题号猜押03 重庆中考数学17～20题（重庆专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押03 重庆中考数学17~20题 考点1 解不等式组 1．（2026·重庆实验外国语学校·第一次适应性考试）求不等式组的所有整数解． 解：解不等式①，得___________， 解不等式②，得___________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为___________． 整数解为___________． 2．（2026·重庆南开中学·一模）求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式得______， 解不等式得______， 所以，原不等式组的解集为______， 所以，原不等式组的整数解为______． 3．解不等式组：，并写出所有整数解． 4．（2026·重庆育才中学·中考模拟）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 5．（2026·银川三十八中·一模）计算：解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 考点2 尺规作图+补全证明过程 6．（2026·重庆第八中学·一模）小宏在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小宏的操作：如图，在四边形中，，是对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点O、E、F，连接、．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明∵垂直平分， ∴①__________，． ∵， ∴②__________． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵④__________， ∴四边形为菱形． 7．（2026·重庆江津中学·第一次定时作业）如图，已知，平分，点是上任意一点． (1)按要求，用圆规和直尺作图：作的角平分线，交于点，作射线，交于点，在上截取，连接． (2)研究发现，线段、、的长度存在关系：． 利用三角形全等证明猜想． 证明：∵平分 ∴ 在与中 ∴ ∴②_____ ∵ ∴ ∵，， ∴③_____ ∵平分 ∴ 在与中 ∴ ∴④_____ ∴ 8．（2026·重庆实验外国语学校·第一次适应性考试）学习了平行四边形和尺规作图后，小明进行了拓展性探究，他发现由一个三角形构造出平行四边形的一种作法，并与他的同伴进行了交流．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． 第一步：构造相等的角． 小明确定了的中线，并延长（如图）．请利用尺规作图，在右侧作，与的延长线相交于点，连接，四边形即为平行四边形（不写作法，保留作图痕迹） 第二步：利用三角形全等证明他的想法． 证明：， ， 是的中线， ． 在和中， ， ． ， 四边形是平行四边形． 9．（2025·重庆巴蜀中学·二模）在学习了三角形全等和等腰三角形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，三角形一个角的角平分线上的点，如果满足到另外两个顶点距离相等，这个三角形有可能是等腰三角形．其解决思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)如图，在中，平分交于E，点D在线段上，用尺规过点D作的垂线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹）    (2)已知：点D在内，且在上，，于G． 求证：． 证明：∵平分，，， ∴① ， 在和中 ∴③ ． 又∵， ∴． ∴， ∴④ ； ∴． 进一步思考，点D在外，其余条件不变，还成立吗？写出你猜想的结论：⑤ ．（填“成立”或者“不成立”） 10．（2026·重庆江北巴川量子中学校·一模）学习了特殊平行四边形后，小龙进行了拓展性研究，他发现菱形任意一组邻边的垂直平分线的交点都在菱形的一条对角线上．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：作出图形． 小龙连接了菱形的一条对角线（如图）．请你利用尺规，作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接和（不写作法，保留作图痕迹）．第二步：分析思路． 证明和的垂直平分线的交点在对角线上，可以转化为证明的垂直平分线与的交点也在的垂直平分线上，根据垂直平分线的判定定理，只需证明即可． 第三步：证明猜想． 证明：四边形是菱形， ，① ． 在与中， ， ． 垂直平分， ③ ， ， ④ ， 即菱形的一组邻边和的垂直平分线的交点在对角线上． 考点3 统计 11．（2026·重庆巴蜀中学·一模）先化简，再求值：，其中x满足． 12．先化简，再求值：，其中． 13．先化简，再求值：，其中． 14．（2026·重庆西大附中·一模）先化简，再求值：，其中 15．先化简，再求值：，其中． 考点4 整式+分式化简求值 16．（2026·重庆渝北中学·一模）重庆市某校开展了科学知识竞赛，从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均高于60分，用x表示，共分四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生竞赛成绩在B中的数据是：83、88、87、85 八年级10名学生竞赛成绩是：67、68、70、73、79、85、90、90、92、96 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81 81 中位数 a 82 众数 90 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中__________，__________，__________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生科学知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生700人，八年级有学生600人，本次活动七、八年级都有500人参加，则请估计参加的学生中，七、八年级共有多少人得到A等级． 17．为了解落实“光盘行动”的情况，学校从七、八年级各随机抽取20名学生，对其午餐剩余饭菜重量（以下简称“餐余重量”，单位：克）的数据进行整理、描述和分析．所有学生的餐余重量均不超过500克（餐余重量用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的餐余重量是：52，60，76，83，87，120，130，151，151，178，212，220，228，255，260，274，320，350，375，418 八年级20名学生的餐余重量在B组中的数据是：120，123，144，153，172，180，198 七、八年级所抽学生的餐余重量统计表 年级 七年级 八年级 平均数 200 190 中位数 195 b 众数 a 220 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生“光盘行动”落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有980名学生，请估计该校七、八年级午餐餐余重量不超过100克的学生共有多少人？ 18．学校开展了环保知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：82，83，84，84，85，86，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：60，61，62，70，71，72，73，80，82，83，85，86，87，87，91，92，95，96，98，99． 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81.5 81.5 中位数 a 84 众数 84 b 七年级所抽学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生环保知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生600人，八年级有学生520人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少? 19．（2026·重庆江北巴川量子中学校·一模）【问题背景】有关研究表明，维生素C（学名：抗坏血酸）对豚鼠牙齿生长有一定的影响．生物课上，老师带领同学们对此项结论进行探究，随机选出相同品种的豚鼠共40只，平均分为两组，每天分别喂食和剂量的维生素C，在一定时间后测量豚鼠牙齿的生长情况． 【实践发现】一周后，同学们对两组豚鼠的牙齿生长长度进行了测量（牙齿生长长度用表示，单位为毫米，分为四组：；；；；）下面给出部分信息： 剂量组中豚鼠牙齿生长长度在区间的数据为： 10，10，11，12，12，12，13，14，14 剂量组中豚鼠牙齿生长长度的数据为： 6，7，7，8，8，12，12，12，12，13，13，13，14，14，15，17，17，21，23，25 【实践探究】 两种剂量组中豚鼠牙齿生长长度统计表 剂量 平均数 12 中位数 13 众数 12 剂量组中豚鼠牙齿生长长度扇形统计图 【问题解决】 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 ， ， ； (2)请判断哪种剂量更适合豚鼠牙齿的生长，并说明理由；（写出一条理由即可） (3)若养殖基地准备按和的剂量分别投喂1000和1500只豚鼠，并在一周后，对牙齿生长长度低于的豚鼠再进行加大剂量投喂，请估计大概有多少只豚鼠需要加大剂量投喂？ 20．（2026·重庆实验外国语学校·第一次适应性考试）为了加强学生的网络安全与信息素养，某校对学生进行网络安全知识测评，从该校七年级、八年级两个年级各随机抽取20名学生的测试成绩（满分为100分）进行整理和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的测试成绩是：65，66，67，68，68，69，76，77，79，80，80，86，86，86，86，90，91，92，98，100 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：83，84，86，86，87，88，89，89； 七年级、八年级抽取的学生测试成绩统计表如下： 年级 平均数 众数 中位数 七年级 80.5 a 80 八年级 80.5 92 根据上述信息，解答下列问题： (1)填空：___________，___________，___________； (2)请根据以上数据进行分析，该校七年级和八年级的学生中，哪个年级的学生掌握网络安全知识更好？并说明理由； (3)若该校七年级有学生600名，八年级有学生800名，请估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生总共有多少名？ 1．解不等式组，请结合解题过程，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为________． 2．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来： (4)原不等式组的解集为________． 3．（2026·天津北辰·一模）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为________． 4．（2026·天津南开·一模）解不等式组，请按下列步骤完成解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_____． 5．（2026·湖南娄底涟源·一模）近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式：电动自行车、私家车、公共交通、其他（自行车、步行等）和时段：、、、其他时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“私家车”所在扇形的圆心角度数为_________； (2)本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有__________人，并补全条形统计图； (3)若该校共有名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； (4)假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 6．某小区开展便民服务，设置了五种便民服务项目：家电维修（A）、快递代收（B）、文体活动（C）、健康义诊（D）、书籍借阅（E）．为了解小区居民对这五种便民服务项目的喜爱及需求情况，小区工作人员开展问卷调查，形成如下统计图（不完整）： 请根据调查报告，解答下列问题： (1)本次抽样调查的人数共有________人，________； (2)根据调查结果补全条形统计图，并在对应条形图上方标注人数： (3)若该小区共800名居民，所有居民都只选择一种便民服务项目，请通过计算估计该小区喜爱“文体活动”项目的居民有多少名？ 7．百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用x表示，分为四个等级：（A：，B：，C：，D：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 a 乙 86 b 87 乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数； (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择的概率． 8．（2026·浙江舟山·一模）为保障2026年央视春晚机器人武术表演的动作整齐度，技术人员抽取部分机器人开展动作同步误差检测，以此筛选最终上场的设备．规定：同步误差数值越小，代表动作精准度越高．误差单位为毫秒（ms）根据检测结果，绘制了如下未完成的频数统计表与扇形统计图． 机器人动作同步误差数据频数统计表 同步误差（ms） 频数 对应扇形区域 5 A B 14 C 11 D 10 E 根据以上信息，解答下列问题： (1)抽取的机器人数是________台，统计图表中________．________． (2)这组数据的中位数落在________组． (3)若规定误差小于30（）为“表演合格”，请估计200台同款机器人中合格的台数． 9．（2026·重庆南开中学·一模）在学习了三角形的中线和重心后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的两倍，可利用三角形全等和平行线的相关知识得到此结论． 请你根据他们的想法和思路，完成以下作图和推理填空： (1)如图，的两条中线和交于点．请你利用尺规作图，在下方作，延长交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，证明：． 证明：，是的中线， ，． 在和中， ， ． ② ． ． ③ ， ， ④ ． 即． ． 10．（2026·重庆杨家坪中学·一模）如图，在平行四边形中，点是对角线上一点，连接． (1)用尺规完成基本作图：作，交线段于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形，请根据以下思路完成填空： 证：四边形是平行四边形， ，， ①___________， 在和中， ， ②___________，， ，③___________， ， ④___________， 四边形是平行四边形． 11．（2026·重庆万州二中·一模）如图，已知中，点在边上，且，连接． (1)请用尺规作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程： 证明：平分， ① ， 在和中， ， ， ③ ， ，，， ， ④ ， ． 12．在学习菱形的过程中，小林发现：在菱形中，E是边上的中点，与对角线相交于点F，如果，则一定有．为此小林进行了证明探究，请你根据他的思路，完成以下作图和填空： (1)第一步：利用尺规作图，过点F作的垂线，垂足为G（不写作法，保留作图痕迹）； (2)第二步：利用三角形的全等证明他的猜想． 证明：∵四边形是菱形， ∴，． ，， ， ∵E是中点， ， ∴， 在和中， ， ， ． 13．（2026·重庆万州二中·一模）先化简，再求值：，其中． 14．（2026·重庆育才中学·中考模拟）先化简，再求值：，其中． 15．（2026·重庆十一中·一模）先化简，再求值．，其中． 16．（2026·重庆鲁能巴蜀·一模）先化简，再求值：，其中． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押03 重庆中考数学17~20题 考点1 解不等式组 1．（2026·重庆实验外国语学校·第一次适应性考试）求不等式组的所有整数解． 解：解不等式①，得___________， 解不等式②，得___________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为___________． 整数解为___________． 【答案】，，图见解析，，或或或或 【来源】重庆实验外国语学校2026年第一次适应性考试 数学试题 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再表示在数轴上，结合数轴即可得出解集． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为． 整数解为或或或或． 2．（2026·重庆南开中学·一模）求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式得______， 解不等式得______， 所以，原不等式组的解集为______， 所以，原不等式组的整数解为______． 【答案】 ；；；， 【详解】解：解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； 解不等式， 两边同乘去分母得， 化简得， 移项合并同类项得， 系数化为得， 所以，原不等式组的解集为， 所以，原不等式组的整数解为，． 3．解不等式组：，并写出所有整数解． 【答案】，所有整数解为 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 4．（2026·重庆育才中学·中考模拟）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】 不等式组的解集为，所有整数解为，，， 【来源】2026年重庆育才中学九年级中考模拟试题数学试卷 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定原则，“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”得到原不等式组的解集，最后找出解集内的所有整数即可． 【详解】解：解不等式①得，, 解不等式②得，， 原不等式组的解集为， 它的所有整数解为，，，． 5．（2026·银川三十八中·一模）计算：解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 【答案】，不等式组的整数解为：，0，1 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：，0，1 考点2 尺规作图+补全证明过程 6．（2026·重庆第八中学·一模）小宏在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小宏的操作：如图，在四边形中，，是对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点O、E、F，连接、．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明∵垂直平分， ∴①__________，． ∵， ∴②__________． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵④__________， ∴四边形为菱形． 【答案】(1)见解析； (2)①；②；③；④ 【详解】（1）解：如图即为所求作； （2）解：证明∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为菱形． 7．（2026·重庆江津中学·第一次定时作业）如图，已知，平分，点是上任意一点． (1)按要求，用圆规和直尺作图：作的角平分线，交于点，作射线，交于点，在上截取，连接． (2)研究发现，线段、、的长度存在关系：． 利用三角形全等证明猜想． 证明：∵平分 ∴ 在与中 ∴ ∴②_____ ∵ ∴ ∵，， ∴③_____ ∵平分 ∴ 在与中 ∴ ∴④_____ ∴ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）证明：∵平分， ∴； 在与中 ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴； 在与中 ， ∴； ∴， ∴． 8．（2026·重庆实验外国语学校·第一次适应性考试）学习了平行四边形和尺规作图后，小明进行了拓展性探究，他发现由一个三角形构造出平行四边形的一种作法，并与他的同伴进行了交流．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． 第一步：构造相等的角． 小明确定了的中线，并延长（如图）．请利用尺规作图，在右侧作，与的延长线相交于点，连接，四边形即为平行四边形（不写作法，保留作图痕迹） 第二步：利用三角形全等证明他的想法． 证明：， ， 是的中线， ． 在和中， ， ． ， 四边形是平行四边形． 【答案】第一步：作图见解析；第二步：，， 【来源】重庆实验外国语学校2026年第一次适应性考试 数学试题 【分析】第一步：以点为圆心，任意长为半径画弧，与、相交于、两点；以点为圆心，相同长为半径画弧，与相交于一点，以该点为圆心，长为半径画弧，与前弧交于一点，过点与该点作射线，与的延长线相交于点，连接即可； 第二步：根据可得，根据中线的性质结合对顶角相等证明，得到，从而得证． 【详解】解：第一步：如图所示，四边形即为所求； 第二步：证明：， ， 是的中线， ． 在和中， ， ． ， 四边形是平行四边形． 9．（2025·重庆巴蜀中学·二模）在学习了三角形全等和等腰三角形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，三角形一个角的角平分线上的点，如果满足到另外两个顶点距离相等，这个三角形有可能是等腰三角形．其解决思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)如图，在中，平分交于E，点D在线段上，用尺规过点D作的垂线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹）    (2)已知：点D在内，且在上，，于G． 求证：． 证明：∵平分，，， ∴① ， 在和中 ∴③ ． 又∵， ∴． ∴， ∴④ ； ∴． 进一步思考，点D在外，其余条件不变，还成立吗？写出你猜想的结论：⑤ ．（填“成立”或者“不成立”） 【答案】(1)见解析 (2)，，，，⑤不成立 【来源】重庆巴蜀中学2025年中考二模数学试卷 【分析】（1）根垂直平分线的作法求解即可； （2）首先得到，然后证明出，得，然后得出，即可得到；当点D在下方时，不成立． 【详解】（1）解：如图所示，   ； （2）证明：∵平分，，， ∴①， 在和中 ∴ ∴③． 又∵， ∴． ∴， ∴④， ∴； 进一步思考，点D在外，其余条件不变，还成立吗？写出你猜想的结论： ⑤不成立． 证明如下：当点D在下方时，如图所示， 作交延长线于G，于F， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴，， ∴． 10．（2026·重庆江北巴川量子中学校·一模）学习了特殊平行四边形后，小龙进行了拓展性研究，他发现菱形任意一组邻边的垂直平分线的交点都在菱形的一条对角线上．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：作出图形． 小龙连接了菱形的一条对角线（如图）．请你利用尺规，作边的垂直平分线，交于点，交于点，连接和（不写作法，保留作图痕迹）．第二步：分析思路． 证明和的垂直平分线的交点在对角线上，可以转化为证明的垂直平分线与的交点也在的垂直平分线上，根据垂直平分线的判定定理，只需证明即可． 第三步：证明猜想． 证明：四边形是菱形， ，① ． 在与中， ， ． 垂直平分， ③ ， ， ④ ， 即菱形的一组邻边和的垂直平分线的交点在对角线上． 【答案】见解析 【详解】解：作图如下： 证明：四边形是菱形， ，①． 在与中， ， ． 垂直平分， ③， ， ④， 即菱形的一组邻边和的垂直平分线的交点在对角线上． 考点3 统计 11．（2026·重庆巴蜀中学·一模）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】，当时，原式的值为 【详解】解：原式 ， ， ∴原式． 12．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解： ∵ ∴ 则． 13．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解：原式 当时，原式． 14．（2026·重庆西大附中·一模）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 15．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 考点4 整式+分式化简求值 16．（2026·重庆渝北中学·一模）重庆市某校开展了科学知识竞赛，从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均高于60分，用x表示，共分四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生竞赛成绩在B中的数据是：83、88、87、85 八年级10名学生竞赛成绩是：67、68、70、73、79、85、90、90、92、96 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81 81 中位数 a 82 众数 90 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中__________，__________，__________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生科学知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生700人，八年级有学生600人，本次活动七、八年级都有500人参加，则请估计参加的学生中，七、八年级共有多少人得到A等级． 【答案】(1)；； (2)七年级的成绩更好，理由见解析 (3)七、八年级共有人得到A等级 【详解】（1）解：七年级10名中B的占比为， ，即， 七年级10名学生竞赛成绩从小到大排列，第位和第位是和，则中位数分； 八年级10名学生竞赛成绩出现次数最多的是分，故众数分， 故答案为：；；； （2）解：七年级的成绩更好，理由如下： 根据数据可得七八年级的平均数和众数都相同，但是七年级的中位数大于八年级的中位数，所以七年级的成绩更好； （3）解：（人）， 答：七、八年级共有人得到A等级． 17．为了解落实“光盘行动”的情况，学校从七、八年级各随机抽取20名学生，对其午餐剩余饭菜重量（以下简称“餐余重量”，单位：克）的数据进行整理、描述和分析．所有学生的餐余重量均不超过500克（餐余重量用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的餐余重量是：52，60，76，83，87，120，130，151，151，178，212，220，228，255，260，274，320，350，375，418 八年级20名学生的餐余重量在B组中的数据是：120，123，144，153，172，180，198 七、八年级所抽学生的餐余重量统计表 年级 七年级 八年级 平均数 200 190 中位数 195 b 众数 a 220 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生“光盘行动”落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有980名学生，请估计该校七、八年级午餐餐余重量不超过100克的学生共有多少人？ 【答案】(1)151，176，20 (2)八年级的学生“光盘行动”落实得更好，理由见解析 (3)245人 【详解】（1）解：七年级的数据中出现次数最多的是151，故； 八年级A组的人数为，第10个和第11个数据分别为172和180， 故； ，故； （2）解：八年级的学生“光盘行动”落实得更好，理由如下： 七年级所抽学生的餐余重量的平均数和中位数均高于八年级，故八年级的学生“光盘行动”落实得更好； （3）解：（人）； 答：估计该校七、八年级午餐餐余重量不超过100克的学生共有245人. 18．学校开展了环保知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：82，83，84，84，85，86，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：60，61，62，70，71，72，73，80，82，83，85，86，87，87，91，92，95，96，98，99． 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81.5 81.5 中位数 a 84 众数 84 b 七年级所抽学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生环保知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生600人，八年级有学生520人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少? 【答案】(1)83.5，87，10 (2)该校八年级学生环保知识竞赛的成绩较好，理由见详解 (3)306 【详解】（1）解：根据题意，七年级20名学生竞赛成绩在A组中的数据有（人）， 在B组中的数据有7（人）， 在C组中的数据有（人）， 则在D组中的数据有（人）， ∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第10和11个数据，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是83，84， ∴， ∵八年级20名学生竞赛成绩中出现次数最多的是87，共计2次， ∴， ∵七年级20名学生竞赛成绩在D组中的数据共2个， ∴， ∴， 故答案为：83.5，87，10； （2）解：该校八年级学生环保知识竞赛的成绩较好，理由： 因为该校七、八年级学生环保知识竞赛的成绩的平均数相同都是81.5，但八年级竞赛的成绩的中位数大于七年级竞赛的成绩的中位数，且八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数， 所以该校八年级学生环保知识竞赛的成绩较好； （3）解：（人）， 即估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是306人． 19．（2026·重庆江北巴川量子中学校·一模）【问题背景】有关研究表明，维生素C（学名：抗坏血酸）对豚鼠牙齿生长有一定的影响．生物课上，老师带领同学们对此项结论进行探究，随机选出相同品种的豚鼠共40只，平均分为两组，每天分别喂食和剂量的维生素C，在一定时间后测量豚鼠牙齿的生长情况． 【实践发现】一周后，同学们对两组豚鼠的牙齿生长长度进行了测量（牙齿生长长度用表示，单位为毫米，分为四组：；；；；）下面给出部分信息： 剂量组中豚鼠牙齿生长长度在区间的数据为： 10，10，11，12，12，12，13，14，14 剂量组中豚鼠牙齿生长长度的数据为： 6，7，7，8，8，12，12，12，12，13，13，13，14，14，15，17，17，21，23，25 【实践探究】 两种剂量组中豚鼠牙齿生长长度统计表 剂量 平均数 12 中位数 13 众数 12 剂量组中豚鼠牙齿生长长度扇形统计图 【问题解决】 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 ， ， ； (2)请判断哪种剂量更适合豚鼠牙齿的生长，并说明理由；（写出一条理由即可） (3)若养殖基地准备按和的剂量分别投喂1000和1500只豚鼠，并在一周后，对牙齿生长长度低于的豚鼠再进行加大剂量投喂，请估计大概有多少只豚鼠需要加大剂量投喂？ 【答案】(1)，， (2)剂量更适合豚鼠牙齿的生长，理由见解析； (3)估计大概有只豚鼠需要加大剂量投喂． 【详解】（1）解：（只），， ∵剂量组中豚鼠牙齿生长长度在区间的有只，区间有（只），区间有（只），区间有（只）， ∴剂量组中豚鼠按照牙齿长度从小到大的顺序排列，第只和第只的牙齿长度分别为区间的第个和第个数据， ∴， ∵剂量组中豚鼠牙齿生长长度的数据中，出现次数最多的为， ∴， ， ∴． （2）解：剂量更适合豚鼠牙齿的生长． 理由：剂量组中豚鼠牙齿生长长度的平均数（）大于剂量组中豚鼠牙齿生长长度平均数（）． （3）解：（只） ∴估计大概有只豚鼠需要加大剂量投喂． 20．（2026·重庆实验外国语学校·第一次适应性考试）为了加强学生的网络安全与信息素养，某校对学生进行网络安全知识测评，从该校七年级、八年级两个年级各随机抽取20名学生的测试成绩（满分为100分）进行整理和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的测试成绩是：65，66，67，68，68，69，76，77，79，80，80，86，86，86，86，90，91，92，98，100 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：83，84，86，86，87，88，89，89； 七年级、八年级抽取的学生测试成绩统计表如下： 年级 平均数 众数 中位数 七年级 80.5 a 80 八年级 80.5 92 根据上述信息，解答下列问题： (1)填空：___________，___________，___________； (2)请根据以上数据进行分析，该校七年级和八年级的学生中，哪个年级的学生掌握网络安全知识更好？并说明理由； (3)若该校七年级有学生600名，八年级有学生800名，请估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生总共有多少名？ 【答案】(1)86， ，30 (2)八年级的学生掌握网络安全知识更好，理由见解析 (3)890 【详解】（1）解：七年级学生的测试成绩出现次数最多的是86分，共出现4次， ∴众数， 八年级名学生成绩组有（人），组有（人），组有人，组有（人）， 将名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数为86，87， ∴， ， ∴； （2）解：八年级的学生掌握网络安全知识更好， 理由：八年级学生的测试成绩的中位数，众数均比七年级学生成绩的中位数，众数要高； （3）解： 估计七年级和八年级两个年级测试成绩为优秀（）的学生总共有：（名）． 1．解不等式组，请结合解题过程，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得； （2）解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得； 系数化为1，得； （3）解：根据题意，表示如下： （4）解：根据题意，得原不等式组的解集为． 2．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来： (4)原不等式组的解集为________． 【答案】(1) (2) (3)作图见详解 (4) 【详解】（1）解：， 移项得， ； （2）解：， 移项得， ； （3）解：在数轴上分别表示不等式①②的解集，如图所示： （4）解：由（3）可知，原不等式组的解集为． 3．（2026·天津北辰·一模）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为________． 【答案】(1) (2) (3)图见解析 (4) 【来源】天津市北辰区2025-2026学年度 第二学期 九年级 第一次模拟考试 数学试卷 【分析】（1）先移项，再合并同类项，系数化为1即可求解； （2）先去括号，再移项，合并同类项即可求解； （3）根据（1）和（2）得到的解集，在数轴上表示即可； （4）根据数轴即可得出结果． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （3）解：不等式①和②的解集在数轴上表示如下图． （4）解：由图可得，原不等式组的解集为． 4．（2026·天津南开·一模）解不等式组，请按下列步骤完成解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_____． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【来源】2026年天津市南开区九年级一模数学试题 【详解】（1）解：解不等式①，得； （2）解：解不等式②，得； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： ； （4）解：原不等式组的解集为． 5．（2026·湖南娄底涟源·一模）近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式：电动自行车、私家车、公共交通、其他（自行车、步行等）和时段：、、、其他时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“私家车”所在扇形的圆心角度数为_________； (2)本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有__________人，并补全条形统计图； (3)若该校共有名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； (4)假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 【答案】(1)； (2)，图见解析； (3)估计用私家车接送孩子的家长人数为人； (4)原因和建议见解析（答案不唯一，合理即可）． 【来源】2026年湖南省娄底市涟源市九年级一模数学质量检测 【详解】（1）解：由题意得，私家车接送孩子的方式占比为， 扇形统计图中“私家车”所在扇形的圆心角度数为； （2）解：由题意得，选取了名接送孩子的家长，其中用电动自行车接送孩子的占比为， 本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有， 结合条形统计图可知，、及其他时段用电动自行车接送的家长分别为人、人、人， 则时段内用电动自行车接送的家长为，补全条形统计图如下： （3）解：由题意得，用私家车接送孩子的家长人数约为， 即估计用私家车接送孩子的家长人数为人； （4）解：由扇形统计图可知，用电动自行车和私家车接送孩子的人数占比为，容易造成放学后校门口交通拥堵；由条形统计图可知，在时间段内，接送孩子的电动自行车和私家车比较多，容易造成放学后校门口交通拥堵． 建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子或者使用电动自行车或私家车接送孩子时避开时间段． 6．某小区开展便民服务，设置了五种便民服务项目：家电维修（A）、快递代收（B）、文体活动（C）、健康义诊（D）、书籍借阅（E）．为了解小区居民对这五种便民服务项目的喜爱及需求情况，小区工作人员开展问卷调查，形成如下统计图（不完整）： 请根据调查报告，解答下列问题： (1)本次抽样调查的人数共有________人，________； (2)根据调查结果补全条形统计图，并在对应条形图上方标注人数： (3)若该小区共800名居民，所有居民都只选择一种便民服务项目，请通过计算估计该小区喜爱“文体活动”项目的居民有多少名？ 【答案】(1)100人，20 (2)见解析 (3)喜欢文体活动的居民有320名 【详解】（1）解：本次调查的人数为（人）； ∵， ∴； （2）解：文体活动（C）的人数为（人），补全条形统计图如下： （3）解：（人） 答：该小区喜爱“文体活动”项目的居民有320名． 7．百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用x表示，分为四个等级：（A：，B：，C：，D：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 a 乙 86 b 87 乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数； (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择的概率． 【答案】(1)， ， (2)对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为144人 (3) 【详解】（1）解：甲款评分数据中，85出现了4次，次数最多， ； 乙款聊天机器人的20份评分数据中，中位数为第10和11个评分的平均数， 乙款聊天机器人的评分中，、等级的人数为（人）， 中位数为等级中，第2和3个评分的平均数， ； 乙款等级人数为8人， 等级人数占比为， 等级人数占比为， ， ； （2）解：在乙款调查用户中，非常满意的人数为4人，在甲款用户中，非常满意的人数为6人， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为（人）． 答：对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为144人． （3）解：画树状图列出所有可能的结果为： 共有9种等可能的结果数，其中两人中至少有一人选择的结果数为5种， 故两人中至少有一人选择的概率为． 8．（2026·浙江舟山·一模）为保障2026年央视春晚机器人武术表演的动作整齐度，技术人员抽取部分机器人开展动作同步误差检测，以此筛选最终上场的设备．规定：同步误差数值越小，代表动作精准度越高．误差单位为毫秒（ms）根据检测结果，绘制了如下未完成的频数统计表与扇形统计图． 机器人动作同步误差数据频数统计表 同步误差（ms） 频数 对应扇形区域 5 A B 14 C 11 D 10 E 根据以上信息，解答下列问题： (1)抽取的机器人数是________台，统计图表中________．________． (2)这组数据的中位数落在________组． (3)若规定误差小于30（）为“表演合格”，请估计200台同款机器人中合格的台数． 【答案】(1)50，10，22 (2)C (3)116 【详解】（1）解：由频数统计表和扇形统计图可知：抽取的机器人数为（台）， ∴，； （2）解：由中位数的定义可知：该组数据的中位数为第25和第26的数据之和的平均数，组和组的和为，组、组和组的和为， ∴这组数据的中位数落在C组； （3）解：由题意得： （台）； 答：200台同款机器人中合格的台数为116台． 9．（2026·重庆南开中学·一模）在学习了三角形的中线和重心后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的两倍，可利用三角形全等和平行线的相关知识得到此结论． 请你根据他们的想法和思路，完成以下作图和推理填空： (1)如图，的两条中线和交于点．请你利用尺规作图，在下方作，延长交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，证明：． 证明：，是的中线， ，． 在和中， ， ． ② ． ． ③ ， ， ④ ． 即． ． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【详解】（1）解：如图所示，，延长交于点，即为所求； （2）证明：，是的中线， ，． 在和中， ， ， ， ． ， ， ， 即， ． 10．（2026·重庆杨家坪中学·一模）如图，在平行四边形中，点是对角线上一点，连接． (1)用尺规完成基本作图：作，交线段于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形，请根据以下思路完成填空： 证：四边形是平行四边形， ，， ①___________， 在和中， ， ②___________，， ，③___________， ， ④___________， 四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④ 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ． ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 11．（2026·重庆万州二中·一模）如图，已知中，点在边上，且，连接． (1)请用尺规作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程： 证明：平分， ① ， 在和中， ， ， ③ ， ，，， ， ④ ， ． 【答案】(1)见解析 (2)①，，③，④ 【来源】重庆市/万州区万州二中教育集团2025-2026学年九年级下学期第一次模拟考试数学试题 【分析】（1）按尺规作图规范作角平分线和等长线段； （2）利用角平分线证明角相等，通过证三角形全等，结合三角形外角性质进行等量代换，得同位角相等，进而证得． 【详解】（1）解：如图为的角平分线和点． （2）证明：平分， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ． 故答案为：①，，③，④． 12．在学习菱形的过程中，小林发现：在菱形中，E是边上的中点，与对角线相交于点F，如果，则一定有．为此小林进行了证明探究，请你根据他的思路，完成以下作图和填空： (1)第一步：利用尺规作图，过点F作的垂线，垂足为G（不写作法，保留作图痕迹）； (2)第二步：利用三角形的全等证明他的猜想． 证明：∵四边形是菱形， ∴，． ，， ， ∵E是中点， ， ∴， 在和中， ， ， ． 【答案】(1)作图见详解 (2)①；②；③ 【详解】（1）解：如图所示，垂线即为所求： （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，． ，， ， E是中点， ， ， 在和中， ， ， ， ． 13．（2026·重庆万州二中·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【来源】重庆市/万州区万州二中教育集团2025-2026学年九年级下学期第一次模拟考试数学试题 【分析】先根据分式的混合运算法则及整式的混合运算法则计算，得出最简结果，再利用零指数幂的定义及绝对值的意义得出的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ． ∵， ∴原式． 14．（2026·重庆育才中学·中考模拟）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果：，值为 【来源】2026年重庆育才中学九年级中考模拟试题数学试卷 【分析】先利用乘法公式和分式混合运算的法则进行化简，再计算出的值，最后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，原式． 15．（2026·重庆十一中·一模）先化简，再求值．，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ； ， 原式． 16．（2026·重庆鲁能巴蜀·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $