精品解析：黑龙江绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校2025-2026学年高一4月份考试数学试卷

哈师大青冈实验中学2025-2026年4月份考试 高一数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数乘法运算计算出结果即可求出虚部. 【详解】由复数可得， 所以其虚部为1. 故选：A 2. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】在中，由，有，所以. 又，故，所以. 3. 如图，在矩形中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为为矩形，为的中点， 所以. 4. 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用正弦定理及余弦定理计算求解. 【详解】因为，， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得，则． 5. 已知是同一平面内两个不共线的向量，，若三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】由三点共线，得， 又不共线， 则，所以． 6. 如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要利用向量的线性运算和即可求解. 【详解】解：由题意得： 设，则 又由，不共线 ，解得： 故选：D 7. 已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量数量积坐标运算即可求解. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，设， ，， 则. 故选：C 8. 在中，角的对边分别为，且，则下列选项中错误的是（    ） A. B. 当时， C. 当时，面积的最大值为1 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，由正弦定理将角化为边，借助余弦定理即可求解；B选项，用正弦定理将边化为角，然后利用两角的和角公式展开化简即可；C选项，借助均值不等式求出的最大值，然后利用面积公式即可求解面积的最大值；D选项，利用正弦定理将边化为角，把转化为三角函数问题，利用正切函数求解范围即可. 【详解】对于A：由正弦定理得：，所以， 因为，所以，故A正确； 对于B：当时，由正弦定理得，因为，所以， 所以，代入得：，所以， 又因为，所以，故B正确； 对于C：因为，所以， 当且仅当时，等号成立，取到最大值， 所以，所以C错误； 对于D：当为锐角三角形时，，所以， 所以，因为， 由，所以，即， 所以，即，故D正确. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知复数，，则（ ） A. 是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的概念可判定A，利用复数的除法运算及几何意义可判定B，根据共轭复数的定义可判定C，利用复数的模长公式可判定D. 【详解】因为是纯虚数，所以A正确； 因为，所以在复平面内对应的点位于第三象限，故B不正确； 因为的共轭复数为，所以C正确； 因为，所以D不正确． 故选：AC 10. 下列结论正确的是（    ） A. 若，则或. B. 若，则与共线. C. 若，，与的夹角为锐角，则实数. D. 三个不共线的向量，满足，则是的内心 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据向量的概念即可判断；B选项，根据向量共线定理即可判断；C选项，两向量夹角为锐角，除满足数量积大于0外，还需要排除同向共线的情况；D选项，由与单位向量的和向量垂直，得出在的角平分线上，即可判断是的内心. 【详解】对于A：模相等的两个向量方向任意，故A错误； 对于B：若，根据向量共线定理：当，则与方向相同或相反，共线； 当，则，零向量与任意向量共线，因此与共线，故B正确； 对于C：因为， 夹角为锐角的条件是：且两向量不同向共线， 由，得， 若与共线，则，即， 验证：当时，，此时两向量同向共线， 所以，综上，，故C错误； 对于D：因为和是单位向量，所以它们的和向量在外角平分线上， 因为，所以与外角平分线垂直， 即点在的角平分线上，同理，也在和的角平分线上， 即是三条角平分线的交点，所以是的内心，故D正确. 11. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则一定为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 若的平分线交AC于点，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A，因为，即，所以有， 整理可得，所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 选项B，若为锐角三角形，所以，所以， 由正弦函数在单调递增，则，故B正确； 选项C，如图，若有两解，则，所以，则b的取值范围是，故C正确； 选项D，的平分线交于点D，，由， 由角平分线性质和三角形面积公式得，即，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面上两点，若，则的坐标为________． 【答案】 【解析】 【详解】设，则由可得 ，解得，所以，的坐标为. 13. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理结合三角形面积公式可得，，则可使用两角和差公式将转化为，使用辅助角公式将之转化为，则当时取最大值1，此时取最大值. 【详解】联立，得， 又因为，则有， 因为，所以有，即， 因为，所以， 因为，，则， 则， 由辅助角公式可得，其中， 因为，所以， 当时取最大值1，此时取最大值， 故答案为：. 14. 已知平面向量，，且，，向量满足，则取最小值时，_________________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据平面向量数量积的定义求出夹角，然后根据平面向量的加减法作出示意图，进而求出和，进而根据图形得出点C的几何意义，最后确定取最小值时的. 【详解】∵，，而，， 又，∴，∴， ，， 因为向量满足，所以， 如图所示， 若，，，，则，， 所以，所以在以为圆心，2为半径的圆上， 若，则，由图象可得当且仅当，，三点共线且时，最小， 即取最小值，此时，，又，，所以. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15. 已知向量，， （1）若向量与共线，求m的值； （2）若，求m的值． 【答案】（1）；（2）4. 【解析】 【分析】（1）利用向量平行的坐标形式求参数； （2）利用向量垂直的坐标形式求参数. 【详解】解：（1）∵，，向量与共线， ∴． ∴； （2）∵，， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， 解得. 16. 已知的内角的对边分别为，满足. （1）求； （2）若，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系及三角形内角的性质化简条件得，即可求； （2）由余弦定理及已知得，进而即得. 【小问1详解】 由及正弦边角关系得， 而，整理得， 因为，所以； 【小问2详解】 由余弦定理，得， 进而得，得， 所以的周长为. 17. 已知向量与的夹角，且，． （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值． （3）若，求在上的投影向量． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）直接利用数理积公式求解即可，由于，然后代值求解即可； （2）利用向量的夹角公式直接求解即可； （3）利用投影公式直接求解即可 【详解】（1）由已知，得， ； （2）设与的夹角为， 则， 因此，与的夹角的余弦值为 （3）因为， 所以在上的投影向量为 18. 如图，游客从某旅游景区的景点处上山至景点处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到，现有甲、乙两位游客从处出发，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量得，. （参考数据：，，第（3）问结果精确到0.1） （1）求索道的长； （2）当乙在缆车上与甲的距离最短时，乙出发了多少？ （3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，问乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】 （1）先求出，然后由正弦定理即可求出 （2）设乙出发，甲、乙的距离为，由余弦定理得，即可求出最小值时的值 （3）乙从出发时，甲还需走才能到达，设出乙的步行速度，即可建立不等式. 【详解】（1）在中，由，， 可得，， 所以， 由正弦定理得 ； （2）设乙出发，甲、乙的距离为，由余弦定理得，， 即，因为， 即，故当时，最小， 所以当乙出发了时，乙在缆车上与甲的距离最短； （3）由正弦定理得， 乙从出发时，甲已经走了，还需走才能到达， 设乙步行的速度为，则， 故，解得， 即， 为使两位游客在处互相等待的时间不超过， 乙步行的速度应控制在范围内. 【点睛】本题考查的是正余弦定理的应用，将实际问题转化为数学问题是关键. 19. 在平面四边形中，，. （1）若. （i）若A，B，C，D四点共圆M，求； （ii）求四边形面积S的最大值. （2）若，，与交于点.记，求当为何值时，. 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，利用余弦定理可得.（i）由题意可得，进而可得和；（ii）根据面积公式可得，整理可得，进而分析最值； （2）利用余弦定理可得，可知A，B，C，D四点共圆，且圆的半径，根据正弦定理已经圆的性质可得，运算求解即可. 【小问1详解】 设，，其中， 在中，由余弦定理可得； 在中，由余弦定理可得； 即，可得. （i）若A，B，C，D四点共圆M，则， 可得，， 由可得，即， 则，即； （ii）因为四边形面积， 即，且， 又因为， 当且仅当时，等号成立 即，解得， 所以四边形面积S的最大值为. 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 即， 则，即， 因为，可知A，B，C，D四点共圆，且圆的半径， 则， 且，可知， 若，则， 即，可得， 又因为，则，可得，解得， 所以当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大青冈实验中学2025-2026年4月份考试 高一数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. 1 B. C. 5 D. 2. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 3. 如图，在矩形中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 5. 已知是同一平面内两个不共线的向量，，若三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 6. 如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角的对边分别为，且，则下列选项中错误的是（    ） A. B. 当时， C. 当时，面积的最大值为1 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知复数，，则（ ） A. 是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 10. 下列结论正确的是（    ） A. 若，则或. B. 若，则与共线. C. 若，，与的夹角为锐角，则实数. D. 三个不共线的向量，满足，则是的内心 11. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则一定为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 若的平分线交AC于点，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面上两点，若，则的坐标为________． 13. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积，则的最大值为________． 14. 已知平面向量，，且，，向量满足，则取最小值时，_________________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15. 已知向量，， （1）若向量与共线，求m的值； （2）若，求m的值． 16. 已知的内角的对边分别为，满足. （1）求； （2）若，求的周长. 17. 已知向量与的夹角，且，． （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值． （3）若，求在上的投影向量． 18. 如图，游客从某旅游景区的景点处上山至景点处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到，现有甲、乙两位游客从处出发，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量得，. （参考数据：，，第（3）问结果精确到0.1） （1）求索道的长； （2）当乙在缆车上与甲的距离最短时，乙出发了多少？ （3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，问乙步行的速度应控制在什么范围内？ 19. 在平面四边形中，，. （1）若. （i）若A，B，C，D四点共圆M，求； （ii）求四边形面积S的最大值. （2）若，，与交于点.记，求当为何值时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $