精品解析：江西南昌师范学院附属中学2025-2026学年高二年级下学期第一次月考数学试卷

南师附中高二年级下学期第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意有，解得的取值范围； 【详解】由数列是单调递增数列可得，对于都有成立， 即对都成立， 所以．（或通过二次函数的对称性求解） 故选：D. 2. 在等差数列，则在中，的最大值为（    ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列性质得再根据等差数列性质，前项和公式与比较大小与正负，即得结果. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 所以在中,的最大值为. 3. 已知项数为奇数的等差数列共有项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数为（    ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】等差数列的公差为，结合题意得，，进而求得. 【详解】设等差数列的公差为， 由题知；， 所以， 因为， 所以，即项数为. 4. 数列中，，对任意 ，若，则 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值. 【详解】在等式中，令，可得，， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则， ， ，则，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题. 5. 已知数列是各项均为正数的等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由韦达定理，可得，后由等比数列性质结合对数运算性质可得答案. 【详解】由韦达定理，可得，由等比数列性质 可得，. 设， 则， 得. 故选：B 6. 等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，由等差数列前项和的性质，可设和，求得的表达式，即可得到答案. 【详解】由等差数列，的前项和，可得， 因为等差数列的前项和为， 即等差数列的前项和满足的形式， 可设，其中， 则 ，所以. 7. 已知等差数列的公差为1，且，，成等比数列，则数列的前2025项和为（   ） A. B. C. 1013 D. 505 【答案】A 【解析】 【详解】设等差数列的首项为，公差，则通项公式为. 由题意得，，成等比数列，根据等比中项性质有. 即，即， 化简得，解得或. 若，则，不满足等比数列项非零的条件，舍去，故. 因此，数列即. ， 每两项一组，共组，每组和为， 故. 8. 数列中，，且（），则数列前2021项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，从而得，再由得，所以，然后利用裂项相消求和法可求得结果 【详解】因为（）， 所以，整理得，， 所以， 因为，所以， 所以， 所以数列前2021项和为 ， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知数列的前项和为，与是方程的两根，则下列说法正确的是（ ） A. 若是等差数列，则 B. 若是等比数列，则 C. 若是递减等差数列，则当取得最大值时，或 D. 若是递增等差数列，对恒成立，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意利用等差数列性质求出公差和首项，利用前项和求出，再利用二次函数性质，基本不等式，得出结论判断即可. 【详解】因为数列的前项和为，与是方程的两根， 由韦达定理得，，，所以解得，或，； 对于A选项：若是等差数列，则，故A不正确； 对于B选项：若是等比数列，则，因为， 所以，则，故B正确； 对于C选项：若是递减等差数列，所以，，解得公差， 首项，所以， 故当或时取得最大值，故C正确； 对于D选项：若是递增等差数列，所以，，解得公差， 首项1，所以，因为对恒成立， 即恒成立，即恒成立，因为， 当且仅当时等号成立，故，则，故D不正确. 故选：BC. 10. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据递推公式求出、、，即可找到规律得到数列是以为周期的周期数列，即可判断A、B、D，再根据递推公式表示出，即可得到，从而判断C. 【详解】解：因为，， 所以，故A错误； ，，所以数列是以为周期的周期数列， 所以，故B错误； 因为，， 所以，故C正确； ，故D正确； 故选：CD 11. 已知满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 设的前项和为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】两边取倒数，可得，可得是等差数列，逐项计算可判断其正误. 【详解】由，可得， 所以，所以是以为首项，为公差的等差数列， 则，所以，则，故AB正确,C错误； 又， 则，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 《九章算术》中有一题：今有牛、马羊食人苗，苗主贵之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说： “我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”，打算按此比例偿还，则牛主人比羊主人多赔偿__________斗粟 【答案】 【解析】 【分析】 由题意，羊马牛的主人需赔偿的粟，依次成等比数列，且公比，而，由此可求出，从而可求得结果 【详解】解：由题意得，羊马牛的主人需赔偿的粟，依次成等比数列，且公比， 因为一共赔偿五斗粟，所以，即，即， 所以， 因此， 所以. 即牛主人比羊主人多赔偿斗粟. 故答案为： 【点睛】此题考查等比数列的应用，考查等比数列的通项公式和前项和，属于基础题. 13. 已知数列满足，且．若是数列的前项积，当取最大值时，__________． 【答案】10或11 【解析】 【分析】由且可推出，再求出，利用函数思想求其最大值即可. 【详解】因为，且，所以， 所以数列为等比数列，公比为， 则数列， 所以， 因为， 又因为，所以当或时，取最大值， 则或时，取最大值. 故答案为：10或11. 14. 已知数列满足，则数列的通项公式______，的通项公式______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由条件可得，，结合等比数列定义及通项公式求，与联立求结论. 【详解】①，②， ①＋②得，又，所以． ①－②得，又， 所以数列为首项为，公比为的等比数列， 所以， 即． 故答案为：；． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在数列 中， ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得到 ，由累乘法得到 ； （2）设 ， 的前 项和为 ，求出 ，当 时， ；当 时， ，从而得到答案. 【小问1详解】 由数列 中， ，且 ， 所以 (符合首项)， 所以 ； 【小问2详解】 其中 ， 设 ， 的前 项和为 ，其中 ， 故 ， 当 时， ，故 ； 当 时， ， 故 综上所述， 16. 已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，且满足，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设出等差数列公差、等比数列公比，由已知条件列出方程组，求解即得通项公式. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法及等比数列前项和公式求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，数列的等比为， 依题意，，，，， 即且，解得，， 所以和的通项公式分别为，. 【小问2详解】 由（1）得，则，， 因此， 所以. 17. 已知数列．令， （1）证明数列是等差数列，并求出通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析，； （2） 【解析】 【分析】（1）变形得到，故，证明出是等差数列，并根据首项和公差求出通项公式； （2）在（1）基础上，得到，利用错位相减法求和，得到答案. 【小问1详解】 ，两端除以，得，即， 由，得，所以数列是以4为首项，3为公差的等差数列， ． 【小问2详解】 ， ，① ，② 由①-②，得， ． 18. 某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过n年后，该项目的资金为万元． （1）求；写出{}的递推公式； （2）设， 证明数列{}为等比数列； （3）求出至少需经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取）. 【答案】（1），， （2）证明见解析 （3）至少需经过12年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标 【解析】 【分析】（1）根据题意即可列关系求解， （2）根据，结合等比数列的定义即可求证， （3）根据，即可取对数求解不等式得解. 【小问1详解】 ， ， 【小问2详解】 由于，则，即 ， 且， 故{}为等比数列，且公比为，首项为； 【小问3详解】 ，因此， 令，则， 取对数可得， 故， 故至少需经过12年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标. 19. 已知正项数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：； （3）若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）通过与的关系，消去，推导出数列的递推关系，确定数列类型，进而求出通项公式． （2）先对通项进行裂项，再利用裂项相消法求出和，最后通过放缩即可证明不等式． （3）构造函数，分析其单调性求出最值，将不等式恒成立问题转化为最值问题，进而求出参数范围． 【小问1详解】 因为，所以①， 当时，②， 则得，， 整理得， 又数列为正项数列，即， 所以，即，即公差； 当时，有，又，则，解得. 综上，数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，其通项公式为. 【小问2详解】 证明：由（1）可知，则， 所以， 综上，. 【小问3详解】 由（1）可知，令， 则， 所以 ， 所以，即在上递减， 所以， 所以，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南师附中高二年级下学期第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列，则在中，的最大值为（    ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 3. 已知项数为奇数的等差数列共有项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数为（    ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 4. 数列中，，对任意 ，若，则 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知数列是各项均为正数的等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的公差为1，且，，成等比数列，则数列的前2025项和为（   ） A. B. C. 1013 D. 505 8. 数列中，，且（），则数列前2021项和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知数列的前项和为，与是方程的两根，则下列说法正确的是（ ） A. 若是等差数列，则 B. 若是等比数列，则 C. 若是递减等差数列，则当取得最大值时，或 D. 若是递增等差数列，对恒成立，则 10. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 设的前项和为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 《九章算术》中有一题：今有牛、马羊食人苗，苗主贵之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说： “我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”，打算按此比例偿还，则牛主人比羊主人多赔偿__________斗粟 13. 已知数列满足，且．若是数列的前项积，当取最大值时，__________． 14. 已知数列满足，则数列的通项公式______，的通项公式______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在数列 中， ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 16. 已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，且满足，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 已知数列．令， （1）证明数列是等差数列，并求出通项公式； （2）求数列的前项和． 18. 某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过n年后，该项目的资金为万元． （1）求；写出{}的递推公式； （2）设， 证明数列{}为等比数列； （3）求出至少需经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取）. 19. 已知正项数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：； （3）若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $