先分别解不等式，再根据不等式组的解集是，得到，解得，再解分式方程得到，根据关于的分式方程有非负整数解，得到且，是非负整数，即可求出的取值范围，最后求所有满足条件的整数的值之和即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵关于的一元一次不等式组的解集是， ∴， 解得， 两边同乘得， 解得， ∵关于的分式方程有非负整数解， ∴且，是非负整数， 解得，且，是奇数， 综上所述，的取值范围是，且，是奇数， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 三、解答题 11．（25-26八年级上·河北邢台·期末）计算，下面是同学们两种不同解法的部分运算过程． ①原式； ②原式． (1)以上解法中正确的是_____________（填序号即可）； (2)写出完整的解答过程． 【答案】(1)① (2) 【分析】本题考查分式的混合运算．熟悉分式的混合运算的运算顺序，分式的通分与约分：通分是将异分母分式化为同分母分式，约分是将分子分母的公因式约去，分式除法的运算法则：除以一个分式等于乘这个分式的倒数，是解题的关键． （1）根据分式的混合运算的运算顺序，先算括号内，再算括号外的除法，判断即可． （2）按照分式的混合运算的运算法则，先计算括号内的，对分母进行因式分解，通分后，再计算括号外的除法，约分后得到答案． 【详解】（1）解：∵分式混合运算需先算括号内，再算括号外的除法， ∴①算式是正确的，②算式是错误的； 故答案为：①； （2）解： ． 12．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算得到答案． 【详解】解：原式 当时，原式． 13．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)分式方程无解 【分析】（1）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果； （2）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果． 【详解】（1）解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 检验，当时，， ∴分式方程的解为； （2）解：将方程整理可得：， 去分母可得：， 去括号可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 检验，当时，， ∴分式方程无解． 14．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床． (1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？ (2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润． 【答案】(1)A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元 (2)最大利润为1998元 【分析】（1）设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价用含x的代数式表示出来，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）列出关于a的一元一次不等式并求其解集；分别计算A、B两款电热毯的售价，再根据“总利润款电热毯的总利润款电热毯的总利润”写出W与a之间的函数关系式，由一次函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值时W最大，求出其最大值即可． 【详解】（1）解：设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价为每床元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， （元）． 答：A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元． （2）解：根据题意，得：， 解得：， A款电热毯的售价为（元）， B款电热毯的售价为（元）， 则， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∵且x为正整数， ∴当时，W的值最大，． 答：最大利润为1998元． 15．（24-25八年级上·福建福州·期末）阅读材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即带分数）的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：， 分式就拆分成一个分式与一个整式的和的带分式形式． 阅读材料2：由得，；如果两个正数a，b，即， 则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)分式可变形带分式得 ，当，它的最小值为 ； (2)若分式的值为整数，则整数x的值为 ； (3)某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0.2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入支出总费用参加活动的同学人数） (4)若式子的最小值是4，求m的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)参加活动的同学人数为60人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是36元 (4) 【分析】（1）仿照示例，对分式进行变形，可得到结果； （2）对分式变形为，仿照示例，可得到结果； （3）根据题意，列出人均费用，仿照示例的方法可得到结果； （4）先对式子变形，化为带分式形式，再求最小值，得到结果． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，式子有最小值，最小值为2； （2）解： ； ∵分式的值为整数，为整数， ∴， ∴或； （3）解：设参加的人数为x人，则支出总费用为， 人均费用为， ∵， ∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为24， ∴的最小值为36， 答：参加活动的同学人数为60人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是36元； （4）解：由题意得，， ∴， ， 当且仅当时，有最小值， ∵最小值是4， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 分式与分式方程章节复习 教学目标 1. 理解分式概念，掌握分式有意义、无意义及值为0的条件，能区分分式与整式，发展符号意识。 2. 掌握分式基本性质，熟练进行约分、通分及四则混合运算，提升代数变形与运算能力。 3. 理解分式方程概念，掌握解法及验根步骤，能列分式方程解决实际问题，体会建模与转化思想。 教学重难点 1.重点 （1）分式的基本性质与运算：掌握分式基本性质，熟练约分、通分，准确进行分式乘除、加减及混合运算，这是本章核心技能。 （2）分式方程的解法与应用：掌握可化为一元一次方程的分式方程解法，能根据实际问题列方程并求解，检验解的合理性。 2.难点 （1）分式混合运算的准确性：运算步骤多、符号易出错，需灵活运用因式分解进行约分通分，综合运用法则确保结果最简。 （2）分式方程增根理解与建模：理解增根产生原因及验根必要性；从实际问题中抽象数量关系，准确建立分式方程模型。 知识点01 分式的定义 分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 知识点02 分式有无意义 值为零的条件 分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 知识点03 分式的基本性质 分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． （2）约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． （3）通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． （3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式． （4）最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 和分数不能化简一样，叫最简分数． （5）最简公分母 （1）最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． （2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． 　②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 知识点04 分式的运算 分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为 知识点05 分式方程 分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 知识点06 分式方程的应用 分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 题型01 分式、最简分式、最简公分母 【典例1】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列式子中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东泰安·期末）在分式，，，中，最简分式有_______个 【变式3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）分式与的最简公分母为____． 题型02 分式有无意义的条件 【典例2】（24-25八年级上·重庆北碚·期末）对函数，其自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026八年级下·全国·专题练习）关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．当时，分式的值为 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式没有意义 【变式2】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）若分式无意义，则的值为_____． 【变式3】（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 题型03 判断分式变形是否正确 【典例3】（25-26八年级上·山西朔州·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·陕西延安·期末）下列分式变形正确的是（    ）. A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·期末）下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·上海杨浦·期末）下列各式从左到右变形错误的是（   ） A． B． C． D． 题型04 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【典例4】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如果分式中的都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值（） A．缩小为原来的倍 B．扩大为原来的2倍 C．不变 D．不确定 【变式1】（25-26八年级上·湖南湘西·期末）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来倍 C．不变 D．扩大到原来的9倍 【变式2】（25-26八年级上·江西南昌·期末）若把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值________． 【变式3】（24-25八年级上·山东滨州·期末）若分式的值为2，将x，y都扩大2倍，则变化后分式的值为_______． 题型05 分式方程无解与增根 【典例5】（25-26八年级上·广东汕头·期末）若关于x的方程有增根，则m的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式1】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）若关于的方程无解，则的值为（    ） A．0或1 B．或3 C．2或 D．或3 【变式2】（25-26八年级上·山东威海·期末）若分式方程有增根，则k的值是________． 【变式3】（25-26八年级上·陕西商洛·期末）若关于的分式方程无解，则______． 题型06 已知方程根的情况求参数的取值范围 【典例6】（25-26八年级上·四川泸州·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值是（   ） A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．3或0 【变式2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是______． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是________． 题型07 求使分式为正（负）数时未知数的取值范围 【典例7】（24-25八年级上·广东汕头·期末）若分式的值为正数，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东临沂·期末）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的的值为______________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若分式的值为负数，求的取值范围． （2）若的值是一个整数，则整数可能取哪些值？ 题型08 分式的混合运算 【典例8】（25-26九年级下·湖北武汉·月考）化简：________________ 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）化简： 【变式2】（2026·陕西宝鸡·一模）化简：． 【变式3】（22-23九年级下·广西玉林·月考）化简：． 题型09 分式化简求值 【典例9】（2026·江苏无锡·一模）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（2026·湖南娄底·一模）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（25-26九年级下·吉林·月考）先化简，再求值：，其中，． 【变式3】（2026·广东湛江·一模）先化简，再求值：已知，若a、2、4恰好是等腰的三边长，求的值． 题型10 与分式有关的规律性问题 【典例10】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）观察下列各等式：，，，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级下·河南平顶山·期中）一组按规律排列的式子：，，，，…．若，则第9个式子是__________． 【变式2】（25-26八年级上·湖南益阳·期末）已知（且），，，，，则等于______． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）观察下列分式：，，，，…．其中． (1)试写出第5个分式 ． (2)试写出第（为正整数）个分式． 题型11 分式方程的定义 【典例11】（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）给出下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．②④ 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）请你利用代数式3，，，组成一个分式方程：__________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程：①；②；③；④，是分式方程的是________．（请填写序号） 题型12 解分式方程 【典例12】（2026九年级下·辽宁沈阳·专题练习）方程的解是_________． 【变式1】（2026·陕西榆林·一模）解方程：． 【变式2】（2026·浙江丽水·一模）解分式方程：． 【变式3】（25-26八年级下·福建泉州·期中）解分式方程： 题型13 列分式方程 【典例13】（25-26八年级下·河南南阳·月考）我国明代《永乐大典》中记载了“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，一尺绫布和一尺罗布一共需要120文．问两种布每尺各多少钱？”设绫布有尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江西吉安·模拟预测）某体育活动中心购买一批排球和计数跳绳．经询价得知，一个排球的价格比一根计数跳绳价格的3倍少8元，花160元购买跳绳与花400元购买排球的数量相同．若设一根跳绳的单价为x元，则可列方程：________． 【变式3】（2026·山东东营·一模）某商店购进黄河口大闸蟹，第一次用4800元购进若干千克．卖完后，第二次每千克进价提高了4元，同样用4800元购进的数量比第一次少40千克，求第一次的进价．设第一次每千克进价为x元，根据题意列方程为______． 题型14 分式方程的实际应用 【典例14】（25-26八年级上·江苏南通·期末）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产50台机器，改造后生产600台机器所需时间与改造前生产400台机器所需时间相同．则改造后每天生产的机器台数为（   ） A．100 B．150 C．200 D．250 【变式1】（2026·江西吉安·二模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题可译为：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里/天，则可列方程：________． 【变式2】（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期末）八年级学生去距离学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度． 【变式3】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）第一届“湘超”随着永州足球队的夺冠而结束．  其中株洲主场被誉为“魔鬼”主场，株洲足球队队员的拼搏精神与球迷的加油助威给我们留下了深刻的印象． 某体育用品商店在“湘超”比赛期间从厂家购买了A、B两种体育用品． 了解到的有关信息如下： 信息1：每个A种体育用品的进价比每个B种体育用品的进价多20元； 信息2：该体育用品商店用800元购进A种体育用品的数量是用320元购进B种体育用品的数量的一半． (1)求每个A种体育用品和每个B种体育用品的进价分别是多少元？ (2)经商谈，厂家给予该体育用品商店购买一个A种体育用品赠送一个B种体育用品的优惠，若体育用品商店需要购买B种体育用品的个数是A种体育用品的个数的2倍少6个，且该体育用品商店购买A，B两种体育用品的总费用不超过660元，求该体育用品商店最多可购买多少个A种体育用品？ 一、单选题 1．（2026·山东济南·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·四川乐山·月考）若方程有增根，则a的值为（   ） A． B．4 C．3 D．2 3．（2026·广西南宁·一模）如图是一张边长为a的正方形纸片，先沿某一方向剪去一个宽为2的矩形，再沿另一方向剪去一个宽为x的矩形，两次剪下的矩形面积恰好相等，则b可表示为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·重庆·月考）某商店为庆祝开业，购进甲、乙两种鲜花，购买甲种鲜花花费600元，购买乙种鲜花花费420元，且购买甲种鲜花的数量是购买乙种鲜花数量的2倍．已知购买一束乙种鲜花比购买一束甲种鲜花多花费20元，设购买一束甲种鲜花需元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2026年黑龙江齐齐哈尔市中考第一次模拟考试数学试卷）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 二、填空题 6．（2026·甘肃天水·一模）方程的解为________． 7．（25-26八年级下·山东日照·月考）若二次根式有意义，则的取值范围是______________． 8．（2026·山东青岛·一模）某工厂生产零件个，实际参与生产的人数是原计划人数的倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了个，若设原计划人数为人，则列出的方程是______． 9．（2026·四川绵阳·二模）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____． 10．（25-26八年级下·重庆·月考）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为_____． 三、解答题 11．（25-26八年级上·河北邢台·期末）计算，下面是同学们两种不同解法的部分运算过程． ①原式； ②原式． (1)以上解法中正确的是_____________（填序号即可）； (2)写出完整的解答过程． 12．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）先化简，再求值：，其中． 13．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）解方程 (1)； (2)． 14．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床． (1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？ (2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润． 15．（24-25八年级上·福建福州·期末）阅读材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即带分数）的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：， 分式就拆分成一个分式与一个整式的和的带分式形式． 阅读材料2：由得，；如果两个正数a，b，即， 则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)分式可变形带分式得 ，当，它的最小值为 ； (2)若分式的值为整数，则整数x的值为 ； (3)某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0.2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入支出总费用参加活动的同学人数） (4)若式子的最小值是4，求m的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $