专题4.2 方差、四分位与箱线图（3大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版八年级下册

专题4.2 方差、四分位和箱线图 教学目标 理解方差、四分位数（Q1、Q2、Q3）与箱线图的核心概念，明确它们在描述数据离散程度与分布特征的作用。 2. 掌握方差、四分位数的计算步骤，能完成箱线图的绘制，并能从图中提取最小值、四分位数、最大值等关键信息。 3. 能运用方差比较数据稳定性，结合四分位数与箱线图分析多组数据的分布差异，提升数据分析与理性决策能力。 教学重难点 1.重点 （1）方差的定义、计算公式及应用，重点在于会算方差并能根据方差大小判断数据波动与稳定性。 （2）四分位数的概念与计算，以及箱线图的构成、绘制与解读，掌握“五数概括”并能据此分析数据分布。 2.难点 （1）方差的统计意义理解，区分离差平方和与方差，避免机械记公式、不懂其在实际决策（如选拔、质量控制）中的应用。 （2）四分位数的位置计算逻辑，以及箱线图中异常值识别与分布分析，需结合实例厘清数据分段与区间解读。 知识点01 方差 方差 为了刻画一组数据波动的大小，可以采用很多方法。统计中常采用下面的做法： 设有n个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，，…，我们用这些值的平均数，即用 来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作 方差越大，数据的波动越大； 方差越小，数据的波动越小。 【即学即练1】1．气雾栽培是一种新型的栽培方式，某实验室采用气雾栽培模式，在4个不同氧气浓度的培养室中分别放入10株上海青，记录其生长速度，并将结果记录如下表： 培养室 1号 2号 3号 4号 平均数 1.2 1.1 1.3 1.1 方差 1.8 0.5 0.4 1.8 根据表中数据，若要使上海青快速又稳定地生长，应选择（   ） A．1号培养室 B．2号培养室 C．3号培养室 D．4号培养室 【答案】C 【详解】解：∵要使上海青快速生长，需要选择平均生长速度更大的培养室，即平均数更大的培养室；要使上海青稳定生长，需要选择生长波动更小的培养室，即方差更小的培养室， 根据表格数据可知，四个培养室中，3号培养室的平均数最大，且方差最小，符合要求， ∴应选择3号培养室． 2．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均为环，方差分别为，，，，则四人中成绩最稳定的是______． 【答案】丁 【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据波动越小，成绩越稳定，比较各方差大小即可得出答案． 【详解】解：∵，，，，且平均数均为环， ∴， ∴四人中成绩最稳定的是丁． 3．已知一组数据，，，，的中位数是，则这组数据的方差为________． 【答案】/ 【分析】本题考查中位数和方差的概念及计算，先根据中位数的定义求出的值，再计算这组数据的平均数，最后根据方差的定义求解即可． 【详解】解：∵这组数据共有个，为奇数个，因此中位数是从小到大排序后第个数据， 已知数据除去从小到大排序为：，，，，已知中位数为，且是这组数据中的一个， ∴则必在中间位置，且， 这组数据的平均数为： ， 根据方差的定义计算得： ． 知识点02 四分位数 四分位数（核心知识点） 把一组从小到大排列的数据，平均分成四等份，分割点对应的数值就是四分位数。 - 第2四分位数（Q₂）：就是中位数，把数据分成前后两半 - 第1四分位数（Q₁）：前半部分数据的中位数 - 第3四分位数（Q₃）：后半部分数据的中位数 【即学即练2】4．将某校吉他社团的10名同学的身高（单位：）绘制成箱线图（如图），从图中可以看出这10名同学身高的上四分位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四分位数与箱线图，理解箱线图各数字表示的含义是解题的关键．根据箱线图从上到下的数据依次是极大值、上四分位数、中位数、下四分位数、最小值求解即可． 【详解】解：根据题意得，这10名同学身高的上四分位数是． 故选：B． 5．将参加项目式学习小组的名同学的身高（单位：）绘制成箱线图，下列说法正确的是（    ） A．这组数据的下四分位数是 B．这组数据的中位数是 C．这组数据的上四分位数是 D．这组数据的最大值为 【答案】B 【分析】本题考查了中位数的定义，箱线图，数形结合是解题的关键．根据箱线图求解即可． 【详解】解：A、这组数据的下四分位数大于且小于，故该选项错误； B、箱体中的线条对应，则这名同学身高的中位数是，故该选项正确； C、这组数据的上四分位数大于且小于，故该选项错误； D、这组数据的最大值小于，故该选项错误； 故选：B． 6．如图是某班英语听力测试成绩的箱线图，则这组数据的上四分位数是_________分． 【答案】90 【分析】本题考查了箱线图． 根据上四分位数的定义作答即可． 【详解】解：由箱线图可知，这组数据的上四分位数是90分． 故答案为：90． 知识点02 箱线图 一、构成（五数概括） 箱线图由5个关键数值画出： 1. 最小值 2. 第一四分位数 Q₁ 3. 中位数 Q₂ 4. 第三四分位数 Q₃ 5. 最大值 中间画一个矩形箱子：左右边为 Q₁、Q₃，中间线为中位数。 箱子两侧各画一条须线，分别连到最小值和最大值。 二、作用 1. 直观看出数据的集中趋势和离散程度 2. 方便多组数据对比，判断分布是否对称、有无极端值 三、简单判断 - 箱子越窄 → 数据越集中 - 箱子越宽 → 数据越分散 - 中位数不在箱子中间 → 数据分布不对称 【即学即练2】7．体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（   ） A．八（1）班跳绳次数更集中 B．跳绳次数最小值出现在八（2）班 C．两个班级跳绳次数的中位数相等 D．八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 【答案】D 【分析】本题考查了箱线图的概念，需理解箱线图的构成及表示含义，再逐一分析各个选项即可． 【详解】解：A项：箱线图中，数据的“集中程度”看箱体的宽度，箱体越窄，数据越集中， 在八（1）班和八（2）班中，1班的箱体宽度为，2班的箱体宽度为， ∵， ∴八（2）班跳绳次数更集中，故A错误； B项：箱线图中，最下端点是数据的最小值， 对比1班和2班的最下端点，1班最下端点是136，2班最下端点是152， ∵， ∴1班的最小值更小，而非2班，故B错误； C项：箱线图中，中间的线代表中位数， 对比1班和2班的中位数，1班中位数是165，2班中位数是172， ∵， ∴两个班的中位数不相等，故C错误； D项：判断“整体水平”可看中位数，中位数代表数据的中间水平，中位数越高，整体水平越高， 对比1班和2班的中位数，明显2班的中位数高于1班的中位数， ∴2班的跳绳次数整体比1班的好，故D正确． 8．如图是某少年足球队全体队员年龄的箱线图（单位：岁），则这组数据的上四分位数是____岁． 【答案】14 【分析】本题考查了箱线图的特点：箱线图中包含了最小值、最大值和四分位数信息，根据箱线图的结构解答即可． 【详解】解：由箱线图可知，15是最大值，14是上四分位数，13是中位数，11是下四分位数，10是最小值． 故答案为：14． 9．两名射击运动员进行了八次射击训练，测试成绩（最高为10环）如下图，则射击水平比较突出的运动员是______． 【答案】甲 【分析】本题考查箱线图，根据箱线图获取信息，进行判断即可． 【详解】解：由箱线图可知：甲的测试成绩的中位数高于乙的测试成绩的中位数，且甲的测试成绩的波动较小， 故射击水平比较突出的运动员是甲； 故答案为：甲 题型01 求方差 【典例1】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）下列这组数据6，7，8，9，10的方差是（   ） A．3 B．2.5 C．1 D．2 【答案】D 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差的计算公式计算方差，即可得到答案． 【详解】解：∵这组数据为6，7，8，9，10， ∴平均数， 根据方差计算公式 得 ， ∴这组数据的方差是2． 【变式1】（25-26九年级下·辽宁大连·月考）小明的妈妈在网上销售某装饰品．最近一周，每天销售该装饰品的个数为：．则这组数据的方差是______． 【答案】/ 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差的计算公式计算这组数据的方差即可. 【详解】解：首先计算这组数据的平均数， ， 根据方差公式， 代入数据计算得： 【变式2】（25-26九年级上·江苏连云港·月考）某运动员在一次射击练习中，打靶的环数为7，9，6，8，10，则样本的方差是______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一组数据的方差，先求样本数据的平均数，再求各数据与平均数差的平方的平均值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，平均数， 方差 ， 故答案为：2． 【变式3】（25-26八年级上·江西九江·月考）已知一组数据，，，，的平均数是4，方差为3，另一组数据，，，，的方差为______． 【答案】12 【分析】本题主要考查了平均数与方差的定义及数据变换后的统计量关系，熟练掌握“通过平均数、方差的基本公式，代入新数据表达式推导其与原数据统计量的关系”是解题的关键．先根据原数据的平均数、方差定义，推导新数据的平均数，再代入方差公式推导新方差与原方差的关系，最后计算结果． 【详解】解：设原数据的平均数为，方差为． ∵ 原数据平均数，方差， 新数据为，设其平均数为，方差为． ∵ ， ∴ ， ∴ ，      ∴ ， 故答案为：． 题型02 利用方差求未知数据的值 【典例2】（25-26九年级下·山东东营·开学考试）已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为（    ） A．24 B．20 C．18 D．6 【答案】A 【分析】根据方差公式可从给出的方差表达式中得到数据个数与这组数据的平均数，再计算数据总和即可． 【详解】解：， ， 这组数据的总和为 ． 【变式1】（25-26八年级上·山西运城·期末）吴老师在黑板上写出一个计算方差的算式：．根据算式，下列结论判断错误的是（  ） A． B．平均数为8 C．众数是9 D．若添加一个数8后，方差变小 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一组数据的方差，平均数，众数，根据方差算式可得这组数据为9，7，9，7，8，这组数据的平均数为8，则可求出这组数据的众数，再求出添加一个数8后的平均数和方差即可得到答案． 【详解】解：∵方差算式为， ∴这组数据为9，7，9，7，8，共5个数据，即，故A结论正确，不符合题意； 由方差算式可知平均数为8，故B结论正确，不符合题意； 这组数据中7和9均出现了2次，次数最多， 所以这组数据的众数为7和9，C结论错误，符合题意； 添加一个8后，数据为9，7，9，7，8，8，平均数仍为8， 原始方差， 新方差， ∴方差变小，故D结论正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为___________． 【答案】15 【分析】本题主要考查了方差的定义，根据方差公式的定义，先确定数据的个数和平均数，再用平均数乘以数据个数得到数据总和． 【详解】解：由方差的公式可知，该组数据的个数，平均数，根据平均数的定义，数据总和平均数数据个数，即． 故答案为：15． 【变式3】（25-26九年级下·江苏泰州·月考）若一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等，则x的值为__________（用含m的代数式表示） 【答案】或/或 【分析】根据已知这组数据为相邻的整数，两组数据的方差相同，可得另一组数据也为相邻的整数，即可作答． 【详解】解：∵一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等， ∴这组数据可能为m，，，，或，m，，，， ∴x的值为或． 题型03 根据方差判断稳定性 【典例3】（2026九年级下·广东清远·学业考试）二月份阳山月平均气温为，方差约为13.21，佛冈月平均气温为，方差约为8.46，则该月气温比较稳定的县区是（   ） A．阳山 B．佛冈 C．阳山和佛冈一样稳定 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据方差越小，数据波动越小，气温越稳定，比较两个县区气温的方差大小即可得出判断． 【详解】解：∵阳山气温方差为13.21，佛冈气温方差为8.46，且， ∴佛冈的气温更稳定． 【变式1】（2026·河南洛阳·一模）为落实教育部“健康教育专项工程”，引导学生积极锻炼、增强体质．某校对九年级1班和2班男生的引体向上成绩进行调查，从两班各随机抽取10名男生测试，并将测试结果绘制成如下折线图．已知这两组成绩的平均数相等，则可估计这两个班成绩的方差和的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】方差是反映一组数据离散程度的统计量，方差越大，数据的上下波动越大，数据越不稳定，从两组数据的波动情况可以直观得出答案． 【详解】解：从每组数据的波动情况看，第二组的数据波动比第一组数据波动大，所以第一组数据的方差小于第二组数据的方差，即． 【变式2】（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）学校要从三名候选人中挑选一人参加校园演讲比赛，要求选手整体水平高、发挥稳定．三位选手多次比赛的得分统计如下表，如果让你推荐，你会选________． 甲 乙 丙 平均分 93 95 95 方差 10.2 8.5 9.3 【答案】乙 【分析】先比较平均分选出整体水平更高的选手，再比较方差选出发挥更稳定的选手即可． 【详解】解：根据题意，整体水平高要求平均分较高，发挥稳定要求方差较小，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定． 比较三名选手的平均分可得：． 因此乙和丙的整体水平高于甲． 再比较乙和丙的方差可得：． 因此乙的方差更小，发挥比丙更稳定． 综上，满足整体水平高、发挥稳定的选手是乙． 【变式3】（2026·湖南邵阳·一模）某团队对A，B，C，D四类新型气象卫星的信号回传速率（单位：）进行了5次测试，测试数据的统计结果如下表： 卫星型号 A B C D 平均回传速率 60 63 58 63 回传速率方差 9.5 17.2 8.1 4.2 已知气象卫星对信号回传速率要求快且稳定，则性能最优的卫星是_________．（填“A”，“B”，“C”或“D”） 【答案】D 【分析】根据平均回传速率可知B，D最大，根据方差越小越稳定可知D最稳定，综合可知性能最优的卫星是D． 【详解】解：根据平均回传速率可知：， 根据回传速率方差可知：， 则性能最优的卫星是D． 题型04 运用方差做决策 【典例4】（2026九年级下·北京·专题练习）志志老师要从小凡、小棋、小辰、小珲四位同学中选一位参加田径运动会200米比赛，四位同学最近10次训练成绩的平均数（单位：秒）及方差（单位：秒）如下表所示，志志老师应选的同学是（   ） 小凡 小棋 小辰 小珲 30.4 30.8 30.4 30.8 2.3 2.7 5.5 5.1 A．小凡 B．小棋 C．小辰 D．小珲 【答案】A 【详解】解：因为200米比赛中，平均用时越短，平均成绩越好，方差越小，成绩越稳定， 先比较平均成绩，小凡和小辰的平均用时为30.4秒，短于小棋和小珲的30.8秒，平均成绩更优，再比较小凡和小辰的方差，小凡的方差为2.3，小于小辰的方差5.5，成绩更稳定， 所以小凡的成绩既好又稳定，因此应选小凡． 【变式1】（2026·山西吕梁·一模）某班同学对校园周边3家文具店的满意度情况（评分满分10分）进行调查，收集到的数据如下： 甲店（10人评分）：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10． 乙店（10人评分）：5，6，7，7，8，8，9，9，10，10． 丙店（10人评分）：7，7，7，8，8，8，8，8，9，9． 下列基于统计量的判断，正确的是（　　） A．甲店的众数是8，说明甲店的普遍满意度最高 B．乙店的中位数是8，说明乙店至少有一半学生的评分不低于8分 C．丙店的平均数最高，说明丙店的整体满意度最好 D．甲店的方差比乙店小，说明甲店学生的评分差异比乙店大 【答案】B 【分析】通过计算对应统计量结合统计意义判断选项正误即可． 【详解】A选项：众数仅代表评分中出现次数最多的数值，不能全面反映普遍满意度的高低，A错误； B选项：乙店共10个数据，从小到大排列后，第5和第6个数据均为8， ∵中位数为排序后中间两个数的平均数， ∴乙店中位数为；根据中位数的定义，10个数据中至少有一半数据不小于中位数，因此乙店至少有一半学生的评分不低于8分，B正确； C选项：分别计算三家店的平均数：甲店总分，平均数为； 乙店总分，平均数为； 丙店总分，平均数为； 可知甲店平均数最高，C错误； D选项：方差越小，数据的差异越小，甲店方差比乙店小，说明甲店评分差异比乙店小，D错误． 【变式2】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为： ，，，．则麦苗又高又整齐的是_____种小麦． 【答案】乙 【分析】本题考查平均数与方差的意义，平均数反映一组数据的平均水平，方差反映一组数据的波动大小，方差越小，数据波动越小，长势越整齐，先比较平均数得到平均高度更高的组，再比较方差确定长势更整齐的组，即可得到结果． 【详解】解：，，且， 乙和丁的平均苗高大于甲和丙，即乙、丁的长势更高； 又，，且， 乙的方差小于丁的方差，乙的长势更整齐， 麦苗又高又整齐的是乙． 【变式3】（2026·山东青岛·一模）为备战第19届亚运会，甲、乙两名运动员进行射击训练，在相同的条件下，两人各射击10次，成绩如图所示，则运动员____________的成绩更加稳定． 【答案】乙 【分析】先分别求出甲、乙两名运动员的方差，然后比较两人成绩的方差即可，方差越小，成绩越稳定． 【详解】解：甲的平均成绩为：， 乙的平均成绩为：， 甲成绩的方差为：， 乙成绩的方差为：， ∵， ∴乙的成绩更加稳定． 题型05 标准差 【典例5】（25-26八年级上·全国·课后作业）老师通过分析小明和小聪的最近5次数学检测的成绩，确定小明的数学成绩比较稳定，已知他们成绩的方差分别为7，12，则小明成绩的标准差为（   ） A．49 B．144 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查标准差的定义，熟练掌握标准差的定义是解题的关键． 成绩稳定性由方差大小决定，方差小则更稳定，根据标准差的定义，求出方差的算术平方根即可． 【详解】解：小明的成绩比较稳定，则小明的方差较小，为7， 因此小明成绩的标准差为， 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，每人射击20发子弹．他们射击成绩的平均数和标准差如表所示，若要选一名成绩较好且又稳定的运动员参赛，则应选运动员（    ） 射击成绩统计分析表 人员成绩 甲 乙 丙 丁 平均数x（环） 8.6 8.6 9.2 9.2 标准差S（环） 1.3 1.5 1.0 1.2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】该题考查了分析数据的波动程度（方差、标准差）；分析数据的集中趋势（平均数），先比较平均数，再比较标准差，然后得出丙的方差小于丁的方差，从而得出答案． 【详解】解：由表可知，丙和丁的平均成绩好， 由于丙的标准差小于丁的标准差， 所以丙的方差丁的方差， 则要选一名成绩较好且又稳定的运动员参赛，则应选丙． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）一组数据，，的方差是 9 ，则数据，，的标准差为____． 【答案】3 【分析】本题考查了标准差及方差的知识，解题的关键是了解标准差是方差的算术平方根． 数据中的每个值都加上相同的常数，方差不变，因此新数据的方差仍为9，标准差为方差的算术平方根，故为3． 【详解】解：∵数据，，的方差是9， ∴数据，，的方差是9． ∴数据，，的标准差是． 故答案为：3． 【变式3】（2025·北京朝阳·模拟预测）小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数，然后写出了如下计算公式：，则这组数据的标准差S=_______． 【答案】 【分析】本题主要考查标准差的计算，解题的关键是从题干得到这组数据． 根据题意可知这组数据为6，8，8，10，计算均值，再代入方差公式计算即可． 【详解】根据题意可知这组数据为6，8，8，10， ， ， ． 故答案为：． 题型06 求离差平方和 【典例6】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）青青记录了某一周每天下午放学回家所用的时间（单位：分）：10，11，12，10，12，则这组数据的离差平方和为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了离差平方和．先计算数据的平均值，然后求每个数据与平均值的差的平方和，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵数据：10，11，12，10，12， 则平均值， 依题意， ， 即这组数据的离差平方和为4， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）学校举行秋季运动会，仪仗方队一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和离差平方和与原6名队员相比（    ） A．平均数变大，离差平方和变小 B．平均数不变，离差平方和不变 C．平均数不变，离差平方和变大 D．平均数变小，离差平方和变大 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数和离差平方和，解题的关键是掌握以上两个公式． 先分别计算原6名队员与现5名队员身高的平均数，再计算两者的离差平方和，通过比较结果得出结论，用到平均数和离差平方和的定义和公式． 【详解】解：∵原6名队员身高总和为， ∴原平均数为； ∵去掉的队员后，5名队员身高总和为， ∴现平均数为； ∴平均数不变； ∵原离差平方和为 ； 现离差平方和为 ； ∴离差平方和不变； 综上，平均数不变，离差平方和不变， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·陕西铜川·期末）已知一组数据的方差，则这组数据的离差平方和的值是_______． 【答案】120 【分析】本题考查离差平方和，方差是离差平方和除以数据个数，已知方差和数据个数，可求离差平方和． 【详解】由方差公式 ，其中 ，，则离差平方和 ． 故答案为： 120． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）若一组数据的离差平方和为10，平均数为2，数据个数为5，则这组数据中所有数据的平方和是______． 【答案】30 【分析】本题考查了离差平方和，平均数． 根据离差平方和公式得到，即，根据“平均数为2，数据个数为5”得到，即可求出． 【详解】解：设这组数据为， ∵离差平方和为10，平均数为2，数据个数为5， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平均数为2，数据个数为5， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 题型07 求四分位 【典例7】（25-26八年级上·陕西汉中·期末）某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（   ） A．102 B．98 C．114 D．106 【答案】A 【分析】根据箱线图中间箱体的下底对应的数值即是这组数据的下四分位数（分位数）解答即可． 【详解】解：箱线图的箱体下底的对应值为102，所以这组数据的下四分位数是102． 【点睛】解题的关键是掌握箱线图相关的定义． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·月考）肺活量可以反映肺的容积和扩张能力，是一项能够衡量身体健康的重要指标．如图是某班在七、八年级参加国家学生体质健康测试时的肺活量箱线图，下列说法中错误的是（    ） A．该班在七年级时的肺活量下四分位数是 B．该班在八年级时的肺活量上四分位数是 C．该班在七年级时的肺活量中位数比八年级时大 D．相比七年级，该班在八年级时的肺活量有所提高 【答案】C 【分析】本题考查了中位数与箱线图．根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：根据箱线图的相关概念逐项分析判断如下： A、该班在七年级时的肺活量下四分位数是，说法正确，不符合题意； B、该班在八年级时的肺活量上四分位数是，说法正确，不符合题意； C、该班在七年级时的肺活量中位数比八年级时小，原说法错误，符合题意； D、相比七年级，该班在八年级时的肺活量有所提高，说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）已知一组数据：76，82，88，92，93，95，则这组数据的下四分位数为_________． 【答案】82 【分析】本题考查下四分位数的求解，需先将数据排序，再根据数据个数计算下四分位数的位置，进而确定对应数值． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为76，82，88，92，93，95， 数据个数，计算下四分位数的位置：， 因为不是整数，将其向上取整为2， 所以这组数据的下四分位数为第2个数据82． 【变式3】（25-26八年级上·河北保定·期末）将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的下四分位数为________． 【答案】 【分析】本题考查箱线图的结构与统计意义，准确读取统计量是解题关键． 根据箱线图的结构提取下四分位数即可． 【详解】解：据图可知，该组数据的下四分位数为． 故答案为：． 题型08 画箱线图 【典例8】（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，已知（）班和（）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（   ） A．（）班成绩比（）班成绩集中 B．（）班成绩的上四分位数是分 C．（）班有同学的成绩超过分 D．（）班的最低分低于（）班的最低分 【答案】D 【分析】根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：、观察箱线图知：（）班成绩的箱线图宽度较窄，则（）班成绩比（）班成绩集中，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的下四分位数是分，上四分位数约为分，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的最大值约为分，没有同学的成绩超过分，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的最低分约为分，（）班成绩的最低分约为分，，即（）班的最低分低于（）班的最低分，故原说法正确，符合题意． 【变式1】（25-26八年级上·山西运城·期末）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（   ） A．三个班级中，甲班分数的方差最大 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C．丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数 D．若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高 【答案】C 【分析】本题主要考查箱线图的相关知识．通过箱线图中数据的分布情况，对各选项逐一进行分析判断即可解答． 【详解】解：、箱线图中，数据的离散程度可通过箱线图的宽度来判断，宽度越窄，数据越集中，方差越小．甲班箱线图的宽度相对较窄，说明甲班分数更集中，所以甲班分数的方差最小，故本选项错误，不符合题意； 、由箱线图可知，乙班中最大值较另两个班更大，最小值较另两个班更小，故乙班分数的波动最大，故本选项错误，不符合题意； 、由箱线图可知，丙班的中位数大于80，故丙班得分高于80分的学生人数多于得分低于80分的学生人数，丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数，故本选项正确，符合题意； 、每班有42个学生，第11名的分数是按从高到低排序后的第11个数据，从箱线图看，丙班的分数最高，故本选项错误，不符合题意； 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在学校组织举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，八（1）班学生成绩的箱线图如图所示，则八（1）班学生成绩的上四分位数是______分． 【答案】 【分析】本题主要考查箱线图及四分位数，熟练掌握箱线图及四分位数是解题的关键；因此此题可根据箱线图的相关概念进行求解即可． 【详解】解：由箱线图可知：八（1）班学生成绩的上四分位数是90分． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·期末）学习了箱线图分析数据后，小明对两地在7、8月每天最高气温这组数据进行分析，绘制了如下图的箱线图．则下列结论正确的是___________（填写序号）． ①在7至8月，B地每天最高气温的上四分位数为； ②在7至8月，B地每天最高气温的中位数小于A地每天最高气温的中位数； ③在7至8月，A地每天最高气温都高于B地每天最高气温； ④在7至8月，A地有超过一半的天数最高气温是不低于． 【答案】②④ 【分析】本题考查箱线图的统计意义，掌握箱线图各部分对应的统计量含义是解决问题的关键．根据箱线图各部分含义，逐个判断结论对错即可． 【详解】解：结论①：箱线图中，上四分位数对应箱的右边界，B地的箱右边界为，则上四分位数是，故①错误； 结论②：中位数对应箱内的线，B地的中位数（箱内线）低于A地的中位数，故②正确； 结论③：A地的最高气温高于B地的最高气温，并非“每天都高于”，故③错误； 结论④：A地的箱线图中，数据的中位数（箱体中间线）是，且中间线左右两侧的箱体大小相同，因此有超过一半的天数最高气温是不低于，故结论④正确． 综上所述，正确的结论是②④． 故答案为：②④． 一、单选题 1．（2026·安徽·模拟预测）甲、乙两人各投掷10次实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了方差，正确理解方差与数据集中性的关系是关键．方差越小，数据越集中，据此可得答案． 【详解】解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更加的集中，所以． 故选：C． 2．（2022·广西百色·一模）甲、乙、丙、丁四名同学进行立定跳远训练，每人跳6次，成绩的平均数都是2.30米，方差分别为，，，，则这四位同学立定跳远成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】比较四人方差的大小即可得出结论； 【详解】解：，，，， ， 甲的方差最小，成绩最稳定． 3．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）某球队5名队员的身高（单位：cm）是：178，180，185，190，192．现增加一名身高为185cm的队员，与增加之前相比，增加后队员身高（） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变大，方差变小 C．平均数不变，方差变小 D．平均数不变，方差变大 【答案】C 【分析】分别计算增加队员前后的平均数和方差，比较大小即可得出结论． 【详解】解：原数据的和为 ∵原数据的平均数为 原数据的方差为 新数据的和为，新数据的平均数为 新数据的方差为 ∴平均数不变，方差变小． 4．（25-26八年级下·浙江绍兴·月考）如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是80分 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【分析】对比两班箱线图的箱体长度和整体数据跨度，可判断成绩集中程度，理解箱线图的相关定义依次判断即可． 【详解】选项A：由图2可知，一班成绩的极差（最大值减最小值）更大，成绩分布更分散，二班成绩更集中，因此A错误； 选项B：一班箱体顶端在100分上方，80分是一班箱体底端（下四分位数），因此B错误； 选项C：一班存在一个异常值点在140分刻度上方，说明一班有同学成绩超过140分，因此C正确； 选项D：由图可知，一班平均值低于100分，二班平均值高于100分，一班平均分低于二班，因此D错误． 5．（2026九年级下·山东青岛·专题练习）已知甲、乙两队员参加“青翼杯小组赛”射击的成绩如图，则下列结论不正确的是（    ） A．统计样本是“射击成绩” B．甲同学射击成绩的中位数是2环 C．乙同学射击成绩的平均分是8环 D．甲乙两位同学中射击成绩更稳定的是乙同学 【答案】B 【分析】根据样本、中位数、平均数的定义以及方差的意义，逐项分析判断即可． 【详解】解：统计样本是“射击成绩”，故A选项结论正确，不符合题意； 甲同学射击成绩的中位数是8环，故B选项结论不正确，符合题意； 乙同学射击成绩的平均分环，故C选项结论正确，不符合题意； 甲同学射击成绩的平均分环， 甲同学射击成绩的方差， 乙同学射击成绩的方差， ∵, ∴， ∴射击成绩更稳定的是乙同学，故D选项结论正确，不符合题意． 二、填空题 6．（25-26八年级上·陕西西安·期末）在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 【答案】二 【详解】解：由箱线图可知，一班在50和140之间波动，二班在70和130之间波动， 所以成绩比较集中的班级是二班． 7．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图是根据甲、乙组跳绳成绩（单位：次／分）在同一幅图中画出两组数据的箱线图．下面有四个结论：①甲组的中位数比乙组的大；②甲组最小数据和乙组相差不多；③乙组最大数据比甲组的明显大；④乙组数据的波动明显比甲组的大．其中正确的是______．（填四个结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了箱线图，根据甲、乙组的箱线图，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①甲组的中位数比乙组的大，故①正确； ②甲组最小数据和乙组相差不多，故②正确； ③乙组最大数据比甲组的明显大，故③正确； ④乙组数据的波动范围比甲组大，故④正确． 故答案为：①②③④． 8．（2026·福建莆田·模拟预测）小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中_____． 【答案】11 【分析】根据方差的定义，方差公式中的是题目给出的这组数据的平均数，由方差公式可得这组数据，求出这组数据的平均数即可得到结果． 【详解】解：由方差计算公式可知，这组数据为5，8，8，14，15，16， ∴这组数据的平均数． 9．（2026·山西吕梁·一模）为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中随机抽取6株麦苗，测得苗高（单位：cm）如下表． 品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 第六株 平均数 甲 12 13 14 15 13 11 13 乙 16 17 6 12 19 8 13 则两种小麦中长势比较整齐的是______（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】判断小麦长势的整齐程度需比较方差大小，方差越小，数据波动越小，长势越整齐，根据方差公式分别计算两种小麦的方差，再比较大小即可得出结论． 【详解】解：已知，，根据方差公式计算得 甲的方差：； 乙的方差：； ，即甲的方差更小，数据波动更小，因此甲的长势比较整齐. 10．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）某公司的质检人员从两批零件中各随机抽取了6个，记录相应横截面的直径（）如表，若甲、乙两个样本数据的方差分别为、、则_____（填“＞”、“＝”、“＜”） 批次 直径（） 4 5 6 7 甲 1 4 1 0 乙 3 1 1 1 【答案】< 【分析】分别计算甲、乙两组数据的平均数和方差，比较方差大小即可得出结论． 【详解】解：计算甲组数据的平均数：， 根据方差计算公式，得， 计算乙组数据的平均数：， 根据方差计算公式，得， ， ． 三、解答题 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 【答案】(1)部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是；部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是．绘制箱线图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据四分位数的位置，确定对应的值，再画出箱线图； （2）根据四分位数间距分析即可． 【详解】（1）解：部门数据的第一四分位数是由小到大排列的第个数，为，中位数为，第三四分位数是由小到大排列的第个数，为； 同理，部门数据的第一四分位数是38，中位数为45，第三四分位数是55． 绘制箱线图如图． （2）解：从箱线图看，A部门第一四分位数到中位数距离近，低业务量员工较集中； B部门箱子更长，数据分布更分散，且第三四分位数到最大值距离远，高业务量员工更分散． 12．（25-26八年级上·福建宁德·月考）某校组织校园安全知识竞赛，甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的下四分位数、中位数、上四分位数； (2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)请根据你对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对这两组成绩的看法． 【答案】(1)下四分位数是70，中位数是90，上四分位数是96 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了四分位数的计算和箱线图的绘制与解读，通过这些工具可以直观地分析数据的分布特征． （1）先将甲组数据从小到大排序，再计算出下四分位数，中位数，上四分位数即可； （2）根据甲组的四分位数绘制箱线图即可； （3）根据箱线图和四分位数比较两组数据即可． 【详解】（1）解：把甲组的成绩按从小到大的顺序排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 下四分位数是70 中位数是 上四分位数是96 （2）甲组的箱线图如答图： （3）根据箱线图和四分位数，可知甲组数据跨度大更分散，乙组数据紧凑更集中． 13．（2026年广西南宁市初中毕业班质量调研（一模）数学）为加强学生防溺水安全教育，某校组织开展“平安防溺，知识争先”主题安全知识竞赛，现从七、八、九年级各随机抽取10名学生组成年级代表队参赛，竞赛满分为10分，各代表队参赛学生成绩（单位：分）如下： 【收集数据】 七年级代表队：9，8，9，9，10，7，10，9，9，10； 八年级代表队：8，9，9，10，8，9，10，9，10，8； 九年级代表队：8，8，9，8，10，9，10，8，10，10． 【整理数据】 代表队 平均数 中位数 众数 方差 七年级代表队 9 9 m 0.8 八年级代表队 9 9 9 九年级代表队 9 n 8和10 0.8 【分析数据】 (1)填空：m的值为________，n的值为________； (2)计算八年级代表队竞赛成绩的方差； 【评估结果】 (3)现根据各代表队的成绩，评估三个年级对防溺水知识的了解程度，评估方式如下：首先比较平均数，平均数较大的年级更优；若平均数相等，则比较方差，方差较小的年级更优；若平均数、方差都相等，则竞赛成绩大于平均数的人数较多的年级更优．请直接写出三个年级对防溺水知识了解程度的顺序（按由高到低排序）． 【答案】(1)； (2) (3)了解程度由高到低的顺序为：八年级，九年级，七年级 【分析】本题考查了众数，中位数，方差，利用方差，众数作决策，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合众数的定义，以及中位数的定义进行分析，即可作答． （2）结合方差的公式进行列式计算，即可作答． （3）理解题意，结合平均数，方差，众数等内容进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：七年级代表队的成绩为分出现次数最多，故众数； 依题意，把九年级代表队的成绩从小到大排序后，排在中间位置的分数是第名和第名 ∴中位数， （2）解：依题意，方差； （3）解：依题意，七年级代表队，八年级代表队和九年级代表队的成绩的平均数都是分， ∵八年级代表队的成绩的方差为，七年级代表队和九年级代表队的成绩的方差为，且， ∴相对于七年级和九年级，八年级学生更了解防溺水知识； ∵七年级和九年级的成绩的平均数，方差都是相同的，且九年级的竞赛成绩大于平均数分的人数较多， ∴相对于七年级，九年级学生更了解防溺水知识； 故了解程度由高到低的顺序为：八年级，九年级，七年级． 14．（2026·甘肃临夏·一模）年马年春晚中，中国制造的人形机器人在央视春晚舞台大放异彩；年全国两会上，人工智能发展与治理成为会场内外热议的焦点，成为新质生产力的核心引擎……随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，普通公民也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一．某科学小组设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作次，测试成绩（百分制）如下： 类型 平均数 中位数 众数 方差 机器人 人工 解答下列问题： (1)求出表格中的值； (2)根据以上数据，请你分析机器人和人工操作在此技能方面谁更有优势，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)机器人操作在技能方面更有优势． 【分析】本题考查了平均数，方差，中位数和众数，掌握各统计数据的意义和计算方法是关键． （1）根据平均数、中位数、众数和方差的定义解答即可； （2）结合方差和平均数的统计意义即可求解． 【详解】（1）解：； 机器人技能测试成绩排序为：，，，，，，，，，， ∴中位数； ∵人工技能测试成绩中100分出现的次数最多， ∴众数． （2）解：∵机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小， ∴可以推断机器人操作在技能方面更有优势． 15．（25-26八年级下·广东深圳·开学考试）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功以一箭三星方式将实践三十号星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位；分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七八年级抽取的学生的成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 (1)上表中，___________，___________；___________； (2)请补全七年级学生成绩数据的箱线图，并通过对比两个箱线图，初步判断哪个年级12名学生的成绩更集中、稳定． 【答案】(1)，， (2)图见解析，八年级名学生的成绩更集中、稳定，详见解析 【分析】（1）将七、八年级成绩排序，进而根据中位数和众数的定义作答即可； （2）求出七年级成绩的下四分位数、上四分位数，求出中位数，作图比较即可得解； 【详解】（1）解：七年级成绩排序：，，，，，，，，，，，， 中位数， 八年级成绩排序：，，，，，，，，，，，． 中位数，众数． （2）解：七年级成绩排序：，，，，，，，，，，，． ∴上四分位数为，下四分位数为， 中位数， 作图如下， ∵八年级箱线图的范围（最小值到最大值）为到，下四分位数、上四分位数的范围为到，七年级为到，下四分位数、上四分位数的范围为到， ∴八年级的箱线图更短，中位数都为，说明八年级成绩的波动更小， ∴八年级名学生的成绩更集中、稳定． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 方差、四分位和箱线图 教学目标 理解方差、四分位数（Q1、Q2、Q3）与箱线图的核心概念，明确它们在描述数据离散程度与分布特征的作用。 2. 掌握方差、四分位数的计算步骤，能完成箱线图的绘制，并能从图中提取最小值、四分位数、最大值等关键信息。 3. 能运用方差比较数据稳定性，结合四分位数与箱线图分析多组数据的分布差异，提升数据分析与理性决策能力。 教学重难点 1.重点 （1）方差的定义、计算公式及应用，重点在于会算方差并能根据方差大小判断数据波动与稳定性。 （2）四分位数的概念与计算，以及箱线图的构成、绘制与解读，掌握“五数概括”并能据此分析数据分布。 2.难点 （1）方差的统计意义理解，区分离差平方和与方差，避免机械记公式、不懂其在实际决策（如选拔、质量控制）中的应用。 （2）四分位数的位置计算逻辑，以及箱线图中异常值识别与分布分析，需结合实例厘清数据分段与区间解读。 知识点01 方差 方差 为了刻画一组数据波动的大小，可以采用很多方法。统计中常采用下面的做法： 设有n个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，，…，我们用这些值的平均数，即用 来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作 方差越大，数据的波动越大； 方差越小，数据的波动越小。 【即学即练1】1．气雾栽培是一种新型的栽培方式，某实验室采用气雾栽培模式，在4个不同氧气浓度的培养室中分别放入10株上海青，记录其生长速度，并将结果记录如下表： 培养室 1号 2号 3号 4号 平均数 1.2 1.1 1.3 1.1 方差 1.8 0.5 0.4 1.8 根据表中数据，若要使上海青快速又稳定地生长，应选择（   ） A．1号培养室 B．2号培养室 C．3号培养室 D．4号培养室 2．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均为环，方差分别为，，，，则四人中成绩最稳定的是______． 3．已知一组数据，，，，的中位数是，则这组数据的方差为________． 知识点02 四分位数 四分位数（核心知识点） 把一组从小到大排列的数据，平均分成四等份，分割点对应的数值就是四分位数。 - 第2四分位数（Q₂）：就是中位数，把数据分成前后两半 - 第1四分位数（Q₁）：前半部分数据的中位数 - 第3四分位数（Q₃）：后半部分数据的中位数 【即学即练2】4．将某校吉他社团的10名同学的身高（单位：）绘制成箱线图（如图），从图中可以看出这10名同学身高的上四分位数是（    ） A． B． C． D． 5．将参加项目式学习小组的名同学的身高（单位：）绘制成箱线图，下列说法正确的是（    ） A．这组数据的下四分位数是 B．这组数据的中位数是 C．这组数据的上四分位数是 D．这组数据的最大值为 6．如图是某班英语听力测试成绩的箱线图，则这组数据的上四分位数是_________分． 知识点02 箱线图 一、构成（五数概括） 箱线图由5个关键数值画出： 1. 最小值 2. 第一四分位数 Q₁ 3. 中位数 Q₂ 4. 第三四分位数 Q₃ 5. 最大值 中间画一个矩形箱子：左右边为 Q₁、Q₃，中间线为中位数。 箱子两侧各画一条须线，分别连到最小值和最大值。 二、作用 1. 直观看出数据的集中趋势和离散程度 2. 方便多组数据对比，判断分布是否对称、有无极端值 三、简单判断 - 箱子越窄 → 数据越集中 - 箱子越宽 → 数据越分散 - 中位数不在箱子中间 → 数据分布不对称 【即学即练2】7．体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（   ） A．八（1）班跳绳次数更集中 B．跳绳次数最小值出现在八（2）班 C．两个班级跳绳次数的中位数相等 D．八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 8．如图是某少年足球队全体队员年龄的箱线图（单位：岁），则这组数据的上四分位数是____岁． 9．两名射击运动员进行了八次射击训练，测试成绩（最高为10环）如下图，则射击水平比较突出的运动员是______． 题型01 求方差 【典例1】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）下列这组数据6，7，8，9，10的方差是（   ） A．3 B．2.5 C．1 D．2 【变式1】（25-26九年级下·辽宁大连·月考）小明的妈妈在网上销售某装饰品．最近一周，每天销售该装饰品的个数为：．则这组数据的方差是______． 【变式2】（25-26九年级上·江苏连云港·月考）某运动员在一次射击练习中，打靶的环数为7，9，6，8，10，则样本的方差是______． 【变式3】（25-26八年级上·江西九江·月考）已知一组数据，，，，的平均数是4，方差为3，另一组数据，，，，的方差为______． 题型02 利用方差求未知数据的值 【典例2】（25-26九年级下·山东东营·开学考试）已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为（    ） A．24 B．20 C．18 D．6 【变式1】（25-26八年级上·山西运城·期末）吴老师在黑板上写出一个计算方差的算式：．根据算式，下列结论判断错误的是（  ） A． B．平均数为8 C．众数是9 D．若添加一个数8后，方差变小 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为___________． 【变式3】（25-26九年级下·江苏泰州·月考）若一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等，则x的值为__________（用含m的代数式表示） 题型03 根据方差判断稳定性 【典例3】（2026九年级下·广东清远·学业考试）二月份阳山月平均气温为，方差约为13.21，佛冈月平均气温为，方差约为8.46，则该月气温比较稳定的县区是（   ） A．阳山 B．佛冈 C．阳山和佛冈一样稳定 D．不能确定 【变式1】（2026·河南洛阳·一模）为落实教育部“健康教育专项工程”，引导学生积极锻炼、增强体质．某校对九年级1班和2班男生的引体向上成绩进行调查，从两班各随机抽取10名男生测试，并将测试结果绘制成如下折线图．已知这两组成绩的平均数相等，则可估计这两个班成绩的方差和的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式2】（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）学校要从三名候选人中挑选一人参加校园演讲比赛，要求选手整体水平高、发挥稳定．三位选手多次比赛的得分统计如下表，如果让你推荐，你会选________． 甲 乙 丙 平均分 93 95 95 方差 10.2 8.5 9.3 【变式3】（2026·湖南邵阳·一模）某团队对A，B，C，D四类新型气象卫星的信号回传速率（单位：）进行了5次测试，测试数据的统计结果如下表： 卫星型号 A B C D 平均回传速率 60 63 58 63 回传速率方差 9.5 17.2 8.1 4.2 已知气象卫星对信号回传速率要求快且稳定，则性能最优的卫星是_________．（填“A”，“B”，“C”或“D”） 题型04 运用方差做决策 【典例4】（2026九年级下·北京·专题练习）志志老师要从小凡、小棋、小辰、小珲四位同学中选一位参加田径运动会200米比赛，四位同学最近10次训练成绩的平均数（单位：秒）及方差（单位：秒）如下表所示，志志老师应选的同学是（   ） 小凡 小棋 小辰 小珲 30.4 30.8 30.4 30.8 2.3 2.7 5.5 5.1 A．小凡 B．小棋 C．小辰 D．小珲 【变式1】（2026·山西吕梁·一模）某班同学对校园周边3家文具店的满意度情况（评分满分10分）进行调查，收集到的数据如下： 甲店（10人评分）：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10． 乙店（10人评分）：5，6，7，7，8，8，9，9，10，10． 丙店（10人评分）：7，7，7，8，8，8，8，8，9，9． 下列基于统计量的判断，正确的是（　　） A．甲店的众数是8，说明甲店的普遍满意度最高 B．乙店的中位数是8，说明乙店至少有一半学生的评分不低于8分 C．丙店的平均数最高，说明丙店的整体满意度最好 D．甲店的方差比乙店小，说明甲店学生的评分差异比乙店大 【变式2】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为： ，，，．则麦苗又高又整齐的是_____种小麦． 【变式3】（2026·山东青岛·一模）为备战第19届亚运会，甲、乙两名运动员进行射击训练，在相同的条件下，两人各射击10次，成绩如图所示，则运动员____________的成绩更加稳定． 题型05 标准差 【典例5】（25-26八年级上·全国·课后作业）老师通过分析小明和小聪的最近5次数学检测的成绩，确定小明的数学成绩比较稳定，已知他们成绩的方差分别为7，12，则小明成绩的标准差为（   ） A．49 B．144 C． D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，每人射击20发子弹．他们射击成绩的平均数和标准差如表所示，若要选一名成绩较好且又稳定的运动员参赛，则应选运动员（    ） 射击成绩统计分析表 人员成绩 甲 乙 丙 丁 平均数x（环） 8.6 8.6 9.2 9.2 标准差S（环） 1.3 1.5 1.0 1.2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）一组数据，，的方差是 9 ，则数据，，的标准差为____． 【变式3】（2025·北京朝阳·模拟预测）小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数，然后写出了如下计算公式：，则这组数据的标准差S=_______． 题型06 求离差平方和 【典例6】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）青青记录了某一周每天下午放学回家所用的时间（单位：分）：10，11，12，10，12，则这组数据的离差平方和为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）学校举行秋季运动会，仪仗方队一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和离差平方和与原6名队员相比（    ） A．平均数变大，离差平方和变小 B．平均数不变，离差平方和不变 C．平均数不变，离差平方和变大 D．平均数变小，离差平方和变大 【变式2】（25-26八年级上·陕西铜川·期末）已知一组数据的方差，则这组数据的离差平方和的值是_______． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）若一组数据的离差平方和为10，平均数为2，数据个数为5，则这组数据中所有数据的平方和是______． 题型07 求四分位 【典例7】（25-26八年级上·陕西汉中·期末）某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（   ） A．102 B．98 C．114 D．106 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·月考）肺活量可以反映肺的容积和扩张能力，是一项能够衡量身体健康的重要指标．如图是某班在七、八年级参加国家学生体质健康测试时的肺活量箱线图，下列说法中错误的是（    ） A．该班在七年级时的肺活量下四分位数是 B．该班在八年级时的肺活量上四分位数是 C．该班在七年级时的肺活量中位数比八年级时大 D．相比七年级，该班在八年级时的肺活量有所提高 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）已知一组数据：76，82，88，92，93，95，则这组数据的下四分位数为_________． 【变式3】（25-26八年级上·河北保定·期末）将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的下四分位数为________． 题型08 画箱线图 【典例8】（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，已知（）班和（）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（   ） A．（）班成绩比（）班成绩集中 B．（）班成绩的上四分位数是分 C．（）班有同学的成绩超过分 D．（）班的最低分低于（）班的最低分 【变式1】（25-26八年级上·山西运城·期末）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（   ） A．三个班级中，甲班分数的方差最大 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C．丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数 D．若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在学校组织举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，八（1）班学生成绩的箱线图如图所示，则八（1）班学生成绩的上四分位数是______分． 【变式3】（25-26八年级上·广东佛山·期末）学习了箱线图分析数据后，小明对两地在7、8月每天最高气温这组数据进行分析，绘制了如下图的箱线图．则下列结论正确的是___________（填写序号）． ①在7至8月，B地每天最高气温的上四分位数为； ②在7至8月，B地每天最高气温的中位数小于A地每天最高气温的中位数； ③在7至8月，A地每天最高气温都高于B地每天最高气温； ④在7至8月，A地有超过一半的天数最高气温是不低于． 一、单选题 1．（2026·安徽·模拟预测）甲、乙两人各投掷10次实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（2022·广西百色·一模）甲、乙、丙、丁四名同学进行立定跳远训练，每人跳6次，成绩的平均数都是2.30米，方差分别为，，，，则这四位同学立定跳远成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）某球队5名队员的身高（单位：cm）是：178，180，185，190，192．现增加一名身高为185cm的队员，与增加之前相比，增加后队员身高（） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变大，方差变小 C．平均数不变，方差变小 D．平均数不变，方差变大 4．（25-26八年级下·浙江绍兴·月考）如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是80分 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 5．（2026九年级下·山东青岛·专题练习）已知甲、乙两队员参加“青翼杯小组赛”射击的成绩如图，则下列结论不正确的是（    ） A．统计样本是“射击成绩” B．甲同学射击成绩的中位数是2环 C．乙同学射击成绩的平均分是8环 D．甲乙两位同学中射击成绩更稳定的是乙同学 二、填空题 6．（25-26八年级上·陕西西安·期末）在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 7．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图是根据甲、乙组跳绳成绩（单位：次／分）在同一幅图中画出两组数据的箱线图．下面有四个结论：①甲组的中位数比乙组的大；②甲组最小数据和乙组相差不多；③乙组最大数据比甲组的明显大；④乙组数据的波动明显比甲组的大．其中正确的是______．（填四个结论的序号） 8．（2026·福建莆田·模拟预测）小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中_____． 9．（2026·山西吕梁·一模）为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中随机抽取6株麦苗，测得苗高（单位：cm）如下表． 品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 第六株 平均数 甲 12 13 14 15 13 11 13 乙 16 17 6 12 19 8 13 则两种小麦中长势比较整齐的是______（填“甲”或“乙”）． 10．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）某公司的质检人员从两批零件中各随机抽取了6个，记录相应横截面的直径（）如表，若甲、乙两个样本数据的方差分别为、、则_____（填“＞”、“＝”、“＜”） 批次 直径（） 4 5 6 7 甲 1 4 1 0 乙 3 1 1 1 三、解答题 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 12．（25-26八年级上·福建宁德·月考）某校组织校园安全知识竞赛，甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的下四分位数、中位数、上四分位数； (2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)请根据你对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对这两组成绩的看法． 13．（2026年广西南宁市初中毕业班质量调研（一模）数学）为加强学生防溺水安全教育，某校组织开展“平安防溺，知识争先”主题安全知识竞赛，现从七、八、九年级各随机抽取10名学生组成年级代表队参赛，竞赛满分为10分，各代表队参赛学生成绩（单位：分）如下： 【收集数据】 七年级代表队：9，8，9，9，10，7，10，9，9，10； 八年级代表队：8，9，9，10，8，9，10，9，10，8； 九年级代表队：8，8，9，8，10，9，10，8，10，10． 【整理数据】 代表队 平均数 中位数 众数 方差 七年级代表队 9 9 m 0.8 八年级代表队 9 9 9 九年级代表队 9 n 8和10 0.8 【分析数据】 (1)填空：m的值为________，n的值为________； (2)计算八年级代表队竞赛成绩的方差； 【评估结果】 (3)现根据各代表队的成绩，评估三个年级对防溺水知识的了解程度，评估方式如下：首先比较平均数，平均数较大的年级更优；若平均数相等，则比较方差，方差较小的年级更优；若平均数、方差都相等，则竞赛成绩大于平均数的人数较多的年级更优．请直接写出三个年级对防溺水知识了解程度的顺序（按由高到低排序）． 14．（2026·甘肃临夏·一模）年马年春晚中，中国制造的人形机器人在央视春晚舞台大放异彩；年全国两会上，人工智能发展与治理成为会场内外热议的焦点，成为新质生产力的核心引擎……随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，普通公民也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一．某科学小组设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作次，测试成绩（百分制）如下： 类型 平均数 中位数 众数 方差 机器人 人工 解答下列问题： (1)求出表格中的值； (2)根据以上数据，请你分析机器人和人工操作在此技能方面谁更有优势，并说明理由． 15．（25-26八年级下·广东深圳·开学考试）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功以一箭三星方式将实践三十号星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位；分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七八年级抽取的学生的成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 (1)上表中，___________，___________；___________； (2)请补全七年级学生成绩数据的箱线图，并通过对比两个箱线图，初步判断哪个年级12名学生的成绩更集中、稳定． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $