安徽省马鞍山市2025届高三第二次教学质量监测（二模）数学试卷

( ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 2025年马鞍山市高三第二次教学质量监测 数学参考答案 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B A B C D C 8.【解析】因为，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分。 序号 9 10 11 答案 BC ABC BCD 11．【解析】若，因为，则，矛盾，故不存在，使得； 易知，记三棱柱的侧面积为， 则，因为，所以关于单调递减，故B正确； 记三棱柱的体积为，则关于单调递减，故C正确； 记三棱锥外接球半径为，的外接圆半径为， 因为，则， 故， 当且仅当即时，最小值为，外接球表面积的最小值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．15.5 13． 12 14． 14.【解析】设为，为，则，，，. 在直角三角形中，. . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 两个箱子里面各有除颜色外完全相同的黑球和白球若干个. 现设计一个抽球游戏，规则如下：先从第一个箱子中随机抽一个小球，抽后放回，记抽中黑球得4分，抽中白球得1分，且抽中黑球的概率为；再从第二个箱子中随机抽一个小球，抽后放回，记抽中黑球得1分，抽中白球得3分，且抽中黑球的概率为. 记一次游戏后，得分总和为分. （1） 求的分布列和数学期望； （2）若有3人玩该游戏各一次，求恰有2人游戏得分不低于4分的概率. 【解析】（1）由题知，可能取的值为2，4，5，7. ………（1分） ………（2分） ………（3分） ………（4分） ………（5分） 的分布列为： 2 4 5 7 ………（7分） 故. ………（9分） （2）由（1）知，得分不低于4分和低于4分的概率均为 ………（11分） 故恰有2人游戏得分不低于4分的概率为 ………（13分） 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面，，侧棱与底面所成的角为，且． （1）求； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 第16题图 【解析】（1）因为底面，所以， 因为，，所以平面，所以， ……（2分） 因为与底面所成的角为，所以，设， ……（4分） 则，因为，所以， 解得（舍），故. ……（7分） （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，过作垂直于的直线为轴，如图建系，则， 则 ……（9分） 设平面的法向量为， ，令，得，……（11分） 设平面的法向量为， ，令，得，……（13分） 设平面与平面的夹角为，则. ……（15分） 17．（17分） 在平面直角坐标系中，点和是中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆上的两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若为椭圆上任意一点，以点为圆心，为半径的圆与圆的公共弦为. 证明的面积为定值，并求出该定值. 【解析】（1）解：设椭圆： 由题意知：， ， ……（2分） 解得， ……（4分） 所以椭圆的方程为：. ……（5分） （2）设则，且圆的方程为：， 所以. ……（7分） 因为圆：， 所以的方程为， ……（9分） 点到直线的距离， ……（12分） ，所以的面积为为定值. ……（15分） 18．（17分） 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求实数的取值范围． 解：（1）的定义域为，. ……（2分） （i）若，则，则在单调递减； …………… （3分） （ii）若，则由得. …………… （4分） 当时，；当时，， …………… （7分） 所以在上单调递减，在上单调递增. …………… （8分） （2） （i）若，由（1）知，至多有一个零点. …………… （9分） （ii）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； …………… （10分） ②当时，由于，，故没有零点；… （11分） ③当时，由于，即，又， 故在有一个零点. …………… （13分） 设正整数满足，则， 故在有一个零点. ………… （16分） 综上，的取值范围为. ………… （17分） （注：用极限说明不扣分） 19．（17分） 将数列中不同的两项与交换位置，其余项不变得到的数列称为的“对换数列”,若时，，则称为一个逆序对，例如：数列的逆序对有：. 将数列中逆序对的个数称为的逆序数，记为，记. （1）写出数列的所有逆序对； （2）求数列的所有“对换数列”的逆序数之和； （3）定义：将数列的所有项重新排列后得到的数列称为的一个“重排数列”. 若是数列的一个“重排数列”，是数列的一个“对换数列”，证明：. （注：.） 【解析】（1）； …………… （4分） （2）因为交换与后共产生个逆序数，， 所以 . …………… （9分） （3）由（2）可知，， …………… （10分） 因为是将中与两项交换所得， 故之前的项及之后的项逆序数不变， …………… （12分） 对于与之间的项，只有满足的数才会发生逆序数的变化，设这样的数有个，由于这个数对与的顺序同时发生变化，产生个逆序数，又与交换产生1个逆序数，则共产生个逆序数，设， 则，则. …………… （17分） 一模理科数学试题 第19页（共20页） 一模理科数学试题 第20页（共20页） 数学试题 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $$■ 2025年马鞍山市高三第二次教学质量监测 数学答题卡 姓名 贴条形码区 考 号 注闺爷酮务配真氧条利雨上的的有·专，郑年本人有，零明孩那有神病面，存有测司 选择僵用祁第填〕 意纳油漆料制：一 一、感释数了 C11121115C45r51 C611T143 1AER11A3A1E民 IA:EALIA 51B1101516 151810 二、选邦提 《9射递相 t01b1e影 三，煤空■ 1 到 G14 西，解答国 重在喜限口著款☒楼青作养.。热出家程的洋多光级 ■ ■ 器热夏G未 41面 调在各起的游恒区城内作落，起出盖区随联带室夫效 ■ ■ ■ ■ ■夏雀鲨置超送差置 清在客出的常小民域内杏花，目出看程地的害率生效 ■ ■ ■ ■ ■ 姓名 独务码料和5喜来理绝■水签辛笔 只真填写在与内 小在青日价著和区内作器：热出养理因材物答天口 ◆ ■ 油在备超新程口装为作盖，后士备推区姓香无领 ■ ■ ■ ■ 11朝 二 ◆2025年马鞍山市高三第二次教学质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和考号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 务必擦净后再进涂其它答案标号。回答非进择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A={x2x+1≤2}，B={-2,-1,0,1},则A∩B= A.{-1,0} B.{-2,-1,0y C.{-1,0,1 D.{-2,-1,0,1} 2.已知复数z=V5+i,则= B.5 c.5+h D.5 22 22 22 3.已知平面向量a,b满足a=1,-√3)，b=(2,x),若ab,则x= A.-√5 B.-2W5 C.5 D.2N5 4.已知随机变量X~N(2,σ2)，且P(X≤4)=0.64，则P(0≤X≤2)= A.0.14 B.0.22 C.0.28 D.0.36 5.在三棱柱ABC-A B,C中，截去三棱锥C-ABC后，剩余的部分是 A.五棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱台 6.数列{an}满足a,=3,a4=√an，则log(aaaa4)= B. C. D. 16 8 8 7.已知函数f(x)= Sin2x+ax<0:是定义在(-0,0U0,+四)上的奇函数，则a,B的值可能是 cos(2x+B),x>0 A.a=B= 3 6 B.a 4 4 C.a= 3, 2 6 D. 37π 4 8.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,准线与x轴交于点P,直线I过焦点F且与C交于A,B两点， 若直线AP的斜率为；，则ABF A.1 B.2 C.4 D.8 数学第1页共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9。已知二项式学的展开式中各项系数之和为存则 A.展开式中共有6项 B.展开式中二项式系数的和为64 C.展开式中常数项为 D.展开式中系数最大的项是第2项 16 10.点P是半径为2的圆O内一定点，且|OP=1,过点P作圆O的两条互相垂直的弦AB,CD,则 A.PA.PB为定值 B.OA.OB的取值范围是[-4，-2] C.AC.BD为定值 D.四边形ACBD面积的最大值为4V3 11.已知在三棱柱ABC-AB,G中，AA⊥底面ABC,AC=1,BC=1,且∠ACB+2∠ACA=π，记 ∠ACB=a,则 A.存在a,使得BC⊥AB B.三棱柱的侧面积随α的增大而减小 C.三棱柱的体积随α的增大而减小 D.三棱锥A-ABC外接球表面积的最小值为3π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.马鞍山市某月连续四天的最低气温如下表所示： 第x天 1 2 3 4 最低气温y(单位：℃) 14 17 15 14 由最小二乘法得到经验回归方程y=-0.2x+a,则a的值为 13.如图，一个圆环分成A,B,C,D四个区域，用3种颜色（全部用完） 对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数 为 一·（用数字作答） 第13题图 14.在△ABC中，点D,E分别为边AB,AC的中点，且CD⊥BE,BC=1,则△ABC面积的最大 值为一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 两个箱子里面各有除颜色外完全相同的黑球和白球若干个，现设计一个抽球游戏，规则如下： 先从第一个箱子中随机抽一个小球，抽后放回，记抽中黑球得4分，抽中白球得1分，且抽中黑球 的概率为}：再从第二个箱子中随机抽一个小球，抽后放回，记抽中黑球得1分，抽中白球得3分， 且抽中黑球的概率为}，记一次游戏后，得分总和为X分。 (1)求X的分布列和数学期望： (2)若有3人玩该游戏各一次，求恰有2人游戏得分不低于4分的概率， 数学第2页共4页 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,AB=1,BC=√3，PA=2√2，侧棱PC与底面 ABCD所成的角为45°，且AB⊥BC,PC⊥BC. (1)求PD: (2)求平面APC与平面BPC夹角的余弦值， D 第16燃国 17.(15分) 在平面直角坐标系xOy中， 点利 是中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆E 上的两点. (1)求椭圆E的标准方程： (2)若P为椭圆E上任意一点，以点P为圆心，|OP1为半径的圆与圆C:x2+0y+√5)2=5的 公共弦为MN.证明△CMN的面积为定值，并求出该定值， 数学第3页共4页 18.(17分) 已知函数f(x)=2ae2产+2(a-1)e-x. (1)讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围. 19.(17分) 将数列{a,}中不同的两项a与a,交换位置，其余项不变得到的数列称为{a,}的（亿，）对换数列”， 若i<j时，a>a,则称(a,a)为{an}一个逆序对，例如：数列2,3,1的逆序对有：(2,1)，(3，l).将 数列{an}中逆序对的个数称为{an}的逆序数，记为N(a.),记sgn(a,)=(-1)a). (1)写出数列1,5,2,4,3,6的所有逆序对： (2)求数列1,2,3，…，n的所有“(，)对换数列”的逆序数之和f(n): (3)定义：将数列1,2,3，…，n的所有项重新排列后得到的数列称为1,2,3，…，n的一个“重 排数列”.若{a,}是数列1,2,3，…，n的一个“重排数列”，{也}是数列1,2,3，…，n的一个 “(亿，)对换数列”，证明：sgn(a)=sgn(a,sgm(b,· (注：1P+22+32+…+m2=nm+12n+) 6 数学第4页共4页