第三章 图形的平移和旋转章节复习（7大考点+10大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级下册

本讲义系统梳理图形平移、旋转及中心对称的核心知识点，从平移的概念、性质、作图到坐标变换，再到旋转的三要素、性质、旋转中心确定，延伸至中心对称与中心对称图形的概念、性质及区别联系，构建完整知识支架。 资料以生活实例（如电影剧照平移识别、博物馆标志对称判断）培养数学眼光，通过对比辨析（平移与旋转异同、中心对称与轴对称区别）发展推理意识，分层题型（典例+变式+综合练习）助力课中教学与课后查漏补缺，提升几何变换应用能力。

第三章 图形的平移和旋转章节复习 教学目标 1. 系统梳理图形平移与旋转的概念、三要素及基本性质，理解两种变换的异同。 2. 掌握中心对称与中心对称图形的概念及性质，能识别并运用中心对称解决问题。 3. 能综合运用平移、旋转、中心对称进行图形变换、作图及坐标变化分析，提升几何变换综合应用能力。 教学重难点 重点： 1. 平移与旋转性质的准确理解，能根据变换前后的图形找出对应关系。 2. 中心对称的性质应用，特别是对称点连线经过对称中心且被平分这一核心性质。 教学难点： 1. 在复杂图形中，综合运用平移、旋转或中心对称的性质进行推理证明和计算。 2. 理解旋转角与中心对称的关系，能准确确定旋转中心或对称中心的位置。 知识点01 平移的概念 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。注：平移=移动方向+移动距离 知识点02 平移的性质 （1）图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置 （2）对应点间连线，这些线段长度相等，且对应直线平行 （3）对应点的连线即为平移的路径（直线），包括方向和距离 知识点03 平移作图 平移作图步骤：①找出能代表图形的关键点;②将原图中某一关键点按要求平移后，与原来点连接起来; ③过其他点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等，即确定其他关键点平移后的位置;④连接关键点，还原图形. 知识点04 点在平面直角坐标系中平移 1.左右平移（横坐标变，纵坐标不变）： - 向右平移a个单位：(x,y) (x+a, y); - 向左平移a个单位：(x,y) (x-a, y); 2.上下平移（纵坐标变，横坐标不变）： - 向上平移b个单位：(x,y) (x, y+b); - 向下平移b个单位：(x,y) (x, y-b). 口诀：右加左减，上加下减。平移前后图形形状、大小不变。 知识点05 旋转的概念及性质 （1）旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换. 点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角； 图形上点P旋转后得到点P’，这两个点叫作对应点. （2）旋转三要素：①旋转方向；②旋转中心；③旋转角度 注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上. （3） 旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 知识点06 确定旋转中心及旋转作图 1.确定旋转中心：由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 2.旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形. 作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心； （2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； （3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； （4）连接所得到的各对应点. 知识点07 中心对称与中心对称图形 1.中心对称 （1）中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． （2）中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△A’B’C’关于点O对称. （3）中心对称与轴对称的区别与联系： 区别 中心对称 轴对称 有一个对称中心 有一条对称轴 图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴翻折 旋转后与另一个图形重合 翻折后与另一个图形重合 联系 都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等 （4）中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形. （5）确定对称中心的方法： 1.连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心； 2.连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心. （6）中心对称作图 1.连接原图形的关键点与对称中心； 2.延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等； 3.将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形. 2.中心对称图形 （1）中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． （2）中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区别 针对两个图形 针对一个图形 两个图形位置上的关系 具有某种性质的一个图形 对称点在两个图形上 对称点在一个图形上 对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 题型01 图形的平移与中心对称图形的识别 【典例1】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）电影《哪吒之魔童闹海》在中国电影史上大放异彩，迅速成为众人关注的焦点，它不仅是部精彩的影片，更肩负着把中国文化传播到世界的重任．哪吒的剧照如图所示，下面四个图形中，由该图平移得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移前后，图形的大小，形状，方向都不变，只是位置发生改变，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，由该图平移得到的图形是： 【变式1】（2026·河南安阳·一模）博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； D、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意； 【变式2】（陕西省渭南市高新技术开发区2026年中考一模数学题）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； 【变式3】（25-26八年级下·福建漳州·月考）下列大学校徽主体图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 题型02 利用平移的性质求解 【典例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）如图，将三角形沿方向平移至三角形处，若，则的长为_____． 【答案】 16 【分析】利用平移的性质得到，然后利用得到的长，从而得到的长． 【详解】解：∵将三角形沿方向平移至三角形处． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据题意，分别得出、、的长度，根据等量代换得出，求解即可得出结果． 【详解】解：∵直角三角形沿方向平移得到直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵直角三角形与直角三角形面积相同， 即， ∴， 故图中阴影部分的面积为． 【变式2】（2026·福建泉州·一模）如图，将一块直角三角尺（，）沿射线方向平移到三角尺的位置，点A的对应点为点D．若，，则的长为________．    【答案】4.5 【分析】先根据图形平移性质求得，再求出的长度，最后根据“直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半”求得的长． 【详解】解：∵直角三角尺沿射线方向平移到三角尺的位置，点A的对应点为点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·内蒙古·月考）如图，在中，，，，将沿方向平移，得到，且与相交于点G，连接．则阴影部分的两个三角形周长之和为_________cm． 【答案】12 【分析】先利用平移的性质得到，，则，然后计算阴影部分的周长即可求解． 【详解】解：由平移的性质可得，， ∴， ∵，， ∴阴影部分的两个三角形周长之和为． 题型03 点在平面直角坐标系中的平移 【典例1】（25-26七年级下·云南曲靖·月考）将点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】根据坐标平移中点的变化规律，向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减，计算即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点先向右平移个单位，再向下平移个单位后得到点， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了直角坐标系下点的坐标的特点，熟练掌握点的平移与对称的特点． 先根据向右平移时，横坐标增加，纵坐标不变得到点B的坐标，再根据关于轴对称横坐标不变，纵坐标变为相对应的相反数即可求解． 【详解】解：将点向右平移3个单位长度得到点， 则点， 则点关于轴的对称点的坐标为． 故答案为： ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，某点从原点出发，向右平移个单位长度到达，再向上平移个单位长度到达，再向左平移个单位长度到达，再向下平移个单位长度到达，再向右平移个单位长度到达，，按此规律进行下去，点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，规律型问题，根据题意可得，，，，，，，，，则有，则有点的坐标是，解题的关键是学会探究规律的方法． 【详解】解：由题意可得，，，， ，，，， ， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，点沿x轴正方向向右上方做“跳马运动”（即中国象棋“日”字型跳跃）．若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置，称为做一次“正竖跳马”，当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点，则______． 【答案】 【分析】此题考查了坐标系中点平移以及二元一次方程组的应用．由题意可得：做一次“正横跳马”横坐标增加2，纵坐标增加1，做一次“正竖跳马”横坐标增加1，纵坐标增加2，据此列方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，当点先连续做了a次“正横跳马”，再连续做b次“正竖跳马”后，到达点，则： ， ，得：， ∴； 故答案为：． 题型04 求关于原点的对称点的坐标 【典例1】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）点关于坐标原点的对称点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标规律． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标均取相反数． 【详解】在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点，其横坐标与纵坐标均变为原坐标的相反数．点关于坐标原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）将点绕原点旋转后得到点，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查关于原点对称的点坐标，掌握好点坐标的变化规律是关键． 一个点关于原点对称后，其横纵坐标都会变为相反数． 【详解】解：∵点绕原点旋转后得到点， ∴，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）若点与关于原点对称，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，求出a，b的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：点与关于原点对称， ，． 解得：，． ． 【变式3】（25-26九年级上·山东临沂·期末）已知点关于原点的对称点为点，则______． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了负整数指数幂、关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数列式求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ， 解得，， ∴． 故答案为：． 题型05 找旋转中心、旋转角 【典例1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图1，在俄罗斯方块游戏中，小方块可先逆时针旋转_______度，再向_______（填“左”或“右”）平移至边格，然后往下移动，最终拼成一个完整的长方形（如图2），达到所有方格都消失的特效． 【答案】 90 左 【分析】此题考查了旋转以及平移的定义，只要熟悉游戏和旋转以及平移的定义，即可根据图形作出正确解答． 根据旋转和平移的性质即可解答． 【详解】解：小方块可先逆时针旋转90度，再向左平移至边格，然后往下移动，最终拼成一个完整的长方形，达到所有方格都消失的特效． 故答案为：90，左． 【变式1】（25-26九年级上·北京大兴·期中）我国数学家赵爽用4个全等的直角三角形拼成如图所示的大正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“赵爽弦图”．这一证法是中国古代数学家以形证数、形数结合的典范，对后世数学发展产生了深远影响．已知点O是大正方形对角线的交点，以点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，则______． 【答案】90 【分析】本题考查了图形旋转的性质，解决本题的关键是熟练掌握图形的旋转角度． 根据图形的旋转性质，可知顺时针旋转得到，点D的对应点为点C，点E的对应点为点H，点A的对应点为点D，由此可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵顺时针旋转得到， ∴可知点D的对应点为点C，点E的对应点为点H，点A的对应点为点D， ∵点O是大正方形对角线的交点， ∴， ∴． 故答案为： ． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为__________ ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，写出直角坐标系中点的坐标，解题的关键是根据旋转的性质找出旋转中心． 根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心找出旋转中心，再利用数形结合写出旋转中心的坐标即可． 【详解】解：如图，旋转中心的坐标为． 故答案为：． 题型06 求某点旋转后的坐标 【典例1】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为________ 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形变化-旋转、全等三角形的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图，过点P作轴于点D，过点轴于点，构造全等三角形，然后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点P作轴于点D，过点作轴于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·四川南充·期中）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到，则点坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形．过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，证明即可得解． 【详解】解：如图，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F， ∵轴于点E，过点C作轴，线段绕点顺时针旋转得到， ∴，，    ∴， ∴， ∴， ∴， 由点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， 故， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·河南周口·期中）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，现将绕点按逆时针方向旋转，则点旋转后的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查旋转作图． 根据旋转的性质，进行作图即可求出点旋转后的坐标． 【详解】解：由题意可得绕点按逆时针方向旋转后的图形是，如图所示， 由图象可得点旋转后的坐标是． 故答案为． 题型07 坐标与旋转规律问题 【典例1】（25-26九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，将绕点O顺时针旋转得；再将绕点O顺时针旋转得；再将绕点O顺时针旋转得；…依此类推，第2025次旋转得到，则顶点A的对应点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转、规律型：点的坐标，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由题意得，每旋转4次后得到的三角形回到△的位置，根据，可知第2025次旋转得到△与第1次旋转得到△的位置相同，结合旋转的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：由题意得，每旋转4次后得到的三角形回到△的位置， ， 第2025次旋转得到△与第1次旋转得到△的位置相同． 如图， 由图可得，， 顶点的对应点的坐标是． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点，．以点为旋转中心，把顺时针旋转，得到．当旋转后点恰好落在轴正半轴上时，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理解直角三角形，旋转的性质，坐标与图形．作轴于M．在中，求出即可解决问题． 【详解】解：过点D作轴于M， ∵，， ∴，， 由旋转的性质，可得， ∴，，， 由面积知， 在中，由勾股定理得 ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点D的坐标为 ∴； 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接，作如下变换：第一次：将点绕原点逆时针旋转得到点；第二次：作点关于轴的对称点；第三次：将点绕点逆时针旋转得到；第四次：作点关于轴的对称点……按照这样的规律，点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了作图-轴对称、旋转变换、全等三角形的判定与性质，找规律等知识． 先根据旋转变换和轴对称变换得出、、、、，从而可知每4个点的坐标为一周期循环，据此可得． 【详解】解：过点作轴于点M，过点作轴于点N， 由题意得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，则， 同上可求、、， ∴每4个点的坐标为一周期循环， ∵余1， ∴点的坐标与点的坐标一致，为， 故答案为：． 题型08 平面直角坐标系中平移和旋转作图 【典例1】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，B，C均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． (1)作点关于原点O的对称点A； (2)连接得，将绕点A逆时针旋转得，画出旋转后的； (3)在（2）的条件下，点的坐标是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）由图可得答案． 本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，点A即为所求． （2）如图，即为所求． （3）由图可得，点的坐标是． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·期中）已知如图所示（顶点、、都在格点上）． (1)请画出将绕点逆时针旋转后得到的，其中点对应点，点对应点． (2)请画出与关于原点对称的． (3)在轴上求作一点，使的值最小，并直接写出P点的坐标为______． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3) 【分析】本题考查了旋转，中心对称，轴对称，掌握相关知识并按要求画出对应的图形是解题的关键． （1）根据网格特点和旋转的性质得到点绕点C 逆时针旋转后的对应点，依次连接即可． （2）根据关于原点对称的点的坐标特征得出，依次连接即可． （3）作点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，则最小，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示， （2）如图， （3）如图， 先过x轴作的对称点，连接，与x轴相交于点P，连接， 根据图形可知此时三点共线，的值最小，点P坐标为． 【变式2】（25-26八年级上·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）． (1)类比轴对称的作图方法，画出关于原点的中心对称图形； (2)以坐标原点为旋转中心，将逆时针旋转，得到，画出； (3)是的边上一点，经平移后点的对应点为，请画出平移后的；可以经过向左、向上两次平移得到，请写出边在平移过程中扫过的面积________；也可以沿着的方向经过一次平移直接得到，请写出边在平移过程中扫过的面积________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)7，7 【分析】本题主要考查平移，旋转； （1）根据中心对称的性质画图即可； （2）根据旋转的性质画图即可； （3）根据点的变化画出平移图形，利用平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，即为所求： （3）解：如图，即为所求： 向左平移扫过的面积为：， 向上平移扫过的面积为：， ∴边在平移过程中扫过的面积为：； 也可以沿着的方向经过一次平移直接得到，边在平移过程中扫过的面积仍为7． 题型09 几何图形中的平移综合问题 【典例1】（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点A，B，C的对应点分别是点，，．点，点，点，点． (1)若，则的坐标为_____；（用含的式子表示） (2)若，求的值； (3)若点，其中．直线交轴于点，且三角形的面积为1，试探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了三角形的面积，有一定难度． （1）先通过点与点、点与点的坐标变化确定平移规律，再根据平移规律求出点平移后对应点的坐标； （2）当时，得出A、B、D、E四点的坐标，再根据平移的规律得到，即可求出m的值； （3）由平移的规律得出，变形整理得到，那么轴，根据三角形的面积，求出，．根据点与点是对应点，得出，求出． 【详解】（1）已知平移后得到，的坐标的变化为，即向右平移个单位；纵坐标的变化为，即向下平移个单位， 同理，平移后得到，从到的坐标变化为，纵坐标变化为，结合到的平移规律，可知整体平移是向右个单位，向下个单位， 点，按照上述平移规律，向右平移个单位，的坐标变为；向下平移个单位，纵坐标变为， ∴点的坐标为； （2）解：当时， 由三角形平移得到三角形， 的对应点分别为 ， 可得， 解得． ∴的值为6； （3）由三角形平移得到三角形， ，的对应点分别为 ，． 可得， 由②得③， 把③代入①，得， ∴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴轴， ∴点， ∴三角形的面积， ∵， ∴，． ∴， ∴， ∴，，． 又∵在平移中，点与点是对应点， ∴， ∴ ， ∴． 【变式1】（24-25九年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且，直线过点， (1)求直线解析式； (2)连接，将线段沿x轴正方向平移到线段 ①若，求满足条件的点C的坐标； ②在平移过程中，是否存在点C使得为等腰三角形，若存在，请画出图形并求出点P平移的距离，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②图见详解，点平移的距离为：2或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义，勾股定理，解一元二次方程，等知识，其中第（2）步分类讨论是解题的关键． （1）设直线解析式为，点坐标为，∴点A坐标为， 结合在直线上可得，即可求出直线解析式为； （2）①先求出，再求出，根据平移性质得到C的纵坐标为3，，设，列方程，求出或，从而得到或， 即可求出或； ②设点P平移的距离为，则，根据两点间距离公式即可得到，，，再分，，三种情况讨论，列方程，解方程，舍去不合题意解，问题得解． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 则点坐标为， ∵， ∴点A坐标为， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：∵直线解析式为， ∴点A坐标为，坐标为， ∴， ∴， ①∵， ∴将线段沿x轴正方向平移到，， ∴C的纵坐标为3，， 设， 则， 解得或， ∴或， ∵，， ∴或； ②设点P平移的距离为， ∴， ∵点A坐标为，坐标为， ∴， ， ， 如图，当时， ， 解得； 如图，当时， ， 解得或（舍去）； 当时， ， 解得或（舍去）； 综上所述，点P平移的距离为2或或． 【变式2】（24-25七年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，已知点，且a和b满足．将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合． (1)请直接写出点A、B、D的坐标：A______，B______，D______； (2)如图，若点P为直线上一点，将点P向右平移t个单位到点，当点在直线上时， ①求t的值． ②若三角形的面积是三角形的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据平方的非负性与二次根式的非负性求出，的值，进而得到，的坐标，根据，的坐标平移变换规则，将进行相同的变换，即可得到的坐标， （2）①设直线与x轴的交点为E，则，证明三角形的面积三角形的面积，再利用面积公式建立方程求解即可； ②当点在线段的延长线时，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，，设,而，，再利用中点坐标公式求解即可；当点在线段上时，设，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，取的中点，则，再利用中点坐标公式求解即可. 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∵将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合，， ∴点为点向右平移4个单位，向下平移4个单位， 将点向右平移4个单位，向下平移4个单位，得到，即：， （2）解：①设直线与x轴的交点为E，则，连接，， ， 三角形的面积三角形的面积， , , 三角形的面积， ， ， 即； ②当点在线段的延长线时，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，， ∴， 设,而，， ∴，， ∴点， ∴点； 当点在线段上时，设，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，取的中点，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴，即； 综上所述，或． 题型10 几何图形中的旋转综合问题 【典例1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在等边三角形中，点P在其内部，且，，，将在平面内绕点A按顺时针方向旋转得到．    (1)求证：为等边三角形； (2)求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质， 正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合旋转得，故，，运用等边三角形的性质得，即，证明为等边三角形； （2）根据，得，因为为等边三角形，得，结合，得，在中，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵在平面内绕点A按顺时针方向旋转得到． ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （2）解：∵在平面内绕点A按顺时针方向旋转得到． ∴， ∴， ∵，为等边三角形； ∴， ∵， ∴， 在中，． 【变式1】（25-26九年级上·河北保定·期中）图1是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，． (1)在旋转过程中： ①点与点之间的最大距离为________； ②当以，，三点为顶点的三角形是直角三角形时，求的长． (2)若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连接，，如图2．问：与图中哪条线段长度相等？证明你的猜想． 【答案】(1)①，②的长为或 (2)，证明见解析 【分析】本题考查的知识点是旋转的性质、等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握相关概念． （1）①当A、D、M三点共线，且M在的延长线上时，最大 ②由可得，不可能为斜边，故可分两种情况利用勾股定理求解：、是直角边；是直角边，是斜边． （2）结合旋转性质和等腰直角三角形性质即可利用“边角边”证明全等，从而根据全等三角形性质证明 【详解】（1）当A、D、M三点共线，且M在的延长线上时，最大， ，， 最大距离为：． 故答案为． ②，， 即， 当，，三点为同一直角三角形的顶点时，也有两种可能： 、是直角边，此时； 是直角边，是斜边，此时． 故当，，三点为同一直角三角形的顶点时，或． （2），理由如下： 根据旋转性质可得：，， 是等腰直角三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，可判断出，请说明理由： (3)如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1)，证明见详解 (2)见解析 (3) 【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． （1）根据提示易得等边三角形和直角三角形，继而得解； （2）将绕点顺时针旋转得到，连接，证明，得到相等边，然后利用勾股定理进行证明即可； （3）将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，利用（1）的思路，得出全等的三角形和等边三角形，得出相等的角和边，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 根据旋转的性质得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得，； （2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴； （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接， 同（1）可得为等边三角形， ∴， 同（1）可得， ∴，， ∴， ∴点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 即． 一、单选题 1．（25-26七年级下·云南曲靖·月考）将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的点的坐标是，即． 2．（2026·山西晋城·一模）剪纸是民间传统艺术，一把剪刀、一张红纸，便能剪出花鸟、福字与窗花．纹样或对称灵动，或随意别致，承载着美好祝愿，尽显指尖匠心与民俗韵味．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分完全重合，中心对称图形沿着某点旋转后能够与原图形完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项B、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形； 选项C、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 选项D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形． 3．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由旋转的性质得，，，由等边对等角和三角形内角和定理求出，最后根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：由旋转知，，，， ， ， ． 4．（2026·安徽安庆·一模）如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，中心对称图形的性质等知识点． 根据等边三角形三线合一的性质和勾股定理得到线段的长度，根据中心对称图形的性质得到的长度，根据勾股定理得到的长度． 【详解】解：∵为等边三角形，为的中点， ∴是边上的高，，，， ∴，， ∴在中，， ∵与关于点中心对称， ∴，，， ∴， ∴在中，． 5．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，两个直角三角形重叠在一起，将沿方向平移得到，，，下列结论：①；②；③；④阴影部分的面积为．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】根据平移的性质判断即可． 【详解】解：∵将沿方向平移得到，， ∴，，，，①②正确； ∵， ∴， 由平移性质可得：， ∴，③正确； ∵，， ∴， ∵阴影部分的面积的面积的面积 的面积的面积 四边形的面积 ，故④正确． 二、填空题 6．（25-26九年级上·江西上饶·期末）点关于坐标原点对称点坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标都变为其相反数，掌握这一特征是解题的关键，根据这一特征求解即可． 【详解】点关于坐标原点对称，其横坐标取相反数为，纵坐标取相反数为， 因此对称点的坐标为． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 【答案】正确 【分析】本题考查了平移的性质，两点之间线段最短，关键是任取其他位置修桥（垂直于河岸），通过等量代换，把路径最短问题转化为两点之间线段最短． 任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，，利用平移的性质把行走路径转化为比较与的大小，根据两点之间线段最短，可得最短路径． 【详解】解：如图，任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，． ，， 可看作由平移所得， ， ． 同理，， ． 中，， ， ， 原示意图是正确的． 故答案为：正确． 8．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，在一块长、宽的长方形场地上，中间的阴影部分是一条宽度处处相等的小路，空白部分为劳动实践基地．如果劳动实践基地的面积为，那么小路的宽度为______． 【答案】 【分析】设小路的宽度为，根据平移性质列方程，然后解方程即可求解． 【详解】解：设小路的宽度为，利用平移的性质，将阴影部分向左平移拼成了一个新的长方形，长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴小路的宽度为． 9．（2026·广东佛山·一模）如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； 【答案】12 【分析】由平移的性质得到，求出，再由求解即可． 【详解】解：∵将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，平移距离为3，且， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了规律型中的点的坐标以及中心对称的性质，解决该题型题目时，根据题意列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键． 根据中心对称的性质找出部分的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，当为奇数时，；当为偶数时，依此规律即可得出结论． 【详解】解：，，是等腰直角三角形，且， ． 与关于点成中心对称， ． 同理可得，，，…． 设为自然数．当为奇数时，；当为偶数时． 故点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在四边形中，，与互余，将分别平移到和的位置，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据平移的性质和平行的性质得到，再利用互余的定义即可计算出的度数； （2）根据平移的性质得到，所以，再利用线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：（1）∵平移到的位置， ∴， ∴， ∵与互余， ∴． （2）解：∵分别平移到和的位置， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：． 12．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查旋转的性质、三角形的内角和等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质推出，再根据平角的性质，最后等量代换即可证明； （2）根据旋转的性质推出，再根据三角形的内角和求出，最后通过等量代换即可求解． 【详解】（1）解：证明：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴． （2）∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵的内角和为，， ∴， ∴． 13．（25-26九年级下·安徽六安·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)若经过平移后得到，已知． ①作出平移后的； ②平移的距离为______个单位长度； (2)将绕点B逆时针旋转，得到，请作出旋转后的； 【答案】(1)①作图见解析；② (2)作图见解析 【分析】（1）①利用点和的坐标特征确定平移的方向与距离，然后利用平移规律写出、的坐标，再描点即可； ②利用两点间的距离公式计算出的长即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、即可； 【详解】（1）①解：如图1，为所作； ②平移的距离， 故答案为：； （2）解：如图2，为所作； 14．（25-26八年级下·河北邢台·月考）如图1，图2和图3，在中，，，，直角边在射线上，直角顶点B与射线端点O重合． (1)_______； (2)如图2和图3，将沿射线向右以每秒1个单位长度的速度进行平移，平移后得到，设平移的时间为秒． ①当时，如图2，连接，求的长和点到的距离； ②当时，如图3，与边交于点D，图中阴影部分的面积和为36，求的长； ③在平移的过程中，当为等腰三角形时，请直接写出t的值． 【答案】(1)10 (2)①，距离；②；③，或 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）①，由题意得，再根据勾股定理可得；然后作于点E，可得，接下来由面积相等得，即可得出答案； ②利用平移的性质可得，再说明，然后根据可得，即可得出，最后根据勾股定理可得答案； ③当时，由可得答案； 当时，根据勾股定理可得，进而得出答案； 当，时，根据勾股定理得，求出答案即可． 【详解】（1）解：10． 根据勾股定理，得； （2）解：①， ． 在中，根据勾股定理可得． 过点作于点E．． 在中，， 即， 解得； ②利用平移的性质，可得． 当时，， ． ， ， ， ∴在中，根据勾股定理可得； ③t的值为4，6或． 当时，， ； 当时， 在中，根据勾股定理可得， ； 当，时， ， ， 即， 解得． 15．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）如图1，在等边三角形内有一点P，且，，，将绕点B逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图2），连接，可得是等边三角形，而又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）， (1)则 ； (2)求出等边的边长； (3)通过类比探究，参考小明同学的思路，解决问题：如图3，在正方形外有一点P，且， ， ，求的度数和正方形的周长． 【答案】(1)150 (2) (3)， 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，推出，进而得到是等边三角形，得出，，由勾股定理逆定理得出，即可得出； （2）过点作，交的延长线于，则，求出，，，最后由勾股定理进行计算即可； （3）将绕点B逆时针旋转，得到，连接，过点A作，交的延长线于H，通过旋转性质得到，，在中，得到，进而求出，再利用勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，进而可求出，再利用勾股定理求出，进而可求出正方形的周长． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，，，， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交的延长线于， ， ， ， ， ； （3）解：将绕点B逆时针旋转，得到，连接，过点A作，交的延长线于H， ∴， ∴，，， 在中，， ∴，根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴正方形的周长为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章图形的平移和旋转章节复习 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01平移的概念 知识点02平移的性质 知识点03平移作图 知识点04点在平面直角坐标系中平移 知识清单 知识点05旋转的概念及性质 知识点06确定旋转中心及旋转作图 知识点07中心对称与中心对称图形 题型01图形的平移与中心对称图形的识别 图形的平移和旋转 题型02利用平移的性质求解 题型03点在平面直角坐标系中的平移 题型04求关于原点的对称点的坐标 题型05找旋转中心、旋转角 题型精讲 题型06求某点旋转后的坐标 题型07坐标与旋转规律问题 题型08平面直角坐标系中平移和旋转作图 题型09几何图形中的平移综合问题 题型0几何图形中的旋转综合问题 强化训川练 教学目标、教学重难点 1. 系统梳理图形平移与旋转的概念、三要素及基本性质，理解两种变换的异同。 2.掌握中心对称与中心对称图形的概念及性质，能识别并运用中心对称解决问题。 教学目标 3.能综合运用平移、旋转、中心对称进行图形变换、作图及坐标变化分析，提升几何 变换综合应用能力。 1/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 重点： 1.平移与旋转性质的准确理解，能根据变换前后的图形找出对应关系。 2.中心对称的性质应用，特别是对称点连线经过对称中心且被平分这一核心性质。 教学重难点 教学难点： 1.在复杂图形中，综合运用平移、旋转或中心对称的性质进行推理证明和计算。 2.理解旋转角与中心对称的关系，能准确确定旋转中心或对称中心的位置。 知识清单 知识点01平移的概念 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。注：平移=移动方向+移动距离 知识点02平移的性质 (1)图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置 (2)对应点间连线，这些线段长度相等，且对应直线平行 (3)对应点的连线即为平移的路径（直线），包括方向和距离 知识点03平移作图 平移作图步骤：①找出能代表图形的关键点；②将原图中某一关键点按要求平移后，与原来点连接起来； ③过其他点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等，即确定其他关键点平移后的位置：④连接关键点， 还原图形 知识点04点在平面直角坐标系中平移 1.左右平移（横坐标变，纵坐标不变）： -向右平移a个单位：(x,y)→c+a,y -向左平移a个单位：(c,y)→c-a,y 2.上下平移（纵坐标变，横坐标不变）： -向上平移b个单位：(x,y)→化，y+b: -向下平移b个单位：x,y)→，y-b). 口诀：右加左减，上加下减。平移前后图形形状、大小不变。 知识点05旋转的概念及性质 (1)旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换 点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角； 图形上点P旋转后得到点P',这两个点叫作对应点 (2)旋转三要素：①旋转方向；②旋转中心；③旋转角度 注：旋转中心可在任意位置即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上 (3)旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分 2/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 别与旋转中心连线所成的角相等 知识点06确定旋转中心及旋转作图 1.确定旋转中心：由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直 平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 2.旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向 旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形 作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）： (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 知识点07中心对称与中心对称图形 1.中心对称 (1)中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这 两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心： (2)中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△A'B'C关于点O对称. (3)中心对称与轴对称的区别与联系： 中心对称 轴对称 有一个对称中心 有一条对称轴 区别 图形绕对称中心旋转180 图形沿对称轴翻折 旋转后与另一个图形重合 翻折后与另一个图形重合 联系 都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等 (4)中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中， 对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形 (5)确定对称中心的方法： 1连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心； 2连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心 (6)中心对称作图 1.连接原图形的关键点与对称中心： 2延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称中 心的距离相等； 3/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形. 2.中心对称图形 (1)中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那 么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. (2)中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 针对两个图形 针对一个图形 两个图形位置上的关系 具有某种性质的一个图形 区别 对称点在两个图形上 对称点在一个图形上 对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图 联系 形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称 题型精讲 题型01图形的平移与中心对称图形的识别 【典例1】(25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·月考)电影《哪吒之魔童闹海》在中国电影史上大放异彩，迅 速成为众人关注的焦点，它不仅是部精彩的影片，更肩负着把中国文化传播到世界的重任.哪吒的剧照如 图所示，下面四个图形中，由该图平移得到的图形是() 【变式1】(2026河南安阳一模)博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰 富的文化内涵和美学价值.下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() 自同 D 包回 【变式2】（陕西省渭南市高新技术开发区2026年中考一模数学题）下列食品标识中，既是轴对称图形又是 中心对称图形的是() 4/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3】(25-26八年级下·福建漳州·月考)下列大学校徽主体图案是中心对称图形的是（) A B C D 西南财经大学 北京大学 中国人民大学 中南大学 题型02利用平移的性质求解 【典例1】(25-26七年级下·陕西咸阳·月考)如图，将三角形ABC沿BC方向平移至三角形DEF处，若 CE=2BE=8,则BF的长为· A D E 【变式1】(25-26八年级上·山东东营·期末)如图，将直角三角形ABC沿BF方向平移得到直角三角形DEF ,已知BE=3cm,AG=2cm,AC=6cm.则图中阴影部分的面积为 B 【变式2】(2026福建泉州一模)如图，将一块直角三角尺ABC(∠B=90°，∠A=60°)沿射线AC方向 平移到三角尺DEF的位置，点A的对应点为点D.若AF=I3,DC=5,则AB的长为 A D H 【变式3】(25-26七年级下·内蒙古月考)如图，在ABC中，AB=3cm,AC=4cm,BC=5cm,将 ABC沿BC方向平移，得到△DEF,且AC与DE相交于点G,连接AD.则阴影部分的两个三角形周长之 和为 cm. 5/17 6学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A E 题型03点在平面直角坐标系中的平移 【典例1】(25-26七年级下·云南曲靖·月考)将点A(3,-2)先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得 到点B,则点B的坐标是 【变式1】(25-26八年级上·全国.单元测试)在平面直角坐标系中，将点A(-1,-2)向右平移3个单位长度得 到点B,则点B关于x轴的对称点B的坐标为 【变式2】(24-25七年级下江苏南通期中)如图，在平面直角坐标系中，某点P从原点0出发，向右平移 2个单位长度到达A,再向上平移4个单位长度到达A,再向左平移6个单位长度到达A,再向下平移8个 单位长度到达A,再向右平移10个单位长度到达A,,按此规律进行下去，点A2的坐标是 A As 【变式3】(24-25八年级上·河北张家口·期末)如图，点P1,0)沿x轴正方向向右上方做“跳马运动”（即中 国象棋“日”字型跳跃).若跳到g位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到Q位置，称为做一次“正竖跳 马”，当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点P.（26,20),则a+b= 题型04求关于原点的对称点的坐标 【典例1】(25-26九年级上·四川绵阳·期末)点(-1，)关于坐标原点0的对称点的坐标为 6/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(25-26九年级上·贵州黔西南期末)将点P(2,-3)绕原点0旋转180°后得到点P,则点P的坐标 名 【变式2】(25-26八年级下·河南鹤壁·月考)若点P(1,a-1)与Q(b+1,2)关于原点对称，则代数式a+b的值 为 【变式3】(25-26九年级上山东临沂·期末)已知点A(2a,2-3b)关于原点的对称点为点B(2,2+b),则 b= 题型05找旋转中心、旋转角 【典例1】(25-26九年级上·安徽芜湖·期中)如图1，在俄罗斯方块游戏中，小方块A可先逆时针旋转 度，再向 (填“左”或“右”)平移至边格，然后往下移动，最终拼成一个完整的长方形（如图2），达 到所有方格都消失的特效. 图1 图2 【变式1】(25-26九年级上北京大兴·期中)我国数学家赵爽用4个全等的直角三角形拼成如图所示的大 正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“赵爽弦图”.这一证法是中国古代数学家以形证数、形数结 合的典范，对后世数学发展产生了深远影响.己知点O是大正方形ABCD对角线的交点，以点O为旋转中 心，将△DAE顺时针旋转得到△CDH,则a=°. H G 【变式2】(25-26九年级上辽宁大连期中)如图，在平面直角坐标系中，A,B,A,B均为格点，将 线段AB绕着某点旋转一个角度可以得到线段A'B'(A与！，B与B是对应点)，则旋转中心的坐标为 7/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7 6 5 B 3-2-10 1234567六 题型06求某点旋转后的坐标 【典例1】(25-26九年级上广东广州期中)如图，在平面直角坐标系中，将点P(4,3)绕原点0逆时针旋 转90°得到点P,则P的坐标为 D 0 【变式1】(25-26九年级上·四川南充期中)如图，已知点A的坐标为-3,0)，点B的坐标为-1,4)，将线 段AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，则点C坐标是· B A 【变式2】(25-26九年级上·河南周口·期中)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，ABC的三 个顶点均在格点上，现将ABC绕点B按逆时针方向旋转90°，则A点旋转后的坐标是 8/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 题型07坐标与旋转规律问题 【典例1】(25-26九年级上广东广州期中)在平面直角坐标系x0y中，△0AB的位置如图所示，将 △0AB绕点O顺时针旋转90°得△OA,B,；再将△OA,B,绕点O顺时针旋转90°得△OA,B2;再将△OAB2绕点 O顺时针旋转90°得△OA,B3;…依此类推，第2025次旋转得到△OAo25B2025,则顶点A的对应点Ao2s的坐标 是 【变式1】(25-26九年级上湖北荆州期中)在平面直角坐标系中，已知0为坐标原点，点A(3,0), B(0,4).以点A为旋转中心，把△AB0顺时针旋转，得到△ACD.当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时， 则线段OD的长为 【变式2】(25-26八年级上：山东日照期中)如图，在平面直角坐标系中，A(3,2),连接OA,作如下变换： 第一次：将点A绕原点O逆时针旋转90°得到点A;第二次：作点A关于x轴的对称点4；第三次：将点4 绕点O逆时针旋转90°得到A;第四次：作点A关于x轴的对称点A.…按照这样的规律，点A2s的坐标 是 9/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2 3 题型08平面直角坐标系中平移和旋转作图 【典例1】(25-26九年级上广东广州期中)如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 点A,B,C均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）. B 4 3 4-321012.345 于2 +3 -4 (1)作点A（-1,-1)关于原点O的对称点A; (2)连接AC,AB得ABC,将ABC绕点A逆时针旋转90°得△AB,C,画出旋转后的△AB,C; (3)在(2)的条件下，点B的坐标是 【变式1】(25-26九年级上广东广州期中)已知ABC如图所示（顶点A、B、C都在格点上）. 4 3 -5-4-3-2-10 12345x (I)请画出将ABC绕点C逆时针旋转90°后得到的△DEC,其中点A对应点D,点B对应点E. (2)请画出与ABC关于原点对称的△A,B,C. (3)在x轴上求作一点P,使PA+PC,的值最小，并直接写出P点的坐标为 【变式2】(25-26八年级上·山东烟台·期中)如图，在平面直角坐标系内，ABC三个顶点的坐标分别为 A1,-2),B(4,-1),C(3,-3)(正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度). 10/17