精品解析：甘肃酒泉市2025-2026学年4月高三年级调研考试数学试题

2026年4月酒泉市高三年级调研考试 数学试题 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校园文创店统计了开学第一周（7天）的动漫周边产品销量（单位：件），数据如下：，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 27 B. 28.5 C. 30 D. 33 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算 【详解】把一周的数据从小到大排列：24，27，30，33，35，38，42 由于，所以该组数据的第40百分位数是第3个数据，即30 2. 已知复数满足，其中是的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数模的性质及共轭复数的性质可得. 【详解】根据复数模的性质， 所以，即，, 所以，又由共轭复数的性质得. ​ 3. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解不等式得，即， 又，所以， 所以. 4. 已知，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由条件和基本不等式可得最小值. 【详解】因为，所以，且， 所以， 当且仅当且时等号成立，由得（舍去）， 代入，解得， 所以当时，的最小值为. 5. 在中，内角所对的边分别为.若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】在中，由正弦定理可得. 已知，变形得，且， 将其代入正弦定理公式得：. 由余弦定理，代入，，得： . 因为边长，所以. 6. 已知等差数列的公差，前项和为. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由可知，即. 根据等差数列性质：若，则， 可得，，代入得，即. 同理，，代入得，即. 由等差数列前项和公式，结合性质，得：. 7. 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴上，点在抛物线上，且.过焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出抛物线方程和直线方程，联立这两个方程，然后利用韦达定理以及抛物线的定义即可求解. 【详解】 如图所示，设抛物线方程为，焦点为， 由于点在抛物线上，且， 则有，代入得， 故抛物线方程为，焦点为， 设，，由于直线经过焦点且倾斜角为，因此直线方程为， 与抛物线联立得， 由韦达定理得，则， 根据抛物线的定义，有，， 因此，故C正确. 8. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.的图象关于直线对称，且在区间上单调递减.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式及二倍角公式化简函数，进而求出，再利用正弦函数性质求出，结合同角公式、二倍角公式及和角的正弦公式求出函数值. 【详解】函数 ，则， 由函数的图象关于直线对称，得， 即，而，则，， 当时，，函数在上单调递减， 因此函数在区间上单调递减，即符合题意，， 由，得，由，得， 则，， ， 所以. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的首项，公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的有（ ） A. 的可能取值有3个 B. 若，则数列是递增数列 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的所有可能值，再逐项判断即可. 【详解】在等比数列中，由，得，则， 即，当时，，解得， 当时，，解得或， 对于A，的可能取值为，有3个，A正确； 对于B，当时，或，而当时，，， 数列是常数列，不是递增数列，B错误； 对于C，当时，，，C正确； 对于D，当时，或，而当时，，D错误. 10. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 对任意，函数都是偶函数 B. 若，则函数在上存在唯一极小值点 C. 若，则函数在上存在极值点 D. 若，且方程有且仅有一个实数解，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】A选项：函数的定义域为，关于原点对称， 且， 故对任意，为偶函数，A正确. B选项：当时，， 求导得， 令则，故在上单调递增， 又，所以当 时 ， 时 ， 因此是在上唯一的极小值点，B正确. C选项：当时，， ，当时，，， 故，在上单调递减，无极值点，C错误. D选项：当时，结合B选项可知，在处取得最小值， 方程有且仅有一个解，则最小值为，即，解得，D正确. 11. 已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交双曲线于点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则双曲线的离心率为 C. 若双曲线的离心率为，则 D. 若为线段的中点，则双曲线的离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A易得双曲线的一条渐近线方程为，利用点到直线的距离公式求得，再结合勾股定理求解即可判断；B设在渐近线上，先求出，再结合可得，再代入双曲线方程即可得到，进而求解判断即可；C由双曲线的离心率为，结合B可得，，进而根据平面向量的夹角的余弦公式求解判断即可；D结合B可得，进而得到，再代入双曲线方程即可得到，进而求解判断即可. 【详解】A，双曲线的一条渐近线方程为，即， 不妨设在渐近线上，则， 而，则，故A正确； B，不妨设在渐近线上， 由A知，，，，且， 则，即，则， 即， 因为，所以，即， 将代入双曲线方程，得， 整理得，则，所以双曲线的离心率为，故B错误； C，由双曲线的离心率为，则，即， 则，即，由B知，，即， 而，则，， 则，故C正确； D，由B知，，若为线段的中点，则， 将代入双曲线方程，得， 整理得，则，所以双曲线的离心率为，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为坐标原点，平面向量.若点满足，且，则实数__________. 【答案】 【解析】 【详解】已知，，则 设，则 因为，所以（*）， 因为，所以， 将其代入（*），可得，解得. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【详解】若，则，则， 因为是定义在上的奇函数，所以， 对其求导得，则，又因， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 14. 已知底面为正方形的直四棱柱的高为4，底面边长为4，其内部有一个与直四棱柱所有面均相切的内切球.现以直四棱柱上底面的中心为顶点，下底面的外接圆为底面作一个圆锥，则该圆锥与内切球的公共部分的体积为__________.注：球缺的体积公式为为球的半径，为球缺的高. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知重合部分由圆锥和球缺构成，根据公式计算体积即可． 【详解】解：根据题意该直四棱柱是边长为的正方体， 则球的半径为，圆锥底面半径为，高为， 如图，重合部分由圆锥和球缺构成， 设，则，，， 又，即， 解得或（舍去）， 则， 圆锥的体积， 球缺的体积， 故重合部分的体积． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某市施行“垃圾分类”后，为了解该市某区居民对“垃圾分类”政策的支持度与年龄的关系，随机抽取该区100名居民进行调查，得到如下列联表： 支持 不支持 合计 18-40岁（青年） 35 15 50 41岁及以上（中老年） 25 25 50 合计 60 40 100 （1）根据小概率值的独立性检验，分析该区居民对“垃圾分类”政策的支持度是否与年龄有关； （2）按“支持”和“不支持”分层，采用比例分配的分层随机抽样方法从上述100名居民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行进一步访谈，记抽取的3人中支持“垃圾分类”的人数为，求的分布列. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）认为居民对“垃圾分类”政策的支持度与年龄有关 （2）的分布列为 【解析】 【分析】（1）计算，根据独立性检验理论判断； （2）先根据分层抽样确定人数，再利用超几何分布列分布列. 【小问1详解】 零假设居民对“垃圾分类”政策的支持度与年龄无关， 则， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为居民对“垃圾分类”政策的支持度与年龄有关. 【小问2详解】 “支持”和“不支持”的人数比为， 则抽取的10人中“支持”和“不支持”的人数分别为, 则的可能取值为， 则， ， 则的分布列为 16. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作轴的垂线交椭圆于两点（点在第一象限），且的周长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作两条直线分别交椭圆于两点（均不与重合），若直线与的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2）证明：将代入，得，点在第一象限，所以. 易知，直线与的倾斜角均不为， 所以斜率均存在，不为零，且斜率互为相反数. 设直线的方程为， 则直线的方程为. 设， 由，得， 则，所以，， 同理，用代换，得，， 所以直线的斜率为. 所以直线的斜率为定值，该定值为. 【解析】 【分析】（1）设椭圆的焦距为，由题意直接求得，根据求得即可求得椭圆的标准方程； （2）求出点的坐标，设直线的斜率为，则直线的斜率为，联立直线与椭圆的方程，用表示两点的坐标，即可求得直线的斜率为定值，并求出该定值. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，则， 由的周长为，得，所以. 所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 17. 如图，在直角梯形中，为的中点.将沿翻折，使点到达点的位置，且平面平面. （1）求证：平面平面. （2）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）在直角梯形 中， 为 的中点， 所以，四边形 是正方形，所以. 所以在四棱锥中，. 因为平面平面 ，平面平面，平面 ， 所以平面 . 因为平面 ，所以. 又正方形 中，， 因为平面 ，所以 平面 . 因为平面，所以平面 平面 . （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面 ，所以，由线面垂直的判定定理结合正方形的性质，可得 平面 ，根据面面垂直的判定定理即可证得平面 平面 ； （2）假设在线段 上存在点 ，满足题意，且，建立恰当的空间直角坐标系，根据线面角的向量求法求得的值，即可判断. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面 ，，所以两两垂直. 以 坐标原点，分别以所在直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则. 所以， 设平面的法向量为，则. 令 ，则，所以平面的一个法向量为. 假设在线段 上存在点 ，满足题意，且， 则. 由与平面 所成角的正弦值为，得， 所以， 化简得，所以（负值舍去）. 所以，所以. 即存在点M满足题意，且. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间和极值； （2）当时，证明：存在两个零点； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围，并比较与的大小. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为,极小值为0，无极大值 （2）证明如下： 当时，，， 则， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 则存在，使得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，， 所以根据零点存在性定理可知，函数存在两个零点. （3）， 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的正负分析函数的单调区间及极值； （2）求导，先利用导数分析函数的单调性，进而结合零点存在性定理求证即可； （3）转化问题为对任意恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解的范围即可，进而得到，再结合（1）可得函数在上单调递增，进而判断大小即可. 【小问1详解】 当时，，， 则时，， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又， 则时，，时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 时，函数取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由， 即对任意恒成立， 设，， 则， 设，，则， 当时，，，则， 所以函数在上单调递增，则，即， 所以函数在上单调递增，则，即， 所以实数的取值范围为. 由，，， 则， 由（1）知，函数在上单调递增， 且时，，则，即， 所以函数在上单调递增，又， 所以. 19. 某种微生物的繁殖规则如下：初始时刻有1个该微生物，每经过1个单位时间，每个现存的微生物独立地发生三种变化之一：①死亡，概率为；②保持1个，不繁殖也不死亡，概率为；③分裂为2个微生物，概率为.当微生物的数量为0时，繁殖过程终止.设为经过个单位时间后，该微生物处于繁殖过程终止的概率. （1）求的值； （2）令，证明：； （3）在（2）的条件下，证明：对任意正整数，都有. 【答案】（1）； （2）证明如下： 经过个单位时间后，该微生物处于繁殖过程终止有三种互斥情况： 经过1个单位时间后生物直接死亡，概率为； 经过1个单位时间后生物保持一个，再经过个单位时间繁殖过程终止，概率为； 经过1个单位时间后分裂为2个微生物，再经过个单位时间繁殖过程终止，概率为. 所以， 因为，所以， 整理即得. （3）证明如下： 当时，，此时，不等式成立； 假设时，成立. 证右边： 设函数，易知在上单调递增， 因为，所以， 即， 因为，所以， 所以，右边成立； 证左边： 因为，所以， 即， 因为， 所以，所以， 综上，当时，不等式成立. 所以对任意正整数，都有. 【解析】 【分析】（1）分直接死亡、保持一个、分裂为2个求概率，然后根据互斥事件的概率公式求解可得； （2）分直接死亡、保持一个、分裂为2个求出的递推公式，将条件代入化简即可得证； （3）利用数学归纳法，结合函数的单调性即可得证. 【小问1详解】 由题知， 经过个单位时间后，该微生物处于繁殖过程终止有三种互斥情况： 经过1个单位时间后生物直接死亡，概率为； 经过1个单位时间后生物保持一个后，再经过1个单位时间繁殖过程终止，概率为； 经过1个单位时间后分裂为2个微生物，再经过1个单位时间繁殖过程终止，概率为. 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年4月酒泉市高三年级调研考试 数学试题 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校园文创店统计了开学第一周（7天）的动漫周边产品销量（单位：件），数据如下：，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 27 B. 28.5 C. 30 D. 33 2. 已知复数满足，其中是的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角所对的边分别为.若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知等差数列的公差，前项和为. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴上，点在抛物线上，且.过焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 8. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.的图象关于直线对称，且在区间上单调递减.若，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的首项，公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的有（ ） A. 的可能取值有3个 B. 若，则数列是递增数列 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 对任意，函数都是偶函数 B. 若，则函数在上存在唯一极小值点 C. 若，则函数在上存在极值点 D. 若，且方程有且仅有一个实数解，则 11. 已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交双曲线于点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则双曲线的离心率为 C. 若双曲线的离心率为，则 D. 若为线段的中点，则双曲线的离心率为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为坐标原点，平面向量.若点满足，且，则实数__________. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为__________. 14. 已知底面为正方形的直四棱柱的高为4，底面边长为4，其内部有一个与直四棱柱所有面均相切的内切球.现以直四棱柱上底面的中心为顶点，下底面的外接圆为底面作一个圆锥，则该圆锥与内切球的公共部分的体积为__________.注：球缺的体积公式为为球的半径，为球缺的高. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某市施行“垃圾分类”后，为了解该市某区居民对“垃圾分类”政策的支持度与年龄的关系，随机抽取该区100名居民进行调查，得到如下列联表： 支持 不支持 合计 18-40岁（青年） 35 15 50 41岁及以上（中老年） 25 25 50 合计 60 40 100 （1）根据小概率值的独立性检验，分析该区居民对“垃圾分类”政策的支持度是否与年龄有关； （2）按“支持”和“不支持”分层，采用比例分配的分层随机抽样方法从上述100名居民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行进一步访谈，记抽取的3人中支持“垃圾分类”的人数为，求的分布列. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作轴的垂线交椭圆于两点（点在第一象限），且的周长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作两条直线分别交椭圆于两点（均不与重合），若直线与的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值，并求出该定值. 17. 如图，在直角梯形中，为的中点.将沿翻折，使点到达点的位置，且平面平面. （1）求证：平面平面. （2）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间和极值； （2）当时，证明：存在两个零点； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围，并比较与的大小. 19. 某种微生物的繁殖规则如下：初始时刻有1个该微生物，每经过1个单位时间，每个现存的微生物独立地发生三种变化之一：①死亡，概率为；②保持1个，不繁殖也不死亡，概率为；③分裂为2个微生物，概率为.当微生物的数量为0时，繁殖过程终止.设为经过个单位时间后，该微生物处于繁殖过程终止的概率. （1）求的值； （2）令，证明：； （3）在（2）的条件下，证明：对任意正整数，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $