专题3.3 一次函数的图象（2大考点+1大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.3一次函数的图象 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点]正比例函数的图象与性质 知识清单 知识点2一次函数的图象与性质 题型】正比例函数的图象和性质 题型2 一次函数的图象和性质 题型3比较一次函数值的大小 一次函数的图象 题型4根据一次函数的性质判定经过的象限 题型5已知一次函数经过的象限求参数 题型精讲 题型6利用一次函数的增减性求参数 题型7一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型8一次函数图象的平移问题 题型9两个一次函数图象共存问题 题型10一次函数中的规律探究问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解一次函数的概念，掌握形如y=kx+b(k0)的解析式，能区分一次函数与正比 例函数，明确k、b的意义与限制条件。 2.掌握用“两点法”画一次函数图象的步骤，能准确选取与坐标轴的交点作图，体会“两 教学目标 点确定一条直线”的原理。 3.结合图象探索并掌握一次函数的性质：理解k决定增减性与倾斜方向、b决定与y 轴交点位置；能根据k、b的符号判断直线经过的象限，初步运用数形结合思想解决 简单问题。 1.重点 教学重难点 (1)一次函数图象的画法与性质：熟练运用“两点法”快速、准确画出图象，核心是 1/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 选取与坐标轴的两个交点：掌握k、b对图象的影响，包括增减性、倾斜程度、与y轴 交点及经过的象限。 (2)图象与解析式的内在联系：理解一次函数图象是一条直线，明确y=kx+b与y=kx 的位置关系（平行或重合），能通过图象直观分析函数变化规律，实现“形”与“数” 的相互转化。 2.难点 (1)k、b对图象的综合影响：学生易单独关注k或b,难以同时分析两者共同决定 的图象位置与走向，尤其在判断直线经过的象限时，易混淆符号组合，需通过多例对 比与归纳突破。 (2)数形结合思想的初步运用：从代数解析式推导图象特征，或从图象特征反推k、 b的符号，对学生有挑战；实际应用中，将生活问题转化为一次函数模型时，易混淆 变量关系，需结合实例强化建模能力。 知识清单 知识点01正比例函数的图象与性质 6 【即学即练1】1.在下列各图象中，表示函数y-x的图象大致是（） B D 2。已知正比例函数)=(k0,当-5江S1时，对应的y的取值范围是-1≤)≤兮且y随x的塔大而增 大，则k的值为。 3,若点A(-2,),B(4,)在一次函数=3江的图象上，则，（用“<”或“=”或“>”填空） 知识点02一元函数的图象与性质 一次（正比例）函数的图象与性质 1)一次函数图象是一条直线； 2/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2)已知两点可以作图，也可求出解析式； 3)交y轴于点(0，b,交x轴于点(-是，0)： 4)过象限、增减性 b>0(过一、二象限) b<0(过三、四象限) b=0(过原点) k>0 (过一、三象限) y随x的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 k<0 (过二、四象限) y随x的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 次函数y=x+b（k,b为常数，k≠0)沿坐标轴平移a(a>0)个单位长度后的函数关系式 平移 平移变换后的函数关系式 向上平移a个单位长度 y=kx+b+a 沿y轴 向下平移a个单位长度 y=kx+b-a 向右平移a个单位长度 y=k(x-a)+b 沿x轴 向左平移a个单位长度 y=k(x+a)+b 【即学即练2】4.对于一次函数y=x+6,下列结论错误的是() A.当x增加1时，y增加1 B.函数值y随自变量x的增大而增大 C.函数图象不经过第四象限 D.函数图象与x轴交点坐标是(0,6 5.如果一次函数y=(m-1)x-2的函数值y随着x的值增大而减小，那么m取值范围是。 6.在平面直角坐标系中，直线y=2x-6与两坐标轴所围成的三角形的面积是 题型精讲 题型01正比例函数的图象和性质 【典例1】(25-26八年级上·江苏扬州·期末)下列各点中，在正比例函数y=2x的图像上的是() 3/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.（1,4 B.-2,-1 C.（-1,-2 D.（2,1 【变式1】(2026八年级下·全国专题练习)如图为正比例函数y=c,y=mx,y=x在同一平面直角坐 标系中的图象，则比例系数k,m,n的大小关系是() y=nx A.m<k<n B.k<m<n C.n<k<m D.n<m<k 【变式2】(25-26八年级下·全国课后作业)已知M(-3,y),N(2,y2)是直线y=5x上的两个点，则， 的大小关系是 【变式3】(25-26八年级上·江苏扬州月考)如图，三个函数图象分别对应的表达式是：①y=ax;② y2=bx;③片3=cx,则a,b,C的大小关系是 (用“<”号连接) 题型02一次函数的图象和性质 【典例2】(25-26八年级下·全国课后作业)一次函数y=-2x+2的图象大致是() 【变式1】(25-26八年级上·安微安庆·月考)若点(2，y),(4,2)在一次函数y=(k2+1)x+2的图象上，则 y,y2的大小关系是() A.片<y2 B.y=y2 C.y>y2 D.不能确定 【变式2】(25-26八年级上浙江丽水·期末)若点(-1,1)，(2，y2)在一次函数y=3x+b的图象上，则%， 4/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的大小关系是_2（填“>”或“<”） 【变式3】(25-26八年级上·江苏南京·月考)一次函数y1=kx+b,2=k2x+b与3=kx+b的图象如图所 示，k,飞，k的大小关系是·（用“>”连接） 环 y2=kx+b y=kx+b y3=kxx+b 题型03比较一次函数值的大小 【典例3】(24-25八年级下·安微芜湖·期末)己知点(-2,1)，（-1y2)，(1,y3)都在直线y=-3x+b上，则y、 、⅓的值大小关系() A.y3>y1>y2B.y1>y2>3 C.y1<y2<y3 D.y3<y<y2 【变式1】(22-23八年级上·广西崇左·期末)一次函数y=r+b(k<0)的图象上有两点Aa,m),B(c,n, 若a>c,则m与n的大小关系是() A.m<n B.m>n C.m=n D.无法确定 【变式2】(25-26八年级下·重庆月考)己知点(-6，y),(8,y2)都在直线y=-x-m上，则y (填>”或=”或“<”) 【变式3】(24-25八年级上·四川成都期末)已知A(-2,a),B(1,b)是一次函数y=-2x+3的图象上的两个 点，则a与b的大小关系是 题型04根据一次函数的性质判定经过的象限 【典例4】(25-26八年级下·上海月考)在同一平面直角坐标系中，直线y=x-a和直线y=ax的图象可能 是() 【变式1】(2026甘肃平凉.一模)一次函数y=-x-2的图象不经过() 5/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式2】(25-26八年级上·宁夏银川期末)一次函数y=c+b满足b<0,且y随x的增大而增大，则此 函数的图像一定不经过第 象限 【变式3】(25-26八年级上·宁夏银川期末)已知一次函数y=kx+6(k≠0)，且y随着x的增大而减小，则 它的图象不经过第 象限 题型05己知一次函数经过的象限求参数 【典例5】(24-25八年级下·吉林期末)若一次函数y=c+b的图象经过第一、二、三象限，则k、b的取 值范围为() A.k>0,b<0B.k<0,b≤0 C.k<0,b≥0 D.k>0,b>0 【变式1】(2026九年级黑龙江齐齐哈尔专题练习)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b 与y=k2x+b的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是() A.k+k2>0B.kk2<0 C.b+b2>0 D.b·b2>0 【变式2】(25-26八年级上·河南郑州期末)已知一次函数图象经过一、二、三象限，则此一次函数表达式 可以为： (写出一个即可) 【变式3】(25-26八年级上江苏扬州·期末)直线y=(k-2)x+1不经过第四象限，则k的取值范围为 题型06利用一次函数的增减性求参数 【典例6】(24-25八年级下·上海期末)己知一次函数y=mx+1-3x,如果函数值y随x的增大而减小，那 么m的取值范围是() A.m>0 B.m<0 C.m<3 D.m>3 【变式1】(25-26九年级下·浙江舟山·月考)已知一次函数y=c-2的函数值y随x的增大而减小，当 x=-1时，y的值可以是() A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 【变式2】(25-26八年级下·上海月考)己知一次函数y=3-m)x+1,且y的值随x值的增大而减小，则m 的取值范围为 【变式3】(25-26八年级下.重庆·开学考试)已知一次函数y=x-4,当-1≤x≤4时，y的最大值为4，则 k的值为 题型07 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【典例7】(22-23八年级下·辽宁大连·期中)直线y=-2x-6与x轴的交点为() 6/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.（3,0 B.(0,6) C.（-3,0 D.(0,0j 【变式1】(25-26九年级下·湖南衡阳·自主招生)直线y=kx+2k+3满足() A.y随x增大而增大 B.一定不过第一象限 C.无论k取何值，必过定点 D.与y轴交于点(0,3 【变式2】(25-26八年级上江苏镇江·期末)一次函数y=x+3与x轴的交点坐标是 【变式3】(25-26八年级上贵州贵阳期中)一次函数y=-3的图象与y轴的交点坐标是 题型08 一次函数图象的平移问题 【典例8】(2026甘肃陇南一模)在平面直角坐标系中，直线y=-2x+2向上平移4个单位长度，平移后的 直线与x轴的交点坐标为() A.(0,3 B.3,0 c.(10,0) D.（-2,0j 【变式1】(25-26九年级下·陕西西安·月考)将直线y=3x-1向左平移m个单位长度，若平移后的直线经过 第一、二、三象限，则m的值可以是() A.0 B. D.1 1 【变式2】(24-25八年级下·湖南湘潭·月考)若直线：y=(2m+3)x+5与直线y=-x+ 互相平行，则m的 2 值为： 【变式3】25.26八年级上安微六安期未)已约直线)=：+b可以看作由直线y=?向左平移10个单 位长度而得到，那么直线y=+b与x轴交点坐标为 · 题型09两个一次函数图象共存问题 【典例9】(24-25八年级下·重庆·期中)若kb<0,k-b<0,则一次函数y=x+b与正比例函数y=bx在同 一坐标系的图像可能为() 7/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(2026陕西西安一模)在同一平面直角坐标系中，函数y=x和y=x+k(k≠0，k为常数)的 图象可能是() D 【变式2】(25-26八年级上山东青岛期末)一次函数y=x-b与正比例函数y=-bx在同一坐标系中的图 象可能为() D 【变式3】（25-26七年级上·山东烟台期末)在同一平面直角坐标系中，函数y=x和y=x+k的图象可能 是（) 8/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型10一次函数中的规律探究问题 【典例10】(2026山东临沂模拟预测)若存在一非零常数T,对于定义域内的任意x,使fx)=f(x+T)恒 成立，则f(x)叫作周期函数，T叫作这个函数的一个周期.现在已知一个周期为2的周期函数在-1≤x≤1时 的解析式为f(x)=x,则f(-2024)+f(-2023)+.+f2023)+f2024)=（) A.2024 B.4048 C.-2024 D.-4048 【变式1】(25-26八年级上·河南郑州期中)正方形AB,C0、A,B,C,C,ABCC.按如图所示的方式放 置.点A、A、A和点C、C2、C.分别在直线y=x+1和x轴上，则点A26的坐标是() y=x+1 A3 B3 A2 B2 70C1 C2 C A.(2023,2204）B.(22025-1,2025）C.(22024,2025） D.(2026-1,2026） 【变式2】(25-26九年级上山东德州期末)如图，在平面直角坐标系中，已知直线1的表达式为y=x,点 4的坐标为（√2,0），以0为圆心，OA为半径画弧，交直线1于点B,过点B作直线1的垂线交x轴于点4 ;以0为圆心，OA,为半径画弧，交直线1于点B,过点B作直线1的垂线交x轴于点A;以0为圆心， OA为半径画弧，交直线1于点B,过点B作直线l的垂线交x轴于点A；按照这样的规律进行下去， 点A26的横坐标是(） 9/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B B B O AA2 A3 A A.01 B.22026 C.21013 D.V220 【变式3】(2026九年级·黑龙江齐齐哈尔专题练习)如图，在平面直角坐标系中，点A,A,4,.