精品解析：江苏南京市一中集团2025-2026学年下学期中考数学零模试卷

九年级数学 一、选择题（本大题共6小题） 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 3. 对于命题“任何数a的平方都大于0”能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 4. 某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是的内切圆，分别切于点；则一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 6. 如图，在中，为边上一点，连接．点为中点，连接，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题） 7. 某新型冠状病毒的直径大约为米，这个数据用科学记数法可表示为_________ ． 8. 要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为正整数，则的值为______． 10. 如图，点在上，若，则的度数为______． 11. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为______． 12. 如图，函数与的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 13. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有关屋内墙角处放谷堆的数学问题：墙角处所放谷堆为一个圆锥的四分之一（如图），谷堆底部的半径为4尺，谷堆的高为5尺，需要用布盖住谷堆，那么所需的布的面积至少是________平方尺．（结果用含的式子表示） 14. 如图，小明同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.1，则的值是______． 15. 定义：若一个直角三角形中，两个锐角的内角满足其中一个角的2倍与另一个角互余，则我们称这个三角形为“倍角互余三角形”．如图，在中，，点为上一个动点，若为“倍角互余三角形”，则的长为______． 16. 如图，Rt△ABC中，，点D、E分别在边和上，，，则的最小值是______． 三．解答题（本大题共11小题） 17. 解不等式组 18. 化简代数式：，判断它的值能否等于0，并说明理由． 19. 证明：任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除． 20. 如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次(若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止)． （1）转动转盘一次，求转出的数字是1的概率； （2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之和为正数的概率． 21. 在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的值进行了整理、描述及分析． 【收集数据】 甲基地水体的值数据： 7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26． 乙基地水体的值数据： 7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21． 【整理数据】 甲 2 5 7 7 3 乙 4 2 9 a 2 【描述数据】 【分析数据】 平均数 众数 中位数 方差 甲 7.79 b 7.81 0.10 乙 7.78 7.77 c 0.13 根据以上信息解决下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）填空：______，______； （3）请判断甲、乙哪个基地水体的值更稳定，并说明理由； （4）已知两基地对水体值的日变化量（值最大值与最小值的差）要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的值是否符合要求． 22. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． （1）在图①中，是面积最大的等腰三角形； （2）在图②中，是面积最大的直角三角形； （3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 23. 南京江北新区快速路某下坡路段，交通部门安装了一套电子限速检测系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点处，区间测速的起点为坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下坡路终点处，此时电子眼的俯角为（四点在同一平面）． （1）求电线杆的高度； （2）已知下坡路段坡比，如果该路段限速16.67米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：） 24. 如图，等边中，点在上，点在上，且，与交于点，在上方作等边，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）不添加任何辅助线，直接写出与相等的角（不包括）． 25. 小明元旦从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小明到达商店比妈妈返回商店早分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为（分钟），图表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象；图中线段表示小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题： （1）点的坐标是______； （2）请求出图中线段表示的小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系式，并指明自变量的取值范围；在图中画出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象； （3）直接写出为何值时，两人相距米． 26. 已知抛物线（a，b为常数，其中）． （1）求证：抛物线与轴必有交点． （2）点在抛物线上，点在抛物线上．当时，是一个与无关的定值． （i）求的值． （ii）若点是经由点向右平移个单位，向上平移个单位得到，且满足，求的最小值． 27. 如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． （1）求证：与该半圆相切； （2）当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； （3）在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（本大题共6小题） 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值、有理数乘方、二次根式的化简计算，逐项判断即可． 【详解】对选项A：，，故A不是负数； 对选项B：，故B不是负数； 对选项C：∵2015是奇数，负数的奇次幂为负数， ∴，故C是负数； 对选项D：，故D不是负数． 2. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故选：B． 3. 对于命题“任何数a的平方都大于0”能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查举反例，掌握“a的平方都大于0”是解题的关键．根据a的平方都大于0，因此找出a的平方等于0的选项即可． 【详解】解：当时，， ，能说明“任何数a的平方都大于0”是假命题， 故选：A． 4. 某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加44%，则有（1+x）2=1+44%，解这个方程即可求出答案． 【详解】设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得， （1+x）2=1+44%， 解得x1=-2.2（舍去），x2=0.2． 答：这两年平均每年绿地面积的增长率为20%． 故选A． 【点睛】本题考查了增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，增长用+，减少用-．但要注意解的取舍，及每一次增长的基础． 5. 已知是的内切圆，分别切于点；则一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质可得，继而可求得，再根据圆周角定理得到是锐角，同理，和都是锐角，由此即可得答案． 【详解】连接． ∵是圆的切线， ∴， ∴在四边形中，， ∴， 又∵， ∴， 即是锐角． 同理，和都是锐角． 则是锐角三角形． 6. 如图，在中，为边上一点，连接．点为中点，连接，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，设，通过论证可列，进而得到，又通过，可得，进而可得及，最后求解即可. 【详解】解：过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴. 故选：A. 二、填空题（本大题共10小题） 7. 某新型冠状病毒的直径大约为米，这个数据用科学记数法可表示为_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得出且，即可求解． 【详解】解：依题意，且， 解得：且， 故答案为：且． 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为正整数，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】由一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根，则，再结合为正整数求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得，又为正整数， 或． 10. 如图，点在上，若，则的度数为______． 【答案】##85度 【解析】 【分析】通过连接，利用等腰三角形的性质得出，，从而求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补求出的度数． 【详解】解：连接． ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． 11. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．由题意得方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故答案为： 12. 如图，函数与的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握利用函数图象得到不等式的解集是解题的关键． 先由函数沿y轴翻折得到，根据，求出函数与函数交点的坐标，再根据函数图象得到不等式的解集． 【详解】解：如图，将沿y轴翻折得到，与函数交于， 函数关于y轴对称，且，， ， 化简为， 根据函数图象，可知不等式的解集为或． 故答案为：或． 13. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有关屋内墙角处放谷堆的数学问题：墙角处所放谷堆为一个圆锥的四分之一（如图），谷堆底部的半径为4尺，谷堆的高为5尺，需要用布盖住谷堆，那么所需的布的面积至少是________平方尺．（结果用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥侧面积的计算．根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2计算即可． 【详解】解：根据题意，母线长为， 所需的布的面积至少是（平方尺）． 故答案为：． 14. 如图，小明同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.1，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，，……得出，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵函数图象关于点中心对称，这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴，，……， ∵即， ∴， ∵， 当时，，即，即， ∴． 15. 定义：若一个直角三角形中，两个锐角的内角满足其中一个角的2倍与另一个角互余，则我们称这个三角形为“倍角互余三角形”．如图，在中，，点为上一个动点，若为“倍角互余三角形”，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，当，在上取一点D，连接，使得，过点D作于E，可证明，则可证明，利用勾股定理求出，则，进而得到，设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案；当时，可证明平分，过点P作于H，则，设，则，解直角三角形可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当时， 如图，在上取一点D，连接，使得，过点D作于E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴在中，， 设， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 如图所示，当时， ∵， ∴， ∴平分， 如图所示，过点P作于H，则， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 16. 如图，Rt△ABC中，，点D、E分别在边和上，，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，得出，勾股定理表示出，转化为平面内一点到和点的距离的和，则当在线段上时，取得最小值，最小值为的长，即可求解． 【详解】解：设， ， ， ， ， 即表示点到点和点的距离的和， 如图： 当在线段上时，取得最小值，最小值为的长． 三．解答题（本大题共11小题） 17. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】首先解出不等式组的各个不等式x的取值范围，然后求出x的公共部分，该公共部分就是不等式的解． 【详解】解：， 解不等式①，去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，解得； 解不等式②，去分母，得，即， 解得； 所以，原不等式组的解集为． 18. 化简代数式：，判断它的值能否等于0，并说明理由． 【答案】解：不能为0，理由如下： 原式 ． 判断：原式不能等于0． 理由：当时， 此时，分母为零分式无意义． 所以此代数式的值不能为0． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值以及分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式的运算法则进行化简，同时牢记分式有意义的条件（分母不为0）． 化简括号内分式，得；除法变乘法并因式分解，约分后得；假设值为0求x，结合分式有意义条件是分母不能为零，因此判断原式的计算结果不可为0． 【详解】略 19. 证明：任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除． 【答案】 证明：∵任意个位数是5的整数都可以写成的形式，其中为整数， ， 又∵为整数， ∴为整数， ∴是25的整数倍， 即任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除． 【解析】 【分析】本题先将任意个位是5的整数表示为含整数n的代数式，再对该式平方展开，提取公因式25后，根据整除的定义即可证明结论． 【详解】略 20. 如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形的圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次(若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止)． （1）转动转盘一次，求转出的数字是1的概率； （2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之和为正数的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据周角的定义及对顶角的性质可得“-2”“3”所占的扇形圆心角都是120°，根据概率公式即可得答案； （2）由（1）可知转出“1”“-2”“3”的概率相同，画出树状图，得出所有可能结果和两次分别转出的数字之和为正数的结果，根据概率公式即可得答案． 【详解】（1）∵“1”和“3”所占的扇形圆心角为120°， ∴2个“－2”所占的扇形圆心角为360°－2×120°＝120°， ∴转动转盘一次，求转出的数字是“1”的概率为＝． （2）由（1）可知转出“1”“-2”“3”的概率相同， 画树状图如下： 由树状图可知：所有可能的结果有9种，其中两次分别转出的数字之和为正数的结果有6种， ∴两次分别转出的数字之和为正数的概率为：=． 【点睛】本题考查利用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数的比． 21. 在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的值进行了整理、描述及分析． 【收集数据】 甲基地水体的值数据： 7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26． 乙基地水体的值数据： 7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21． 【整理数据】 甲 2 5 7 7 3 乙 4 2 9 a 2 【描述数据】 【分析数据】 平均数 众数 中位数 方差 甲 7.79 b 7.81 0.10 乙 7.78 7.77 c 0.13 根据以上信息解决下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）填空：______，______； （3）请判断甲、乙哪个基地水体的值更稳定，并说明理由； （4）已知两基地对水体值的日变化量（值最大值与最小值的差）要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的值是否符合要求． 【答案】（1） 补全频数分布直方图如图； ； （2）； （3） ∵甲的方差为0.10，乙的方差为0.13，， ∴甲基地水体的值更稳定； （4） 甲基地对水体值的日变化量：， 乙基地对水体值的日变化量：， ∴该日两基地的值甲符合要求，乙不符合要求． 【解析】 【分析】本题考查了直方图与统计表，中位数及众数，方差等知识点． （1）先求得a的值，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数及众数的定义求解即可； （3）根据方差的意义求解即可； （4）计算值最大值与最小值的差即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得， 【小问2详解】 解：甲基地水体的值数据中，7.67出现了4次，出现次数最多， 则； 乙基地水体的值数据中，由小到大排列中间两个数为7.77和7.81： 则； 故答案为：；； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 22. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． （1）在图①中，是面积最大的等腰三角形； （2）在图②中，是面积最大的直角三角形； （3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上； （2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上； （3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 南京江北新区快速路某下坡路段，交通部门安装了一套电子限速检测系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点处，区间测速的起点为坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下坡路终点处，此时电子眼的俯角为（四点在同一平面）． （1）求电线杆的高度； （2）已知下坡路段坡比，如果该路段限速16.67米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：） 【答案】（1）8 （2） 解：不超速，理由如下 过D作于F，于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， 设， ∵坡比， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得，即， ∴ ∴， 而， 所以该汽车不超速． 【解析】 【分析】（1）在中，根据正切的定义求解即可； （2）过D作于F，于G，则四边形是矩形，得出，，，进而求出，设，根据坡比定义求出，，，在中，根据正切的定义得出，求出，然后根据勾股定理求出，然后比较即可． 【小问1详解】 解：由题意知， ∴， 在中，， 答：电线杆的高度为8米； 【小问2详解】 略 24. 如图，等边中，点在上，点在上，且，与交于点，在上方作等边，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）不添加任何辅助线，直接写出与相等的角（不包括）． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ．在和中， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ． ， ， ．， ， ． 是等边三角形， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，关键是根据证明． （1）根据等边三角形的性质和证明，再证明，最后利用平行四边形的判定进行证明即可； （2）根据平行四边形的性质、全等三角形的性质，等边三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 与相等的角有 25. 小明元旦从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小明到达商店比妈妈返回商店早分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为（分钟），图表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象；图中线段表示小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题： （1）点的坐标是______； （2）请求出图中线段表示的小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系式，并指明自变量的取值范围；在图中画出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象； （3）直接写出为何值时，两人相距米． 【答案】（1） （2），图象见解答 （3）分钟或分钟或分钟 【解析】 【分析】（1）分别求出小明和妈妈的速度，再求出妈妈到家所用时间和在家停留的时间，从而求出点的横坐标，求出此时小明离开家的距离，即的纵坐标，进而得到的坐标即可； （2）根据路程速度时间写出与的函数关系式，写出与的函数关系式并画出其图象即可； （3）根据的取值范围，当两人相距米时分别列关于的方程并求解即可． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：小明的速度为米分钟，则妈妈的速度为米分钟， 妈妈到家所用时间为分钟， 妈妈在家停留的时间为分钟， 分钟， 点的坐标为， 米， 点的纵坐标为． 点的横坐标是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：， 米与时间分钟的函数关系式及自变量的取值范围为． 当时，， 当时，， 当时，， 与的函数关系式为， 在图中画出妈妈和商店的距离米与时间分钟的函数关系的图象如图所示： 【小问3详解】 解：当时，两人相距米时，得， 解得或， 当时，两人相距米时，得， 解得舍去或舍去， 当时，两人相距米时，得， 解得． 答：为分钟或分钟或分钟时，两人相距米． 【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，涉及行程问题中路程、速度、时间的关系，以及分段函数的构建与求解．熟练掌握路程公式（路程=速度×时间）、分段分析运动过程、准确构建函数关系式是解题的关键． 26. 已知抛物线（a，b为常数，其中）． （1）求证：抛物线与轴必有交点． （2）点在抛物线上，点在抛物线上．当时，是一个与无关的定值． （i）求的值． （ii）若点是经由点向右平移个单位，向上平移个单位得到，且满足，求的最小值． 【答案】（1） 证明：∵抛物线， ∴， ∴抛物线与轴必有交点； （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，点的平移，二次函数与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数的性质，得出，得，即可作答． （2）（i）理解题意，先得出，又因为，整理得，故，又因为是一个与无关的定值，得出，即可作答． （ii）因为点是由点向右平移个单位，向上平移个单位得到，得又因为，得，点在抛物线上，点在抛物线上．得出， 整理得，结合二次函数的性质，进行分析，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：（i）∵点在抛物线上，点在抛物线上． ∴， ∵ ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴（当无意义）， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵是一个与无关的定值． ∴， ∴， ∴． （ii）∵点是经由点向右平移个单位，向上平移个单位得到， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵点在抛物线上，点在抛物线上． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的开口方向向上，在时，函数的最小值为． 27. 如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． （1）求证：与该半圆相切； （2）当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； （3）在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 【答案】（1）证明：如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． ∵与均为该半圆的切线， ． ． ． ∵为的中点， ． 在与中， ， ． ． ， ． ． ，即平分． 又， ． ∴与该半圆相切． （2） 解：．理由如下： 如图4，过点作，交于点， 在中，由勾股定理可得， ， ． ， 代入可得． （3） 【解析】 【分析】（1）如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． 根据与均为该半圆的切线，得出，则，可得．证明，得出．根据，得出．则，可得，即平分．又，得出，即可证明与该半圆相切． （2）如图4，过点作，交于点，在中，由勾股定理可得，根据，列等式得出，代入可得． （3）如图5，根据均为该半圆的切线，则，证明，得出，从而得出，证明，得出，得出．得出，则，即可得．同理可得，得出，由（2）可知，得出，又在中，，得出，即可得，从而得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图5，均为该半圆的切线， ， ， ． ， ， ． ， ． ． ． ， ， ． 同理可得， ， 由（2）可知， ． 又在中， ， ． ， ． 【点睛】该题考查了圆综合题，涉及圆切线的性质和判定，切线长定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定理，勾股定理，函数解析式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $