安徽合肥市第一中学2026届高三最后一卷数学试题

2026届高三最后一卷 数 学 考生注意: 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。 2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑,非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区战内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围:高考范围。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.若a是一1,5的等差中项,2是a,b的等比中项,则a十b= A.3 B.4 C.5 D.6 2.Token是AI大模型处理信息的最小单元,2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译 名为“词元”,已知2024年一2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量(单位:百万亿次) 依次为9,246,1117,2875,8509,25033,则这组数据的75%分位数为 A.2875 B.5692 C.8509 D.16771 3.已知集合A={ 千8≤0}ka∈R,若24A,则a的取值范围是 A.(-2,2] B.[-2,2] C.(-2,2) D.[-2,2) 4.已知轴祓面为正三角形的圆饿的表面积与球的表面积相等,则圆锥的体积与球的体积的比为 A号 B c将 号 5.不共线的两个单位向量a,b满足|a十b|=2la bl,若a⊥(ta十b),则实数t的值为 A司 B-号 C或-1 D.-合或1 6,若双曲线C差-苦=1(。>0,6>0)的两条南近线与圆云+y-2江一4十1=0共有3个公 共点,则C的离心率为 A.红 4 c号 【高三数学第1页(共4页)】 7.一盒子中装有6个编号分别为1,2,3,4,5,6的小球(小球的其余特征完全一致).从中有放回 地随机取球2次,每次取1个小球.记“第1次取出的小球的编号为1”为事件E,“第2次取出 的小球的编号为1”为事件F,“两次取出的小球的编号之和为5”为事件G,“两次取出的小球 的编号之和为奇数”为事件H,则 A.事件E与事件G互斥 B.事件F与事件G相互独立 C.事件E与事件H相互独立 D.P(E+F)=号 &.已知函数f(x)=e十e-cosx+3,若对Vx∈[2,1]mx+1)≤fz一2),则m的取值 范围为 A.[-5,-1] B.[-5,0] C.[-2,1] D.[-2,0] 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知复数z=(1十i)(a一2i)(a∈R,i为虚数单位),则 A.当a=0时,z=一2十2i B.当z为纯虚数时;a=一2 C.之在复平面内对应的点恒在直线x一y一4=0上 D.当a=3时,(z一5)7=i 10.已知点P(m,n)(m≠0)是抛物线C:y2=4x上的动点,F为C的焦点,l为C的准线,过P 且与C相切的直线交l于点Q,则 A.|m一n+3的最小值为2 B元十2的最小值为-号 C.√m2+n2-2m-6n+10+|ml的最小值为2 D.以PQ为直径的圆恒过点F 11.已知f(x)是定义域为R,最小正周期为T的函数,我们把g(x)=f(x)十f(x+)称为 f(x)的叠加函数,则 A.f(x)的叠加函数是最小正周期为T的周期函数 B.当f(x)=|sinx|时,g(x)的值域为[1,N2] 停x=经ez, C.当∫(x)= 时方程g(x)=2在[0,6]上有25个实根 tanx,x≠凭,k∈ D.当f(x)=(x一2k)2,x∈[2k一1,2k十1),k∈Z时方程g(x)=a在[3,5)有实根的充要 条件为号≤≤1 【高三数学第2页(共4页)】 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.某旅游博主准备从安徽省的5个国家全域旅游示范区与10个不是国家全域旅游示范区的 省全域旅游示范区中选4个去打卡,若国家全域旅游示范区至少选3个,则选取方法种数为 .(用数字作答) 13.写出一个满足下列条件的函数f(x)的解析式: ①f(-x)=f(x); ②对任意正数x,t,f(x十t)>f(x); ③x∈(0,+∞)ff色)>f)士f, 2 ④f(x1x2)=f(x1)+f(x2). 14.已知等差数列(an}的前n项和为Sn,a1<0,S1=0,数列{bn}满足bn=axa2+1a2+2,则 26,最小时n的值为 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 记 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,已知a一cosB=号6, (1)求cos2C; (2)若点D为AB的中点,CD=2,c=3,求 ABC的面积. 16.(本小题满分15分) 如图,在正三棱柱ABC-A1BC1中,点D为AB的中点. (1)证明:BC1∥平面A1CD; (2)若点E满足A忘=+号AA,且AEL平面A,CD,求直线DB与平 面A,CD所成角的正弦值. 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=4r1一(lnx+ax)ln2. (1)若a=1,判断f(x)的单调性; (2)若1<a<号,证明:f(x)>ln号+号-a, 【高三数学第3页(共4页)】 18.(本小题满分17分) 为评估卫是导航系统在复杂电磁环境下的定位稳定性,科研团队进行了一项模拟测试.测试 中一颗卫昆向地面特定区域持续发送信号.已知该区域有n(n≥3)个相互独立的瞬时强干 扰源,每个干扰源在任意一个单位测试时段内被激活的概率均为宁.当(i=0,1,2,…,n)个 干扰源被激活时会导致卫星信号在该时段内发生;次随机误差,反之亦然,设X为该时段内 被激活的干扰源数量, (1)若=3,且某个时段至少发生了2次信号误差,求该时段内恰好发生2次信号误差的 概率; (2)若=3,连续进行多个时段的测试,直到出现下列两种情况之一停止测试:①某个时段 内被激活的干扰源为3个;②连续3个时段内被激活的干扰源数量都是2个,求连续测 试3个时段后停止测试的概率; (3)在测试中每次信号误差会产生一个误差值.记Y为单个干扰源激活时所产生的信号误 差值,且Y的分布列为P(Y=2)=a[3-(-1)山:2](k=1,2,3),定义该时段内信 号误差值Z为所有单个干扰源激活时所产生的信号误差值的和.若X=2,求Z的分布 列与期望. 19.(本小题满分17分) 已知精圆C素+芳=1(a>6>0)的离心率为分,点R,R分别为C的左右焦点,点P是 C上的动点,PF, P2的最大值为3. (1)求C的方程; (2)若点P在第一象限,PF2⊥x轴,过点P斜率之和为0的两条直线分别与C交于另外一 点Q,R,证明:直线QR的斜率为定值; (3)过F2的直线与C交于点A,B,点A在直线x=a2上的射影为D,若直线BD与曲线 y3=2x十2y一5从上到下依次交于不同三点E,E2,E,判断点E1,E是否恒关于点E2 对称,并给出证明。 【高三数学第4页(共4页)】 参考答案、提示及评分细则 1.B由题意知a=-1)+5=2,ab=4,所以b=2,所以a十b=4.故选B 2 2.C因为6 75%=4.5,所以这组数据的75%分位数是按从小到大排列后的第5个数8509.故选C. 3D由2EA,得号8≤0,所以≥2或a<-2,所以若2证A,a的取值范围为-2,2).故选D 4,A设圆锥的底面半径为球的半径为R,由圆锥与武的表面积相等,得产十X2x三4R,所以发局 圆维的高为3x所以圆锥的体积与球的体积的比为了 3 号R ,-紧-子故A 5.A因为a,b为单位向量,|a+b|=2la bl,两边平方得2(a b)2一a b-1=0,解得a b=1或a b= -分,当a 6=1时,os(a,b》=1,所以a,b》=0,所以a,b共线,不满足题意;当a b=-合时,由a1 (a+b),得a2+a b=1一号=0,所以=分.故选A 6.B圆x2+y2一2x一4y十1=0的圆心为(1,2)、半径为2,所以C的渐近线bx一ay=0与圆相交,渐近线bx +ay=0与圆相切,所以裂=2,解得会=号此时)兴<2,所以C的离心率为√+(合丁- √62+a √+az 故选B 5 7.C由愿意知,事件E与事件G可以同时发生,故二者不互斥,故A错误:P(F)=名淡-合,P(G)=文6 寸,Pro)-文6-0 PFQ-PFP(G.P)-3X驶X3-合,PB-8-言PEH) 6 6 =灵。=立,所以P(EH)=P(EP(HD,故事件F和事件G不相互独立,事件E与事件H相互独立;又 3 P(EP)=6文一高P(E+F)=P(E)+P(P)-PcEP)=合+日-亮-器放D错误故选C 8.D因为函数f(x)=e+er一cosx+3的定义域为R,f(一x)=er+c一cos(一x)+3=c+e一cosx +3=f(x),所以f(x)为偶函数.又f(x)=c一er十sinx,令g(x)=c-cr+sinx,则g(x)=c+e+ cosx.因为e+er≥2,cosx≥一1,所以g(x)≥2-1=1,所以g(x)在R上单调递增.又g(0)=0,所以当 x>0时,g(x)>0,即f(x)在(0,十∞)上单调递增.又函数f(x)为偶函数,所以f(x)在(一∞,0)上单调递 减,所以不等式fmx+1)≤fx-2)可化为mx+1≤lx-21.又x∈[是,1],所以mx+1川≤2-x,即x- 2≤mx+1≤2-x,x∈[是,1],由x-2≤mx+1,得m≥1-是,即m≥-2;由mx+1≤2-x,得m≤-1, 即m≤0.综上,一2≤m≤0.故选D. 9.BC对于A,当a=0时,z=(1+i)(一2i)=2-2i,=2+2i,A错误;对于B,由z=(a+2)+(a一2)i及之 【高三数学参考答案第1页(共6页)】 为纯虚数,得a=一2,B正确;对于C,z在复平面内对应的点为(a十2,a一2),恒在直线x一y一4=0上,C正 确;对于D,当a=3时,z=5十i,(z一5)7=i7=一i,D错误.故选BC 10AGD对于A,点P到直线x-十3=0的距离4=lm-2+3-安-a+3 (n-2)2+2 √2 √2 √2 当且仅当n=2时取等号,所以m一n+3引的最小值为2,A正确m十2表示过点P和点(-2,0)的直线的 斜率,当斜率最小时直线与C相切,设切线方程为x=ty一2,与y2=4x联立,得y2一4ty+8=0,由 =16t2 一2-0,得1-士2,所以十的最小值为后=一会,B错误对于C,因为矿=m,所以 √m2+n2-2m-6m+10+|m|=√(m-1)2+(n-3)z+|m|,其几何意义是点P到点M(1,3)与到 y轴的距离之和,由抛物线定义,得当P,M和焦点(1,0)三点共线时,距离和最小,其最小值为|MF|一1= 2,C正确;对于D,过P作l的垂线,垂足为P,由抛物线光学性质得FP的反射光线平行于x轴,即直线 PP与直线FP关于PQ对称,故∠PPQ=∠FPQ,由抛物线定义知PP|=|PF|,又PQ为公共边,所以 PP'Q≌ PFQ,所以∠PFQ=∠PPQ=,即QF⊥PF,故点F在以PQ为直径的圆上,所以PQ为直 径的圆恒过点F,故D正确.故选ACD 1.BCD对于A,取g(x+)=f(x+)+f(x+T)=f(x+)+f(x)=g(x),则为g(x)的-个 正周期,A错误;对于B,当f(x)=|sinx时T=,g(x)=|sinz+sin(x+受)=|sinx+ 1cosx=V1十s2a∈[1,w2],B正确;对于C,T=,当x=经,k∈Z时,g(x)-2,当x≠经,k∈ z时,由gx)=am之品29,得mx=尽或-号gx)的最小正周期为,方程g(x)-2号在 [0,x)的实根有0,骨,受,晋共4个,所以方程g(x)=2在[0,6x)的实根有24个,在[0,6x]的实根 有25个,C正确;对于D,T=2,当k=2,x∈[3,4)时,x+1∈[4,5),g(x)=f(x)+f(x+1)=(x-4)2 +(x+1-4)2=2(x-2))+号∈[2,1],当x∈[4,5)时,x+1∈[5,6),g(x)=f(x)+fx+1)= (x-4)+(x+1-6)2=2(x-号) +∈[分,1],所以方程g(x)=a在[3,5)上有实根的充要条件 是分≤a≤1,D正确.故选BCD. 12.105选取方法种数为CC十C=105. 13.f(x)=lx|(答案不唯一)条件①表明函数为偶函数;条件②表明函数为(0,十∞)上的单调递增函 数;条件③表明函数图象上任意两点连接的弦在函数图象下方;条件④表明函数的运算特征.在学过的函数 中,底数大于1的对数函数具有类似于②③④的特征,但单纯的对数函数不具有奇偶性,故f(x)可以是由 对数函数构造的一类函数,比如f(x)=lnx|,或f(x)=lg|x|,f(x)=lnx2等都符合条件. 14.9由S1e4=1024Ca,十a1)=512(asIe十as13)=0,得a5e十asI=0,因为a<0,所以a51e<0,as1B>0, 2 【高三数学参考答案第2页(共6页)】 所以当n≤512时,an<0,当n≥513时,am>0,所以当n≤7时,b,<0,bs>0,b<0,当n≥10时,bn>0,且bs 十b=a2s6as121o24十as12a1o24a2os=as2a12(a256十a2oMs)=2as12124a152<0,所以之b,的值最小时n=9. 15.解:(1)由a-cosB=号b及正弦定理,得sinA-sin Ce0sB=号sinB, 所t以sin(B+C)-s血Ceos B=子sinB,即sin BosC=专snB. 2分 因为0<B<,sinB≠0,所以cosC=子, 4分 所以a2C=2csC-1=2X号-1=-子 6分 (2)在 ACD中,由余弦定理,得cos∠CDA= 2+(台)广-“=16+2-4地 8c …7分 2 2 号 在 BCD中,由余弦定理,得cos∠CDB= 2+(台)广-=16+4c, …8分 2x2 号 8c 因为∠CDA+∠CDB=x,所t以cos∠CDA十cos∠CDB=16+4世+16+24c=0, 8c 8c 整理得42+=16c=2 2 2, 10分 在 ABC中,由余弦定理,得2=a2+-2 aosC=a2+:-号b,即a+-号ab=g. …11分 所以ab=头, 又cosC=号,Ce(0,x,所以sinC=22 3 所以Suc=分sinC=72, 4 13分 16.(1)证明:连接AC交AC于G,则G为AC1中点, 连接DG,因为D为AB中点,所以DG∥BC,… 3分 因为DGC平面A1CD,BC庄平面A1CD, 所以BC∥平面ACD.… 6分 (2)解:取A1B,中点H,在正三棱柱ABC-A1B,C中,DB,DC,DH两两垂直, 故以点D为原点,直线DB,DC,DH分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间A 直角坐标系,设AB=2,AA1=a(a>0),则D(0,0,0),A(-1,0,0), H A1(-1,0,a),B(1,0,0),所以AB=(2,0,0),AA=(0,0,a),DA= (-1,0,a),… 8分 所以A范=A店+号AA=(2,0,号a), 因为AE⊥平面A,CD,所以AE⊥DA,, 【高三数学参考答案第3页(共6页)】 所以A葩.DA=-2+号a2=0,又a>0,所以a=3. 10分 所以正=(2,0,号),由题意知正为平面A1CD的一个法向量,… 12分 又B1(1,0,3),所以DB,=(1,0,3),… …13分 设直线DB,与平面ACD所成角为0,则s血=:D感 ADBT号而 而 …15分 17.(1)解:当a=1时,f(x)=4-1-(lnx十x)ln2,其定义域为(0,+∞), ∫(x)=(2-1-1)n2,… 1分 因为y=2-1,y=-在(0,+∞)上单调递增,ln2>0, 所以f(x)在(0,十∞)上单调递增,又f(1)=0,… 3分 所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f(x)>0, 所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,十o∞)上单调递增。… 6分 (2)证明:因为f(x)=4-1-(lnx十ax)n2,所以其定义域为(0,十∞), 且广(x)=(2-1-a)h2,显然(x)在(0,十o∞)上单调递增,… 7分 且f(1)=(1-a)ln2<0(2)=(9-a)n2>0, 所以存在x∈(1,号),使得(0)=0,即2o-1-a=0,即41= +号…10分 2xo 当x∈(0,0)时,f(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f(x)>0, 所以f(x)在(0,xo)上单调递减,在(xo,十∞)上单调递增, 所以Vx∈0,+o),fx)≥fw))=4o1-(hnm+aw)lh2=六+号-(lhw+aw)h2 …12分 设gx)=2+受-(lnx+axh2(1<<是)则g(x)=2-h2-aln2<0, 所以g(x)在(1,是)上单调递减,所以g(x)>g(受)=子+号-(n号+受)n2>弓+号- (n是+多a)=ln号+号-a,所以fx)>n是+号-a …15分 18.解:(1)记“该时段内恰好发生2次信号误差”为事件A,“该时段至少发生了2次信号误差”为事件B,由题知 X~B(3,})P(X=2)=C(g) (1-3)=号,P(X=3)=(3)'=7 P(A)=P(X=2)=号, 1分 P(B)=P(X2)=P(X=2)+P(X=3)=号+7=7, P(AB)=P(X=2,且X2)=P(X=2)=号, …3分 【高三数学参考答案第4页(共6页)】 2 故所求概率为P(A1B)=PAB)= 9 6 P(B) 5分 27 (2)每个时段内干扰源仅有2个被激活的概率为C (号)》 号=号, 3个全被激活的概率为(日) =方 …7分 连续测试3个时段后停止测试有2种情况: ①前3个测试时段中每个时段被激活的干扰源数量都是2个,版率为(号)广-高, …8分 ②第3个时段测试被激活的干扰源数量为3个,第1个测试时段与第2个测试时段中每个时段被激活的干 扰源数量不超过3个,概率为(1-品)' 7=9: 676 …9分 故所求概率为亮+日83=品 10分 (3)因为Y的分布列为P(Y=2)=a[3-(-1)+n+2],k=1,2,3,Y的所有可能取值为2,4,8, 所以P(Y=2)+P(Y=4)+P(Y=8)=4a+2a+2a=8a=1,所以a=令,…12分 所以PY=2)=2,P(Y=4)=4,PY=8)=4, Z的所有可能取值为4,6,8,10,12,16. 13分 P(Z=4)=P(Y-2)PY=2)=合 2=t, P(z=6)=2P(Y=2P(Y=4=2x号 号=, P(Z=8)=PY=4)P(Y=4)= 音=6, P(z=10)=2P(Y=2)P(Y=8)=2X合 =, P(z=12)=2P(Y=4)P(Y=8)=2X} -g, P(z=16)=P(Y=8)P(Y=8)=} = 15分 所以Z的分布列为 X 6 8 10 12 16 2 4 4 8 16 E(2Z)=4 号+6 号+8 6+10 号+12x号+16 6=8. 17分 19.(1)解:设F2(c,0),则F1(一c,0), 【高三数学参考答案第5页(共6页)】 由C的离心率为号,得后= 2,a=2c, 2分 所以b2=a2-c2-3c2,C的方程为+ 3c2=1, 设P(m,n),则-2c≤m≤2c,n=3c2-3 4, 所以Pf, PF2=(-c-m,-n) (c-m,-n)=m2-c2+ =次+2c2≤3c2=3, 4分 所以c=1,故C的方程为号+ 31. 5分 (2)证明:易得P(1,2),设Q(x),R('),直线PQ的方程为y-号=k(x-1, 3 由 得(4k2+3)x2+4k(3-2k)x+4k2一12k一3=0, 号=(x-1), =[4k(3-2k)]2-4(4k2+3)(4k2-12k-3)>0,即k≠-号, 所以X1=412%。-3,0=4212%-3, 4k2十3 4k2+3 7分 直线PR的方程为y-号=-(x-1),同理可得0'=继+23, 4k2+3 …8分 所以直线0R的斜率为治出二(2士=2》-一4(器) (4k2+3 10分 xo-xo 24k 下方,为定值.…1 4k2+3 (3)解:E,E关于E2对称,证明如下: 设A(,y1),B(x2,y2),则D(4,y),由(1)知F2(1,0), 设直线AB的方程为x=my十1,与等+苦=1联立得(3+4)y+6my9=0, =36m2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0, 所以n+必=一3 9 322fa,y1y2=一22,ny13y2=2《y1+y2),…1 11分 直线BD的方程为y一n=。是(x一4), 令y=0,得4-=4=4边(mw=3D三4号7十7)-3列5 y2一y1 y2一y1 y2一y1 2, 所以点(号,0)恒在直线BD上,曲线y=2x+2y-5也经过点(号,0). …13分 设G(5,t)是曲线y3=2x十2y-5上任意一点,则t=2十2t-5, 点G关于(5,0)的对称点为G(5-5,-), 因为2(5-s)+2(-t)-5=-2s-2t+5=(-t)3,所以点G也在曲线y3=2x+2y-5上, 所以曲线y=2x+2y5关于点(号,0)对称,记E(号,0), 又过点E2的直线与曲线y=2x十2y一5最多有3个公共点,当有3个公共点时,记另外2个公共点分别为 E1,Eg,则E1,E3关于E2对称…17分 【高三数学参考答案第6页(共6页)】