在直 线x+4上，点B,B,B,在x轴上，且△0AB，△B4B,△B,4B,均是等腰直角三角 其中A,A,A,…分别是它们的直角顶点，则点A26的纵坐标为 A A B B2 B* 强化训练 一、单选题 1.(24-25八年级下.湖北武汉·期末)一次函数y=kx-4k<0的图象不经过第()象限 A.一 B.二 C.三 D.四 2.(2026甘肃平凉一模)将直线y=2x向上平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为() A.y=2x-1 B.y=2x-2 C.y=2x+1 D.y=2x+2 3.(25-26八年级下·上海浦东新·开学考试)下列命题中，正确的是() A.一次函数y=4x-)-2在y轴上的截距是-2 B.一次函数y=x-1的图像与x轴交于点(-1,0 C.一次函数y=（-m2-1x+3x+n的图像一定经过第二、四象限 D.一次函数y=-2x+3-1≤x≤3的图像是一条线段 级下安徽合肥开学考武)一次函数y=:+h与y=x(k,b为常数，月 同一坐标系内的图象可能为() 10/14 专题3.3 一次函数的图象 教学目标 1. 理解一次函数的概念，掌握形如 y=kx+b（k≠0）的解析式，能区分一次函数与正比例函数，明确 k、b 的意义与限制条件。 2. 掌握用“两点法”画一次函数图象的步骤，能准确选取与坐标轴的交点作图，体会“两点确定一条直线”的原理。 3. 结合图象探索并掌握一次函数的性质：理解 k 决定增减性与倾斜方向、b 决定与 y 轴交点位置；能根据 k、b 的符号判断直线经过的象限，初步运用数形结合思想解决简单问题。 教学重难点 1.重点 （1）一次函数图象的画法与性质：熟练运用“两点法”快速、准确画出图象，核心是选取与坐标轴的两个交点；掌握 k、b 对图象的影响，包括增减性、倾斜程度、与 y 轴交点及经过的象限。 （2）图象与解析式的内在联系：理解一次函数图象是一条直线，明确 y=kx+b 与 y=kx 的位置关系（平行或重合），能通过图象直观分析函数变化规律，实现“形”与“数”的相互转化。 2.难点 （1）k、b 对图象的综合影响：学生易单独关注 k 或 b，难以同时分析两者共同决定的图象位置与走向，尤其在判断直线经过的象限时，易混淆符号组合，需通过多例对比与归纳突破。 （2）数形结合思想的初步运用：从代数解析式推导图象特征，或从图象特征反推 k、b 的符号，对学生有挑战；实际应用中，将生活问题转化为一次函数模型时，易混淆变量关系，需结合实例强化建模能力。 知识点01 正比例函数的图象与性质 【即学即练1】1．在下列各图象中，表示函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象特点，熟练掌握正比例函数图象与系数关系是关键．一条经过原点的直线．由（）的图象经过一、三象限可得答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当时，经过一、三象限， ∴正比例函数的大致图象是A． 故选：A． 2．已知正比例函数，当时，对应的y的取值范围是，且y随x的增大而增大，则k的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的增减性可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵当时，对应的y的取值范围是，且y随x的增大而增大， ∴当时，， 把，代入得：， ∴． 故答案为： 3．若点，在一次函数的图象上，则_____．（用“”或“”或“”填空） 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握“当一次函数（）中时，随的增大而增大；时，随的增大而减小”是解题关键．根据一次函数的斜率判断函数的增减性，再比较两点横坐标大小，进而得出纵坐标的大小关系． 【详解】解： 一次函数中 随的增大而增大 点，在该函数图象上，且 故答案为：． 知识点02 一元函数的图象与性质 一次（正比例）函数的图象与性质 1）一次函数图象是一条直线； 2）已知两点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； 4）过象限、增减性 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 随的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 随的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 一次函数（，为常数，）沿坐标轴平移个单位长度后的函数关系式 平移 平移变换后的函数关系式 沿轴 向上平移个单位长度 向下平移个单位长度 沿轴 向右平移个单位长度 向左平移个单位长度 【即学即练2】4．对于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．当x增加1时，y增加1 B．函数值y随自变量x的增大而增大 C．函数图象不经过第四象限 D．函数图象与x轴交点坐标是 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质，交点坐标的计算方法逐一判断选项即可． 【详解】解：A、当x增加1，为时，，即当x增加1时，y增加1，故本选项正确，不符合题意； B、因为，则函数值y随自变量x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意； C、因为，则函数图象经过第一、二、三象限，即函数图象不经过第四象限，故本选项正确，不符合题意； D、当时，，即，则函数图象与x轴交点坐标是，故本选项错误，符合题意； 5．如果一次函数的函数值y随着x的值增大而减小，那么m取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的增减性，准确掌握相关性质是解题的关键．根据一次函数的性质得到当y随着x的值增大而减小时，，求解即可． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随着x的值增大而减小， ∴， ∴． 故答案为：． 6．在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是______． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积计算，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积计算公式，即可求出直线与两坐标轴围成的三角形面积． 【详解】解：如图，设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与两坐标轴所围成的三角形为． 当时，， ∴直线与y轴的交点坐标为； 当时，，解得：， ∴直线与x轴的交点坐标为． ∴直线与两坐标轴围成的三角形面积为． 故答案为：9． 题型01 正比例函数的图象和性质 【典例1】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）下列各点中，在正比例函数的图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断点是否在正比例函数图像上，可将点的横坐标代入函数解析式，计算对应的纵坐标，若与点的纵坐标相等，则该点在函数图像上，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、 ∵当时，，∴此点不在的图像上． B、∵当时，，∴此点不在的图像上． C、∵当时，，∴此点在的图像上． D、∵当时，，∴此点不在的图像上． 【变式1】（2026八年级下·全国·专题练习）如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正比例函数，的图象经过第一、三象限， ，， 的图象比的图象上升得快， ， 的图象经过第二、四象限， ， ． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，是直线上的两个点，则，的大小关系是_______． 【答案】 【分析】根据增减性可得y随x的增大而增大，比较出两点的横坐标的大小即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∵，是直线上的两个点，且， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，三个函数图象分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是_____________．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查的知识点是正比例函数图象与性质，解题关键是熟练掌握正比例函数的图象特征． 正比例函数图象过第一、三象限时，过第二、四象限时；直线越靠近轴，越大，先判断，，的正负，再比较绝对值大小，最终确定三者的大小关系． 【详解】解：正比例函数的图象特征为： 图象过第一、三象限时，过第二、四象限时；直线越靠近轴，越大， 由图象可知：①②过第一、三象限，故，， ③过第二、四象限，故， ②比①更靠近轴，故， 综上，． 故答案为：． 题型02 一次函数的图象和性质 【典例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断出y随x的增大而减小，结合一次函数与y轴交于正半轴，进而求解． 【详解】解：∵一次函数中一次项系数， ∴y随x的增大而减小， ∵当时，， ∴一次函数与y轴交于正半轴， ∴一次函数的图象大致是： ． 【变式1】（25-26八年级上·安徽安庆·月考）若点在一次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】一次函数一次项系数大于0时，y随x的增大而增大，因此比较两点横坐标大小即可． 【详解】解：， 一次项系数， y随x的增大而增大， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·浙江丽水·期末）若点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是 （填“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵在一次函数中，比例系数， ∴随的增大而增大， 又∵， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南京·月考）一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．首先根据直线经过的象限判断的符号，再根据直线的平缓趋势判断的大小，即可得解． 【详解】解：由函数图象经过的象限可知：，，， 直线越陡，越大， ， ． 故答案为：． 题型03 比较一次函数值的大小 【典例3】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知点，，都在直线上，则、、的值大小关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据一次函数的增减性，结合已知点的横坐标大小关系，判断y值的大小顺序即可． 【详解】解：∵直线中，， ∴y随着x的增大而减小． ∵， ∴． 故选：B． 【变式1】（22-23八年级上·广西崇左·期末）一次函数的图象上有两点，，若，则m与n的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的增减性，根据k的取值确定函数的增减趋势，再结合两点横坐标的大小比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴y随x的增大而减小， ∵点，在该函数图象上，且， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·月考）已知点，都在直线上，则___________（填“>”或“=”或“<”） 【答案】 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到与的大小关系． 【详解】解：直线是一次函数，解析式中一次项系数， 根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小， 已知两点横坐标分别为和，可得， 因此． 【变式3】（24-25八年级上·四川成都·期末）已知，是一次函数的图象上的两个点，则a与b的大小关系是________． 【答案】 【分析】一次函数，当时，随的增大而增大，反之，随的增大而减小．据此即可解答． 【详解】解：， 随的增大而减小， ，是一次函数的图象上的两个点，， ． 题型04 根据一次函数的性质判定经过的象限 【典例4】（25-26八年级下·上海·月考）在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况分别确定两条直线的位置即可得出答案． 【详解】解：当时，直线经过第一，三象限，且经过原点，直线经过第一，三，四象限，无符合题意的选项； 当时，直线经过第二，四象限，且经过原点，直线经过第一，二，三象限，B符合题意． 【变式1】（2026·甘肃平凉·一模）一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴一次函数的图象不经过第一象限． 【变式2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）一次函数满足，且y随x的增大而增大，则此函数的图像一定不经过第_______象限． 【答案】 二 【分析】根据一次函数的增减性判断k的符号，再结合判断b的符号，最后根据一次函数的图象性质确定函数不经过的象限． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而增大， ∴根据一次函数的性质，可得， ∵， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴此函数的图象一定不经过第二象限． 【变式3】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）已知一次函数，且随着的增大而减小，则它的图象不经过第_________象限. 【答案】三 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 由一次函数的增减性得出，再根据图象与轴的交点位置判断所经象限． 【详解】解：∵随的增大而减小， ∴． 当时，， ∴一次函数的图象与轴交于点，位于轴正半轴上． 又∵， ∴图象经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限． 故答案为：三． 题型05 已知一次函数经过的象限求参数 【典例5】（24-25八年级下·吉林·期末）若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则、的取值范围为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】当时，若，则图象经过一、二、三象限；若，则图象经过一、三、四象限；当时，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限． 【详解】一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，． 【变式1】（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质，并能根据函数图象准确判断、的正负是解题的关键． 根据一次函数与的图象位置，可得，，，，然后逐一判断即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象过一、二、四象限， ∴，， ∵一次函数的图象过二、三、四象限， ∴，，且， ∴A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）已知一次函数图象经过一、二、三象限，则此一次函数表达式可以为：______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键，根据一次函数图象与系数的关系，确定k、b的取值范围，进而写出符合条件的一次函数表达式． 【详解】解：设一次函数的表达式为 因为一次函数图象经过一、二、三象限， 根据一次函数的图象与系数的关系可知，且. ∴取， 则此一次函数表达式为（答案不唯一）. 故答案为：. 【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）直线不经过第四象限，则k的取值范围为_____． 【答案】 【分析】本题考查了函数的图象，分和两种情况解答即可求解，掌握一次函数的图象是解题的关键． 【详解】解：当，即时，此时为直线， 此时直线经过一、二象限，与轴平行； 当，该函数为一次函数， ∵直线不经过第四象限， ∴直线经过一、二、三象限， ∴， ∴； 综上，的取值范围为， 故答案为：． 题型06 利用一次函数的增减性求参数 【典例6】（24-25八年级下·上海·期末）已知一次函数，如果函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质与系数的关系，先将函数整理为标准一次函数形式，再根据随增大而减小的性质列不等式求解即可． 【详解】首先整理一次函数得 一次函数随的增大而减小， 一次项系数， 解不等式得． 故选C． 【变式1】（25-26九年级下·浙江舟山·月考）已知一次函数的函数值随的增大而减小，当时，的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值． 【详解】∵一次函数的函数值y随x的增大而减小 ∴ ∴当时， 故满足题意． 【变式2】（25-26八年级下·上海·月考）已知一次函数，且y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而减小时，一次项系数小于0，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵一次函数，且y的值随x值的增大而减小， ∴， 解得：． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·开学考试）已知一次函数，当时，的最大值为，则的值为______． 【答案】 或/或 【分析】先根据一次函数的定义确定，根据的正负分类讨论函数在给定区间内的最大值，列方程求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， ①当时，一次函数随增大而增大， 当时，的最大值在处取得， 代入得， 解得； ②当时，一次函数随增大而减小， 当时，的最大值在处取得， 代入得， 解得 则的值为或 题型07 一次函数图象与坐标轴的交点问题 【典例7】（22-23八年级下·辽宁大连·期中）直线与轴的交点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出时，x的值即可得到答案． 【详解】解：当时，则，解得， ∴直线与轴的交点为． 【变式1】（25-26九年级下·湖南衡阳·自主招生）直线满足（   ） A．随增大而增大 B．一定不过第一象限 C．无论取何值，必过定点 D．与轴交于点 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、∵的符号不确定，当时，随增大而减小， ∴A错误，该选项不符合题意； B、当时，直线解析式为，经过第一象限， ∴B错误，该选项不符合题意； C、， ∵当，即时，无论取何值，恒成立， ∴直线必过定点， ∴C正确，该选项符合题意； D、令，代入解析式得， ∴直线与轴交于点，只有当即时，才交于点，由于的值不确定，因此直线不一定与轴交于点， ∴D错误，该选项不符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）一次函数与x轴的交点坐标是___________． 【答案】 【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0，可令，求出的值即可． 【详解】解：令，则， 解得， 所以一次函数与x轴的交点坐标是． 【变式3】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）一次函数的图象与轴的交点坐标是__________________． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象与轴的交点坐标，令，代入函数解析式求出y的值，即可得到与y轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， 故图象与y轴的交点坐标是． 故答案为： 题型08 一次函数图象的平移问题 【典例8】（2026·甘肃陇南·一模）在平面直角坐标系中，直线向上平移4个单位长度，平移后的直线与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数的平移规律，得出平移后的函数解析式，再求出当时的自变量取值，即可解答． 【详解】解：直线向上平移4个单位长度，平移后的解析式为， 令，则， 解得：， 平移后的直线与x轴的交点坐标为． 【变式1】（25-26九年级下·陕西西安·月考）将直线向左平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则m的值可以是（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【分析】利用“左加右减”的平移规则得到平移后的解析式，再结合一次函数图象性质求解m的范围，即可判断选项． 【详解】解：根据一次函数图象平移“左加右减”的规则，原直线向左平移个单位长度后，解析式为， 整理得， ∵平移后的直线经过第一、二、三象限，一次项系数， ∴截距， 解得， 观察选项，只有D选项符合题意． 【变式2】（24-25八年级下·湖南湘潭·月考）若直线：与直线互相平行，则的值为：______． 【答案】 【分析】根据两直线平行时，一次函数系数相等，可知，解方程即可求出的值． 【详解】直线：与直线互相平行， ， 解得：． 【变式3】（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知直线可以看作由直线向左平移10个单位长度而得到，那么直线与x轴交点坐标为______． 【答案】 【分析】先利用“左加右减”的平移规律得出平移后的直线解析式，再通过令函数值为0求解自变量的值，即可得到与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵直线由直线向左平移10个单位长度得到， ∴平移后的直线解析式为， 展开得． 令，则：， 解得：， ∴直线与x轴交点坐标为． 题型09 两个一次函数图象共存问题 【典例9】（24-25八年级下·重庆·期中）若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，则，从而一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∴一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限， ∴选项B、C、D均不符合题意，选项A符合题意． 【变式1】（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数和（，为常数）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数中、的正负判断函数图象的趋势以及与轴交点大致位置即可． 【详解】解：本题中，系数决定正比例函数的图象性质，也决定一次函数与轴的交点位置， 当时，正比例函数和一次函数的图象都呈上升趋势，且一次函数交于轴正半轴，上述选项中均不满足该情况； 当时，正比例函数的图象呈下降趋势，一次函数的图象都呈上升趋势，且一次函数交于轴负半轴，上述图像中D选项满足该情况； 故满足条件的图象可能是D． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数图象．由一次函数图象分析可得k、的符号，进而可得的符号是关键． 根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； B、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A 【变式3】（25-26七年级上·山东烟台·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象分布，理解题意是解决本题的关键． 在函数中，当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限”，再进行讨论b的情况即可判断． 【详解】解：A由图象得，由图象得，故不符合题意； B由图象得，由图象得，故符合题意； C由得，，图象经过第一、三象限，故不符合题意； D由得，，图象经过第一、三象限，故不符合题意； 故选：B． 题型10 一次函数中的规律探究问题 【典例10】（2026·山东临沂·模拟预测）若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使恒成立，则叫作周期函数，T叫作这个函数的一个周期．现在已知一个周期为2的周期函数在时的解析式为，则（   ） A．2024 B．4048 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数，解题的关键是理解题意；由题意易得当时，则，当时，则，当时，则，然后根据周期函数的性质可知恒成立，进而根据周期函数可进行求解． 【详解】解：∵在时，函数的解析式为， ∴当时，则，当时，则，当时，则， ∵该函数的周期为2， ∴对于任意整数x，恒成立， ∴，， ， ， ∵到2024一共有4049个数， ∴； 故选A． 【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及规律探究与指数运算．根据直线的表达式为可得，直线平分第一象限，即直线与轴正半轴的夹角为，由点的坐标为，可得，由作图过程可知，是等腰直角三角形，，同理可得，，， ， (为正整数)，将代入即可解答． 【详解】解：直线的表达式为， 直线平分第一象限，即直线与轴正半轴的夹角为， 点的坐标为， ， 由作图过程可知，， 又， 是等腰直角三角形， ， 同理可得，，，， 所以 (为正整数)， 当时，， 点的横坐标为， 故选：． 【变式3】（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在直线上，点，，，…在x轴上，且，，，…均是等腰直角三角形，其中，，，…分别是它们的直角顶点，则点的纵坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，罗列纵坐标得出一般规律，再按照规律求出的纵坐标即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则，， 设，则， 将代入直线，得， 解得， ∴点的纵坐标为． 设，则， 将代入直线，得， 解得， ∴点的纵坐标为． 同理可得点的纵坐标为，点的纵坐标为 则点的纵坐标为． 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）一次函数的图象不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】对于一次函数（k、b为常数，），当时，的图象经过第二、三、四象限，据此可得答案． 【详解】解：，， 一次函数图象经过第二、三、四象限， 图象不经过第一象限． 2．（2026·甘肃平凉·一模）将直线向上平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将直线向上平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为． 3．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）下列命题中，正确的是（   ） A．一次函数在轴上的截距是 B．一次函数的图像与轴交于点 C．一次函数的图像一定经过第二、四象限 D．一次函数的图像是一条线段 【答案】D 【分析】根据一次函数的截距、交点、图象性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：对选项A：∵ ， 令，得， ∴ 该函数在轴上的截距为，A错误，该选项不符合题意； 对选项B：∵ 一次函数与轴相交时，令得， ∴ 交点坐标为，B错误，该选项不符合题意； 对选项C：∵ ，当时，，此时函数图象经过第一、三象限， ∴ 该函数图象不一定经过第二、四象限，C错误，该选项不符合题意； 对选项D：∵ 一次函数的图象是直线， 又∵ 自变量的取值范围是， ∴ 图象是一条线段，D正确，该选项符合题意． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·开学考试）一次函数与（，为常数，且），它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否符合，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： 对于A、由一次函数图象可知，则； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； 对于B、由一次函数图象可知，则； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； 对于C、由一次函数图象可知，； 正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； 对于D、由一次函数图象可知，； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意． 5．（2022八年级下·吉林长春·专题练习）如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，以为底边在轴右侧作等腰，将点C向左平移5个单位，使其对应点在直线上，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据等腰三角形的性质可得出点C的纵坐标，代入可求出点的坐标，进而可求出点C的坐标． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， ， 是以为底边的等腰三角形， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为． 当时，， 解得， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为，即， 6．（2026·安徽阜阳·一模）已知一次函数（为常数）的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数，则当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质和轴交点位置求出的取值范围，进而求出整数的值，得到一次函数解析式，再根据的取值范围求解的范围即可． 【详解】解：∵一次函数随的增大而减小， ∴， 解得， ∵函数图象与轴负半轴相交， ∴当时，， 解得， ∴， ∵为整数， ∴， ∴一次函数， 当时，则， 解得． 二、填空题 7．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，是直线上的两个点，则________．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的性质，当小于0时，函数值随自变量的增大而减小． 【详解】解：由直线方程，得， 因此y随x的增大而减小， ∵点和在直线上，且， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·上海·期末）如果一次函数的图像与x轴的交点在轴的正半轴上，那么m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先求出一次函数与x轴交点的横坐标，再根据交点在正半轴列出不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：x轴上点的纵坐标为0，令，得， 解得， 因为一次函数的图象与x轴的交点在正半轴上， 所以， 根据不等式的基本性质，不等式两边同乘正数2，不等号方向不变，得， 解得：． 9．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得 是以为腰作等腰三角形，则点的坐标为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰三角形定义，由直线可得，当时，；当时，；所以，，由勾股定理得，然后分如图，当时，如图，当或时进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由直线可得，当时，；当时，； ∴，， ∴，， ∴， 如图，当时， ∴， ∴点； 如图，当或时， ∴点或； 综上可得，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 10．（25-26八年级上·四川成都·期末）若点，都在一次函数的图象上，且，则实数a的取值范围是__________ ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 根据一次函数的性质，判断一次函数中k的正负即可． 【详解】解：∵点和点都在一次函数的图象上，且， 又∵， ∴随的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，都在轴上，点，，都在同一条直线上，，，，，都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可得点的纵坐标为，再求出直线的解析式，可得点的横坐标为，即得点的坐标是，进而即可求解，找到点的坐标规律是解题的关键． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴点的纵坐标为， 同理可得点的纵坐标为， ， ∴点的纵坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标是， ∴点的坐标是， 故答案为：． 三、解答题 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)若图象与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）列表，描点，然后连线即可画出图象； （2）首先得到，，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：列表如下： x 0 1 0 图象如图所示： （2）解：由（1）得，， ∴，， ∴． 13．（25-26八年级下·上海·月考）如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，点是直线上的一个动点，轴于点． (1)求点、点的坐标； (2)点是线段上的一个动点，当点在第一象限，且时，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求的长． 【答案】(1)点，点 (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，图形旋转的性质以及勾股定理解三角形，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的性质以及图形翻折前后边长不变． （1）分别令与，求解坐标即可； （2）先求解出点、点的坐标，并表示出点的坐标，再根据图形翻折可得，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， ∴令，可得，解得， ∴点的坐标为， 令，可得，解得， ∴点的坐标为； （2）解：如图， ∵点的坐标为，且， ∴点的坐标为， ∴点与点的横坐标为4， ∵点在直线上， ∴，即点的坐标为， 设点的坐标为， ∵将沿着翻折，当点的对应点落在直线上， ∴， 又∵，， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴，即， 解得， ∴的长为． 14．（25-26八年级下·上海·月考）已知关于的一次函数． (1)如果函数图象经过原点，求的值； (2)如果直线与轴交于负半轴，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，且 【分析】（1）根据一次函数经过原点可得，且，求出答案即可； （2）根据直线经过y轴交于负半轴，可得，且，求出解集即可． 【详解】（1）解：∵一次函数经过原点， ∴，且， 解得； （2）解：∵该图象与y轴交于负半轴， ∴，且， 解得，且． 15．（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且． (1)点A的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将沿直线翻折得到，点C的对应点为点D，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点， ∴当时，得：， 解得； 当时，得：， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵过点B的直线交x轴负半轴于点C，， ∴， ∴点的坐标为． （2）解：由（1）得，， ∴， ∵将沿直线翻折得到， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 16．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）【感悟研究路径】 函数是描述客观世界运动变化的重要模型，我们在学习一次函数时，是按照现实问题→函数概念→函数的图象与性质→函数的应用，这样的研究路径对一次函数展开研究的． 其中，“一次函数的性质”采用由特殊到一般的研究思路，首先研究特殊的一次函数（k为常数，），通过画出具体函数的图象，数形结合，归纳出这类特殊函数的图象特征（形状、位置）和性质（增减性），从中初步习得了研究函数的思路、内容和方法，进而推广到研究一般的一次函数（k，b为常数，），然后再综合运用相关的知识解决实际问题． 例如，在研究正比例函数的图象时，通过列表、描点、连线等步骤，得到结论：函数的图象是一条经过原点的直线；图象经过第____________象限；的值随着值的增大而________． 【迁移研究路径】 小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数展开探究，过程如下，请完成相应题目． （1）根据函数表达式列表如下，则表中____________； … 0 1 … … 3 m 1 0 1 2 3 … （2）在如图1所示的坐标系中描点、连线，画出函数的图象； （3）观察（2）中的图象，写出关于该函数的两条结论： 结论1：___________________________________； 结论2：___________________________________； （4）写出方程的解，并说明此方程的解是如何得到的． 【答案】【感悟研究路径】 一、三；增大 【迁移研究路径】 （1）2；（2）图见解析， （3）函数的图象是经过点的两条射线；函数的图象经过第一、二象限；当时，y的值随着x值的增大而增大，当时，y的值随着x值的增大而减小． （4）或 【分析】感悟研究路径：根据正比例函数的图象和性质，进行作答即可； （1）把代入函数解析式，进行求解即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象进行作答即可； （4）解绝对值方程即可． 【详解】解：感悟研究路径：函数的图象是一条经过原点的直线；图象经过第一、三象限；的值随着值的增大而增大． （1）当时，； （2）由题意，画图如下： （3）由图象可知， 结论1：函数的图象是经过点的两条射线；函数的图象经过第一、二象限； 结论2：当时，y的值随着x值的增大而增大；当时，y的值随着x值的增大而减小． （4）， ∴或， 解得或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $