5.3 导数在研究函数中的应用 专项检测卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3 导数在研究函数中的应用 专项检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （时间：120分钟 满分：150分） 1、 单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。） 1．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，当且仅当时等号成立， 所以函数的单调递增区间是. 2．已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据的图象可知在上的单调递增区间是， 所以不等式的解集为． 故选：C 3．已知函数，则的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 【答案】D 【详解】函数有意义，则且，即定义域为. ， 则 所以的单调递减区间是和. 4．已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知：函数为单调递增，且在区间内为下凸函数， 所以，即. 故选：B 5．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 【答案】D 【详解】A选项：由导函数图象可知是函数的极小值点， 的极小值为，A选项错误； B选项： 的极值点有两个，极大值点-3，极小值点3，B选项错误； C选项：由导函数图象可知，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，C选项错误； D选项：由图象可知，即函数在处切线斜率小于零，D选项正确. 故选：D. 6．函数在上（   ） A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 【答案】A 【详解】由题意恒成立，所以在上单调递增，既无极大值也无极小值. 故选：A 7．已知函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．在处取得最小值 【答案】B 【详解】由图可知，当时，，单调递减，故A错误； 当时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以在处取得极大值，故B正确；C错误； 时，，单调递增， 所以和处取得极小值，最小值不能确定，故D错误； 故选：B. 8．如图是函数的导函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．函数的图象在处切线的斜率小于零 B．函数在区间上单调递增 C．在时，函数取得极大值 D．在时，函数取得极值 【答案】B 【详解】对于选项A： 题干中的图是导函数的图象，当导数小于0时，斜率小于0， 由图可知，在处的值是大于0的，所以图象在该点的切线的斜率是大于0，所以A错误. 对于选项B： 由图可知，导数在内都是大于等于0的， 所以说明函数在该区间内是单调递增的，所以B正确. 对于选项C： 由图可知，导数在的左侧是小于0，在右侧是大于0， 这说明函数在的左侧单调递减，在右侧单调递增，因而函数在此处取极小值，C错误. 对于选项D： 由图可知，导数在的左侧是大于0，在右侧也是大于0，符号无变化， 这说明不是极值点，函数在此处没有极值，所以D错误. 故选：B. 2、 多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．的一个极小值为 D．在上的最大值为 【答案】BD 【详解】由图可知，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增，极小值为， 在上的最大值为，所以选项A和C错误，选项B和D正确， 故选：BD. 10．已知函数，，则的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】BD 【详解】，则， 所以有两个极值点，，且． 故选：BD. 11．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 【答案】AD 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，所以在上单调递增，故B错误； 当时，，所以在上单调递减，故A正确； 所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确. 故选：AD. 3、 填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分。） 12．函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【详解】函数的定义域为，， ，解得， 故函数的单调递减区间为. 13．函数的严格减区间是______ . 【答案】 【详解】因为，所以，， 令，可得， 所以的严格减区间是 故答案为： 14．若在处有极值，则______． 【答案】 【详解】已知，， 因为函数在处有极值，所以， 将代入中，得到，解得， 当时，，， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以是函数的极小值点，符合题意. 故答案为：. 4、 解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．函数 (1)求在点处的切线方程. (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)单调递增区间是，单调递减区间是 【详解】（1）因， 则， 又，即切点为， 故在点处的切线方程为，即. （2）因的定义域为， 令 得   ，令 得， 故得的单调递增区间是，单调递减区间是. 16．已知函数. (1)若函数的图象在点处的切线方程是，求和； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)递增区间为，递减区间为. 【详解】（1）解：由函数，可得，则且， 因为函数的图象在点处的切线方程是， 可得 解得. （2）解：由函数的定义域为，且， 令，即，即，可得； 令，即，即，可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 17．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若函数在上为增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由题意得，， ①当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，解得， ，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增， （2）因为函数在上为增函数， 所以，在上恒成立． 即在上恒成立． 令，当时，， 所以，在上单调递增，． 所以，，解得， 所以，实数的取值范围为． 18．若，求： (1)的单调递减区间； (2)在上的最小值和最大值． 【答案】(1)的增区间为，减区间为 (2)，. 【详解】（1）， 当或时，；当时，， 故的增区间为，减区间为. （2）由（1）可得在为减函数，在上为增函数， 故，. 19．判断下列函数是否存在极值．若有，请求出极值点和极值；若没有，请说明理由． (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）因为，所以． 令，解得或．当变化时，，的变化如下表． x 2 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 因此，的极小值点为，极大值点为， 当时，有极小值，且极小值为； 当时，有极大值，且极大值为． （2）因为，所以， 所以在上单调递增，所以没有极值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 导数在研究函数中的应用 专项检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （时间：120分钟 满分：150分） 1、 单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。） 1．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 3．已知函数，则的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 4．已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 5．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 6．函数在上（   ） A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 7．已知函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．在处取得最小值 8．如图是函数的导函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．函数的图象在处切线的斜率小于零 B．函数在区间上单调递增 C．在时，函数取得极大值 D．在时，函数取得极值 2、 多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．的一个极小值为 D．在上的最大值为 10．已知函数，，则的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   11．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 3、 填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分。） 12．函数的单调递减区间为__________. 13．函数的严格减区间是______ . 14．若在处有极值，则______． 4、 解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．函数 (1)求在点处的切线方程. (2)求的单调区间. 16．已知函数. (1)若函数的图象在点处的切线方程是，求和； (2)求函数的单调区间. 17．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若函数在上为增函数，求实数的取值范围． 18．若，求： (1)的单调递减区间； (2)在上的最小值和最大值． 19．判断下列函数是否存在极值．若有，请求出极值点和极值；若没有，请说明理由． (1)； (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $