精品解析：辽宁锦州市某校2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试卷

高一数学试题 请注意： Ⅰ.考试时间120分钟.满分150分； Ⅱ.只交答题纸，在卷上作答无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 是（ ） A. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 第三象限的角 D. 第四象限的角 【答案】C 【解析】 【详解】因为，而，所以是第三象限的角，故是第三象限的角. 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数的最小正周期，直接利用公式即可 【详解】因为函数，即， 所以其最小正周期为． 故选：A 3. 平面向量，满足，，且向量，的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为，且向量，的夹角为，所以， 由，得， 则，解得（负值舍）. 4. 把函数图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像的平移及逆向变换思路求解即可. 【详解】函数的图像向左平移个单位长度，得到. 所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到. 又，所以. 5. 已知，则在上的投影为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用投影公式计算得到答案. 【详解】，则在上的投影为：. 故选：. 【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生对于投影的理解. 6. 甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，，求出圆心角，，再用半径和圆心角表示，计算即可. 【详解】甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度， 设甲、乙两个扇形的半径均为，圆心角分别为，，弧长分别为，. ， 又， 联立， 解得：，， ，， . 故选：B 7. 函数与的图象在上有n个交点，坐标分别为，，…，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图，作出函数与在上的图象， 可知两个函数的图象在上有4个交点， 且从左至右的第1，4个交点，与第2，3个交点均关于点对称， 所以. 8. 已知函数的最小正周期为，将的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，且是偶函数．若在上有且只有4个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期公式求得，根据函数平移及为偶函数得出，再利用换元法数形结合即可求解． 【详解】因为的最小正周期为，所以， 将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到， 因为是偶函数，所以， 又，所以，则， 当时，设， 则在上有且只有4个零点等价于在上只有4个零点， 数形结合可知，，解得． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，以为周期的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据三角函数的周期性及奇偶性，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，因为的最小正周期为，所以不是以为周期； B选项，因为的最小正周期为，是以为周期； 又显然是偶函数，满足题意； C选项，因为，，所以不是以为周期； D选项，，所以是以为周期；又，所以是偶函数，满足题意. 故选：BD. 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据三角函数值的符号分析判断即可；对于B：根据同角三角关系结合齐次式问题运算求解即可；对于CD：根据、与之间的关系运算求解，注意三角函数值的符号. 【详解】对于选项A：因为，，则，， 所以，故A正确； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：因为， 所以，故C正确； 对于选项D：因为， 所以，故D错误． 11. 已知是边长为3的等边三角形，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若点是边上的动点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以中点为坐标原点，以，所在直线建立平面直角坐标系，然后利用向量的坐标运算即可对A、B、C判断求解；设，，可求得，从而可得，即可对D判断求解. 【详解】以中点为坐标原点，以，所在直线建立平面直角坐标系，如图， 则，，，， 由，，可得，， A：，，故A正确； B：，， 则，故B正确； C：，， 则，故C错误； D：设，，可得， 则，， 所以， 又因为，所以当时取得最小值，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数，则______． 【答案】 【解析】 【详解】的周期． 故答案为： 13. 函数的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】把给定函数化为关于的二次函数，再借助二次函数在闭区间上的最值求解作答. 【详解】依题意，原函数定义域为R，，而， 则当时，，当时，， 所以所求值域是. 故答案为： 14. 阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，，点E为的中点，且，则__________ 【答案】240 【解析】 【详解】因为，，由极化恒等式得： ， 所以.又，所以，由极化恒等式得： . 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. . （1）求； （2）求. 【答案】（1）2 （2）2 【解析】 【分析】（1）应用齐次式弦化切计算求解； （2）应用同角三角函数关系结合齐次式弦化切计算求解； 【小问1详解】 因为，所以， 化简得，故； 【小问2详解】 因为， 所以. 16. 已知平面直角坐标系中，，，． （1）若A，B，P三点共线，求实数t的值． （2）若，求实数t的值． （3）若是锐角，求实数t的取值范围． 【答案】（1）-2 （2） （3），且． 【解析】 【分析】（1）由A，B，P三点共线得到，利用向量平行的坐标公式求解； （2）利用向量垂直的坐标公式求解； （3）由是锐角得到且，不共线，由利用向量的数量积求解，由，不共线利用向量共线的坐标公式求解. 【小问1详解】 ，B，P三点共线，． ，，，． 【小问2详解】 ，，． 【小问3详解】 若是锐角，则，且，不共线． ，，， 且，解得，且． 17. 已知角是第三象限角，且. （1）化简； （2）若，求的值； （3）若，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）利用三角函数诱导公式化简即可. （2）首先根据得到，从而得到，即可得到的值. （3）首先计算，从而得到的值. 【详解】（1） . （2）∵，∴， ∵是第三象限角， ∴， ∴. （3）∵， ∴， ∴. 18. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集； （3）将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若满足，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合表格中的点代入求解即可. （2）结合正弦型函数的图形求解即可. （3）根据函数图象的平移得到的图象，结合求出的对称中心，得到的代数式，进而求出最小值. 【小问1详解】 由题意知，解得，， 又，解得， 所以. 【小问2详解】 由，得，所以， 解得， 即不等式的解集为. 【小问3详解】 将的图象向右平移个单位长度，得到的图象， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到的图象， 因为，所以的图象关于中心对称， 所以，解得， 因为，所以当时，此时取得最小值为. 19. 已知函数的部分图象如图所示，其中为坐标原点，是的图象与轴的交点，分别为图象的最高点和最低点，均是的图象与轴的交点． （1）求的长度及的值； （2）设点的横坐标为，若对任意的，任意的，恒成立，求的取值范围； （3）若函数，且关于的方程在上恰有3个不相等的解，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）代入点坐标求出解析式，然后可得的坐标，即可得解； （2）转化为在区间上的最小值大于在上恒成立，然后利用平方关系转化为在上恒成立，解不等式即可； （3）令，然后解方程，然后直接求出相应，结合题意即可得解. 【小问1详解】 将点坐标代入函数解析式可得：，即， 又，所以，所以， 易知，函数的最大值为3，最小值为，周期为， 记，则，所以. 令得， 所以或，即或， 由图可知，，所以 【小问2详解】 对任意的，任意的，恒成立， 等价于在区间上的最小值大于在上恒成立. 由（1）可知，，当时，， 所以，所以，即， 所以，即在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 由余弦函数性质可知，. 【小问3详解】 ， 令，则， 解得或，即或， 即或（舍去），所以， 所以或或或， 即或或或， 则方程的非负实数根由小到大为， 因为方程在上恰有3个不相等的解， 所以，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题 请注意： Ⅰ.考试时间120分钟.满分150分； Ⅱ.只交答题纸，在卷上作答无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 是（ ） A. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 第三象限的角 D. 第四象限的角 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 3. 平面向量，满足，，且向量，的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 把函数图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则在上的投影为（ ） A. B. C. 1 D. 6. 甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和.若，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数与的图象在上有n个交点，坐标分别为，，…，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的最小正周期为，将的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，且是偶函数．若在上有且只有4个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，以为周期的偶函数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知是边长为3的等边三角形，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若点是边上的动点，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数，则______． 13. 函数的值域为______. 14. 阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，，点E为的中点，且，则__________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. . （1）求； （2）求. 16. 已知平面直角坐标系中，，，． （1）若A，B，P三点共线，求实数t的值． （2）若，求实数t的值． （3）若是锐角，求实数t的取值范围． 17. 已知角是第三象限角，且. （1）化简； （2）若，求的值； （3）若，求的值. 18. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集； （3）将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若满足，求的最小值. 19. 已知函数的部分图象如图所示，其中为坐标原点，是的图象与轴的交点，分别为图象的最高点和最低点，均是的图象与轴的交点． （1）求的长度及的值； （2）设点的横坐标为，若对任意的，任意的，恒成立，求的取值范围； （3）若函数，且关于的方程在上恰有3个不相等的解，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $