精品解析：甘肃平凉市第一中学2025-2026学年高一第二学期阶段性考试数学试题

平凉一中2028届第二学期阶段性考试试题 高一数学 考试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：王金霞 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 在锐角中，角的对边分别为. 若，则角的大小为 A. B. 或 C. D. 或 4. 某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得，千米，千米，则，间的直线距离约为（ ） A. 6千米 B. 7千米 C. 8千米 D. 5千米 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是方程的两个实数根，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 8. 如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知复数，则下列命题正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若为实数，则 C. 若在复平面内对应的点在直线上，则 D. 在复平面内对应的点不可能在第三象限 10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 中边中线长为 11. 窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它最初用于民俗活动中的剪贴画，后发展为独立的艺术门类，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 的最大值为 D. 若函数，则函数的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，则___________. 13. 定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于______． 14. 已知幂函数为奇函数.若，则_____. 四、解答题：本题5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 复数，其中. （1）若复数z为实数，求a的值； （2）若复数z为虚数，求a的取值范围； （3）若复数z为纯虚数，求a的值 16. 已知向量，满足， （1）若，求的值； （2）若，求在上的投影向量的坐标. 17. 已知. （1）求函数图象的对称轴方程； （2）求函数单调递增区间； （3）设的内角所对的边分别为，若且.求面积的最大值. 18. 定义向量 的“伴随函数”为. 函数. 的“伴随向量”为 （1）在 中，已知 点M 为边AB上的点，且 求出向量 的“伴随函数”， 并直接写出的最大值； （2）已知向量 函数 求函数的“伴随向量” 的坐标； （3）已知 向量 的“伴随函数”分别为、， 设 且 的“伴随函数”为，其最大值为m. 求证： 向量 的充要条件为 19. “费马点”是由法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉一中2028届第二学期阶段性考试试题 高一数学 考试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：王金霞 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】求出复数所对点的坐标即可判断作答. 【详解】在复平面内，复数对应的点位于第三象限. 故选：C 2. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 解得． 3. 在锐角中，角的对边分别为. 若，则角的大小为 A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理，边化角化简即可得出答案． 【详解】由及正弦定理得，又， 所以，所以，又，所以． 故选A 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，属于基础题． 4. 某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得，千米，千米，则，间的直线距离约为（ ） A. 6千米 B. 7千米 C. 8千米 D. 5千米 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求得. 【详解】由余弦定理，，解得. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由降幂公式降幂后，结合诱导公式求解. 【详解】因为， 所以. 6. 已知，是方程的两个实数根，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用韦达定理可知，然后根据两角和的正切公式计算，并判断角度范围即可. 【详解】由题可知：，可知异号， 由，令，所以 所以，则. 故选：D 7. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】将函数化为，再进行判断. 【详解】， 它是由图象上所有的点向右平移个单位长度得到的，所以D正确. 故选：D. 8. 如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值. 【详解】如下图所示，连接、、、，则为的中点， 则，且，故是边长为的等边三角形， 易知，则 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知复数，则下列命题正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若为实数，则 C. 若在复平面内对应的点在直线上，则 D. 在复平面内对应的点不可能在第三象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先得到复数的实部与虚部，再根据复数的类型求出参数的值，即可判断A、B，根据复数的几何意义判断C、D. 【详解】复数的实部为，虚部为， 复数在复平面内对应的点的坐标为， 对于A：若为纯虚数，则，解得，故A正确； 对于B：若为实数，则，解得，则，故B正确； 对于C：若在复平面内对应的点在直线上， 所以，解得或，故C错误； 对于D：令，即，不等式组无解， 所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确. 故选：ABD 10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 中边中线长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解A，根据正弦定理即可求解BC，根据向量的模长公式即可求解D. 【详解】因为， 由余弦定理得，，所以，A正确， 由正弦定理得， 所以，，所以B正确，C错误， 设中边中线为,则,故故D正确． 故选：ABD． 11. 窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它最初用于民俗活动中的剪贴画，后发展为独立的艺术门类，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 的最大值为 D. 若函数，则函数的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由向量的线性运算可得；对于B，由在方向上的投影向量为代入坐标运算即可；对于C，由，根据几何意义求的最大值即可；对于D，设设，则，即当时，取得最小值，根据图形求最小值即可. 【详解】根据题意，每个小三角形为全等的等腰三角形，顶角为， ，以为原点，分别为轴，设， 则，解得， ， 对于A，因为 ，，所以，故A正确； 对于B，， 在方向上的投影向量为，故B错误； 对于C，设中点为， ，所以取最大即取最大， 由题知，当 在点或点处时，取最大， 此时，， ， 所以，故C正确； 对于D，设 ，， 所以当时，取的最小值， 根据题意，，所以在延长线上， 又，则， 所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理，可得答案. 【详解】由余弦定理可得. 故答案为：. 13. 定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于______． 【答案】8 【解析】 【分析】由数量积的定义求得，由平方关系得，再根据新定义计算. 【详解】由已知，， 所以， 所以. 14. 已知幂函数为奇函数.若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数为幂函数且为奇函数求出函数的解析式，再根据得出的值，最后求解即可. 【详解】因为为幂函数， 所以， 解得：或， 当时，为偶函数，不满足题意， 当时，为奇函数，满足题意，所以， 由，则， 即，则， 即， 解得：， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 复数，其中. （1）若复数z为实数，求a的值； （2）若复数z为虚数，求a的取值范围； （3）若复数z为纯虚数，求a的值 【答案】（1）或 （2）且 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，计算即可； （2）由已知可得，计算即可； （3）由已知可得，计算即可. 【小问1详解】 由复数z为实数，得， 解得或 【小问2详解】 由复数z为虚数，得， 解得且 【小问3详解】 由复数z为纯虚数，得 解得. 16. 已知向量，满足， （1）若，求的值； （2）若，求在上的投影向量的坐标. 【答案】（1）8； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知求出，再利用向量模的公式求解； （2）由已知求出，再利用投影向量的公式求解. 【小问1详解】 由题得， ，∴. ∴ 【小问2详解】 ∴. ∴. ∴投影向量坐标为， ∴投影向量坐标为. 17. 已知. （1）求函数图象的对称轴方程； （2）求函数单调递增区间； （3）设的内角所对的边分别为，若且.求面积的最大值. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过向量数量积得到函数表达式，再利用正弦函数的对称轴，整体代换计算即可； （2）运用正弦函数单调性，整体代换计算即可； （3）结合三角形内角条件和余弦定理、重要不等式求解三角形面积的最大值. 【小问1详解】 由， 则， 则，即， 故图象的对称轴方程为. 【小问2详解】 由（1）可知， 则在单调递增， 故， 故单调递增区间为. 【小问3详解】 ，即， 为的内角，，故， ，则，又， 由余弦定理，得， 又由重要不等式，故 ，当且仅当时等号成立 故面积的最大值为. 18. 定义向量 的“伴随函数”为. 函数. 的“伴随向量”为 （1）在 中，已知 点M 为边AB上的点，且 求出向量 的“伴随函数”， 并直接写出的最大值； （2）已知向量 函数 求函数的“伴随向量” 的坐标； （3）已知 向量 的“伴随函数”分别为、， 设 且 的“伴随函数”为，其最大值为m. 求证： 向量 的充要条件为 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意写出伴随函数，并用辅助角公式整理成正弦型函数，求出最大值； （2）由三角恒等变换得到 从而求得“伴随向量”坐标； （3） 设 则 先证明充分性，再证明必要性. 【小问1详解】 因为点M 为边上的点， 且，则 即得， 由题意得，， 因，其中 因，故. 【小问2详解】 因， 故函数的“伴随向量”为 . 【小问3详解】 设 因为 所以 下证充分性： 因，当且仅当存在使得： 时，成立，其中 所以 则 于是，故有，； 再证必要性：当 时， 所以 当且仅当 时，等号成立， 故有，. 综上：向量 的充要条件为 【点睛】关键点点睛：本题主要考查由函数新定义引出的平面向量与三角恒等变换的综合问题，属于难题. 解题的关键在于，要熟练掌握向量和三角函数知识，依题设出伴随向量，，求出伴随函数，再根据函数的值域要求进行探究，先证明充分性，再证明必要性即可. 19. “费马点”是由法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值. 【答案】（1） （2） （3）实数的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案. （3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由已知中，，即，故，由正弦定理可得， 故直角三角形，即. 【小问2详解】 由（1）可得的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设， 由得：， 整理得， 则 . 【小问3详解】 点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而， 故，当且仅当， 结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $