甘肃省永昌县第一高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷

永昌县第一高级中学2024-2025-2第一次月考试卷 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求. 1.已知向量，若，则(　　) A. 2 B. 1 C. D. 2. 某科研团队对某产品的一项新功能进行了8次测试，将不合格、合格、良、优的结果分别用0，1，2，3标记，若8次测试结果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次优，则对于标记后的数据，下列结论正确的是(　　) A. 75%分位数为1 B. 平均数为1.2 C. 方差为1 D. 极差为4 3.平面向量与的夹角为，，，则等于( ) A. B. C. D. 4. 在△ABC中，，则(　　) A. B. C. D. 5．在△ABC中，角的对边分别为，若，，则△ABC的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C.等腰直角三角形 D. 等边三角形 6. 在△ABC中，点D，E分别为AB，AC边上的中点，点F满足，则(　　) A. B. C. D. 7.某学校有男生850人，女生650人，为调查学生在食堂的平均花费，将男女按比例进行同比例分层抽样．通过同比例分层抽样得到样本中男生一天花费在20元左右，女生在15元左右，则该校学生一个月(按30天)在食堂的平均花费约为(　　) A．600元 B．450元 C．535元 D．480元 8.如图①，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”(如图②)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的取值范围是(　　) A. [－4,4] B. [－，] C. [－5,5] D. [－6,6] 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9.某市为最大限度地吸引“高精尖缺”人才，向全球“招贤纳士”，推进了人才引入落户政策．随着人口增多，对住房要求也随之而来，而选择购买商品房时，住户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查机构随机抽取n名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共200户，所占比例为，二居室住户占.如图2是用按比例分配分层随机抽样的方法从所有调查的市民的满意中，抽取10%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是(　　) A. 样本容量为60 B. 样本中三居室住户共抽取了25户 C. 根据样本可估计对四居室满意的住户有70户 D. 样本中对三居室满意的住户有15户 10. 已知两个不共线的单位向量的夹角为，则下列结论正确的是（ ） A. 向量在上的投影向量为 B. C. D. 11.在△ABC中，角的对应边分别为．已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. △ABC外接圆的半径为 C. △ABC面积的最大值为 D. 若为△ABC的中线，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.正方形的边长是是的中点，则__________. 13. 已知.若的夹角为钝角，则的范围为__________. 14.设△ABC的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设是不共线的两个非零向量. (1)若与共线，求实数的值； (2)已知向量满足，求. 16.随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是至，男性的正常范围是至.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了1000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图如图. （1）求a； （2）如果女性的体脂率超过属“偏胖”，那么全市“偏胖”女性约有多少万人？ （3）小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？ 17.如图，在△ABC中，AB＝2，cos B＝，点D在线段BC上． (1)若∠ADC＝π，求AD的长； (2)若BD＝2DC，△ADC的面积为，求AC的长． 18. 如图，在△ABC中，点E是CD的中点，AE与BC相交于F，设，. （1）用，表示，； （2）若在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，求. 19.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且. （1）若，求； （2）若，求△ABC面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 永昌县第一高级中学2024-2025-2第一次月考试卷 高一数学 答案解析 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求. 1.已知向量，若，则(　　) A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】因为，所以， ，所以，所以，解得. 故选：A. 2. 某科研团队对某产品的一项新功能进行了8次测试，将不合格、合格、良、优的结果分别用0，1，2，3标记，若8次测试结果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次优，则对于标记后的数据，下列结论正确的是(　　) A. 75%分位数为1 B. 平均数为1.2 C. 方差为1 D. 极差为4 【答案】C 【解析】将8次测试结果标记后得到数据0，0，0，1，1，1，2，3， 对于A：因为，所以数据的75%分位数为：，故A错误； 对于B：平均数为，故B错误； 对于C：方差为，故C正确； 对于D：极差为，故D错误． 故选：C. 3.平面向量与的夹角为，，，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，则，又向量与的夹角为，， 所以， 所以. 故选：B. 4. 在△ABC中，，则(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵， ∴由余弦定理，则得， ∴解得：，或（舍去），∴由正弦定理可得：． 故选：B. 5．在△ABC中，角的对边分别为，若，，则△ABC的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C.等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】因为，由正弦定理可得. 因为，所以，所以，又， 所以或， 又因为，所以，故△ABC为等边三角形. 故选：D. 6. 在△ABC中，点D，E分别为AB，AC边上的中点，点F满足，则(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】依题意，而， 所以. 故选：D. 7.某学校有男生850人，女生650人，为调查学生在食堂的平均花费，将男女按比例进行同比例分层抽样．通过同比例分层抽样得到样本中男生一天花费在20元左右，女生在15元左右，则该校学生一个月(按30天)在食堂的平均花费约为(　　) A．600元 B．450元 C．535元 D．480元 【答案】　C 【解析】　因为同比例分层抽样是按比例分配，所以根据公式得该校学生一天在食堂的平均花费为×20＋×15＝(元)．所以该校学生一个月在食堂的平均花费约为×30＝535(元)． 8.如图①，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”(如图②)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的取值范围是(　　) A. [－4,4] B. [－，] C. [－5,5] D. [－6,6] 【答案】C 【解析】如图，以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy，令正三角形的边长为3，i为x轴正方向的单位向量，j为y轴正方向的单位向量，则＝i，＝－i＋j，可得i＝，j＝＋，由图知当P在点C时有，＝j＝2＋3，此时x＋y有最大值5，同理在与C相对的下顶点时有＝－j＝－2－3，此时x＋y有最小值－5. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9.某市为最大限度地吸引“高精尖缺”人才，向全球“招贤纳士”，推进了人才引入落户政策．随着人口增多，对住房要求也随之而来，而选择购买商品房时，住户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查机构随机抽取n名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共200户，所占比例为，二居室住户占.如图2是用按比例分配分层随机抽样的方法从所有调查的市民的满意中，抽取10%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是(　　) A. 样本容量为60 B. 样本中三居室住户共抽取了25户 C. 根据样本可估计对四居室满意的住户有70户 D. 样本中对三居室满意的住户有15户 【答案】BC 【解析】总体容量为600，样本容量为600×10%＝60，A选项正确； 样本中三居室住户共抽取300×10%＝30(户)，B选项错误； 对四居室满意的住户共有200×40%＝80(户)，C选项错误； 样本中三居室住户有300×10%＝30(户)， 对三居室满意的住户有30×50%＝15(户)，D选项正确． 10. 已知两个不共线的单位向量的夹角为，则下列结论正确的是（ ） A. 向量在上的投影向量为 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】，两个单位向量的夹角为，故根据投影向量定义可得， 向量在上的投影向量为，故A正确； 向量的平方等于模的平方，所以，故B正确； 是不共线的单位向量， 故利均为非零向量，，故C正确； ，故不正确. 故选：ABC. 11.在△ABC中，角的对应边分别为．已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. △ABC外接圆的半径为 C. △ABC面积的最大值为 D. 若为△ABC的中线，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】因为， 所以由正弦定理得， 即， 由余弦定理得， 因为，所以，A错误． 设△ABC外接圆的半径为，则， 得，B正确． 由，得， 即，当且仅当时，等号成立， 则，即△ABC面积的最大值为，C正确． 根据题意可得， 则，D正确． 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.正方形的边长是是的中点，则__________. 【答案】3 【解析】由题意，，， 则，， 所以. 13. 已知.若的夹角为钝角，则的范围为__________. 【答案】且 【解析】若，的夹角为钝角，则，且与不平行， 即，且，求得且. 14.设△ABC的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为__________. 【答案】8 【解析】因为，据余弦定理得，所以， 由，且角的内角平分线，所以， 即， 化简得到，根据基本不等式得，则，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设是不共线的两个非零向量. (1)若与共线，求实数的值； (2)已知向量满足，求. 【解析】（1）由与共线，则存在实数，使得， 即，又是不共线的两个非零向量， 因此，解得，或，实数的值是. （2）因为，所以， 所以，故. 16.随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是至，男性的正常范围是至.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了1000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图如图. （1）求a； （2）如果女性的体脂率超过属“偏胖”，那么全市“偏胖”女性约有多少万人？ （3）小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？ 【解析】（1）因为频率和为1，所以由频率直方图可得，， 所以. （2）样本中女性“偏胖”的频率为，全市“偏胖”女性的人数约为人，即10万人. （3）调查所得数据的平均数为， 设调查所得数据的中位数为，因为体脂率在的频率为；体脂率在的频率为；体脂率在的频率为；又因为，， 所以，所以，所以， 所以调查所得数据的中位数约为， 所以小王的体脂率约为，小张的体脂率为，所以小张的体脂率更低. 17.如图，在△ABC中，AB＝2，cos B＝，点D在线段BC上． (1)若∠ADC＝π，求AD的长； (2)若BD＝2DC，△ADC的面积为，求AC的长． 【解析】　(1)在△ABC中，∵cos B＝，∴sin B＝. 在△ABD中，由正弦定理得＝， 又∵AB＝2，∠ADB＝，sin B＝， ∴AD＝＝. (2)∵BD＝2DC，∴S△ABD＝2S△ADC，S△ABC＝3S△ADC. 又∵S△ADC＝，∴S△ABC＝4. ∵S△ABC＝·AB·BC·sin B，∴BC＝6. 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，∴AC＝4. 18. 如图，在△ABC中，点E是CD的中点，AE与BC相交于F，设，. （1）用，表示，； （2）若在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，求. 【解析】（1）在△ABC中，点E是CD的中点，AE与BC相交于F， ， . （2）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，， 则，，， 则， 设，则， 由，可得，解之得， 则，则. 19.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且. （1）若，求； （2）若，求△ABC面积的最大值. 【解析】（1）因为，所以由正弦定理得， 又因为，所以，， 由余弦定理得到. （2）由余弦定理可知， 又因为则， 又，故， 即，故，即， 从而， 当时取等号，即△ABC的面积的最大值为3. 学科网（北京）股份有限公司 $$