精品解析：江西樟树中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷

樟树中学2027届高二年级下学期第一次数学诊断作业 作业时间：2026年4月15日作业范围：已学内容 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是函数的导函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱锥中，PA、AB、AC两两垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（ ） A. 32 B. 64 C. 512 D. 1024 6. （ ） A. B. C. D. 7. 设等差数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，，向量满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知抛物线，过焦点的直线交于点，则（ ） A. 的坐标为 B. C. 的最小值为2 D. 10. 如图，在正方体中，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列命题正确的是（ ） A. B. 平面 C. 线段长度的最大值为1 D. 三棱锥体积不变 11. 已知曲线的方程为，集合，若对任意的，都存在，使得成立，则称曲线为曲线．下列方程所表示的曲线为曲线的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则______. 13. 的展开式中的系数为______. 14. 已知数列是首项为1的正项等差数列，且，数列的前项和为，若，则满足的的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单． （1）前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？ （2）3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？ （3）3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？ 16. 随着夏季的来临，遮阳帽开始畅销，某商家为了解某种遮阳帽如何定价才可以获得最大利润，现对这种遮阳帽进行试销售.统计后得到其单价（单位：元）与销量（单位：顶）的相关数据如表： 单价（元） 30 35 40 45 50 日销售量（顶） 140 130 110 90 80 （1）已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的经验回归方程； （2）若每顶帽子的成本为10元，试销售结束后，请利用（1）中所求的经验回归方程确定单价为多少元时，销售利润最大？（结果保留到整数） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：，. 17. 如图，在正四棱锥中，，为侧棱SD的中点． （1）求证：； （2）求点到平面PAC的距离； （3）求平面SBC与平面PAC夹角的余弦值． 18. 已知首项为1的正项数列满足. （1）求； （2）求的通项公式； （3）求数列的前项和. 19. 在平面直角坐标系中，已知点到两点的距离之和等于，设点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程． （2）动圆以为半径，圆心在曲线上，过原点作动圆的两条切线，分别交曲线于两点，若直线的斜率存在，记为．①求证：为定值；②试问是否存在使得？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 樟树中学2027届高二年级下学期第一次数学诊断作业 作业时间：2026年4月15日作业范围：已学内容 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是函数的导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可根据导数的定义对所给极限式子进行变形，进而得出结果. 【详解】已知， 故选：B. 2. 如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形法则先求得向量、，进而求得． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 3. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化一般式方程为斜截式，可得，利用诱导公式可得，结合倾斜角，即得解 【详解】由题意， 故 由于倾斜角 故直线的倾斜角是 故选：D 4. 在三棱锥中，PA、AB、AC两两垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先三棱锥补成长方体，利用长方体的外接球的半径公式，即可求解. 【详解】如图，将三棱锥补成长方体， 三棱锥的外接球就是长方体的外接球，所以， 则三棱锥外接球的表面积. 故选：C 5. 等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（ ） A. 32 B. 64 C. 512 D. 1024 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以， 所以. 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先写出所求式子的通项，再利用组合数的定义化简通项，从而将原式化为奇数项的二项式系数之和，由二项式定理和赋值法即可求出其值. 【详解】注意到原式中每一项都可以写成， 由组合数的定义可得， 所以原式， 由二项式定理可知， ， 两式相加再除以2可得， 所以原式. 故选：D. 7. 设等差数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断为奇函数，且在上单调递增，结合奇函数的对称性可得，由等差数列的前项和公式及等差数列的下标和性质可求出，最后由的单调性可得. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数，图像关于原点对称， 因为，在上单调递增， 所以在上单调递增， 由可得， 所以，又因为是等差数列， 所以， 又因为在上单调递增，， 所以，则， 所以. 故. 8. 已知向量，，向量满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设. 已知，，所以. 则，即. 因表示点到原点的距离，而点是直线上的点， 故的最小值即为原点到直线的距离， 因为点在直线上，所以可无限大， 所以的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知抛物线，过焦点的直线交于点，则（ ） A. 的坐标为 B. C. 的最小值为2 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据抛物线的性质求焦点坐标即可判断，对于B，设直线，联立方程组结合根与系数的关系求即可判断，对于C，结合抛物线焦点弦公式求弦长的表达式，再求其最小值即可判断，对于D，根据抛物线定义利用表示，进一步计算即可判断. 【详解】对于A，抛物线，设抛物线的焦点到准线的距离为， 则，故的坐标为，故A正确； 对于B，设直线，联立，得， 方程的判别式， ，， ，， 故，故B正确； 对于C，因为， 所以当时，弦的长度最小，最短弦的长度为4，故C错误； 对于D，由， 得，故D正确. 10. 如图，在正方体中，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列命题正确的是（ ） A. B. 平面 C. 线段长度的最大值为1 D. 三棱锥体积不变 【答案】AD 【解析】 【分析】首先建立空间直角坐标系，利用坐标表示条件中的垂直关系，即可判断选项ABC；利用等体积转化，即可判断D. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，，，设，，且， ，，，得， ，所以，故，故A正确； ，，， 所以与不垂直，则不垂直与平面，故B错误； ，，， 所以时，的最大值为，故C错误； ，故D正确. 故选：AD 11. 已知曲线的方程为，集合，若对任意的，都存在，使得成立，则称曲线为曲线．下列方程所表示的曲线为曲线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，，问题化为过定点且与直线平行或重合的直线与曲线有交点，结合各项对应曲线的图形分析是否满足题设. 【详解】令，，， 等价于过定点且与直线平行或重合的直线与曲线有交点， 对于A：如下图，， 如图示，其中任意点在曲线上运动，都存在一点，使直线平行或重合，满足题设， 对于B：如下图，且， 如图示，其中任意点在曲线上运动，都存在一点，使直线平行或重合，满足题设， 对于C：如下图，，，则， 若与曲线相切且为切点，则，故，此时 令，则，即，故，即有与相切于， 如图示，此时不存在一点，使直线平行或重合，不满足， 对于D：如下图，，， 如图示，其中任意点在曲线上运动，都存在一点，使直线平行或重合，满足题设， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，再赋值求出. 【详解】，则， 解得. 故答案为： 13. 的展开式中的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理求出展开项的通项公式求指定项的系数即可. 【详解】的二项展开式的通项公式为：， 因为， 故的展开式中含项为： 其系数为. 故答案为：. 14. 已知数列是首项为1的正项等差数列，且，数列的前项和为，若，则满足的的最大值为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】由题意可求得数列的通项公式，将其代入到，使用裂项相消即可求得的前项和，使即可求得的最大值. 【详解】设等差数列的公差为，由题意得，，因为， 则有，即， 解得或（舍去），即. 所以 ， 则， 若，即，解得，即， 则满足的的最大值为8. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单． （1）前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？ （2）3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？ （3）3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用节目中要有舞蹈和节目全是唱歌对立，再结合节目排列数求解； （2）根据“捆绑法”求排列数； （3）利用“插空法”求排列数. 【小问1详解】 个节目全排列有种方法， 若前4个节目中要有舞蹈的否定是前4个节目全是唱歌，满足条件的排法有， 前4个节目中要有舞蹈的排法有； 【小问2详解】 个舞蹈节目要排在一起，可以把3个舞蹈节目看作一个元素和另外5个元素进行全排列，3个舞蹈节目本身也有一个排列，有； 【小问3详解】 3个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解， 先把5个唱歌节目排列，形成6个位置，选3个把舞蹈节目排列，有． 16. 随着夏季的来临，遮阳帽开始畅销，某商家为了解某种遮阳帽如何定价才可以获得最大利润，现对这种遮阳帽进行试销售.统计后得到其单价（单位：元）与销量（单位：顶）的相关数据如表： 单价（元） 30 35 40 45 50 日销售量（顶） 140 130 110 90 80 （1）已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的经验回归方程； （2）若每顶帽子的成本为10元，试销售结束后，请利用（1）中所求的经验回归方程确定单价为多少元时，销售利润最大？（结果保留到整数） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：，. 【答案】（1） （2）42 【解析】 【分析】（1）根据表中的数据和参考数据，结合公式可求出关于的经验回归方程； （2）设销售单价为元，销售利润为，则，化简后利用二次函数的性质可求得最大值 【小问1详解】 ，， 所以， ， 所以关于的经验回归方程为， 【小问2详解】 设销售单价为元，销售利润为，则 对称轴为， 因为二次函数的图象开口向下， 所以当单价为42元时，销售利润最大 17. 如图，在正四棱锥中，，为侧棱SD的中点． （1）求证：； （2）求点到平面PAC的距离； （3）求平面SBC与平面PAC夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算证明垂直关系； （2）利用空间向量的坐标运算求点到直线的距离； （3）利用空间向量的坐标运算求平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 连接交于点，连接, 因为是正四棱锥，所以平面， 且平面，所以, 又因为为正方形，所以, 所以以方向为轴建立如图所示空间指标坐标系， 因为，所以,, 所以,, 所以, 所以， ，所以. 【小问2详解】 设平面的一个法向量为， , 所以，即，令，可得， 所以点到平面PAC的距离为. 【小问3详解】 设平面的一个法向量为， , 所以，即，令，可得， 设平面SBC与平面PAC夹角为，则由图可知为锐角， 所以即为所求. 18. 已知首项为1的正项数列满足. （1）求； （2）求的通项公式； （3）求数列的前项和. 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）赋值代入解方程即可； （2）由，发现数列是等差数列，可求的通项，再求即可； （3）根据题意，把通项代入得，再利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 ，， ，即， 解得. 【小问2详解】 有（1）得， 所以是首项为1，公差为的等差数列， ，则. 【小问3详解】 ， 故数列的前项和. 19. 在平面直角坐标系中，已知点到两点的距离之和等于，设点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程． （2）动圆以为半径，圆心在曲线上，过原点作动圆的两条切线，分别交曲线于两点，若直线的斜率存在，记为．①求证：为定值；②试问是否存在使得？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义建立并求解关于的方程； （2）①假设直线，的方程和动圆圆心为，结合直线和圆相切的性质建立关于斜率和的方程，再根据韦达定理求解； ②设，结合①联立直线和椭圆方程，进而建立斜率和的方程，化简并求解即可. 【小问1详解】 依椭圆定义得，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①直线，的方程分别为，设动圆圆心为， 因为直线，为圆的两条切线， 则，化简得， 所以为方程的两根， 故. 由，可得， 故为定值； ②设，由 则. ， 由于，所以， 得， 所以为定值8．所以不存在． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $