精品解析：江苏省江阴市祝塘中学2025-2026学年高二3月阶段性测试数学试卷

高二数学3月阶段性测试 一、单选题：本题共8小题．每小题5分，共计40分． 1. 若曲线在处的切线的斜率为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对给定的函数求导，然后将带入即可. 【详解】由题意得，则，由导数的几何意义可知切线的斜率为， 故选：. 2. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，在定义域内解不等式可得单调递增区间. 【详解】因为，，所以对函数求导得：， 令，即，，， 解得， 因此函数的单调递增区间为． 故选：B. 3. 甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（ ） A. 18种 B. 48种 C. 108种 D. 192种 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理求解即可. 【详解】因甲不去北京，应该分步完成： 第一步，甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个，有3种选法； 第二步，乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个，有中选法； 由分步乘法计数原理，可得不同选法有：种． 故选：D． 4. 已知函数在单调递增，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调增区间为，利用集合关系列不等式求解即可. 【详解】由得，令，得． 当时，，所以的单调增区间为， 因为在单调递增，所以， 所以. 故选：D. 5. 函数的图象存在与直线平行或重合的切线，则实数的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题得，即在上有解，所以在上有解，即得的取值范围. 【详解】函数的图象存在与直线平行的切线，即在上有解. 在上有解，则. 因为，所以，所以的取值范围是. 故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和方程的有解问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分离参数在上有解，即得的取值范围. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排列数公式将不等式转化为二次不等式求解. 【详解】易知，. 因为，，， 所以原不等式可化为， 所以， 所以原不等式的解集为. 故选：A 7. 函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 故的取值范围为． 故选：A 8. 已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数满足，，构造函数，利用其单调性求解. 【详解】令， 则， 所以在R上单调递减. 又，所以. 由，得， 解得. 故选：B. 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用导数的运算法则及复合函数的导数法则求解即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC 10. 对于函数，下列结论正确的（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得，得到的单调区间，可判定A正确；根据的单调性，结合当时，，当时，，画出的图象，可判定B错误；根据的单调性，得到，结合，可判定C正确；转化为在恒成立，令，求得，得到函数的单调性与，可判定D正确. 【详解】由函数，可得， 令，解得， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，所以A正确； 当时，，当时，， 则函数的图象，如图所示， 所以函数有且仅有一个零点，所以B错误； 由函数的图象，可得， 因为，所以，所以C正确； 若在恒成立，则在恒成立， 令，可得， 当时，；当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以，所以D正确. 故选：ACD. 11. 从，，，，，中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中（ ） A. 偶数有个 B. 比大的奇数有个 C. 个位和百位数字之和为的数有个 D. 能被整除的数有个 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，先排好个位数，再排十位和百位，故可求排列数，故可判断A的正误，对于B，可分百位是3或5，4或6两类情况讨论，故可判断B的正误，对于C，可就个位、百位的数字分类讨论，从而可得所求的排列数，故可判断C的正误，对于D，可根据各数字之和为3的倍数分类讨论后可得所求的排列数，故可判断D的正误. 【详解】对于A，先从，，中任取一个数放在个位，再任取两个数放在十位和百位，一共有个，故正确； 对于B，分2种情况讨论,若百位数字为3或5,有个三位奇数,若百位数字为4或6,有个三位奇数,则符合题意的三位数有个，故错误； 对于C，个位和百位的数可以是，，顺序可以交换，再从剩下的数中任选一个放在十位上，所以一共有个，故正确； 对于D，要使组成的数能被整除，则各位数之和为的倍数，取出的数有，，，，，，，，共种情况，所以组成的能被整除的数有个，故正确． 故选：ACD. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 若，则__________． 【答案】4 【解析】 【详解】根据导数的定义可得 ， 由可得，可得， 即． 13. 有7名同学排成一排照相，甲、乙、丙三人必须相邻，有_______种不同的排法 【答案】720 【解析】 【详解】依题意，将甲、乙、丙看作一个整体，其内部有种排法， 再将这个整体与其他4人全排列，有种排法， 所以一共有种不同的排法. 14. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是___________. 【答案】(0，) 【解析】 【分析】对函数求导后，由题意可知在有2个不同的零点，从而可得方程在上有两个不同的实根，再结二次函数的性质可求得结果 【详解】解：因为函数有两个不同的极值点， 所以在有2个不同的零点， 所以方程在上有两个不同的实根， 所以，解得， 故答案为：(0，) 四、解答题：本题共6小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）； （3）已知，求 【答案】（1）64； （2）348； （3）7. 【解析】 【分析】（1）（2）利用排列数公式计算即可. （3）利用排列数公式化简方程，再求解方程即得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 由，得，即，则， 整理得，所以. 16. 已知函数，. （1）设曲线在处的切线的倾斜角为，求的值； （2）若函数的极小值为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义分析可得，进而运算求解即可； （2）求导，根据导数与单调性关系可知，进而分析单调性和极值，代入求解即可. 【小问1详解】 函数，求导可得：， 因为在处的切线的倾斜角为，即切线的斜率为， 所以，即，解得. 【小问2详解】 由第（1）问可知，， 若，在上大于0，即在上单调递增，不存在极值，因此舍去， 当时，令，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此， 由题目可知，的极小值为3，即， 代入可得，解得. 17. 已知函数，. （1）当的单调区间； （2）若函数在上的最小值是，求的值. 【答案】（1）当，的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）先确定函数定义域，对函数求导，令导数为0找到临界点，再分区间判断导数符号，根据导数正负确定函数的单调递增、递减区间； （2）先求导得到导数表达式，按参数与区间的位置关系分三类讨论，分别求每类下的最小值，结合已知最小值求解，并验证是否符合分类条件. 【小问1详解】 当时，，其定义域为. 对求导得：，令，即， 因为，所以，解得. 当时，，，则，所以在单调递减； 当时，，，则，所以在上单调递增. 因此的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 对求导，可得. 当时：在区间上，，， 所以，在上单调递增. 则在上的最小值为，由，与矛盾，舍去. 当时：当时，，，，单调递减； 当时，，，，单调递增. 所以在上的最小值为， 由，即，解得，满足. 当时：在区间上，，， 所以，在上单调递减. 则 在上的最小值为， 由，解得，与矛盾，舍去， 综上，的值为. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数和有相同的最大值，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式，求导函数，可得，再求出，利用直线方程的点斜式得答案； （2）利用导数分别求出与的最大值，由最大值相等可得关于的方程，再构造关于的函数，然后利用导数求最值即可． 【小问1详解】 当时，则， 可得， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为，而， 若，则， 此时函数在上单调递减，无最大值，不符合题意，故. 令，得，当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 所以的最大值为. 的定义域为，而. 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的最大值为. 因为和有相同的最大值， 故，整理得到，其中， 设，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上所述，. 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论在上的单调性； （3）若，求证：当时，． 【答案】（1） （2） 时，在上单调递增； 时，在上单调递减；在上单调递增 （3） 证明：设． ，由（2）可知 ①当时，在上单调递增，所以， 即在上单调递增，所以，满足题意； ②当时， 当时，单调递减； 当时，单调递增， ， ，，即， 在上单调递增，，满足题意， 综上可得，当且时，． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求得答案； （2）利用导数与函数单调性的关系即可判断在上的单调性； （3）设，结合（2）分类讨论，可判断该函数的单调性，即可证明不等式. 【小问1详解】 当时，，则， 所以． 又，故所求切线方程为． 【小问2详解】 ，，， ①当时，，在上单调递增． ②当时，令，解得． 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 故时，在上单调递增； 时，在上单调递减；在上单调递增． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学3月阶段性测试 一、单选题：本题共8小题．每小题5分，共计40分． 1. 若曲线在处的切线的斜率为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（ ） A. 18种 B. 48种 C. 108种 D. 192种 4. 已知函数在单调递增，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象存在与直线平行或重合的切线，则实数的取值范围是(　　) A. B. C. D. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数，下列结论正确的（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若恒成立，则 11. 从，，，，，中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中（ ） A. 偶数有个 B. 比大的奇数有个 C. 个位和百位数字之和为的数有个 D. 能被整除的数有个 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 若，则__________． 13. 有7名同学排成一排照相，甲、乙、丙三人必须相邻，有_______种不同的排法 14. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是___________. 四、解答题：本题共6小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）； （3）已知，求 16. 已知函数，. （1）设曲线在处的切线的倾斜角为，求的值； （2）若函数的极小值为，求的值. 17. 已知函数，. （1）当的单调区间； （2）若函数在上的最小值是，求的值. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数和有相同的最大值，求的值. 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论在上的单调性； （3）若，求证：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $