精品解析：安徽省马鞍山市2026届高三第二次教学质量监测数学试卷

2026年马鞍山市高三第二次教学质量监测 数学 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i是虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法求出复数，再利用复数模长公式即可求解. 【详解】因为，所以 所以 故选：B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算集合，再根据集合的交集和并集的定义计算判断各个选项； 【详解】因为， 对于A，因为，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误， D正确 3. 已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A：当，时，，所以本选项不符合题意； 对于选项B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； 对于选项C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； 对于选项D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 4. 已知数列是各项均为正数的等比数列，是其前项和，且，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式求出公比，即可得. 【详解】由题设，若数列的公比为，且， 由， 可得，则（负值舍）， 即数列为常数列， 则. 5. 已知四边形为平行四边形，，为与的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以 因为，所以，所以 6. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 所以， 所以. 7. 已知函数的定义域为，当时，，对任意，有．若是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为是增函数，所以需保证相邻区间的函数值满足递增关系，根据已知时的函数表达式求出该区间的最大值，再结合递推关系，建立关于不等式求解. 【详解】当时，，和都是单调递增函数，因此在内单调递增， 左端点； 在区间内，对任意，都有， 由递推关系： 当时，，因此， 若整体递增，则必有，若，函数值正负交替，不可能递增， 则该区间内部同样单调递增；而区间左端点， 区间内任意，都有， 函数整体为增函数，必须满足的最大上限值的最小起点值， 得到，解得. 再看区间，左端点， 要保持递增，需的上限值，得，和之前结论一致， 以此类推，对所有后续区间，只要，分段衔接处永远满足递增，每一段内部也保持递增. 8. 已知三棱锥中，棱，，两两垂直，且长度都为．以为球心，4为半径的球与三棱锥的表面相交所得到的曲线长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于每个相交面，利用点到面的距离公式，结合球的半径，求出交线圆弧的半径；再通过几何关系确定圆心角，最后将所有相交得到的曲线长度相加，得到总长度. 【详解】面是过的平面，截球所得截面圆的圆心为，半径为, 顶点都在球内（），在球外（）， 因此和各有一个交点，交线为两点间的圆弧, 上交点满足，得， 又（中），因此圆弧圆心角，弧长， 同理，面与对称，弧长， 是等边三角形，、各有一个交点，圆心角为， 弧长：， 到面的距离，截面圆半径，截面圆心为， 弧长：， . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比（ ） A. 极差相同 B. 平均数相同 C. 方差相同 D. 中位数相同 【答案】AC 【解析】 【分析】利用每个数据同时加上同一个常数后各统计量的变化规律，逐一对比原数据与新数据的四个统计量即可得到结果. 【详解】设新数据为 ，逐个分析选项： 对于选项A： 原极差 ，新极差 ，极差相同，A正确； 选项B： 原平均数为 新平均数 ，平均数不同，B错误； 选项C： 原方差 ，新方差：，方差相同，C正确； 选项D： 原中位数为 ，新中位数为 ，因 ，故中位数不同，D错误. 10. 数列的前项和为，且，，则（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. D. 数列的前项和等于 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据与之间的关系分析可得，即可判断A；进而可得，，即可判断BC；整理可得，利用裂项相消法运算求解，即可判断D. 【详解】对于A，由数列满足， 当时，，所以， 可得， 因为，可得，所以， 则，所以，所以， 所以数列是以首项为，公差的等差数列，所以A正确； 对于B，由A项可得，所以， 当时，， 当时，，适合上式，所以， 又由，可得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以B正确； 对于C，由B项知：数列的通项公式为，所以C错误； 对于D，由， 可得的前项和为： ，所以D正确. 11. 已知曲线，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线与轴有4个公共点 C. 曲线上存在一点，使得 D. 曲线上任意一点，都有 【答案】AD 【解析】 【分析】化简得，再利用点的对称性证出A；利用对称性可判断B；利用反证法，以及求证C；利用基本不等式三角函数的有界性求证D. 【详解】对A：，曲线过原点， 若点在曲线上，则点也在曲线上， 故曲线关于原点，轴，轴，直线均对称，故A正确； 对B：由对称性及曲线过原点，曲线与x轴必有奇数个公共点，故B错误； 对C：假设存在一点，使得，则， 过点的直线方程为，则， 由对称性不妨设， 则，矛盾，故C错误； 对D：，等号成立时， 此时无法成立，故等号取不到， 由得成立，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置． 12. 已知抛物线，则以的焦点为圆心，且与的准线相切的圆的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线方程确定焦点坐标与准线方程，从而确定圆的圆心与半径，即可得圆的方程. 【详解】由题意得的焦点为，准线为， 故圆的圆心为，则半径， 则圆的标准方程为. 故答案为：. 13. 的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 【答案】120 【解析】 【详解】从个因式中依次选择个，个，个， 则结果为， 故的系数为 14. 已知曲线恒过定点，点是曲线上的一个动点，点，当的最小值为时，______． 【答案】 【解析】 【分析】法一：取中点，应用向量加减的几何意义及数量积的运算律，结合已知得，根据等号成立条件有处切线斜率为，最后利用导数的几何意义列方程求参数值；法二：设，应用向量数量积的坐标表示得到，应用导数研究其最小值得，结合及等号成立条件求参数值. 【详解】法一：取中点，，，， 所以，而， 结合余弦定理易知，则，当且仅当重合时取等，即垂直于过点的切线， 而，此时处切线斜率为，而，从而，即． 法二：设，且，，则，， 所以，则， 当，，在上单调递减，无最小值 当，在上单调递增，，， 故存在极小值点，，得 故，即， 由，则，故时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，则，当且仅当取等， 所以，即． 四、解答题：本题共5题，共77分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内． 15. 曲线在点处的切线为． （1）求直线的方程； （2）若直线与曲线在轴右侧只有一个公共点，求实数的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可； （2）令，利用导数讨论单调性，求出的值. 【小问1详解】 ，，的方程为，即； 【小问2详解】 直线与曲线在轴右侧只有一个公共点，即方程只有一正实数解，即只有一正实数解， 令，则， 时，，单调递减；时，，单调递增； 且时，；时，， 故. 16. 如图，圆锥的底面半径为1，高为2，是的直径，点在上，且． （1）求点到平面的距离； （2）点在线段上，二面角的大小为，求直线与圆锥底面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法1，利用三棱锥等体积，计算得解；法2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解； （2）法1，取中点，可得二面角的平面角为，进而求得，得解；法2，利用向量法求得平面和平面的法向量，进而求得点的坐标，计算得解. 【小问1详解】 方法－：因为为直径，所以， 由，得，，所以， 所以， 在中，，，所以， 设点到平面的距离为，由，得. 方法二：取弧的中点，连接，则， 以为坐标原点，方向为轴方向如图建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， ，令，得， 则点到平面的距离为. 【小问2详解】 方法一：取中点，连接、，则， 又平面，则，，故面，故， 所以二面角的平面角为，即， 在等边中，，为等腰直角三角形得， 在中，，故所求线面角，. 方法二：设， 设平面的法向量， ，令，得， 底面的法向量，则，得， 即，， 设直线与底面所成角为，则. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知，点是边上一点，． （1）若，，求的面积； （2）若，求的最小值． 【答案】（1） （2）27 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，得，再由余弦定理得，求得，结合三角形面积公式得解； （2）由得，利用基本不等式求解. 【小问1详解】 因为，所以是的中点， 所以，两边平方得，即， 又由余弦定理知，联立得， 故的面积. 【小问2详解】 由，得， 故，即， 故， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为27. 18. 已知双曲线过点，且渐近线方程为． （1）求的标准方程； （2）点的坐标为，过点的直线与的左支交于，两点，直线，分别与的右支交于，两点． （ⅰ）的左顶点为，记直线，的斜率分别为，，求； （ⅱ）证明：直线过定点． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）过定点，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程为，得，结合双曲线过定点，联立求解得到双曲线的标准方程； （2）（ⅰ）设过定点的直线方程，与双曲线方程联立，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理得到两点纵坐标的和与积的关系式；根据斜率公式，得到，，从而计算出的值； （ⅱ）分别设过定点的直线，方程，分别与双曲线方程联立求出点与点，点与点的横、纵坐标之间的关系式，根据,,三点共线，则求出定点。 【小问1详解】 双曲线过点，渐近线方程为， ，解得； 的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ），的左顶点； 直线过点，设直线方程为，，； ，联立方程得， ， 则，； 直线与的左支交于，两点，，； 即，解得； 综上所述，的值为. （ⅱ）直线过点，设直线的方程为，，，则； ，联立方程得， 则，得； ； 同理可求得，； ①当直线斜率存在时，如图所示： ,,三点共线，，即， 则，化简得; 令，即，即直线过定点; ②当直线斜率不存在时，如图所示： 此时，则，解得，； 直线的方程为，也过定点； 直线恒过定点. 【点睛】联立直线与双曲线方程时，要注意判别式大于0，且保证交点在左支；计算斜率乘积和直线过定点时，要注意利用双曲线方程对坐标进行代换，简化运算。同时，过定点的直线方程要注意分斜率存在和不存在两种情况. 19. 某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． （1）求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； （2）记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； （3）若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用独立事件概率公式求解； （2）用独立事件概率公式表示，转化为一元二次函数的最值问题； （3）使用条件概率公式与全概率公式求解. 【小问1详解】 甲在乒乓球比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，胜1场，负两场，故概率为； 【小问2详解】 甲在游戏中总得分为2，对应事件：甲在乒乓球比赛中获得1积分，抽奖1次中1次； 或甲在乒乓球比赛中获得2积分，抽奖两次中0次，故所求概率为 ； 故当时，的最小值为 【小问3详解】 乒乓球比赛中在事件发生的条件下，其余三人的积分有两种情形：2，1，0或1，1，1 则A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故， 记事件“甲在乒乓球比赛中积3分，乙、丙、丁各得1分”为， 则，， 事件“甲在乒乓球比赛中积3分，另3人得分为2，1，0分”为， 则， 且甲要获得奖励则对应两种情况：“甲3次抽奖至少中一次”，或者“甲3次抽奖一次都未中，而得两分的人至多抽中一次”，故 由全概率公式， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年马鞍山市高三第二次教学质量监测 数学 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i是虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 9 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ，， 4. 已知数列是各项均为正数的等比数列，是其前项和，且，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 5. 已知四边形为平行四边形，，为与的交点，则（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，当时，，对任意，有．若是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥中，棱，，两两垂直，且长度都为．以为球心，4为半径的球与三棱锥的表面相交所得到的曲线长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比（ ） A. 极差相同 B. 平均数相同 C. 方差相同 D. 中位数相同 10. 数列的前项和为，且，，则（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. D. 数列的前项和等于 11. 已知曲线，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线与轴有4个公共点 C. 曲线上存在一点，使得 D. 曲线上任意一点，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置． 12. 已知抛物线，则以的焦点为圆心，且与的准线相切的圆的标准方程为__________. 13. 的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 14. 已知曲线恒过定点，点是曲线上的一个动点，点，当的最小值为时，______． 四、解答题：本题共5题，共77分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内． 15. 曲线在点处的切线为． （1）求直线的方程； （2）若直线与曲线在轴右侧只有一个公共点，求实数的值． 16. 如图，圆锥的底面半径为1，高为2，是的直径，点在上，且． （1）求点到平面的距离； （2）点在线段上，二面角的大小为，求直线与圆锥底面所成角的正弦值． 17. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知，点是边上一点，． （1）若，，求的面积； （2）若，求的最小值． 18. 已知双曲线过点，且渐近线方程为． （1）求的标准方程； （2）点的坐标为，过点的直线与的左支交于，两点，直线，分别与的右支交于，两点． （ⅰ）的左顶点为，记直线，的斜率分别为，，求； （ⅱ）证明：直线过定点． 19. 某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． （1）求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； （2）记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； （3）若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $