第19章 四边形 复习题（课件）2025-2026学年沪科版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦沪科版八年级下册第19章“四边形”复习，涵盖多边形内角和、平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定，通过问题链串联知识点，从多边形外角和与内角和关系入手，逐步过渡到四边形内角情况分析、图形剪拼及综合证明，构建从一般到特殊的知识支架。 其亮点在于结合实际问题如矩形纸片剪拼、村庄架线方案优化，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过菱形判定、矩形性质证明等题发展推理意识，规范几何语言表达。采用问题驱动教学，助力学生提升空间观念与应用意识，为教师提供分层练习与综合应用素材，提高教学效率。

第19章 四边形 复习题 沪科版·八年级下册 【教材P111复习题A组T1】 1.填空: (1)一个多边形的外角和是内角和的 ，则这个多边形的边数是_______； (2)一个多边形的每个外角都等于它相邻的内角，则这个多边形的边数是_____，它的每个外角的度数是_______. 9 4 90° 【教材P111复习题A组T2】 2.四边形的内角可能都是锐角吗?可能都是直角吗?可能都是钝角吗? 四边形的内角不可能都是锐角，可能都是直角，不可能都是钝角。 根据四边形内角和定理，四边形的内角和为360°.假设四边形的内角都是锐角，因为锐角是小于90°的角，那么四个锐角的和一定小于90°×4=360°，这与四边形内角和是360°矛盾，所以四边形的内角不可能都是锐角。 若四边形的内角都是直角，直角等于90°，四个直角的和为90°×4 =360°，这与四边形内角和定理相符，所以四边形的内角可能都是直角，比如长方形和正方形。 假设四边形的内角都是钝角，由于钝角是大于90°的角，那么四个钝角的和一定大于90°×4=360°，这与四边形内角和是360°矛盾，所以四边形的内角不可能都是钝角。 【教材P111复习题A组T3】 3.如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去∠BCD后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 470°.求∠BGD的度数. 解：六边形ABCDEF的内角和: (6－2) × 180° =720° 又∵∠1＋∠2+∠3+∠4+∠5=470°， ∴∠GBC+∠C+∠CDG=720°-470°=250°. ∵四边形BCDG的内角和为360°， ∴∠BGD=360°-(∠GBC+∠C+∠CDG)=360°-250°=110°. 4.已知: 如图，在□ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，AE = CF，点 M，N 是 ED，BF 的中点. 求证: 四边形 MFNE 是平行四边形. 【教材P111复习题A组T4】 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC，∠A=∠C. ∴ △ADE≌△CBF，∴ ∠AED=∠CFB，DE=BF. ∵ 四边形是平行四边形，∴ AB∥ DC，∴ ∠CFB=∠ABF， ∴ ∠AED=∠ABF，即ME∥ FN. 又∵ M、N分别是ED、BF的中点，且DE=BF， ∴ ME=FN，∴ 四边形MFNE是平行四边形. 【教材P112复习题A组T5】 5.将一张相邻两边长为 40 cm 和 20 cm 的矩形纸片剪成相邻两边长为 18 cm 和 12 cm 的矩形纸片，最多能剪几个 ? 并画出示意图. 3个 【教材P112复习题A组T6】 6.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点 D 是AC的中点，连接BD. AE，BE交于点E，且AE∥ BD，BE//AD，试猜想四边形AEBD的形状.并说明理由. 解:∵AE∥ BD，BE∥ AD， ∴四边形AEBD是平行四边形. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点， ∴BD= AC=AD. 又∵四边形AEBD是平行四边形，且一组邻边AD与BD相等， ∴四边形AEBD是菱形. 四边形AEBD是菱形. 【教材P112复习题A组T7】 7.如图，将两个全等的等腰三角形纸片拼成一个平行四边形，能拼出几种不同的平行四边形?画出示意图.这些平行四边形中有菱形吗?如果有，请说明理由. 能拼出2种不同的平行四边形；这些平行四边形中有菱形，理由是:以等腰三角形的腰为公共边拼接时，得到的平行四边形的四条边都等于等腰三角形的腰长，符合菱形的定义。 【教材P112复习题A组T8】 8.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥ AC，且DE= AC，连接AE，CE. (1)求证:四边形OCED为矩形； (2)若菱形ABCD的面积为2，求△AEC的面积. (1) ∵四边形ABCD是菱形， ∴ CO= AC，∠COD=90°. 又∵ DE∥ AC，且DE= AC，∴DE=CO. ∴四边形 OCED 是平行四边形. 又∵ ∠COD=90°， ∴ 四边形OCED为矩形. 【教材P112复习题A组T8】 8.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥ AC，且DE= AC，连接AE，CE. (1)求证:四边形OCED为矩形； (2)若菱形ABCD的面积为2，求△AEC的面积. (2)∵S菱形ABCD= BD·AC，且BD=2DO， ∴S菱形ABCD = ×2DO×AC=DO×AC=2. ∵四边形OCED为矩形，∴DO=EC，∠ACE=90°. ∵S△AEC = ×EC×AC，将 DO = EC 代入可得 S△AEC = ×DO×AC. 又∵DO×AC=2，∴S△AEC= ×2 = 1. 【教材P112复习题A组T9】 9.某地有四个村庄A，B，C，D，它们正好位于一个正方形的四个顶点. 现在四个村庄计划联合架设一条电话线路，他们设计了 4 种架设方案，如图中的实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线. 解：设正方形的边长为a. 方案(1) :l1=AD+AB+BC=3a. 方案(2) : l2=AB+BD+DC= 方案(3) : l3=AC+BD= 方案(4): l4=AE+DE+EF+BF+BC= 比较l1， l2， l3， l4的大小，可得 l4<l3<l1<l2 . 方案(4)最省电线. 【教材P113复习题A组T10】 10. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且 BE = CF. AE，BF 交于点G. 求∠AGF 的度数. 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB =BC，∠ABE=∠BCF=90°.又∵BE=CF， ∴△ABE≌△BCF.∴∠BAE=∠FBC. ∵ ∠FBC+∠ABG=90°，∴∠BAE+∠ABG=90°. 在△ABG中，∠AGB=180°-(∠BAE+∠ABG)=180°-90°= 90°.又∵∠AGF与∠AGB互补， ∴∠AGF =90°. 【教材P113复习题A组T11】 解：∵DE∥ AB，DF∥ AC， ∴四边形AFDE是平行四边形. ∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD. 又∵DE∥ AB，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EDA=∠EAD，∴AE=DE ∴四边形AFDE是菱形. ∵∠BAC=90°， ∴四边形AFDE是正方形. 11.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC 的平分线交 BC 于点D，DE∥ AB交 AC 于点E，DF∥ AC交 AB 于点 F . 若 AD=3 ，求四边形AFDE的面积. ∵四边形AFDE是正方形，AD是其对角线， 且AD = . 设正方形的边长为a，则对角线长= ， ， ∴ S正方形AFDE = 【教材P113复习题A组T11】 11.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC 的平分线交 BC 于点D，DE∥ AB交 AC 于点E，DF∥ AC交 AB 于点 F . 若 AD=3 ，求四边形AFDE的面积. 【教材P113复习题B组T1】 1.一个多边形的内角中，最多有几个锐角?为什么? 最多有3个锐角. 理由是多边形外角和为360°，外角中最多3个钝角，而内角与相邻外角互为邻补角，外角为钝角时内角为锐角，所以内角中最多有3个锐角. 【教材P113复习题B组T2】 2.已知:如图，□ABCD的顶点 D 在□AEFG的边FG上，□AEFG 的顶点 E 在□ABCD的边 BC 上. 求证: □ABCD 和□AEFG 的面积相等. 证明: 连接DE，过D作DM⊥AE于M，过E作EN⊥AD于N. ∵S△ADE= S□AEFG ，S△ADE= S□ABCD ∴S□ ABCD=S□ AEFG. M N 【教材P113复习题B组T3】 3.已知: 点О 是矩形 ABCD 内任一点 . 求证: OA2+OC2 = OB2+OD2. 如果点О在矩形ABCD的外部，结论还成立吗? 当点 O 在矩形ABCD内部时: 过点 O 作 EF⊥BC ，垂足为 E，交 AD 于点F. ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AD∥ BC，则四边形ABEF和四边形CDFE都是矩形. ∴ AF = BE，FD = CE. ∵ OA2 = AF2+OF2，OC2 = CE2+OE2. A B D C O E F 【教材P113复习题B组T3】 3.已知: 点О 是矩形 ABCD 内任一点 . 求证: OA2+OC2 = OB2+OD2. 如果点О在矩形ABCD的外部，结论还成立吗? ∴OA2+OC2= AF2+OF2+CE2+OE2. 又∵OB2=BE2+OE2，OD2=FD2+OF2 ∴OB2+OD2= BE2+OE2+FD2+OF2 . ∴OA2+OC2=OB2+OD2。 A B D C O E F 【教材P113复习题B组T3】 当点O在矩形ABCD外部时: 过点O作OE⊥BC，垂足为E，交AD的延长线于点F. ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥ BC， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°， ∴四边形ABEF和四边形CDFE都是矩形. ∴AF=BE，FD=CE. 在Rt△AOF中，OA2=AF2+OF2. 在Rt△OEC中，OC2=CE2+OE2. A B D C O E F 3.已知: 点О 是矩形 ABCD 内任一点 . 求证: OA2+OC2 = OB2+OD2. 如果点О在矩形ABCD的外部，结论还成立吗? 【教材P113复习题B组T3】 ∴OA2+OC2=AF2+OF2+CE2+OE2. 在Rt△BOE中，OB2=BE2+OE2. 在Rt△DOF中，OD2=FD2+OF2 ∴OB2+OD2= BE2+OE2+FD2+OF2. ∴OA2＋OC2=OB2+OD2. 综上，当点O是矩形ABCD内任一点时，OA2＋OC2=OB2＋OD2成立；当点O在矩形ABCD的外部时，结论也成立. A B D C O E F 3.已知: 点О 是矩形 ABCD 内任一点 . 求证: OA2+OC2 = OB2+OD2. 如果点О在矩形ABCD的外部，结论还成立吗? 【教材P114复习题B组T4】 4.如图，在□ABCD中，点 O 是 AD 的中点，连接BO并延长，交 CD 的延长线于点E，连接BD，AE. (1)求证: 四边形 ABDE 是平行四边形； (2)若BD=CD，判断四边形ABDE的形状，并说明理由. 【教材P114复习题B组T4】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥ CD，∴∠ABO=∠DEO. 又∵点O是AD的中点，∴AO=DO. 又∵∠AOB=∠DOE，∴△ABO≌△DEO. ∴OB=OE. ∵四边形 ABDE 的对角线 AD 与 BE 互相平分， ∴四边形 ABDE 是平行四边形. 【教材P114复习题B组T4】 四边形ABDE是菱形. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD. 又∵BD=CD，∴AB=BD. 又∵在(1)已证四边形ABDE是平行四边形， ∴四边形ABDE是菱形. 【教材P114复习题B组T5】 5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE∥ AC，AE∥ BD. 若AB=10，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积. ∵DE∥ AC，AE∥ BD， ∴四边形AODE是平行四边形. 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°. ∴四边形AODE是矩形. ∴S四边形AODE=OA×OD= . 【教材P114复习题B组T5】 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=10，∠BAD=∠BCD=120°. ∴∠BAO= ∠BAD=60°. 在Rt△ABO中，∠AOB=90°， ∠ABO=180°-90°-60°=30°. ∴AO= AB= ×10=5. ∴BO= ∴OD=OB= . 5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE∥ AC，AE∥ BD. 若AB=10，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积. 【教材P114复习题B组T6】 6.实践操作: 第一步: 如图(1)，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平. 第二步:如图(2)，将图(1)中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，C'F交DE于点N，再把纸片展平. 【教材P114复习题B组T6】 问题解决: (1)如图(1)，四边形AEA'D的形状是________； (2)如图(2)，线段MC'与ME是否相等?若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由. 正方形 (2)MC'=ME.证明如下: 连接C'E.∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，∠EAC'=∠B=90°. 由折叠知，B'C'=BC，∠B'=∠B， ∴ AE=B'C'，∠EAC' = ∠B ∴ Rt△EC'A≌Rt△C'EB'. ∴ ∠C'EA=∠EC'B'，∴ MC'=ME. 【教材P114复习题B组T7】 7.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止.点P，Q的速度都是每秒1个单位长度，连接PO，AQ，CP.设点P，Q运动的时间为ts. (1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形； (2)当t=6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由 (3)当以PQ为对角线的正方形面积为96时，直接写出此时t的值. 【教材P114复习题B组T7】 (1)在矩形ABCD中， AB=8，BC=16， ∴BC=AD=16，AB=CD=8. 由题意可知，BQ=DP=t， ∴AP=CQ=16-t. 在矩形ABCD中，∠B=90°，AD∥ BC. 当 BQ = AP 时，四边形ABQP为矩形， 即 t = 16-t，∴ t = 8. ∴当t=8时，四边形ABQP是矩形. 【教材P114复习题B组T7】 (2)当t=6时，BQ=6，DP=6. ∴CQ=16-6=10，AP=16-6=10. ∵AP=CQ，AP∥CQ， ∴四边形AQCP为平行四边形. 在Rt△ABQ中， AQ= ∴AQ=CQ，∴平行四边形AQCP为菱形。 【教材P115复习题B组T8】 8.如图，点B，C，E在同一直线上，点C，G，D在同一直线上，四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH=BK=CE，连接AK，KF，HF，AH. (1)求证:AK=AH； (2)求证:四边形AKFH是正方形； (3)若四边形AKFH的面积为10，CE=1，求AE的长. 【教材P115复习题B组T8】 (1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠B=∠ADH=90°. 又∵DH=BK， ∴△ADH≌△ABK. ∴AK=AH. 【教材P115复习题B组T8】 (2)∵△ADH≌△ABK，∴∠HAD=∠BAK. ∵∠BAD=90°，∴∠BAK+∠DAK=90°，∴∠HAD+∠DAK=90°，即∠HAK =90°. ∵DH=CE=BK，且HG=DH＋DG， EK=EC+CK，又DG=CK，∴HG=EK， ∵ AD=AB=BC=CD，EF=CE=CG=GF. ∴△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH. ∴AH=AK =HF=FK. ∴四边形AKFH是正方形. 【教材P115复习题B组T8】 (3)∵四边形AKFH是正方形且面积为10， ∴ S = KF2 = 10， ∴KF = . 在Rt△EFK中，EF=CE=1， . ∵AB=BC，KE=BC，∴AB=KE=3. 又∵BK=EF=1，∴BE=BK+KE=1＋3 =4. 在Rt△ABE中，AB=3 ， BE=4， ∴ 【教材P115复习题C组T1】 1.设四边形ABCD的每一个顶点到其他三个顶点的距离之和都相等.这个四边形是什么四边形?请说明理由. 这个四边形是矩形，理由如下： 由题意得: AB+AC+AD=BA+BD+BC=CA+CD+CB=DA+DB+DC. 由AB+AC+AD=BA+BD+BC可得:AC+AD=BD+BC①； 由AB+AC+AD=CA+CD+CB可得:AB+AD=CD+CB②； 由AB+AC+AD=DA+DB+DC可得:AB+AC=DB+DC③. A B D C 【教材P115复习题C组T1】 由①-②可得: AC-AB=BD-CD④； ③+④可得: 2AC=2BD，即AC=BD. 将AC = BD代入①可得: AD = BC； 将AC = BD代入③可得: AB = CD. ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 又 ∵ 平行四边形ABCD中AC=BD(对角线相等)， ∴ 这个四边形是矩形. A B D C 【教材P115复习题C组T2】 2. (1)求证:在□ABCD中，AC2+BD2= 2(AB2+BC2)； 证明：过点D作DE⊥AB于点E， 过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥ DC，AB = DC，AD = BC. ∵AB ∥ DC，DE⊥AB，CF⊥AB， ∴DE=CF (平行线间的距离相等）. 在Rt△ADE和Rt△BCF中， ∠AED = ∠BFC = 90°，AD = BC，DE=CF， ∴ Rt△ADE≌Rt△BCF，∴ AE=BF. D C A B E F 【教材P115复习题C组T2】 2. (1)求证:在□ABCD中，AC2+BD2= 2(AB2+BC2)； 在Rt△ACF中，AC2=AF2+CF2， ∵AF=AB+BF， ∴AC2=(AB+BF) 2+CF2=AB2+2AB·BF＋BF2+CF2. 在Rt△BDE中，BD2 = BE2+DE2， ∵ BE=AB-AE，AE=BF， ∴ BD2=(AB-BF) 2+CF2=AB2-2AB·BF+BF2 +CF2. D C A B E F 【教材P115复习题C组T2】 2. (1)求证:在□ABCD中，AC2+BD2= 2(AB2+BC2)； ∴AC2+BD2=(AB2+2AB·BF+BF2+CF2)+(AB2 -2AB·BF+BF2+CF2)=2AB2+2BF2+2CF2. 在Rt△BCF中，BF2+CF2=BC2， 又∵ AB = CD，AD = BC ∴ AC2+BD2 = 2AB2+2BC2， 即 AC2+BD2 = 2(AB2+BC2)。 D C A B E F 【教材P115复习题C组T2】 2. (2)已知△ABC的三边长分别为BC=a，AB=c，AC=b、求BC边上的中线长(用a，b，c的代数式表示). A B C a c b D E 解：设BC边上的中线为AD，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE、CE. ∵BD=DC，AD=DE， ∴四边形ABEC是平行四边形. ∴AE2+BC2=2(AB2+AC2)((1)的结论). 设中线AD=m，则AE=2m， 则(2m)2+a2=2(c2+b2)，即4m2+a2=2c2+2b2，m= . ∴BC边上的中线长为 【教材P115复习题C组T3】 3.在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为 (-1，0)，(2，5)，(3，0). 若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标. 解：设点D的坐标为(x，y)，根据平行四边形的对角线互相平分，即对角线的中点坐标相同，分以下三种情况讨论: 当AC为对角线时: AC中点坐标为( )= (1,0)， 此点也为BD中点.根据中点坐标公式可得 ∴ x = 0，y = - 5. 此时D点坐标为(0，- 5)。 【教材P115复习题C组T3】 当AB为对角线时:AB中点坐标为( )=( )， 此点也为CD中点. ∴ ∴ x=-2，y=5. 此时D点坐标为(-2，5) . 当BC为对角线时: BC中点坐标为( )=( )， 此点也为 AD 中点. ∴ ∴ x=6，y=5. 此时 D 点坐标为(6,5). 综上，点 D 的坐标为 (0，-5) 或 (-2，5) 或 (6，5). 【教材P116复习题C组T4】 4.如图，安全村有一口四边形的池塘，在它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，村委会准备扩建池塘，要想使建成后的池塘面积为原来池塘面积的2倍，但不能移动大树，并要求扩建成平行四边形的形状，请问能否实现这一设想?若能，请你写出方案并画出图形；若不能，请说明理由. 【教材P116复习题C组T4】 E F G H O 解:连接四边形ABCD的两条对角线AC与BD. 过点A作BD的平行线，过点C作BD的平行线；过点B作AC的平行线，过点D作AC的平行线.上述四条平行线两两相交，分别得到交点E(A点平行线与B点平行线的交点)、 F(B点平行线与C点平行线的交点)、 G(C点平行线与D点平行线的交点)、 H (D点平行线与A点平行线的交点)， 则四边形EFGH为平行四边形. 【教材P116复习题C组T4】 ∵EF∥ AC∥ GH，EH∥ BD∥ FG， ∴四边形AEBO、BFCO、CGDO、DHAO均 为平行四边形. S□AEBO=2S△AOB 同理S□BFCO=2S△BOC. S□CGDO=2S△COD. S□DHAO=2S△DOA. ∴ S四边形ABCD=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△DOA. S□EFGH=S□AEBO+S□BFCO+S□CGDO+ S□DHAO =2(S△AOB+S△BOC+S△COD+S△DOA)=2S四边形ABCD E F G H O 即面积为原池塘的2倍. 【教材P116复习题C组T5】 5.如图，在□ ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM. (1)求证: 四边形CDMN为菱形； (2)过点 C 作CE⊥MN于点E，交DN于点F，若FC=2， ∠MDN=∠NCE，求四边形 CDMN 的面积； (3)若点 Р 在直线 DN 上，AN=4，DN=6，求△PBM周长的最小值. 【教材P116复习题C组T5】 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥ BC，AD=BC. 又∵M、N分别是AD、BC的中点， ∴MD= AD，NC= BC， 则MD = NC且MD∥ NC， ∴四边形CDMN是平行四边形. ∵∠AND=90°，M是AD中点， 在Rt△AND中，MN为斜边AD的中线， ∴MN=MD= AD. ∴四边形CDMN为菱形. 【教材P116复习题C组T5】 (2)设∠MDN=α，∵四边形CDMN是菱形，∴MD=MN=CD=CN，MN∥ CD， MD∥ NC ， ∴∠MDN=∠DNM= ∠DNC =α. 由∠MDN=∠NCE=α，CE⊥MN， 可得∠CEN=90°； ∴ ∠DNM=∠DNC =∠NCE = 30°，∠MNC = 60°. ∴ FN = FC = 2，FO = FC = 1，NO = FN + FO = 3； ∴ ND = 2 NO = 6. o 【教材P116复习题C组T5】 在Rt△FCO中，OC = FO = ， MC = 2 OC = 2 . ∴ 菱形CDMN 的面积为 MN×CE= ND× MC = ×6×2 = o 【教材P116复习题C组T5】 (3)建立平面直角坐标系，设N(0，0)， D(-6，0)，A(0，4)， ∵ M 为 AD 中点，∴ M 的坐标为 (-3，2). 由平行四边形性质及N是BC中点， 可得 B(3，2)，直线DN即为 x 轴. △PBM 的周长为 PB+PM+BM， 其中 BM = = 6为定值， ∴需要使 PB+PM 最小. 【教材P116复习题C组T5】 作 M 关于 x 轴的对称点 M'(-3 , -2)， 则PM = PM'，PB+PM = PB+PM' ≥ BM'. BM' = ， 即 PB+PM 的最小值为 . ∴ △PBM 周长的最小值为 . $