精品解析：江苏南京市第二十九中学2025-2026学年九年级学期下零模数学试卷

2025-2026学年「29中」九下零模试卷 数学4.15 注意事项： 本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 豆包大模型于2024年5月15日正式发布，上线后迅速引起全球关注．据第三方（）最新监测，2026年3月，月活跃用户稳定在310000000户．数据310000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：． 2. 面积为16的正方形的边长是（ ）． A. 16的算术平方根 B. 16的平方根 C. 16的立方根 D. 16开平方的结果 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义得出即可． 【详解】解：=4，即是16的算术平方根， 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根、立方根和算术平方根的定义和正方形的性质，能求出正方形的边长是解此题的关键． 3. 实数在数轴上对应的点位置如图所示，则下列代数式中，结果最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴、整式的加减、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴可得，，则，，，，再比较与的大小，由此即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，，，， ， ∴， ∴在这四个代数式中，结果最小的是， 故选：C． 4. 计算，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，先将等式左边的加法运算转化为乘法运算，再把等式左右两边的底数统一为2，进而推导m与n的关系． 【详解】∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴， 故选：D． 5. 如图，O为的外心，四边形为正方形．以下结论：①O是的外心；②O是的外心；③直线与的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外形的性质可得，根据正方形的性质可得，即可判断①；求出正方形对角线，即可判断②；根据切线的判定，即可判断③． 【详解】解：连接， ∵O为的外心， ∴， ①∵四边形为正方形． ∴， ∴， ∴O是的外心； 故①正确； ②连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴O不是的外心； 故②不正确； ③由①可得：， ∴点E在上， ∵四边形为正方形， ∴， ∴直线与的外接圆相切． 故③正确； 综上：正确的有①③． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了外心的定义，正方形的性质，切线的判定，解题的关键是掌握三角形的外心到三个顶点距离相等，正方形四条边都相等，四个角都是直角． 6. 从某个方向观察一个正六棱柱，可看到如图所示的图形，其中四边形为矩形，分别是的中点．若，则这个正六棱柱的侧面积为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，正六边形的边长为，过点作，则垂直平分，根据正六边形的性质求得，进而求得正六棱柱的侧面积． 【详解】解：如图，正六边形的边长为，过点作 ∴垂直平分， 由正六边形的性质可知，， ∴ 正六棱柱的侧面积 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图，正多边形与圆，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置） 7. 计算的结果是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题分别利用绝对值的性质和零指数幂的运算法则计算两项，再将结果相加即可． 【详解】解：． 8. 计算：_____，_____． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法与减法，根据二次根式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）； （2）． 故答案为：；． 9. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故本题答案为：． 10. 以一元二次方程的两根之和为横坐标，两根之积为纵坐标的点在平面直角坐标系中位于第_____象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）、点的坐标与象限的判定，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系公式以及各象限内点的坐标符号特征是解题的关键．先将方程化为一元二次方程的标准形式，再根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，得到对应点的坐标，最后根据坐标符号判断该点所在的象限． 【详解】解：， ， 设方程两根为，， ，， 对应点的坐标为， ，， 该点位于第三象限， 故答案为：三． 11. 如图，在中，若，是的平分线，是边上的中线，则点与点不重合．若用反证法证明，则第一步应假设________． 【答案】点与点重合 【解析】 【分析】本题考查反证法，掌握反证法的意义与使用步骤是关键． 根据反证法的步骤，第一步是假设结论不成立，由此作答． 【详解】解：用反证法证明点与点不重合，则第一步应假设点与点重合． 故答案为：点与点重合． 12. 学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据加权平均数公式计算出小竹的最终得分，再表示出小兰的最终得分，根据题意列出一元一次不等式，求解后取满足条件的最小整数即可． 【详解】解：计算小竹的最终得分： ， 表示小兰的最终得分： ， 根据题意小兰评分更高，列一元一次不等式：， 移项得， 化简得， 系数化为得， 因为为整数， 所以的最小值为． 13. 如图，四边形内接于，连接，．若，则的度数为______． 【答案】##123度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据圆周角定理得，再由圆内接四边形的性质得到即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴ 故答案为：． 14. 已知N市出租车原收费标准如下：不超过的路程按起步价10元收费，超过以外的路程按2.4元收费．为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：设出租车行驶的路程为，当时，按原收费标准收费；超过以外的路程，按原单价2.4元的1.5倍收费．若行驶路程x超过，则收费总额y（元）与x（）的函数关系式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据总费用为前的费用与超过以外的费用之和求解即可． 【详解】解：由题意得， 整理得，． 15. 如图，内接于，，点D在上，于点E．若，则的长为 ___． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了圆周角的性质，相似三角形的判定和性质．关键是添加适当的辅助线，构造相似．连接，，利用同弧所对的圆周角相等，，可得三角形相似，再找到对应线段成比例即可求出． 【详解】解：连接． ，若， ． ， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：3． 16. 已知一次函数与二次函数（为常数）的图象在同一平面直角坐标系．若两个函数图象没有交点，则的取值范围是_________；若时，点和点分别是两个函数图象上的任意一点，则的最小值是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①联立一次与二次函数解析式消去得到一元二次方程，利用两函数无交点等价于判别式小于列不等式求解即可；②先代入得到两个函数解析式，根据垂线段最短确定最短的条件，设直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线轴，交直线于点，通过求直线与坐标轴交点证明是等腰直角三角形得到角，即可得，设抛物线上点的横坐标为，表示出铅垂距离，利用三角函数将转化为关于的二次函数，最后根据二次函数性质即可求得的最小值． 【详解】解：①联立两个函数解析式，得 ， 把①代入②，得 ， 整理，得 ， ， ∵两函数图象无交点， ∴一元二次方程无实数根，即， ∴， 解得； ②当时， 一次函数， 二次函数， 由垂线段最短可知，当垂直于直线时，的值最小， 如图，设直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线轴，交直线于点， 令，代入一次函数得， 令，代入一次函数得，解得， ∴、， ∴，， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， 设抛物线上点的横坐标为，则， ∵轴， ∴， ∴ 在中，， ​∵二次项系数，抛物线开口向上， ∴当时，取得最小值． 三、解答题（本大题共10小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解方程（组） （1）解方程：； （2）解方程组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解： 得， 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为． 19. 某班有甲、乙两名同学报名参加100米跑步比赛，他们在赛前进行了100次训练将两人的100次训练成绩分别绘制成如图统计图． （1）根据统计图把下列表格补充完整： 平均数 方差 跑进以内不包括的占比 甲 15 ______ 乙 15 ______ （2）从两个不同角度评价甲、乙两名同学的训练成绩． 【答案】（1），； （2） 两人训练成绩的平均数都是，说明两人成绩整体实力相当； 甲的方差大于乙的方差，说明乙的成绩更加稳定． 或：甲跑进以内的占比乙跑进以内的占的多，且甲的最快速度比乙快，说明甲更加有可能创造出好成绩． 【解析】 【分析】此题考查了方差、平均数和统计图，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量； （1）根据方差计算公式求出甲的方差即可；根据扇形统计图可求乙跑进以内不包括的占比； （2）从平均数与方差，或从跑进以内不包括的占比与最好成绩两个不同角度评价即可． 【小问1详解】 甲同学次训练的成绩为： ，，，，，，，，，，平均数为15， 所以方差为：， 乙跑进以内不包括的占比为：． 故答案为：，； 【小问2详解】 略 20. 方程与不等式都是刻画现实世界的模型．请利用所学知识解答如下问题： 某人仅带27元去文具店，想买7本练习本和3支铅笔，但钱不够，结果买了4本练习本和6支铅笔，还剩3元．请你算一算：2本练习本和3支铅笔哪个价格高？ 【答案】2本练习本价格更高 【解析】 【分析】设练习本每本元，铅笔每支元，根据题意可得，再化简，比较与的大小即可． 【详解】解：设练习本每本元，铅笔每支元 根据题意可得 化简第二个等式得 因此 将代入不等式得 整理得 解得 作差得 即 答：2本练习本价格更高． 21. （1）不透明的袋子A中装有红球1个、白球1个，不透明的袋子B中装有红球1个、白球2个，这些球除颜色外无其他差别．分别从两个袋子中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色不同的概率； （2）甲、乙两人解同一道数学题，甲正确的概率为，乙正确的概率为，则甲乙恰有一人正确的概率是　 　． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数和摸出的两个球颜色不同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案； （2）根据题意得到甲正确乙不正确的概率，甲不正确乙正确的概率，两者相加即可得到结论． 【详解】解：（1）画树状图如下： 共有6种等情况数，其中摸出的两个球颜色不同的有3种， 则摸出的两个球颜色不同的概率是＝； （2）甲正确乙不正确的概率为（1﹣）＝， 甲不正确乙正确的概率为（1﹣）×＝， ∴甲乙恰有一人正确的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 22. 如图，在平行四边形中，E、F是对角线上的点，且，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （2） 证明：连接交于点O， ∵，四边形是平行四边形， ∴是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）由可证； （2）先证明是菱形，可得，然后利用，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定，灵活运用这些性质解决问题的关键． 23. 如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时，，且支架长与桌面宽的长度之和等于的长度．求小桌板桌面的宽度（参考数据，，） 【答案】小桌板桌面的宽度约为 【解析】 【分析】延长交于点E，延长交于点F，设，则，解直角三角形得到，，则可得到；解直角三角形得到，根据建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点E，延长交于点F， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ， ∴； 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：小桌板桌面的宽度约为． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD·BC＝AC·CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB，BC分别交于点F，G． （1）求证：AC是⊙E的切线； （2）若AF＝4，CG＝5， ①求⊙E的半径； ②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝ ． 【答案】（1）证明：∵CD•BC=AC•CE， ∴， ∵∠DCE=∠ACB， ∴△CDE∽△CAB， ∴∠EDC=∠A=90°， ∴ED⊥AC， ∵点D在⊙E上， ∴AC是⊙E的切线； （2）①⊙E的半径为20；②IE＝ 【解析】 【分析】（1）证明△CDE∽△CAB，得∠EDC=∠A=90°，所以AC是⊙E的切线； （2）①如图1，作辅助线，构建矩形AHED，设⊙E的半径为r，表示BH和EC的长，证明△BHE∽△EDC， 列比例式代入r可得结论； ②如图2，作辅助线，构建直角△IME，分别求IM和ME的值，利用勾股定理可求IE的长． 【详解】（1）略 （2）①如图1，过E作EH⊥AB于H， ∴BH=FH， ∵∠A=∠AHE=∠ADE=90°， ∴四边形AHED是矩形， ∴ED=AH，ED∥AB， ∴∠B=∠DEC， 设⊙E的半径为r，则EB=ED=EG=r， ∴BH=FH=AH-AF=DE-AF=r-4， EC=EG+CG=r+5， 在△BHE和△EDC中， ∵∠B=∠DEC，∠BHE=∠EDC=90°， ∴△BHE∽△EDC， ∴，即， ∴r=20， ∴⊙E的半径为20； ②如图2，过I作IM⊥BC于M，过I作IJ⊥AB于J， 由①得：FJ=BJ=r-4=20-4=16，AB=AF+2BJ=4+2×16=36， BC=2r+5=2×20+5=45， ∴AC==27， ∵I是Rt△ABC的内心， ∴IM==9， ∴AJ=IM=9， ∴BJ=BM=36-9=27， ∴EM=27-20=7， 在Rt△IME中，由勾股定理得：IE=． 25. 定义：三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心．如图，在中，分别是边上的中线，三条中线交于重心G． 【性质探究】 （1）小颖发现点E、D分别是的中点，由此联想到三角形中位线，请你根据小颖的思路，证明：； 【迁移应用】 （2）经过探究，小颖进一步发现：以的三条中线为边，一定可以构成一个新的三角形．请你帮助小颖完成这一结论的证明． 【创新研究】 （3）探究由三条中线为边构成的三角形与的面积之间的数量关系．若设的面积为S，由三条中线构成的三角形的面积为，请写出S与之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：∵是的中线， ∴点为的中点， ∴， ∴ ∴， 即； （2） 证明：连接并延长至点，使得，连接， 同理可得， ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵构成了， ∴以的三条中线为边，一定可以构成一个新的三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）得到为的中位线，则，再由即可证明； （2）连接并延长至点，使得，连接，先证明四边形为平行四边形，则，再证明四边形为平行四边形，则，而构成了，即可证明以的三条中线为边，一定可以构成一个新的三角形； （3）根据三角形的中线等分面积以及相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：S与之间的数量关系为，如图： 设， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴ ∴， ∴，即 ∵点为中点， ∴ ∴ 同理 由（2）知， ∴ 同理可得， ∴， ∴，即， ∴． 26. 研究函数图象与坐标轴的交点，是分析函数性质、解决函数问题的重要抓手． （1）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B．用直尺和圆规作出下列函数的图象（保留作图痕迹）． （2）已知二次函数（m为常数，且）． ①求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； ②该函数图象所过的象限随m的值变化而变化，直接写出函数图象所经过的象限及对应的m的取值范围． （3）下图是用数学软件绘制的函数（a、c为常数，且）的图象．下方的演示图显示当、时对应的函数形态． 已知，利用函数图象，直接写出关于x的不等式的解集（用含a，c的式子表示）． 【答案】（1） 如题①，直线即为所求；如题②，直线即为所求 （2）①证明：当时，， 解得， 当，即时，方程有两个相等的实数根； 当，即时，方程有两个不相等的实数根， ∴不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点； ②当时，此时图像经过一、二、四象限；当时，此时图像经过三、四象限；当或时，此时图像经过一、三、四象限；当时，开口向下，此时图像经过一、二、三、四象限． （3）解集为：当，时，或；当，时，或． 【解析】 【分析】（1）对于直线，当，当时，，解得，那么直线与轴的交点坐标为，同理可求直线与轴的交点坐标为，那么直线也经过点，与轴的交点和直线与轴的交点关于原点对称，据此即可作直线；可求直线与轴的交点坐标为，那么直线与轴交点在轴负半轴，且距离原点的距离是距离原点的距离的一半，直线与轴交点与关于原点对称，据此即可作出直线； （2）①当时，，解得，据此证明即可； ②分；；或；四种情况讨论求解即可； （3）先得到函数与x轴的三个交点分别为：，，，再分类讨论根据函数图象确定不等式的解集． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②当时，， ∴抛物线与轴交点为 若抛物线与轴正半轴相交， 设，即z是m的二次函数， 当，则或时， ∵抛物线开口向上， ∴当或时，． ∴当或时，抛物线与轴正半轴相交； 当时，经过原点； 当时，抛物线与轴负半轴相交； 情况一：当时，开口向上，与x轴交点的横坐标：，如图： 此时图像经过一、二、四象限； 情况二：若抛物线与轴只有一个交点时，则，解得，那么时，开口向下，与x轴交点的横坐标为1，此时图像经过三、四象限，如图： 情况三：当或时，开口向下，与x轴交点的横坐标：， 此时图像经过一、三、四象限，如图： 情况四：当时，开口向下，与x轴交点的横坐标为：， 此时图像经过一、二、三、四象限，如图： 综上：当时，此时图像经过一、二、四象限；当时，此时图像经过三、四象限；当或时，此时图像经过一、三、四象限；当时，开口向下，此时图像经过一、二、三、四象限． 【小问3详解】 解：设函数， ∵， ∴， 则方程有两个不相等的实数根， ∵当时，， ∴函数与x轴有三个交点， 根据求根公式可得： 方程的两个根分别为：，， ∴函数与x轴的三个交点分别为：，，， ①当，时，如图： ∴或时，； ②当，时，如图： ∴或，． 综上，解集为：当，时，或；当，时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年「29中」九下零模试卷 数学4.15 注意事项： 本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 豆包大模型于2024年5月15日正式发布，上线后迅速引起全球关注．据第三方（）最新监测，2026年3月，月活跃用户稳定在310000000户．数据310000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 面积为16的正方形的边长是（ ）． A. 16的算术平方根 B. 16的平方根 C. 16的立方根 D. 16开平方的结果 3. 实数在数轴上对应的点位置如图所示，则下列代数式中，结果最小的是（ ） A. B. C. D. 4. 计算，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，O为的外心，四边形为正方形．以下结论：①O是的外心；②O是的外心；③直线与的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 6. 从某个方向观察一个正六棱柱，可看到如图所示的图形，其中四边形为矩形，分别是的中点．若，则这个正六棱柱的侧面积为(　　) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置） 7. 计算的结果是_________． 8. 计算：_____，_____． 9. 分解因式：____________． 10. 以一元二次方程的两根之和为横坐标，两根之积为纵坐标的点在平面直角坐标系中位于第_____象限． 11. 如图，在中，若，是的平分线，是边上的中线，则点与点不重合．若用反证法证明，则第一步应假设________． 12. 学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 13. 如图，四边形内接于，连接，．若，则的度数为______． 14. 已知N市出租车原收费标准如下：不超过的路程按起步价10元收费，超过以外的路程按2.4元收费．为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：设出租车行驶的路程为，当时，按原收费标准收费；超过以外的路程，按原单价2.4元的1.5倍收费．若行驶路程x超过，则收费总额y（元）与x（）的函数关系式为_________． 15. 如图，内接于，，点D在上，于点E．若，则的长为 ___． 16. 已知一次函数与二次函数（为常数）的图象在同一平面直角坐标系．若两个函数图象没有交点，则的取值范围是_________；若时，点和点分别是两个函数图象上的任意一点，则的最小值是_________． 三、解答题（本大题共10小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程（组） （1）解方程：； （2）解方程组． 19. 某班有甲、乙两名同学报名参加100米跑步比赛，他们在赛前进行了100次训练将两人的100次训练成绩分别绘制成如图统计图． （1）根据统计图把下列表格补充完整： 平均数 方差 跑进以内不包括的占比 甲 15 ______ 乙 15 ______ （2）从两个不同角度评价甲、乙两名同学的训练成绩． 20. 方程与不等式都是刻画现实世界的模型．请利用所学知识解答如下问题： 某人仅带27元去文具店，想买7本练习本和3支铅笔，但钱不够，结果买了4本练习本和6支铅笔，还剩3元．请你算一算：2本练习本和3支铅笔哪个价格高？ 21. （1）不透明的袋子A中装有红球1个、白球1个，不透明的袋子B中装有红球1个、白球2个，这些球除颜色外无其他差别．分别从两个袋子中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色不同的概率； （2）甲、乙两人解同一道数学题，甲正确的概率为，乙正确的概率为，则甲乙恰有一人正确的概率是　 　． 22. 如图，在平行四边形中，E、F是对角线上的点，且，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是菱形． 23. 如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时，，且支架长与桌面宽的长度之和等于的长度．求小桌板桌面的宽度（参考数据，，） 24. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD·BC＝AC·CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB，BC分别交于点F，G． （1）求证：AC是⊙E的切线； （2）若AF＝4，CG＝5， ①求⊙E的半径； ②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝ ． 25. 定义：三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心．如图，在中，分别是边上的中线，三条中线交于重心G． 【性质探究】 （1）小颖发现点E、D分别是的中点，由此联想到三角形中位线，请你根据小颖的思路，证明：； 【迁移应用】 （2）经过探究，小颖进一步发现：以的三条中线为边，一定可以构成一个新的三角形．请你帮助小颖完成这一结论的证明． 【创新研究】 （3）探究由三条中线为边构成的三角形与的面积之间的数量关系．若设的面积为S，由三条中线构成的三角形的面积为，请写出S与之间的数量关系． 26. 研究函数图象与坐标轴的交点，是分析函数性质、解决函数问题的重要抓手． （1）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B．用直尺和圆规作出下列函数的图象（保留作图痕迹）． （2）已知二次函数（m为常数，且）． ①求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； ②该函数图象所过的象限随m的值变化而变化，直接写出函数图象所经过的象限及对应的m的取值范围． （3）下图是用数学软件绘制的函数（a、c为常数，且）的图象．下方的演示图显示当、时对应的函数形态． 已知，利用函数图象，直接写出关于x的不等式的解集（用含a，c的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $