专题4.3 数据的频数分布、总体的平均数与方差的估计（2大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版八年级下册

专题4.3 数据的频数分布、总体的平均数与方差的估计 教学目标 1. 理解频数、频数分布表、频数直方图的概念，能对数据进行分组整理，正确绘制频数分布表与直方图。 2. 理解用样本估计总体的统计思想，掌握用样本平均数、样本方差估计总体平均数与总体方差的方法。 3. 能结合实际问题，运用频数分布分析数据特征，合理利用样本数据推断总体，提升数据分析与统计应用能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握数据分组方法，能准确制作频数分布表并绘制频数直方图，读懂图表所反映的数据分布规律。 （2）理解样本与总体的关系，熟练运用样本平均数和方差对总体相应特征进行估计，解决简单实际问题。 2.难点 （1）根据数据特点合理确定组距与组数，准确统计频数，避免分组混乱或统计错误。 （2）理解抽样的代表性，体会样本估计总体的合理性，区分样本统计量与总体参数，避免机械套用公式。 知识点01 频数与频率 频数与频率 （1）频数是指每个对象出现的次数． （2）频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率＝频数÷总数 一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率．频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量． 【即学即练1】1．在“We like maths”这个句子的所有字母中，字母“e”出现的频数是（   ） A．2 B． C．11 D．1 2．在实数，，，，中，无理数出现的频率是（    ） A． B． C． D． 3．下表是某学校七年级名学生体育成绩统计表：（满分：分） 分数段（分） 频数（人） 百分比 则表中______，______，______． 知识点02 频数分布直方图 频数（率）分布直方图 画频率分布直方图的步骤： （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图． 　　注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容． 【即学即练2】4．某校在市政府举行的“争创文明城市”活动中组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比．如图所示的是将篇学生调查报告的成绩进行整理后分成组画出的频数分布直方图．已知从左到右个组的百分比分别是，，，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有（分数大于或等于分为优秀，且分数为整数）（    ） A．篇 B．篇 C．篇 D．篇 5．某班随机抽取10名学生的晚上睡眠时间，整理后分成四组，绘制成如图所示的频数直方图．其中2名同学的睡眠时间分别用字母a ，b代替，数据如下：6.5；a； b；7；7.5； 8；8.5；8.5；8.5；9．若，则a的范围是___________． 6．为丰富学生的课余生活，陶冶学生的情趣和爱好，某校开展了学生社团活动，为了解学生各类活动的参加情况，该校对七年级学生社团活动进行了抽样调查，制作出如下的统计图： 根据上述统计图，完成以下问题： (1)扇形统计图中，求出“书法类”扇形的圆心角； (2)请补全频数分布直方图； (3)求参加“艺术类”和“书法类”活动的学生共占本次所调查学生总人数的百分比． 题型01 根据数据描述求频数 【典例1】（2026·湖南湘潭·一模）为了落实“健康第一”的教育理念，某学校组织全体学生参加体质健康测试，现随机抽取了50名同学的测试成绩进行分组整理后，它们分别落在5个小组内，前3个小组的频数分别为4、10、16，第4个小组的频率为0.2，则第5个小组的频数为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【变式1】（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）某班女生的身高被分成了三组，情况如表所示，则表中m的值是（   ） 第一组 第二组 第三组 频数 6 8 m 频率 p q A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知有个数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，对这些数据进行分组整理时，其中分到这一组的个数为______． 【变式3】（25-26七年级上·河南开封·期末）如图是某班40名学生一分钟跳绳测试成绩（次数为整数）的频数直方图，从左起四个小长方形的高的比依次为，那么该班一分钟跳绳次数在100次以上（不包含100次）的学生有______人． 题型02 根据数据描述求频率 【典例2】（2026七年级下·浙江·专题练习）将20个数据整理成5个组如表，则第3组的频率为（　　） 组别 1 2 3 4 5 频数 2 5 x 4 2 A． B．0.7 C．6 D．7 【变式1】（2026·浙江宁波·一模）某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中这一分数段的频率是（   ） A．20 B．0.24 C．0.18 D．0.4 【变式2】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）某班50名学生的数学成绩被分为5组，第组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）为了解中学生对足球体育项目的感兴趣程度，调查了某市四所中学（分别用A，B，C，D表示）的学生，统计结果如下表： 学校 学生人数 对足球体育项目感兴趣的百分比/% A 1000 B 950 C 1050 D 1000 则这四所学校所有学生对足球体育项目感兴趣的百分比为______．（结果精确到） 题型03 根据数据填写频数、频率统计表 【典例3】（2026八年级下·全国·专题练习）某中学八（3）班有50位学生，他们上学的方式有步行、骑车、乘车．根据下表中的已知信息可得（    ） 上学方式 步行 骑车 乘车 频数 a b 20 频率 0.36 c d A．， B．， C．， D．， 【变式1】（23-24七年级下·广东汕头·期末）某班女生的体育测试被分成了三组，统计情况如表所示，则表中a的值是________ 第一组 第二组 第三组 频数 6 10 a b 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知某班有40名学生．他们有的步行上学，有的骑车上学，还有的乘车上学．根据已知信息完成统计表： 上学方式 划记 频数 频率 步行 正正正 骑车 9 乘车 表格中依次填：_____、_____、_____、_____、_____、_____． 上学方式 划记 频数 频率 步行 正正正 15 骑车 正止 9 乘车 正正正一 16 【变式3】（23-24九年级上·江苏南京·月考）某班级在一次测试的成绩整理得到的频数分布表如下： 成绩（分） A组： B组： C组： 频数 10 18 8 甲同学说该次测试成绩的众数出现在B组，而乙同学则认为根据此表众数不能确定，聪明的你请判断正确的是________．（选填甲、乙） 题型04 频数分布直方图 【典例4】（2026·湖南株洲·一模）某班有48位学生，每人抛10次硬币，统计正面向上的次数依次为0，1，2，…，10的人数，得到如图所示的直方图，则这次次数统计的众数和中位数分别是（    ） A．4，5 B．5，5 C．5，6 D．6，6 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）阅读小组对本班50名学生最喜爱的图书类别进行了统计，绘制成如图所示的频数直方图．若从左到右的小长方形高度比为，则该班有________名学生最喜爱艺术类图书． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）某校从参加计算机测试的学生中随机抽取了60名学生的成绩进行分析，并将其分成了六段后绘制成如图所示的频数直方图（每组含最小值，不含最大值，其中70～80分数段因故看不清）．若60分及60分以上为及格，则这次测试的及格率为____________． 【变式3】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）某市为增强学生的法律意识，开展了对全市学生的普法教育活动．为检验活动效果，组织全市八年级学生参加法律知识测试，并对测试成绩做了详细统计，将测试成绩（成绩都是整数，试卷满分分）绘制了如下“频数直方图”．请回答：       (1)参加全市法律知识测试的学生有________千名同学． (2)中位数落在________分数段内． (3)若用各分数段的组中值来代替本段平均分，请你估算本次测试成绩全市平均分约为多少？ 题型05 频数分布折线图 【典例5】（23-24八年级上·广东深圳·期末）某种手机APP可以测量行人每分钟行走的步数（也称步频），在一次徒步活动中，四人分别用此APP测量了自己的步频，步频与时间变化关系如图所示，其中步频最为稳定的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是2011年至2022年我国物流总费用的发展趋势图，请根据趋势图信息预测我国2026年我国物流总费用约为______万亿元． 【变式2】（2023·山东青岛·一模）某市月份天的最高气温情况如图所示，将1日—日气温的方差记为，日—日气温的方差记为．分析统计图，可知：______．（填“＞、＝、＜”）      【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）由表“2015～2023年某地区生活用水量”可知，该地区生活用水量逐年上升．如图，用横轴表示年份，用纵轴表示用水量，描出表中各对值所对应的点，可发现，这些点近似地落在某条直线上． 2015～2023年某地区生活用水量 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 用水量/亿立方米 570 600 620 640 650 680 700 720 750 (1)用一条尽可能靠近所有点的直线来表示用水量与年份之间的关系，请在上图中画出这条直线； (2)根据所画的直线，估计2024年的用水量． 题型06 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【典例6】（24-25七年级上·河南开封·开学考试）某班男生的平均身高是165厘米．请你想一想，下面哪位男生最不可能是这个班的？（    ） A．乐乐身高168厘米，是篮球队中锋 B．力力身高132厘米，是全班最矮的 C．明明身高165厘米，是全班最高的 D．浩浩身高180厘米 【变式1】（23-24八年级上·福建漳州·期末）综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，并绘制出折线统计图如图所示：                    根据以上信息，下列说法错误的是（    ） A．核桃树叶长宽比为出现的次数最多 B．枇杷树叶的长宽比最大为 C．小明测量一片枇杷叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片核桃树叶 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）小新家4月份前6天的用米量如下表所示： 用米量/ 0.6 0.8 0.9 1.0 天数 1 2 2 1 估计小新家4月份的用米量为____________． 【变式3】（25-26九年级上·四川广元·开学考试）某校七、八年级开展了一次实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数，为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制如下所示的统计表和如图所示的统计图． 七年级10名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 2 2 3 2 (1)样本中，七年级学生活动成绩的中位数为 分，八年级学生活动成绩的众数为 分； (2)估计七年级600名学生活动成绩的平均数； (3)嘉淇说：“根据样本数据，我认为八年级同学的成绩较好．”嘉淇做出此判断依据的量是 （填“平均数”“中位数”或“众数” ）． 题型07 统计的简单应用 【典例7】（2026·甘肃平凉·一模）平凉市某中学为落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，开展了“烹饪、园艺、木工、电工”四大类劳动课程．为了解本校1500名学生对每类课程的选择情况，随机抽取了本校300名学生进行调查（每名学生只选一类课程），并绘制了如图所示的扇形统计图，下列说法正确的是（    ） A．此调查属于普查 B．本次调查的样本是300名学生 C．该校1500名学生中约有240人选择“木工”这一类课程 D．选择“烹饪”这一类课程的学生人数占被调查人数的48% 【变式1】（2026·甘肃平凉·一模）让每一位学生都身上有汗、眼中有光、脚上有力、脸上有笑，向着美好未来勇敢前行．某校让“健康第一”从理念变为校园日常，在全校学生中掀起体育锻炼的热潮，现从该校2000名学生每天体育运动时长的问卷中，随机抽取部分问卷，将这部分学生的运动时长作为一个样本进行研究，并将结果绘制成如图所示的条形统计图，则下列说法错误的是(    ) A．此次调查共抽取了50名学生 B．所抽取学生运动时长为1小时的学生人数是5 C．这个样本的中位数是2小时 D．估计该校运动时长为2小时的学生人数最多 【变式2】（2026·云南玉溪·一模）阅读能提升素养、启迪智慧、助力成长．某校数学兴趣小组随机抽取了部分同学，调查他们最喜欢阅读的课外图书类别，将调查结果绘制成如图所示的两个统计图： 若该校共有学生1000人，则该校最喜欢科学类图书的学生大约有____________人． 【变式3】（内蒙古自治区呼和浩特市2026年九年级第一次模拟考试数学）促进学生身心健康、全面发展是重要的教育议题．某校坚持“健康第一”的教育理念，深化体育与健康课程改革．为了解该校七年级男生体能情况，随机抽取20名男生进行体能测试，并对测试成绩（单位：分）进行统计分析． 【收集数据】 100  95  86  88  52  78  83  65  83  87  77  89  90  67  79  97  72  83  96  73 【整理数据】 该校规定：为不合格，为合格，为良好；为优秀．（成绩用表示） 等次 不合格 合格 良好 优秀 合计 频数（人数） 1 4 5 20 频率 0.05 0.20 0.50 0.25 1.00 【分析数据】 此组数据的平均数是82，众数是、中位数是． 【解决问题】 (1)填空：______，______；______； (2)若该校七年级共有400名男生，估计体能测试达到优秀的男生约有多少人； (3)根据上述统计分析情况，请你对该校七年级男生体能情况做出评价，并提出一条相应的合理化建议． 一、单选题 1．（2023·广西百色·模拟预测）卫生部门对某医药店进行检查，抽查了某品牌的口罩5包（每包10只），其中合格口罩的只数分别是9，10，9，10，10，则估计该品牌口罩的合格率约是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·月考）某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的500名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示，请你估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是（   ）． 节水量（单位：） 同学数（人） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）某市教育局对某校八年级学生进行体质监测，共收集了200名学生的体重，并绘制成了频数分布直方图，从左往右数每个小长方形的高度之比为，其中第三个小长方形对应的频数为（） A．80 B．60 C．20 D．10 4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图是某校体育组60人的“跳绳”体育测试的成绩统计．下列说法错误的是（　　） A．众数是20 B．众数是85 C．成绩80分的占 D．成绩85分的占 5．（2022·云南·模拟预测）2021年9月，中共云南省委办公厅、云南省人民政府办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的实施意见》明确要求，严控书面作业总量，初中学生每天书面作业平均完成时间不超过90分钟，控制节假日书面作业时间．某校为了解九年级学生每天书面作业的平均完成时间（单位：分钟），在九年级450名学生中随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并将调查结果分为A，B，C，D四个组进行统计，根据统计的信息，绘制了如图所示的两个不完整的统计图．下列说法错误的是（   ） A．抽取的学生人数为40人 B．抽取的学生中每天书面作业平均完成时间在A组的人数有12人 C．估计该校九年级学生每天书面作业平均完成时间超过90分钟的人数有50人 D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·河南南阳·期末）《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有60名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是0.45，则该班学会炒菜的学生频数是_____． 7．（25-26八年级上·福建泉州·月考）某班在大课间活动中随机抽查了10名学生每分钟跳绳的次数x（单位：次）如下：98，102，105，110，115，115，116，118，126，129．则每分钟跳绳次数在这一组的频数是____． 8．（25-26九年级下·北京顺义·月考）某校九年级共有1300名学生．为了解学生的睡眠时间分布情况，从中随机抽取了100名学生，调查他们每天的睡眠时间，并根据教育部门相关标准整理如下： 等级 睡眠不足 睡眠基本达标 睡眠充足 睡眠时间 小时 睡眠时间小时 小时 人数 20 70 10 根据以上信息，估计该校九年级学生中睡眠基本达标的人数是______． 9．（25-26九年级下·上海·月考）3月15日是国际消费者权益日某校组织学生开展食品安全知识竞赛，该校王老师采用随机抽样的方法，抽取部分学生的竞赛得分进行调查分析，抽取调查的结果分为A、B、C、D四个等级进行统计，并绘制了如图1和图2不完整的统计图．若成绩A等级为优秀，学校共有2000名学生，则成绩优秀的学生大约有____________人． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）某校在八年级450名学生中随机抽取了50名学生进行一分钟打字测试．将这50名学生一分钟打字的数量整理后，画出了频数分布直方图如图所示（不完整）．已知图中从左到右分为5个小组，则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约__________个． 三、解答题 11．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）在一次捐款活动中，学校团支书想了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数据进行了统计，并绘制成如图所示的统计图． (1)这50名学生捐款的众数为________元； (2)求这50名学生平均每人捐款多少元； (3)如果捐款的学生有300人，估计这次的捐款总数． 12．（2026·江苏无锡·一模）某小区开展便民服务，设置了五种便民服务项目：家电维修（A）、快递代收（B）、文体活动（C）、健康义诊（D）、书籍借阅（E）．为了解小区居民对这五种便民服务项目的喜爱及需求情况，小区工作人员开展问卷调查，形成如下统计图（不完整）： 请根据调查报告，解答下列问题： (1)本次抽样调查的人数共有________人，________； (2)根据调查结果补全条形统计图，并在对应条形图上方标注人数： (3)若该小区共800名居民，所有居民都只选择一种便民服务项目，请通过计算估计该小区喜爱“文体活动”项目的居民有多少名？ 13．（2026·甘肃天水·一模）某校开展阳光体育活动，其中有一项目为秒跳绳（满分分）．为了解本次跳绳成绩的大致情况，林老师随机抽取了男、女各名同学的跳绳成绩（成绩用表示），并将数据进行整理和分析，给出了以下信息： 名男生的成绩分别为． 名女生成绩中，成绩在的数据分别为． 整理数据： 男 0 1 2 3 4 女 1 1 2 4 2 分析数据： 平均数 众数 中位数 男 女 c (1)___________，___________，___________； (2)请估计参加此次测试的名学生中成绩不低于分的人数； (3)根据以上数据，你认为该校跳绳项目中，男生和女生，谁更需要加强锻炼？请说明理由． 14．（2026·宁夏固原·一模）某校为响应“传承屈原文化·弘扬屈原精神”主题阅读倡议，进一步深化全民阅读和书香隆德建设，随机抽取了八年级若干名学生，对“双减”后学生周末课外阅读时间进行了调查，根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 时间段/分钟 组中值 —— 75 105 135 频数/人 6 20 —— 4 数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数，叫做这个小组的组中值．请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题： (1)扇形统计图中，分钟时间段对应扇形的圆心角的度数是______；______； (2)请将表格补充完整； (3)请通过计算估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间． 时间段/分钟 组中值 45 75 105 135 频数/人 6 20 10 4 15．（2026·河南周口·一模）某学校为了普及消防安全知识，随机在七、八年级分别抽取20名同学进行相关知识测试（满分100分），统计他们的测试成绩（），并绘制相关统计图（不完整），请你根据以下数据完成下列任务． 七年级成绩：84，78，98，92，98，92，69，92，89，89，85，84，83，79，92，79，83，78，92，58． 八年级成绩在之间的数据为：89，88，85，81． (1)填空：___________，并补全七年级抽取同学的成绩频数分布直方图； (2)请你补全七年级和八年级抽取同学的成绩数据的特征表： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 89 八年级 96 93 其中___________，___________； (3)请根据上述统计图表的信息，分析哪个年级对消防安全知识掌握的较好，说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 数据的频数分布、总体的平均数与方差的估计 教学目标 1. 理解频数、频数分布表、频数直方图的概念，能对数据进行分组整理，正确绘制频数分布表与直方图。 2. 理解用样本估计总体的统计思想，掌握用样本平均数、样本方差估计总体平均数与总体方差的方法。 3. 能结合实际问题，运用频数分布分析数据特征，合理利用样本数据推断总体，提升数据分析与统计应用能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握数据分组方法，能准确制作频数分布表并绘制频数直方图，读懂图表所反映的数据分布规律。 （2）理解样本与总体的关系，熟练运用样本平均数和方差对总体相应特征进行估计，解决简单实际问题。 2.难点 （1）根据数据特点合理确定组距与组数，准确统计频数，避免分组混乱或统计错误。 （2）理解抽样的代表性，体会样本估计总体的合理性，区分样本统计量与总体参数，避免机械套用公式。 知识点01 频数与频率 频数与频率 （1）频数是指每个对象出现的次数． （2）频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率＝频数÷总数 一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率．频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量． 【即学即练1】1．在“We like maths”这个句子的所有字母中，字母“e”出现的频数是（   ） A．2 B． C．11 D．1 【答案】A 【分析】本题考查频数的定义．频数是指某个对象在总体中出现的次数，只需统计句子中字母“e”出现的次数即可求解． 【详解】解：∵在句子“We like maths”中，字母“e”出现2次， ∴字母“e”出现的频数是2， 故选：A． 2．在实数，，，，中，无理数出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，频率的计算，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 先判断每个数是否为无理数，统计无理数的个数，再根据频率=无理数个数÷总个数计算频率即可得出结果． 【详解】解：∵，是整数，属于有理数； ，是无理数，∴是无理数； ，是整数，属于有理数； 中是无理数，∴是无理数； 是循环小数，属于有理数； ∴无理数共有2个，总共有5个数， ∴无理数出现的频率为， 故选C． 3．下表是某学校七年级名学生体育成绩统计表：（满分：分） 分数段（分） 频数（人） 百分比 则表中______，______，______． 【答案】 【分析】①根据分数段的百分数为，再用七年级学生总人数人乘以该分数段的人数即可；②根据频数分布表可知分数段人数为人，分数段的人数为人，分数段的人数为人，分数段的人数为人，再用七年级总人数减去各分数段的人数即可；③根据分数段的人数为人，再用七年级总人数除以该分数段的人数即可． 【详解】解：∵分数段的百分数为，七年级学生总人数为人， ∴（人）， ∵分数段人数为人，分数段的人数为人，分数段的人数为人，分数段的人数为人， ∴分数段的人数（人）， ∴， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了频数分布表，找出频数与百分数之间的关系是解题的关键． 知识点02 频数分布直方图 频数（率）分布直方图 画频率分布直方图的步骤： （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图． 　　注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容． 【即学即练2】4．某校在市政府举行的“争创文明城市”活动中组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比．如图所示的是将篇学生调查报告的成绩进行整理后分成组画出的频数分布直方图．已知从左到右个组的百分比分别是，，，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有（分数大于或等于分为优秀，且分数为整数）（    ） A．篇 B．篇 C．篇 D．篇 【答案】C 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，正确读懂统计图是解题的关键．直接用调查报告总数乘以被评为优秀的调查报告的数量占比即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：（篇） 5．某班随机抽取10名学生的晚上睡眠时间，整理后分成四组，绘制成如图所示的频数直方图．其中2名同学的睡眠时间分别用字母a ，b代替，数据如下：6.5；a； b；7；7.5； 8；8.5；8.5；8.5；9．若，则a的范围是___________． 【答案】 【分析】根据题目中所给的数据，结合频数直方图每一组的频数进行分析即可得解． 本题主要考查了频数分布直方图，能够读懂频数分布直方图是解题的关键． 【详解】解：由频数分布直方图可知，分成的四组的频数为：6 ~7组人数为1；7~8组人数为3；8~9组人数为5；9~10组人数为1．根据所给数据可知6 ~7组1人即是6.5；9~10组1 人为9；7~8组人数为3，尚缺一人；8~9组人数为5尚缺一人．所以a在7~8组，所以． 故答案为：． 6．为丰富学生的课余生活，陶冶学生的情趣和爱好，某校开展了学生社团活动，为了解学生各类活动的参加情况，该校对七年级学生社团活动进行了抽样调查，制作出如下的统计图： 根据上述统计图，完成以下问题： (1)扇形统计图中，求出“书法类”扇形的圆心角； (2)请补全频数分布直方图； (3)求参加“艺术类”和“书法类”活动的学生共占本次所调查学生总人数的百分比． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图综合题，扇形统计图圆心角的计算，条形统计图画法； （1）先用“体育类”频数除以所占百分比得到样本容量为，再用乘以“书法类”所占百分比即可求解； （2）用样本容量分别减去“体育类”、“书法类”、“文学类”频数，得到“艺术类”学生数为10，即可补全统计图1； （3）用参加“艺术类”和“书法类”活动的学生总数除以样本容量即可求解． 【详解】（1）解：（人）， ． （2）解：艺术类学生数为， 如图所示： （3）解：． 答：参加“艺术类”和“书法类”活动的学生共占本次所调查学生总人数的． 题型01 根据数据描述求频数 【典例1】（2026·湖南湘潭·一模）为了落实“健康第一”的教育理念，某学校组织全体学生参加体质健康测试，现随机抽取了50名同学的测试成绩进行分组整理后，它们分别落在5个小组内，前3个小组的频数分别为4、10、16，第4个小组的频率为0.2，则第5个小组的频数为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查频数与频率的关系，解题思路是利用所有分组的频数之和等于总样本数，结合“频数=总数×频率”先求出第4小组的频数，再计算第5小组的频数． 【详解】解：∵ 抽取的总人数为50，即总频数为，第4个小组的频率为， ∴ 第4小组的频数为 ， ∵ 前3个小组的频数分别为，，， ∴ 前4个小组的频数和为 ， ∴ 第5个小组的频数为 ． 【变式1】（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）某班女生的身高被分成了三组，情况如表所示，则表中m的值是（   ） 第一组 第二组 第三组 频数 6 8 m 频率 p q A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据所有分组的频率之和等于1，先求出前两组的频率和，再结合频数和求出总人数，最后根据频率公式计算m的值． 【详解】解：所有分组的频率和为1，第三组频率为， 第一组与第二组的频率和为， 第一组频数为6，第二组频数为8，两组频数和为， 总人数为， ． 【变式2】（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知有个数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，对这些数据进行分组整理时，其中分到这一组的个数为______． 【答案】 【分析】本题考查分组数据中频数的统计，解题思路为找出所有落在区间内的数据，统计其个数即可得到结果． 【详解】解：由题意得，需要找出满足的数据， 对题目给出的20个数据逐个判断，符合条件的数据为：， 共个． 【变式3】（25-26七年级上·河南开封·期末）如图是某班40名学生一分钟跳绳测试成绩（次数为整数）的频数直方图，从左起四个小长方形的高的比依次为，那么该班一分钟跳绳次数在100次以上（不包含100次）的学生有______人． 【答案】20 【分析】根据频数分布直方图得出一分钟跳绳次数在100次以上的即第三、四组所占比例，然后用：100次以上的学生数总人数比例，计算即可． 【详解】解：从左起第一、二、三、四个小长方形的高的比为，即各组频率之比为； 一分钟跳绳次数在100次以上的即第三、四组，所占比例为， 故该班一分钟跳绳次数在100次以上（不包含100次）的学生有(人)． 题型02 根据数据描述求频率 【典例2】（2026七年级下·浙江·专题练习）将20个数据整理成5个组如表，则第3组的频率为（　　） 组别 1 2 3 4 5 频数 2 5 x 4 2 A． B．0.7 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了根据数据的描述求频率，根据数据的描述求频数．需先根据数据总数求出第3组的频数，再利用频率公式“频率=频数÷数据总数”计算第3组的频率，即可作答． 【详解】解：∵数据总数为20，且各组频数之和等于数据总数， ∴第3组的频数， ∴第3组的频率， 故选：A． 【变式1】（2026·浙江宁波·一模）某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中这一分数段的频率是（   ） A．20 B．0.24 C．0.18 D．0.4 【答案】D 【分析】先求出样本中这一分数段的频数，再根据频率频数样本容量即可得出结果． 【详解】解：由图可得：样本中这一分数段的频数为， 故样本中这一分数段的频率是． 【变式2】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）某班50名学生的数学成绩被分为5组，第组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是________． 【答案】/ 【分析】根据各组频数之和等于数据总数，先求出第5组的频数，再根据频率的计算公式计算第5组的频率． 【详解】解：由题意可知，数据总数为， 第组的频数为． ∴第组的频率为． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）为了解中学生对足球体育项目的感兴趣程度，调查了某市四所中学（分别用A，B，C，D表示）的学生，统计结果如下表： 学校 学生人数 对足球体育项目感兴趣的百分比/% A 1000 B 950 C 1050 D 1000 则这四所学校所有学生对足球体育项目感兴趣的百分比为______．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题主要考查数据的整理与分析，先求出四所学校对足球感兴趣的总人数，然后求出四所学校的学生总人数，即可求得答案． 【详解】解：四所学校对足球感兴趣的总人数： （人）, 四所学校的学生总人数： （人）, 所有学生对足球体育项目感兴趣的百分比： ， 故答案为：. 题型03 根据数据填写频数、频率统计表 【典例3】（2026八年级下·全国·专题练习）某中学八（3）班有50位学生，他们上学的方式有步行、骑车、乘车．根据下表中的已知信息可得（    ） 上学方式 步行 骑车 乘车 频数 a b 20 频率 0.36 c d A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据总人数和频率、频数的定义，计算步行的频数和乘车的频率即可确定正确选项． 【详解】解：已知总人数为 ． 步行的频率为，∴步行的频数． 乘车的频数为，所以乘车的频率． 骑车的频数，骑车的频率． 综上， 故选：B． 【点睛】本题考查了知识点频数与频率的关系，解题关键是牢记频率频数总数的公式，先求出未知的频数和频率，再确定选项． 【变式1】（23-24七年级下·广东汕头·期末）某班女生的体育测试被分成了三组，统计情况如表所示，则表中a的值是________ 第一组 第二组 第三组 频数 6 10 a b 【答案】5 【分析】本题主要考查了频数与频率，频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比），即频率频数总数． 根据第二组的频数为10，频率为，求出数据总数，从而求出a的值． 【详解】解：∵第二组的频数为10，频率为， ∴该班女生的总人数为（人）， （人）． 故答案为：5． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知某班有40名学生．他们有的步行上学，有的骑车上学，还有的乘车上学．根据已知信息完成统计表： 上学方式 划记 频数 频率 步行 正正正 骑车 9 乘车 表格中依次填：_____、_____、_____、_____、_____、_____． 【答案】 15 正止 正正正一 16 【分析】本题考查了频数与频率统计表，掌握频数与频率统计表是解题的关键．根据频数与频率统计表的数据补全统计表即可． 【详解】解：由统计表可得，步行的频数为，频率为； 骑车的划记为正止，频率为； 乘车的频数为，划记为正正正一； 补全统计表如下： 上学方式 划记 频数 频率 步行 正正正 15 骑车 正止 9 乘车 正正正一 16 故答案为：15；；正止；；正正正一；16． 【变式3】（23-24九年级上·江苏南京·月考）某班级在一次测试的成绩整理得到的频数分布表如下： 成绩（分） A组： B组： C组： 频数 10 18 8 甲同学说该次测试成绩的众数出现在B组，而乙同学则认为根据此表众数不能确定，聪明的你请判断正确的是________．（选填甲、乙） 【答案】乙 【详解】解：判断正确的是乙，理由如下： 举例说明：例如A组有10个75分，B组9个85分，9个86分， 则众数出现在A组， 故判断正确的是乙． 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了频数分布表，众数．关键是理解众数是一组数据中出现次数最多的数． 题型04 频数分布直方图 【典例4】（2026·湖南株洲·一模）某班有48位学生，每人抛10次硬币，统计正面向上的次数依次为0，1，2，…，10的人数，得到如图所示的直方图，则这次次数统计的众数和中位数分别是（    ） A．4，5 B．5，5 C．5，6 D．6，6 【答案】B 【分析】根据频数分布直方图中，众数就是分布图里最高的那条，中位数是第和个数的平均数，即可求出答案． 【详解】解：根据频数分布直方图可得： 众数就是分布图里最高的那条， 所以这次次数统计的众数是， 因为有位学生， 所以这次次数统计的中位数是． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）阅读小组对本班50名学生最喜爱的图书类别进行了统计，绘制成如图所示的频数直方图．若从左到右的小长方形高度比为，则该班有________名学生最喜爱艺术类图书． 【答案】20 【分析】本题考查了频数直方图的性质，掌握频数直方图中小长方形的高度比等于频数比，按比例分配计算频数是解题的关键． 频数直方图中小长方形的高度比等于对应组的频数比，先计算总份数，再按比例分配求出艺术类对应的人数． 【详解】解：高度比为，总份数， 艺术类对应比例为，总人数为， 因此艺术类人数为：（名）． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）某校从参加计算机测试的学生中随机抽取了60名学生的成绩进行分析，并将其分成了六段后绘制成如图所示的频数直方图（每组含最小值，不含最大值，其中70～80分数段因故看不清）．若60分及60分以上为及格，则这次测试的及格率为____________． 【答案】 【分析】求出不及格率，再用1减去不及格率，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得． 【点睛】本题考查频数分布直方图，解答本题的关键要明确利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 【变式3】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）某市为增强学生的法律意识，开展了对全市学生的普法教育活动．为检验活动效果，组织全市八年级学生参加法律知识测试，并对测试成绩做了详细统计，将测试成绩（成绩都是整数，试卷满分分）绘制了如下“频数直方图”．请回答：       (1)参加全市法律知识测试的学生有________千名同学． (2)中位数落在________分数段内． (3)若用各分数段的组中值来代替本段平均分，请你估算本次测试成绩全市平均分约为多少？ 【答案】(1) (2) (3)分 【分析】（1）将所有分数段的频数相加，即可得到参加测试的学生总人数； （2）计算累计频数，找到包含第总人数一半位置数据的分数段，即为中位数所在组； （3）用各分数段的组中值乘以对应频数得到总分数，再除以总人数，即可估算出全市平均分． 【详解】（1）解：（千人）； （2）解：总人数为千人，将成绩从小到大排列后，中位数是第名和第名同学成绩的平均数， 累计频数：：千人（人）； ：（千人）（人）； ：（千人）（人）； ：（千人）（人）； 且， ∴第、名同学的成绩都落在分数段内， ∴中位数落在分数段； （3）解：各分数段组中值计算如下： ：组中值； ：组中值； ：组中值； ：组中值； ：组中值； ：组中值； ∴全市平均分（分）． 题型05 频数分布折线图 【典例5】（23-24八年级上·广东深圳·期末）某种手机APP可以测量行人每分钟行走的步数（也称步频），在一次徒步活动中，四人分别用此APP测量了自己的步频，步频与时间变化关系如图所示，其中步频最为稳定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象逐个分析即可． 【详解】解：根据图象可知D中，随着时间的增加步频始终稳定再一条直线附近，故D中的步频最稳定， 故选：D． 【点睛】本题考查根据图象分析稳定性，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是2011年至2022年我国物流总费用的发展趋势图，请根据趋势图信息预测我国2026年我国物流总费用约为______万亿元． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查根据统计图表中的数据进行趋势分析和预测，解题的关键是找出数据的变化规律，通过计算平均增长率来估算未来数值． 先计算出2016－2022年这6年间社会物流总费用的平均每年增长额度，再根据2022年到2026年的时间间隔，计算出预计增长的费用，最后加上2022年的物流总费用，从而得到2026年的预测值． 【详解】2011-2022年社会物流总费用呈近似直线上升趋势， 2016年约为11万亿元，2022年约为18万亿元，增长的总金额为万亿元， 时间间隔为年，则平均每年增长万亿元， 2022年到2026年时间间隔为年，预计增长万亿元， 2022年约为18万亿元，所以2026年我国物流总费用约为万亿元， 2026年我国物流总费用应该在22.7万元左右． 故答案为：（答案不唯一） 【变式2】（2023·山东青岛·一模）某市月份天的最高气温情况如图所示，将1日—日气温的方差记为，日—日气温的方差记为．分析统计图，可知：______．（填“＞、＝、＜”）      【答案】 【分析】根据折线图的气温波动大小即可判断方差的大小． 【详解】解：根据折线图可以看出，1日—日气温的比日—日气温的波动小， 所以； 故答案为：． 【点睛】本题考查了折线图和方差，根据折线图来判断方差的大小是关键． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）由表“2015～2023年某地区生活用水量”可知，该地区生活用水量逐年上升．如图，用横轴表示年份，用纵轴表示用水量，描出表中各对值所对应的点，可发现，这些点近似地落在某条直线上． 2015～2023年某地区生活用水量 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 用水量/亿立方米 570 600 620 640 650 680 700 720 750 (1)用一条尽可能靠近所有点的直线来表示用水量与年份之间的关系，请在上图中画出这条直线； (2)根据所画的直线，估计2024年的用水量． 【答案】(1)见解析 (2)760亿立方米．（答案合理即可） 【分析】本题考查了趋势图，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）观察图形画出最为接近的直线即可； （2）预估合理即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：根据所画直线，估计2024年的用水量为760亿立方米．（答案合理即可） 题型06 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 【典例6】（24-25七年级上·河南开封·开学考试）某班男生的平均身高是165厘米．请你想一想，下面哪位男生最不可能是这个班的？（    ） A．乐乐身高168厘米，是篮球队中锋 B．力力身高132厘米，是全班最矮的 C．明明身高165厘米，是全班最高的 D．浩浩身高180厘米 【答案】C 【分析】根据平均数的特点：平均数比最小的数要大，比最大的数要小，解答即可. 本题考查了平均数的特点，熟练掌握平均数比最小的数要大，比最大的数要小是解题的关键. 【详解】解：男生的平均身高是165厘米．且平均数比最小的数要大，比最大的数要小， 故选C. 【变式1】（23-24八年级上·福建漳州·期末）综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，并绘制出折线统计图如图所示：                    根据以上信息，下列说法错误的是（    ） A．核桃树叶长宽比为出现的次数最多 B．枇杷树叶的长宽比最大为 C．小明测量一片枇杷叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片核桃树叶 【答案】C 【分析】此题考查用样本估计总体，折线统计图等知识，根据题目给出的数据判断即可． 【详解】解：A. 10片核桃树叶的长宽比中出现次数最多的是2，故选项正确，不符合题意； B. 根据折线统计图可得，枇杷树叶的长宽比最大为，故选项正确，不符合题意； C. 枇杷树叶的长宽比大约为，是个估计值，不是准确值，小明测量一片核桃叶的长为，它的宽不一定为，故选项错误，符合题意； D. ∵， ∴该树叶有可能是核桃树树叶．故选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）小新家4月份前6天的用米量如下表所示： 用米量/ 0.6 0.8 0.9 1.0 天数 1 2 2 1 估计小新家4月份的用米量为____________． 【答案】25 【分析】先计算前天平均每天的用米量，再用样本平均数估计总体平均数，乘以天得到月份用米量． 本题考查的是通过样本去估计总体，总体平均数约等于样本平均数． 【详解】解：前天总用米量为：， 平均每天用米量为， 由样本平均数估计总体平均数， 月份用米量为． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·四川广元·开学考试）某校七、八年级开展了一次实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数，为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制如下所示的统计表和如图所示的统计图． 七年级10名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 2 2 3 2 (1)样本中，七年级学生活动成绩的中位数为 分，八年级学生活动成绩的众数为 分； (2)估计七年级600名学生活动成绩的平均数； (3)嘉淇说：“根据样本数据，我认为八年级同学的成绩较好．”嘉淇做出此判断依据的量是 （填“平均数”“中位数”或“众数” ）． 【答案】(1)8.5，8 (2)七年级600名学生活动成绩的平均数大约为8.3分 (3)平均数 【分析】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，平均数，用样本估计总体．从图表中获取正确的信息，熟练掌握中位数，众数，平均数，用样本估计总体是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）求出样本的平均数即可； （3）比较平均数、众数、中位数的大小即可求解． 【详解】（1）解：∵七年级10名同学排在第5和第6名的成绩为8分和9分， ∴七年级学生活动成绩的中位数为（分）， ∵八年级10名同学中出现最多的是8分， ∴八年级学生活动成绩的众数为8分． 故答案为：8.5，8． （2）解：由统计表可知， 样本中七年级10名学生成绩的平均分为（分）， ∴七年级600名学生活动成绩的平均数大约为8.3分． （3）解：∵七年级10名同学成绩出现次数最多的是9分， ∴七年级的众数为：9分； ∵在八年级的10名同学中：（人），（人），（人），（人）， ∴7分的同学有1人，8分的同学有5人，9分的同学有2人，10分的同学有2人， ∴八年级的10名同学成绩的中位数是（分）， 八年级的10名同学成绩的平均数是（分）， ∵八年级成绩的众数和中位数小于七年级成绩的众数，八年级成绩的平均数高于七年级的平均数， ∴嘉淇做出此判断依据的量是平均数． 故答案为：平均数． 题型07 统计的简单应用 【典例7】（2026·甘肃平凉·一模）平凉市某中学为落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，开展了“烹饪、园艺、木工、电工”四大类劳动课程．为了解本校1500名学生对每类课程的选择情况，随机抽取了本校300名学生进行调查（每名学生只选一类课程），并绘制了如图所示的扇形统计图，下列说法正确的是（    ） A．此调查属于普查 B．本次调查的样本是300名学生 C．该校1500名学生中约有240人选择“木工”这一类课程 D．选择“烹饪”这一类课程的学生人数占被调查人数的48% 【答案】C 【详解】解：随机抽取了本校300名学生进行调查，故此调查属于抽样调查，故选项A错误； 本次调查的样本是300名学生所选的课程，故选项B错误； 选择“烹饪”这一类课程的学生人数占被调查人数的，故选项D错误； 该校1500名学生中选择“木工”这一类课程的人数为：，故选项C正确． 【变式1】（2026·甘肃平凉·一模）让每一位学生都身上有汗、眼中有光、脚上有力、脸上有笑，向着美好未来勇敢前行．某校让“健康第一”从理念变为校园日常，在全校学生中掀起体育锻炼的热潮，现从该校2000名学生每天体育运动时长的问卷中，随机抽取部分问卷，将这部分学生的运动时长作为一个样本进行研究，并将结果绘制成如图所示的条形统计图，则下列说法错误的是(    ) A．此次调查共抽取了50名学生 B．所抽取学生运动时长为1小时的学生人数是5 C．这个样本的中位数是2小时 D．估计该校运动时长为2小时的学生人数最多 【答案】C 【分析】根据条形统计图读取信息，再逐项分析判断即可． 【详解】A、此次调查共抽取学生数是：，故选项A正确，不符合题意； B、由图可知，所抽取学生运动时长为1小时的学生人数是5，故选项B正确，不符合题意； C、此次调查共抽取了50名学生，由图可知，第25、26个数据分别是2和3，故这个样本的中位数是小时，故选项C错误，符合题意； D、由图可知，样本中运动时长为2小时的学生人数最多，故估计该校运动时长为2小时的学生人数最多，故选项D正确，不符合题意． 【变式2】（2026·云南玉溪·一模）阅读能提升素养、启迪智慧、助力成长．某校数学兴趣小组随机抽取了部分同学，调查他们最喜欢阅读的课外图书类别，将调查结果绘制成如图所示的两个统计图： 若该校共有学生1000人，则该校最喜欢科学类图书的学生大约有____________人． 【答案】 400 【分析】先求出被调查人数，再求出样本中最喜欢科学类的人数，利用该校总人数乘以样本中喜欢科学类图书的学生人数所占的比求解即可． 【详解】解：被调查人数为（人）， 样本中最喜欢科学类的人数为（人）， 若该校共有学生1000人，则该校最喜欢科学类图书的学生大约有：（人）． 【变式3】（内蒙古自治区呼和浩特市2026年九年级第一次模拟考试数学）促进学生身心健康、全面发展是重要的教育议题．某校坚持“健康第一”的教育理念，深化体育与健康课程改革．为了解该校七年级男生体能情况，随机抽取20名男生进行体能测试，并对测试成绩（单位：分）进行统计分析． 【收集数据】 100  95  86  88  52  78  83  65  83  87  77  89  90  67  79  97  72  83  96  73 【整理数据】 该校规定：为不合格，为合格，为良好；为优秀．（成绩用表示） 等次 不合格 合格 良好 优秀 合计 频数（人数） 1 4 5 20 频率 0.05 0.20 0.50 0.25 1.00 【分析数据】 此组数据的平均数是82，众数是、中位数是． 【解决问题】 (1)填空：______，______；______； (2)若该校七年级共有400名男生，估计体能测试达到优秀的男生约有多少人； (3)根据上述统计分析情况，请你对该校七年级男生体能情况做出评价，并提出一条相应的合理化建议． 【答案】(1)10，83，83 (2)100人 (3)评价：该校七年级男生体能情况整体良好，大部分学生体能处于良好及以上水平；建议：学校应继续深化体育和健康课程改革，加强体育锻炼，特别关注体能较弱的学生，促进全体学生身心健康． 【分析】（1）利用统计表中成绩良好学生的频率计算的值，根据众数和中位数的定义计算的值； （2）利用“七年级男生总数所抽取的20名男生中成绩为优秀的学生占比”，即可获得答案； （3）结合统计数据作出评价，并提出合理化建议． 【详解】（1）解：根据题意，， 由统计数据可知，出现次数最多的数据是83， ∴这组数据的众数是83， 将这组数据按照从小到大的顺序排列，可得52，65，67，72，73，77，78，79，83，83，83，86，87，88，89，90，95，96，97，100， 其中排在第10和11位的数据是83和83， ∴这组数据的中位数是； （2）由统计数据可知，所抽取的20名男生中，测试成绩为优秀（分数：）的学生共计5人， ∵（人）， ∴估计体能测试达到优秀的男生约有100人； （3）评价：该校七年级男生体能情况整体良好，大部分学生体能处于良好及以上水平； 建议：学校应继续深化体育和健康课程改革，加强体育锻炼，特别关注体能较弱的学生，促进全体学生身心健康． 一、单选题 1．（2023·广西百色·模拟预测）卫生部门对某医药店进行检查，抽查了某品牌的口罩5包（每包10只），其中合格口罩的只数分别是9，10，9，10，10，则估计该品牌口罩的合格率约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出抽查口罩的总数量和合格口罩的总数量，再根据合格率的定义计算即可． 【详解】解：∵抽查共5包口罩，每包10只 ∴抽查的口罩总只数为 （只） ∵合格口罩的只数分别是9, 10, 9, 10, 10 ∴合格口罩总只数为 （只） ∴合格率为 因此估计该品牌口罩的合格率约为． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·月考）某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的500名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示，请你估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是（   ）． 节水量（单位：） 同学数（人） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用样本估计总体，涉及统计表、加权平均数的计算等知识，先根据统计表得到10名同学各自家庭一个月的节水平均值，进而估算出这500名同学的家庭一个月节约用水的总量，熟练掌握加权平均数的计算公式及用样本估计总体的方法是解决问题的关键． 【详解】解：由统计表得到10名同学各自家庭一个月的节水平均值为， 这名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是， 故选：C． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）某市教育局对某校八年级学生进行体质监测，共收集了200名学生的体重，并绘制成了频数分布直方图，从左往右数每个小长方形的高度之比为，其中第三个小长方形对应的频数为（） A．80 B．60 C．20 D．10 【答案】A 【分析】本题考查频数分布直方图的性质，频数分布直方图中各小长方形的高度比等于各组频数的比，计算第三个小长方形的频数占总人数的比例，再乘总人数即可得到结果． 【详解】解：∵总共有200名学生，各小长方形高度比为，频数分布直方图中小长方形高度之比等于对应频数之比， ∴第三个小长方形对应的频数为． 4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图是某校体育组60人的“跳绳”体育测试的成绩统计．下列说法错误的是（　　） A．众数是20 B．众数是85 C．成绩80分的占 D．成绩85分的占 【答案】A 【分析】分别根据众数与百分比的定义解答即可． 【详解】解：由统计图可知，把该校体育组60人的跳绳成绩中出现最多的是85分，故众数是85，故选项A说法错误，B说法正确， 成绩80分的占，故C说法正确； 成绩85分的占，故D说法正确． 5．（2022·云南·模拟预测）2021年9月，中共云南省委办公厅、云南省人民政府办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的实施意见》明确要求，严控书面作业总量，初中学生每天书面作业平均完成时间不超过90分钟，控制节假日书面作业时间．某校为了解九年级学生每天书面作业的平均完成时间（单位：分钟），在九年级450名学生中随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并将调查结果分为A，B，C，D四个组进行统计，根据统计的信息，绘制了如图所示的两个不完整的统计图．下列说法错误的是（   ） A．抽取的学生人数为40人 B．抽取的学生中每天书面作业平均完成时间在A组的人数有12人 C．估计该校九年级学生每天书面作业平均完成时间超过90分钟的人数有50人 D． 【答案】C 【分析】根据直方图和扇形统计图，分别计算各个选项的数据，检验对错即可． 【详解】A、人，则抽取的学生人数为40人，故A正确； B、人，则抽取的学生中每天书面作业平均完成时间在A组的人数有12人，故B正确； C、D组的人数为人， 人，则该校九年级学生每天书面作业平均完成时间超过90分钟的人数约有人，故C错误； D、，故D正确． 二、填空题 6．（25-26八年级上·河南南阳·期末）《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有60名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是0.45，则该班学会炒菜的学生频数是_____． 【答案】27 【分析】本题考查求频数，根据频数与频率的关系，频数等于频率乘以总人数，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：27． 7．（25-26八年级上·福建泉州·月考）某班在大课间活动中随机抽查了10名学生每分钟跳绳的次数x（单位：次）如下：98，102，105，110，115，115，116，118，126，129．则每分钟跳绳次数在这一组的频数是____． 【答案】4 【详解】解：每分钟跳绳次数在这一组的数据有：，，，． ∴该组的频数是． 8．（25-26九年级下·北京顺义·月考）某校九年级共有1300名学生．为了解学生的睡眠时间分布情况，从中随机抽取了100名学生，调查他们每天的睡眠时间，并根据教育部门相关标准整理如下： 等级 睡眠不足 睡眠基本达标 睡眠充足 睡眠时间 小时 睡眠时间小时 小时 人数 20 70 10 根据以上信息，估计该校九年级学生中睡眠基本达标的人数是______． 【答案】 910 【分析】根据样本中睡眠基本达标所占的百分比乘以九年级总人数，即可估计出总体中睡眠基本达标的人数． 【详解】解：由题意可得，估计该校九年级学生中睡眠基本达标的人数为． 9．（25-26九年级下·上海·月考）3月15日是国际消费者权益日某校组织学生开展食品安全知识竞赛，该校王老师采用随机抽样的方法，抽取部分学生的竞赛得分进行调查分析，抽取调查的结果分为A、B、C、D四个等级进行统计，并绘制了如图1和图2不完整的统计图．若成绩A等级为优秀，学校共有2000名学生，则成绩优秀的学生大约有____________人． 【答案】300 【分析】将B等级的人数除以其百分比，求出本次调查抽取的学生人数，将A等级的人数除以调查的总人数，得出A等级的百分比，再乘以全校学生的人数，即可解答． 【详解】解：本次调查抽取的学生人数为（人）， A等级的百分比为， 则学校成绩优秀的学生大约有（人）． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）某校在八年级450名学生中随机抽取了50名学生进行一分钟打字测试．将这50名学生一分钟打字的数量整理后，画出了频数分布直方图如图所示（不完整）．已知图中从左到右分为5个小组，则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约__________个． 【答案】80775 【分析】此题考查的是加权平均数的求法，用样本平均数估计总体，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式． 先求出第二组的学生数，再根据加权平均数的计算公式代入计算，然后求出总数即可． 【详解】解：∵第二组的学生数是， ∴该名学生一分钟打字的平均成绩是 （个）， 则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约（个）， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）在一次捐款活动中，学校团支书想了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数据进行了统计，并绘制成如图所示的统计图． (1)这50名学生捐款的众数为________元； (2)求这50名学生平均每人捐款多少元； (3)如果捐款的学生有300人，估计这次的捐款总数． 【答案】(1)15 (2) (3)估计这次捐款有元． 【分析】本题考查了众数，平均数，样本估计总体； （1）根据众数和定义求解； （2）根据平均数的定义结合统计图，进行计算即可求解． （3）利用样本估计总体，用样本平均数乘以即可． 【详解】（1）解：这50名同学捐款的众数为15元， 故答案为：． （2）解：这50名学生平均每人捐款 (元)， （3）解： 答：估计这次捐款有元． 12．（2026·江苏无锡·一模）某小区开展便民服务，设置了五种便民服务项目：家电维修（A）、快递代收（B）、文体活动（C）、健康义诊（D）、书籍借阅（E）．为了解小区居民对这五种便民服务项目的喜爱及需求情况，小区工作人员开展问卷调查，形成如下统计图（不完整）： 请根据调查报告，解答下列问题： (1)本次抽样调查的人数共有________人，________； (2)根据调查结果补全条形统计图，并在对应条形图上方标注人数： (3)若该小区共800名居民，所有居民都只选择一种便民服务项目，请通过计算估计该小区喜爱“文体活动”项目的居民有多少名？ 【答案】(1)100人，20 (2)见解析 (3)喜欢文体活动的居民有320名 【分析】（1）根据部分实际数据和百分比求出总量即可； （2）求出部分的数据，然后补全条形统计图； （3）根据样本频数估计总体频数． 【详解】（1）解：本次调查的人数为（人）； ∵， ∴； （2）解：文体活动（C）的人数为（人），补全条形统计图如下： （3）解：（人） 答：该小区喜爱“文体活动”项目的居民有320名． 13．（2026·甘肃天水·一模）某校开展阳光体育活动，其中有一项目为秒跳绳（满分分）．为了解本次跳绳成绩的大致情况，林老师随机抽取了男、女各名同学的跳绳成绩（成绩用表示），并将数据进行整理和分析，给出了以下信息： 名男生的成绩分别为． 名女生成绩中，成绩在的数据分别为． 整理数据： 男 0 1 2 3 4 女 1 1 2 4 2 分析数据： 平均数 众数 中位数 男 女 c (1)___________，___________，___________； (2)请估计参加此次测试的名学生中成绩不低于分的人数； (3)根据以上数据，你认为该校跳绳项目中，男生和女生，谁更需要加强锻炼？请说明理由． 【答案】(1) (2)人 (3)女生更需要加强锻炼，理由见解析 【分析】本题主要考查了平均数，中位数，众数，用样本估计总体，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平均数，中位数，众数的定义进行求解即可； （2）用乘以样本中成绩不低于分的人数占比即可得到答案； （3）根据男女生平均成绩相同，但是男生的中位数和众数比女生大，即可知女生成绩较差，需要加强锻炼． 【详解】（1）解：， 男生的平均数； 男生成绩中，出现了2次，出现次数最多， 男生成绩的众数； 把女生成绩从小到大排列，第5名和第6名的成绩分别为， 女生成绩的中位数． 故答案为：． （2）解：， 估计参加此次测试的名学生中成绩不低于95分的人数为人． （3）解：该校跳绳项目中，女生更需要加强锻炼， 理由，男生和女生的平均成绩相同，男生的中位数和众数更大，说明女生成绩较差，故女生更需要加强锻炼． 14．（2026·宁夏固原·一模）某校为响应“传承屈原文化·弘扬屈原精神”主题阅读倡议，进一步深化全民阅读和书香隆德建设，随机抽取了八年级若干名学生，对“双减”后学生周末课外阅读时间进行了调查，根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 时间段/分钟 组中值 —— 75 105 135 频数/人 6 20 —— 4 数据分组后，一个小组的两个端点的数的平均数，叫做这个小组的组中值．请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题： (1)扇形统计图中，分钟时间段对应扇形的圆心角的度数是______；______； (2)请将表格补充完整； (3)请通过计算估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间． 【答案】(1)，25 (2)见解析 (3)84分钟 【分析】（1）根据分钟时间的占比和人数计算出调查的总人数为40，根据总人数和图表即可计算出相应的答案； （2）分钟时间段组中值为30和60的平均值，用总频数减去其余各组频数即可求解； （3）分别计算出各个统计时间段调查人数的比例，根据加权平均数计算方法求得答案． 【详解】（1）解：∵根据扇形统计图中，分钟时间段的占比为， ∴分钟时间段对应扇形的圆心角的度数为， ∵分钟时间段的人数为4人， ∴调查总人数为人， ∴分钟时间段的人数为人， ∴分钟时间段的人数与总人数的比为， ∴； （2）解：分钟时间段组中值为 分钟时间段的频数/人为 表格补充如下： 时间段/分钟 组中值 45 75 105 135 频数/人 6 20 10 4 （3）解：分钟时间段的调查人数占总人数的比例为； 分钟时间段的调查人数占总人数的比例为； 分钟时间段的调查人数占总人数的比例为； 分钟时间段的调查人数占总人数的比例为； ∴八年级学生周末课外平均阅读时间为：分钟， ∴该校八年级学生周末课外平均阅读时间为84分钟． 15．（2026·河南周口·一模）某学校为了普及消防安全知识，随机在七、八年级分别抽取20名同学进行相关知识测试（满分100分），统计他们的测试成绩（），并绘制相关统计图（不完整），请你根据以下数据完成下列任务． 七年级成绩：84，78，98，92，98，92，69，92，89，89，85，84，83，79，92，79，83，78，92，58． 八年级成绩在之间的数据为：89，88，85，81． (1)填空：___________，并补全七年级抽取同学的成绩频数分布直方图； (2)请你补全七年级和八年级抽取同学的成绩数据的特征表： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 89 八年级 96 93 其中___________，___________； (3)请根据上述统计图表的信息，分析哪个年级对消防安全知识掌握的较好，说明理由． 【答案】(1)45；见解析 (2)92； (3)八年级对消防安全知识掌握的较好，理由见解析． 【分析】（1）根据扇形统计图中的数据可求出m的值；求出七年级成绩在之间的数据个数，再补全统计图即可； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）根据八年级成绩的中位数和众数都比七年级成绩的中位数和众数大即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； 七年级成绩在之间的数据有个， 补全统计图如下： （2）解：七年级成绩中得分为92分的人数最多，故七年级成绩的众数为92分，即； ，，， 把八年级成绩按照从低到高的顺序排列，第10个数据和第11个数据分别为88分，89分， ∴八年级成绩的中位数为分，即； （3）解：八年级对消防安全知识掌握的较好，理由如下： ∵两个年级成绩的平均数相同，但是八年级成绩的中位数大于七年级成绩的中位数，且八年级成绩的众数大于七年级成绩的众数， ∴八年级对消防安全知识掌握的较好． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $