专题3.4 一次函数与二元一次方程的关系（3大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.4一次函数与二元一次方程的关系 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1一次函数与二元一次方程 知识清单 题型1已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型2由一元一次方程的解判断直线与X轴的交点 一次函数与二元一次方 题型3利用图象法解一元一次方程 程的关系 题型4由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型精讲 题型5两直线的交点与二元一次方程组的解 题型6根据两直线的交点求不等式的解集 题型7图象法解二元一次方程组 题型8求直线围成的图形面积 强化训川练 教学目标、教学重难点 知识理解：理解一次函数y=kx+b与二元一次方程kx-y+b=0的等价关系，明确 函数图象上点的坐标就是方程的解，方程的解对应图象上的点。 2.方法应用：掌握用图象法解二元一次方程组，能根据两条直线交点坐标写出方程组 教学目标 的解，并判断解的情况（唯一解、无解、无穷多解）。 3.思想体会：经历“数”与“形”的转化过程，体会数形结合思想，提升代数与几何 的关联认知，激发数学探究兴趣。 1.重点 (1)核心关联：理解一次函数与二元一次方程（组）的本质联系，即函数图象（直线） 与方程解的一一对应关系，这是数形结合的核心桥梁。 (2)方法掌握：熟练将二元一次方程转化为一次函数形式，通过画图象找交点求解方 教学重难点 程组，并能从直线位置（相交、平行、重合）判断解的情况。 2.难点 (1)双向转化：从“数”到“形”、“形”到“数”的双向思维转换，理解方程组解的 代数意义与直线交点的几何意义的统一，抽象度高。 1/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)情况判断：准确理解并区分两直线平行（无解）、重合（无穷多解）、相交（唯 解)与对应方程组解的关系，易混淆k、b对直线位置的影响。 知识清单 知识点01一次函数与二元一次方程 一元一次方程（二元一次方程组）与一次函数的关系 1)一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2)一次函数为：y=kx+b的形式；当yO时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3)每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于 考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确 定两条直线交点的坐标， 4)两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的 交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立 5)当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的 直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解， 6)当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立， 【即学即练1】1.已知一次函数y=a+b(a、b为常数，a≠0)与y=kx+n(k、n为常数，k≠0) 的图象交于点P(1,3),则关于x、y的方程组 y-ax=b 的解是() v-kx=n x=】 x=-1 x=1 A. y=3 y=3 D. y=-3 2.直线l:y=kx+b与直线2：为=kx在同一平面直角坐标系中的位置关系如图所示，则关于x的不等式 kx+b>k2x的解集为 /12y2=k2x hy=kx+b 3.如图，已知函数y=ax+b和y=kx+c的图象交于点P,则根据图象可得，关于x,y的二元一次方程组 2/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=ax+b y=kx+c 的解是 1-- P(1,1) 题型精讲 题型01己知直线与坐标轴交点求方程的解 【典例1】(25-26八年级上陕西西安期中)一次函数y=x+b(k,b为常数，且k≠0)的图象如图所示， 则关于x的方程x+b=0的解为() A.x=-4 B.x=3 C.x=0 D.x=4 【变式1】(25-26九年级下·甘肃兰州开学考试)如图，直线y=2x与y=x+b相交于点P(m,2),则关于 x的方程x+b=2x的解是() V=2x y=kx+b A.x= B.x=1 C.x=2 D.x=4 【变式2】(25-26八年级下·全国·课后作业)已知一次函数y=ax+b(a、b是常数)，x与y的部分对应值 如下表，则关于x的方程ax+b=4的解是 -3 -2 -1 0 2 0 24 6 3/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3】(25-26八年级上山东烟台期末)一次函数y=x+b的图象与y轴相交于点(0,3)，与x轴相交于 点(-5,0)，则关于x的方程ax+b=0的解是 题型02由一元一次方程的解判断直线与X轴的交点 【典例2】(25-26八年级上，广西崇左·月考)若x=2是关于x的方程mx+n=0(m≠0)的解，则一次函数 y=-mx-n的图象与x轴的交点坐标是() A.（3,0 B.(0,3 C.(0,2 D.2,0 【变式1】(25-26八年级上·全国·课后作业)已知方程kx+b=0的解是x=2,则函数y=kx+b的图象可能 是() 【变式2】(25-26八年级上宁夏银川期中)直线y=2x-b上有一点的坐标是2,3)，则关于x的方程 2x-b=3的解是 【变式3】(25-26七年级上山东东营·期末)如图，正方形A,B,C0、AB,C,C、ABCC、按如图所示的 方式放置、点A、4、A…和点CC2、C,…分别在直线y=x+1和x轴上，则点A2的纵坐标为一 y=x+l A3 B3 A B2 A C2 题型03利用图象法解一元一次方程 【典例3】(24-25八年级上·安徽合肥·期末)如图，一次函数y=+b(k<0)的图象经过点A,则方程 kx+b=3的解是() 4/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 b A.x=b B.x=2 C.x=3 D.x=- k 【变式1】(25-26八年级下·全国·课后作业)在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b(m,b为常数，且 m≠0)与正比例函数y=x(n为常数，且n≠0)的图象如图所示，则关于x的方程mx=nx-b的解为() y-mx+b V-nx A.x=3 B.x=-3 C.x=1 D.x=-1 【变式2】(25-26八年级上·广东深圳期末)如图，在平面直角坐标系中，直线4：y=x+4与直线马： y=x+b相交于点A(-1,3),则关于x的方程x+4=kx+b的解为 【变式3】(25-26八年级上广东深圳期末)如图，已知A1,2)是一次函数y=-x+b的图象上的一点，则方 程-x+b=2的解是 题型04由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例4】(25-26八年级下，全国课后作业)如图，若一次函数y=-2x+b的图象与两坐标轴分别交于A、 B两点，点A的坐标为(0,3)，则关于x的不等式-2x+b<0的解集为() 5/14 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.x>3 B C.x>3 D.x<3 【变式1】(25-26九年级下·甘肃兰州月考)若一次函数y=+b的图象如图所示，则下列结论中正确的是 () y个 y=kx+b A.k<0 B.当x=2时，y=0 C.y随x的增大而减小 D.当x>0时，y>0 【变式2】(24-25八年级下·新疆阿克苏期末)直线y=x+b与两坐标轴的交点如图所示，当y<0时，x的 取值范围是 【变式3】(25-26八年级下·上海月考)己知一次函数y=kx+b(k≠0的图像如图所示，则不等式kx+b>1 的解集为 2 题型05两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例5】(24-25八年级上·陕西榆林期末)已知一次函数y=2x+m与一次函数y=+1的交点坐标为 仙，4)，则关于x,y的二元一次方程组 y=2x+m y=+1 的解为() 6/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x=-1 x=1 x=1 A. B D. x=-4 y=4 y=-4 y=4 (y=1 【变式1】(2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习)如图是函数y,=kx+b与y,=mx+n的图象，下列结论 正确的是（) y2=mx+n y=kx+b A.关于x的方程kx+b-mx-n=0的解为x=4 B.关于x的方程组 kx=y-b 的解为 x=3 mx+n=y y=4 C.关于x的不等式mx+n<kx+b的解集为x<3 D.当x<4时，>y2 【变式2】(25-26八年级下·上海月考)如图，直线y=kx+bk≠0)与y=x+2交于点M(m,4),则关于 kx-y=-b x,y的二元一次方程组 y-x=2 的解是 y=x+b八 y=x+2 0 m 【变式3】(25-26八年级下.甘肃兰州开学考试)如图，函数y=kx+1和y=-2x+6的图象交于点A,则方 kx-y+1=0 程组 2x+y-6=01 的解是 2 A 题型06根据两直线的交点求不等式的解集 【典例6】(25-26八年级下·陕西咸阳·月考)如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与正比例函数y=2x的 7/14 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图象交于点A,则不等式kx+b>2x的解集为() V=2x y=kx+b A.x>I B.x<2 C.x<1 D.x>2 【变式1】(25-26八年级上·河南郑州期末)一次函数y1=kx+b与y2=k2x-b分别与y轴交于点A、B,交 点为(2，-)，在同一坐标系中图像如图所示，下列说法错误的是(). 0 2,-1) B A.b<0 B.点A、B关于x轴对称 C.k<0<k3 D.当x>2时，>y2 【变式2】(25-26八年级下·上海·月考)如图所示，直线y=ax+b与直线y=cx+d交点的横坐标是4，那么 不等式ax-d≥cx-b的解集是· y=ax+b y=cx+d 【变式3】(24-25九年级上·广东梅州开学考试)如图，一次函数y=-x+m与y轴交于点B,与正比例函 1 数2=。x的图象交于点P(2,nm). 2 (1)求m,n的值； (2)求出当一次函数的函数值大于正比例函数的函数值时，x的取值范围. 8/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型07图象法二元一次方程组 【典例7】(22-23八年级下，四川眉山月考)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x+b与y=mx+n的 y-ax=b 图象如图，则方程组 的解为() y-mx=n v-ax+b y=mx+n 2 x=2 x=1 x=-3 [x=-2 A. B D. y=-3 y=-2 y=2 y=1 【变式1】(2024山东临沂·模拟预测)在同一平面直角坐标系中，一次函数y,=ax+b(a≠0)与 y2=mx+(m≠0)的图象如图所示.则下列结论中：①y随x的增大而增大；②b<n;③.当x<2时， ax-y=-b x=2 片>y2;④关于x,y的方程组 的解为 mx-y=-n y=3'正确的有() y2=mx+n y=ax+b A.1 B.2 C.3 D.4 【变式2】(23-24八年级上河南平顶山期末)如图，一次函数y=-2x和y=x+b的图象相交于点A-2,4), kx-y+b=0 则关于x、y的方程组： 2x+y=0 的解是 X y=(3-k)x-2 【变式3】(23-24八年级上贵州贵阳月考)已知关于x,y的二元一次方程组 y=(3k-5列x+5无解，则 的值为 题型O8求直线围成的图形面积 9/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例8】(25-26八年级上·浙江台州月考)如图，直线y=-2x+4与x轴，y轴分别相交于A,B两点，点 C的坐标为0,1，则S。Bc等于() B A A.1 B.2 C.3 D.4 【变式1】(2025八年级上·全国·专题练习)如图，在平面直角坐标系中，ABC的面积是() B C -10 4 A.2 B.5 C.10 D.8 【变式2】(2025八年级上江苏专题练习)如图，直线y=-4, 士4巧v轴交于点A,与直线yx士4交 4.4 于点B,且直线y=5x+ 5 与x轴交于点C,则ABC的面积为 【变式3】(25-26八年级下·上海徐汇·月考)如图，己知正比例函数y=mx(m≠0)的图象与一次函数 y=kx+bk≠0)的图象交于点M(3,6),且一次函数y=kx+bk≠0)的图象经过点N(-5,-2),分别交x轴， y轴于点A,B. B 】 (1)求正比例函数、一次函数的解析式： (2)求△M0N的面积. 10/14 专题3.4 一次函数与二元一次方程的关系 教学目标  知识理解：理解一次函数 y=kx+b 与二元一次方程 kx-y+b=0 的等价关系，明确函数图象上点的坐标就是方程的解，方程的解对应图象上的点。 2. 方法应用：掌握用图象法解二元一次方程组，能根据两条直线交点坐标写出方程组的解，并判断解的情况（唯一解、无解、无穷多解）。 3. 思想体会：经历“数”与“形”的转化过程，体会数形结合思想，提升代数与几何的关联认知，激发数学探究兴趣。 教学重难点 1.重点 （1）核心关联：理解一次函数与二元一次方程（组）的本质联系，即函数图象（直线）与方程解的一一对应关系，这是数形结合的核心桥梁。 （2）方法掌握：熟练将二元一次方程转化为一次函数形式，通过画图象找交点求解方程组，并能从直线位置（相交、平行、重合）判断解的情况。 2.难点 （1）双向转化：从“数”到“形”、“形”到“数”的双向思维转换，理解方程组解的代数意义与直线交点的几何意义的统一，抽象度高。 （2）情况判断：准确理解并区分两直线平行（无解）、重合（无穷多解）、相交（唯一解）与对应方程组解的关系，易混淆 k 、 b 对直线位置的影响。 知识点01 一次函数与二元一次方程 一元一次方程（二元一次方程组）与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 【即学即练1】1．已知一次函数（、为常数，）与（、为常数，）的图象交于点，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个一次函数图象的交点坐标即为对应方程组的解，进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴该点的坐标同时满足两个函数的方程， ∴关于、的方程组，即的解为． 2．直线与直线在同一平面直角坐标系中的位置关系如图所示，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】 【分析】不等式的解集为直线在直线上方时，交点的横坐标的取值范围，据此结合函数图象求解即可． 【详解】解：由函数图象可得直线与直线交于点， ∴当时，． 3．如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的交点与二元一次方程组的解之间的关系； 根据两直线的交点坐标是对应方程组的解可得答案． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是． 题型01 已知直线与坐标轴交点求方程的解 【典例1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的解为直线与x轴交点横坐标，结合函数图象，得出答案即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴当，， ∴方程的解为． 【变式1】（25-26九年级下·甘肃兰州·开学考试）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的应用，熟练掌握一次函数的图像性质是解题的关键． 根据一次函数的交点求出点P的坐标，据此解答即可． 【详解】解：把点代入与得， ， ， ， 直线与相交于点， 关于的方程的解是， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数（是常数），与的部分对应值如下表，则关于的方程的解是____________． 0 1 2 0 2 4 6 【答案】 【分析】方程的解为一次函数中时对应的的值，只需从表格中查找对应数据即可求解． 【详解】解：观察表格可知，当时，对应的的值为， 即当时，成立， 因此方程的解是． 【变式3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，则关于的方程的解是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与一元一次方程的解的关系． 方程的解即为一次函数图象与x轴交点的横坐标． 【详解】解：由一次函数图象与x轴相交于点， 可知当时，， 即， 故方程的解为． 故答案为：． 题型02 由一元一次方程的解判断直线与X轴的交点 【典例2】（25-26八年级上·广西崇左·月考）若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为 (a，b为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 由方程的解可得与的关系，再令一次函数求解，即可得交点坐标． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． 令，即， 代入，得， ∴， ∵， ∴，解得． ∴交点坐标为． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次方程之间的关系，正确理解一次函数的图象与一元一次方程之间的关系是解题的关键．由题意知函数的图象与x轴的交点坐标为，即得答案． 【详解】解：因为方程的解是， 所以函数的图象与x轴的交点坐标为， 所以C选项符合题意． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数与一元一次方程的关系即可求解，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线上有一点的坐标是， ∴当时，， ∴方程的解是， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·山东东营·期末）如图，正方形、、、按如图所示的方式放置、点、、和点……分别在直线和轴上，则点的纵坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的坐标规律探索，解题的关键是总结规律．根据题意写出前几个点的坐标，总结规律即可求解． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 在中，当时，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ......， 的纵坐标为，（为正整数）， ∴点的纵坐标为， 故答案为：． 题型03 利用图象法解一元一次方程 【典例3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象直接进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：点， ∴方程的解是； 故选：B． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解是解题的关键． 根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：由图象可知，当时，， 即， 关于的方程的解为． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则关于x的方程的解为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系求解即可． 【详解】解：∵由函数图象可知：直线：与直线：的交点的横坐标为， ∴关于x的方程的解为． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，已知是一次函数的图象上的一点，则方程的解是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合的数学思想是解题的关键．根据一次函数的图象解一元一次方程即可． 【详解】解：是一次函数的图象上的一点， 当时，， 方程的解是． 故答案为：． 题型04 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，若一次函数的图象与两坐标轴分别交于、两点，点的坐标为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的坐标求出直线解析式，然后求出点坐标，根据直线与横轴的交点坐标即可得出不等式的解集． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ， ∴函数表达式为． 当时，， 解得， ， 由题图得，关于的不等式的解集为． 【点睛】重点掌握待定系数法和数形结合的思想． 【变式1】（25-26九年级下·甘肃兰州·月考）若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．当时， C．随的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：、由图象可知，一次函数的图象经过第一、三、四象限，则有，该选项不符合题意； 、由图象可知，当时，，该选项符合题意； 、由图象可知，随的增大而增大，该选项不符合题意； 、由图象可知，当时，，该选项不符合题意． 【变式2】（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）直线与两坐标轴的交点如图所示，当时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据直线的图象可直接得到直线在轴下方时对应的取值范围来求解． 【详解】解：从图象可知直线与轴交点的横坐标为2，当时，即直线图象在轴下方的部分，对应的自变量取值范围是． 【变式3】（25-26八年级下·上海·月考）已知一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数与坐标轴的交点，数形结合求出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，直线与y轴的交点的纵坐标为1， 当时，函数值， ∴不等式的解集为． 题型05 两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例5】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）已知一次函数与一次函数的交点坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数与一次函数的交点坐标为， ∴关于，的二元一次方程组的解为． 【变式1】（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图是函数与的图象，下列结论正确的是（   ） A．关于x的方程的解为 B．关于x的方程组的解为 C．关于x的不等式的解集为 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式及一次函数与一元一次方程，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． 根据所给函数图象，利用数形结合的思想及一次函数与一元一次不等式的关系进行判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，两直线的交点坐标为，故关于x的方程的解为，故该选项不符合题意； B、关于x的方程组的解为，故该选项符合题意； C、由函数图象可知，当时，函数的图象在函数图象的下方，即， ∴关于的不等式的解集为，故该选项不符合题意； D、由函数图象可知，当时，函数的图象在函数图象的上方，即， ∴当时，，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·上海·月考）如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【分析】先将交点的纵坐标代入求出横坐标，确定交点的坐标；再根据二元一次方程组的解与两直线交点坐标的对应关系，得出方程组的解． 【详解】解：∵ 点在直线上， ∴ 把代入，得， 解得， ∴ 点的坐标为， ∵ 二元一次方程组可变形为， ∴ 该方程组的解就是直线与交点的坐标， ∵ 直线与的交点为 ∴方程组的解是． 【变式3】（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）如图，函数和的图象交于点，则方程组的解是_____． 【答案】 【分析】根据两条直线的交点坐标即为由两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知：方程组，即的解是． 题型06 根据两直线的交点求不等式的解集 【典例6】（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点A，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数求得的坐标，然后根据图象，写出直线在直线的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：当时，， 解得， ∴， 当时，， 所以不等式的解集为． 【变式1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）一次函数与分别与y轴交于点A、B，交点为，在同一坐标系中图像如图所示，下列说法错误的是（    ）． A． B．点A、B关于x轴对称 C． D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据一次函数的性质以及数形结合思想逐项判断即可． 【详解】解：A．由一次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，即，故A选项正确，不符合题意； B．由题意可得，即点A、B关于x轴对称，故B选项正确，不符合题意； C．由一次函数，y随x增大而增大，即；由一次函数，y随x增大而减小，即；则，故C选项错误，符合题意； D．由函数图像可得：当时，一次函数的图像在上方，即，故D选项正确，不符合题意． 故选C． 【变式2】（25-26八年级下·上海·月考）如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，那么不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】先将不等式整理为，再根据直线在直线上方部分确定自变量取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴． 观察图像可知当时，， ∴当时， ， 所以不等式的解集是， 即不等式的解集是． 【变式3】（24-25九年级上·广东梅州·开学考试）如图，一次函数与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)求出当一次函数的函数值大于正比例函数的函数值时，的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把点代入，可求得n值；把点代入，求的值即可； （2）根据函数的性质，求解即可． 【详解】（1）解：一次函数与轴交于点，与正比例函数的图象交于点， ， ， ， 解得． （2）解：一次函数与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，且一次函数的函数值大于正比例函数的函数值， ． 题型07 图象法二元一次方程组 【典例7】（22-23八年级下·四川眉山·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 【变式1】（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：①、随的增大而增大，故选项①正确； ②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确； ③．由图象可知：当时，，故选项③错误； ④．由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为；故选项④正确； 故正确的有①②④共三个， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·贵州贵阳·月考）已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的综合问题． 二元一次方程组无解的条件是两条直线平行，即x的系数相等但b不等，通过令k相等求解k的值． 【详解】解：由方程组无解，得直线与直线平行，故x的系数相等，即 ． 解方程： ， 移项得： ， 即：， 解得：． 故答案为：． 题型08 求直线围成的图形面积 【典例8】（25-26八年级上·浙江台州·月考）如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C的坐标为，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求出两点的坐标，得到，结合题意得到，进而求出，由即可得出结果． 【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点， 则时，，时，，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的面积是（   ） A．2 B．5 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了求直线与坐标轴围成的三角形面积，熟练掌握该知识点是关键． 由图像可知：，，然后根据三角形面积公式求出三角形的面积即可． 【详解】解：由图形可知：，， 所以的面积为：. 故选：B. 【变式2】（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，且直线与x轴交于点C，则的面积为______． 【答案】4 【分析】此题考查一次函数与坐标轴的交点坐标的求法，两个一次函数交点的坐标的求法，理解方程及方程组与一次函数的关系是解题的关键．先根据函数解析式分别求出点A、B、C、D的坐标，再根据的面积的面积的面积求出答案． 【详解】解：记直线与轴交于点， 在中，当时，， 解得， ∴， 在中，当时，， ∴， 解方程组，得， ∴， 过点B作轴，则， 在中，当，时，解得， ∴， ∴，, ∴ ． 故答案为:． 【变式3】（25-26八年级下·上海徐汇·月考）如图，已知正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，且一次函数的图象经过点，分别交x轴，y轴于点A，B． (1)求正比例函数、一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)正比例函数，一次函数 (2)12 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先求出，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， ∴正比例函数； 将，代入得， 解得 ∴一次函数； （2）解：∵一次函数 ∴当时， ∴，即 ∵， ∴的面积． 一、单选题 1．（25-26九年级下·广西柳州·开学考试）一次函数和的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交点横坐标，结合图象写出解集即可． 【详解】解：根据图象可知：当时，的函数值小于5，且的函数值大于的函数值， ∴不等式的解集为． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程和一次函数的关系．将原方程的解转化为一次函数图象上的点，从而借助函数的知识求解． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，当时，， 与轴交点为，与轴交点为， 故选：B． 3．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）由于直线与平行，则方程组的解的情况是（   ） A．有唯一解 B．无解 C．无数解 D．有限解 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，平行的两条直线无交点，对应的二元一次方程组无解，也可通过消元法验证方程组是否有解． 【详解】解：∵直线与平行，两直线没有交点 ∴方程组无解 故选：B． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）若直线与的交点坐标为，则是下列哪个方程组的解 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题目中的两条直线解析式变形为二元一次方程的一般形式，再与选项中的方程组逐一对比，找到匹配的选项． 【详解】解：∵直线与的交点坐标为， ∴是方程组的解，对应选项A． 5．（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】先求一次函数与坐标轴的交点，分别令和得到y轴和x轴的交点坐标，再利用三角形面积得到方程，解方程即可． 【详解】解：当时，， 函数与y轴的交点为， 当时，， 解得， 函数与x轴的交点为， 函数图像与坐标轴围成的三角形面积为6，三角形的两条直角边长分别为和， ， 整理得， 或， 解得或，均满足，即函数图象与坐标轴围成三角形的条件， 的值为或． 二、填空题 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）当函数与的函数值相等时，自变量的值是_____． 【答案】 【分析】将两个一次函数的表达式联立成一元一次方程，再通过解一元一次方程求出自变量的值． 【详解】解：∵函数与的函数值相等， ∴，解得． 故答案为：4． 7．（24-25八年级下·重庆·期中）直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】先根据点P在已知直线上求出交点P的坐标，再根据两直线交点坐标即为对应二元一次方程组的解求解即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴交点的坐标为， ∵直线与直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解， ∴关于，的二元一次方程组的解为． 8．（22-23八年级下·辽宁大连·期中）如图，直线与轴交于点，则时，的取值范围为_____． 【答案】 【分析】直接根据函数图象进行解答即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，． 9．（25-26九年级下·四川绵阳·月考）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数，，，的图像相交于点P．嘉嘉根据图像得到如下结论：①在一次函数中，y的值随着x值的增大而增大；②在一次函数中，y的值随着x值的增大而增大；③方程组与的解相同，都是；④；⑤x从0开始逐渐增大时，函数的值比函数的值先到达10．其中正确的结论是________ ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】根据一次函数经过的象限，可知，，即可判断①和②；根据四个函数的图像相交于点P，可知方程组与的解相同，都是，即可判断③；观察四个函数的图像与轴的交点的位置，越在上方的b的值越大，即有，故可判断④；结合图像分析出，且一次函数的图像比一次函数的图像倾斜程度大，可知，即x从0开始逐渐增大时，函数的值比函数的值先到达10，可判断⑤． 【详解】解：根据一次函数经过的象限，可知一次函数的， ∴y的值随着x值的增大而增大，故①正确； 一次函数的， ∴y的值随着x值的增大而减小，故②错误； ∵一次函数，，，的图像相交于点P， ∴方程组与的解相同，都是，故③正确； ∵观察，，，分别与轴的交点的位置，越在上方的b的值越大， ∴，故④正确； ∵，均经过第一、三象限， ∴， ∵一次函数的图像比一次函数的图像倾斜程度大， ∴， ∴x从0开始逐渐增大时，函数的值比函数的值先到达10， 故⑤错误． 综上所述，结论正确的是①③④． 10．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】不等式表示的区域就是直线在直线下方的区域，再代入点，得到正比例函数中求出m，即可解题. 【详解】解：∵函数过点， ∴， 解得：， ∴， ∴不等式的解集为． 三、解答题 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线相交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ； (2)求关于x的不等式组的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】利用数形结合思想解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与x轴交于点， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 观察图象得：当时，函数的图象在x轴的下方， 即关于x的不等式的解集为； 故答案为：，； （2）解：根据图象得，当时，一次函数和的图象均在x轴的上方， ∴关于x的不等式组的解集为． 12．（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知，直线与直线． (1)求两直线与y轴交点A，B的坐标； (2)求两直线交点C的坐标； (3)求的面积． (4)根据图象，写出关于x的不等式的解集 【答案】(1)， (2) (3)2 (4) 【分析】（1）根据坐标轴上点的特征，代入求解即可； （2）根据一次函数图象与二元一次方程组的关系，联立方程组，求解即可； （3）根据点的坐标，可求线段，再根据点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可求出三角形的高，计算即可； （4）根据一次函数与不等式的关系，结合图象可得，当时，． 【详解】（1）解：由图可知，直线与直线分别交y轴于点A、B， 当时，，即； 当时，，即； （2）解：直线与直线交于点C， ，解得， 则； （3）解：，，， ， 则的面积为2； （4）解：如图，当时，． 13．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点直线与轴交于点，与轴交于点，且与一次函数的图象交于点． (1)直接写出的值______； (2)求一次函数的解析式； (3)已知点是线段上一点，且，求的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点P的横坐标代入，即可求出n． （2）利用待定系数法求一次函数解析式即可． （3）先求出点A和点C的坐标，，求出，设，最后根据代入求解出x，进而可求出点H的坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， 把点和点的坐标代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （3）解：令，则，解得， ，解得， ，， ， ， 设， 则， ， ， 14．（2026·河北石家庄·一模）如图，直线经过点，，直线：与x轴交于点C，与直线交于点P． (1)求直线的表达式，判断点是否在直线上，并说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)，点不在直线上，理由见解析 (2) 【分析】（1）设直线的表达式为，将点，代入，即可求得表达式，将代入表达式进行判断即可； （2）设与轴交于点，则点，点，由题意得，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 将点，代入， 得， 解得 直线的表达式为， 当时，， 点不在直线上； （2）解：设与轴交于点，则点，点， ， 由题意得， 解得， 点， ． 15．（22-23八年级下·河南许昌·月考）如图，直线经过点，． (1)求直线的解析式； (2)求直线：与直线及轴围成的图形的面积． (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点，代入直线中求解、，得到直线解析式； （2）根据直线的解析式求出，联立，求出点的坐标，利用三角形的面积公式求解即可； （3）根据图象，得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：将点，代入中得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：令，则， ； 在中，令，则， ， ， 联立， 解得：， ， ， 即直线与直线及轴围成图形的面积为； （3）解：由图象可知，直线与直线交于点， 关于的不等式的解集为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $