精品解析：黑龙江大庆市第三十六中2025-2026学年下学期3月九年级数学随堂检测试卷

初三数学随堂检测试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程求解即可． 【详解】解：A．不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； B．符合一元二次方程定义，是一元二次方程； C．中未知数x的最高次数是3，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； D．中含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； 故选：B． 2. 下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，，故符合题意； 故选：D． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 任意两个矩形一定相似 B. 任意两个菱形一定相似 C. 任意两个等腰直角三角形一定相似 D. 任意两个平行四边形一定相似 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似图形的定义分别判断后即可确定正确选项． 【详解】A、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似； B、两个菱形对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似； C、两个等腰直角三角形对应角相等，且对应边的比也相等，故一定相似； D、两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边的比不一定相等，故不一定相似． 故选：C． 【点睛】本题主要考查相似图形的判定，注意相似图形的对应角相等，对应边的比相等． 4. 在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，列出方程即可． 【详解】解：设邀请x个球队参加比赛， 由题意，得：； 故选：C． 5. 对于任意实数x，多项式x2-5x+8的值是一个（ ） A. 非负数 B. 正数 C. 负数 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】x2-5x+8=x2-5x++=（x-）2+， 任意实数的平方都是非负数，其最小值是0， 所以（x-）2+的最小值是， 故多项式x2-5x+8的值是一个正数， 故选B． 6. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 7. AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED=1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC= A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：6 【答案】D 【解析】 【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案． 【详解】作DH∥BF交AC于H． ∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC． ∵DH∥BF，∴CH：FH=CD：BD，∴FH＝HC． ∵DH∥BF，∴，∴AF：FC＝1：6． 故选D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 8. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则m的值是（ ） A. B. C. 或8 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根与系数关系，根的判别式，利用根与系数关系构建方程求出m，再利用判别式的值判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得或， 当时，则有， ，不符合题意舍去， ∴m的值是， 故选：A． 9. 定义表示不超过实数的最大整数，如，，．函数的图象如图所示，则方程的解为（　　） A. 0或 B. 0或3 C. 0或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目给的新定义，结合函数图象分段讨论. 【详解】解：当时，，该方程无解； 当，，该方程无解； 当，，解得； 当，，解得，. 综上，方程的解为或. 故选：A. 【点睛】本题结合了定义新运算与分段函数，理解题意，分段讨论是解答关键. 10. 如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 有两个实根，但无法确定是否相等 D. 无实根 【答案】A 【解析】 【分析】M是三条角平分线的交点，过M作，则得出，即可得出△DBM∽△MBC，再求出△BMC∽△MEC，△DBM∽△EMC，即可得出：，即可求解． 【详解】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM， ∴∠ADM=∠AEM，， ∴， ∵M是三条角平分线的交点 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是△ABC的内角平分线的交点， ∴∠1=∠2， ∴△DBM∽△MBC， 同理可得出：△BMC∽△MEC， △DBM∽△EMC， ∴， 即：， 即． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，由已知可得，再代入分式计算即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为 ． 12. 若是方程的一个根，则的值为______． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，掌握好方程的解的意义是解题关键． 利用方程根的定义，将a代入方程得到的值，然后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，变形得，， ∴． 故答案为：2026． 13. 已知，且，则______ 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值．由可得，从而得到，即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 14. 国产某品牌无人机凭借它在和精准飞控方面的强大技术优势，使其在销量上独占鳌头．该品牌无人机在某次的方阵表演中，如图，无人机原来排成行列，后又增加了架，使得方阵增加的行、列数相同，则增加了多少行？设方阵增加的行数为行，根据题意可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设方阵增加的行数为行，则新方阵增加了列，根据增加了架，使得方阵增加的行、列数相同，列出一元二次方程即可． 【详解】解：设方阵增加的行数为行，则新方阵增加了列， 由题意得：． 故答案为：． 15. 一个菱形的边长是方程的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、菱形的性质、勾股定理，先解方程得出，，结合一条对角线长为6得出菱形的边长为，利用勾股定理得出菱形的另一条对角线为，再由面积公式计算即可． 【详解】解：， ， 解得：，， 菱形一条对角线长为6， 菱形的边长为， 菱形的另一条对角线为， 菱形的面积为， 故答案为：． 16. △ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上且AD＝2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE＝______ 【答案】或 【解析】 【分析】两三角形有一公共角，再求夹此公共角的两边对应成比例即可．点E位置未确定，所以应分别讨论，△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED． 【详解】解：第一种情况：要使△ABC∽△ADE，∠A为公共角，AB：AD=AC：AE，即8：2=6：AE，∴AE= ； 第二种情况：要使△ABC∽△AED，∠A为公共角，AB：AE=AC：AD，即8：AE=6：2，∴AE= ． 故答案为或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．解题关键是边的对应关系． 17. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根为___． 【答案】， 【解析】 【分析】根据已知方程的两根，利用根与系数的关系得到与，与的关系，代入所求方程化简后求解即可，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ 一元二次方程 （）的两个实数根分别为 ， 由根与系数的关系得： ，， 整理得：，， 将 代入方程 得： ， 整理得：， ∵ ，两边同除以 得：， 因式分解得：， 解得． 18. 已知关于的一元二次方程，有下列结论： ①当时，方程有两个不相等的实根； ②当时，方程不可能有两个异号的实根； ③当时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为_________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，∵一元二次方程， ∴； ∴当，即时，方程有两个不相等的实根；故①正确； 当，解得：，方程有两个同号的实数根，则当时，方程可能有两个异号的实根；故②错误； 抛物线的对称轴为：，则当时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确； 由，则，解得：或；故④正确； ∴正确的结论有①③④； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题． 三、解答题（共66分） 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 解得，； 【小问3详解】 解：， ， 或， 解得，； 【小问4详解】 解：， ， ， 或， 解得，． 20. 如图，，，求证：． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的证明，利用两边成比例且夹角相等证明三角形相似是解题的关键． 首先根据得到，再根据即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：，例如． （1）计算； （2）若，求x的值． 【答案】（1）14 （2）或 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，把新定义运算化为普通运算，得出一元二次方程是解本题的关键． （1）直接根据新定义得到答案； （2）根据题中的新定义，把转化为，然后解这个方程即可． 【小问1详解】 解：根据新定义可知： ； 【小问2详解】 解：由新定义可知， 将转化为． 解得或． 22. 已知关于x的方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟练掌握根的判别式和根与系数的关系，是解题关键． （1）根据根的判别式即可验证； （2）利用根与系数的关系可得，据此即可求解． 【小问1详解】 证明：根据题意可知：， ∴方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：由题意得：， ∴， 解得． 23. 在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，那么每轮传播中平均一人传播了多少人？ 【答案】每轮传播中平均一人传播了11人 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设每轮传播中平均一人传播了x人，根据经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每轮传播中平均一人传播了x人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：或（舍去）． 答：每轮传播中平均一人传播了11人． 24. 周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线，通过在直线上选点观测，发现当他位于点时，他的视线从点通过露台点正好落在遮阳篷点处；当他位于点时，视线从点通过点正好落在遮阳篷点处，这样观测到的两个点、间的距离即为遮阳篷的宽．已知，点在上，、、、均垂直于，，露台的宽，测得米，米，米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽是多少米？（结果精确到米） 【答案】遮阳篷的宽是米 【解析】 【分析】延长交于，则米，米，米，先证明，则根据相似三角形的性质得，再证明，则利用相似比得到，然后利用比例性质求即可． 【详解】解：延长交于，如图， 则米，米，米， ∵， ， ， ， ∵， ， ，即， 解得（米）． ∴遮阳篷的宽是米． 25. 2025年第十五届全国运动会于11月9日在广州开幕，全运会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神．我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是6万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是8.64万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应为每件80元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设月平均增长率为x，根据2025年9月份吉祥物一月的销售量是6万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是8.64万件，列出方程进行求解即可； （2）设售价为每件y元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x， 根据题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价为每件y元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：售价应为每件80元． 26. （1）如图1，在中，，，垂足为．求证：． （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，若．求证：． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明可推出结论； （2）证明，得出．再结合（1），得出，即可推出结论． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴． 27. 对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”、例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于的代数式的不动值是___________． （2）判断关于的代数式是否有不动值，若有，请求出代数式的不动值；若没有，则说明理由． （3）已知关于的代数式． ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，直接写出正整数的值． 【答案】（1）3或． （2）没有，理由见解析 （3）①②1或2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式等相关知识，理解新定义的意义并灵活应用是解决本题的关键，用到的知识点为∶二次方程有两个相等的实数根，根的判别式为0． （1）求得的解即为关于x的代数式的不动值； （2）看是否有解即可； （3）①因为有一个解，根据根的判别式为0求得相应的x的值即可；②表示出两个不动值的平方，根据两个不动值的差为整数， a为正整数求得合适的a的值即可． 【小问1详解】 解∶ 依题意得， 即 解得，． 故答案为：3或． 【小问2详解】 解：依题意得 ． ， ∴原方程无解． 关于x的代数式没有不动值， 【小问3详解】 解：①依题意得， ． 仅有一个不动值， ． ． 整理得∶． ． 即． 解得∶ (不合题意，舍去)，． ． ②依题意得， 整理得∶ ． 设方程两个解为s，t， ， ． 为整数， 为整数． ∴正整数或2． 28. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与相交于点E，线段、的长是一元二次方程的两根（），，． （1）求点A、点C的坐标； （2）在x轴上是否存在点P，使以点C、点E、点P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】（1）A的坐标是，C的坐标是 （2）存在，P的坐标是和 【解析】 【分析】（1）先解一元二次方程求出两根，再结合点在坐标轴上的位置确定A、C坐标．因为，所以可根据的长度求出，进而得到B点坐标． （2）先利用A、B坐标求出直线的解析式，再结合的长度求出E点坐标；接着求出直线的解析式，得到D点坐标，进而确定的边长和角的特征．需分情况讨论：以C为顶点的角对应中不同的角，利用相似三角形的判定定理，结合坐标与距离的关系列方程求解P点坐标． 【小问1详解】 解：∵，即， 则，， 解得：，， 又∵， ∴，， ∴A的坐标是，C的坐标是． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 则B的坐标是． ∴． 作轴于点F． 则， ∴， ∴， ∴，， 则， 则E的坐标是． ∴，， ∴； 设直线的解析式是，则， 解得：， 则直线的解析式是； 当时，，即， ； 设P的坐标是，则． 当时，，即， 解得：， 则P的坐标是； 当时，，则， 解得：， 则P的坐标是． 总之，P的坐标是和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学随堂检测试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 任意两个矩形一定相似 B. 任意两个菱形一定相似 C. 任意两个等腰直角三角形一定相似 D. 任意两个平行四边形一定相似 4. 在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 对于任意实数x，多项式x2-5x+8的值是一个（ ） A. 非负数 B. 正数 C. 负数 D. 无法确定 6. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 7. AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED=1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC= A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：6 8. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则m的值是（ ） A. B. C. 或8 D. 2或 9. 定义表示不超过实数的最大整数，如，，．函数的图象如图所示，则方程的解为（　　） A. 0或 B. 0或3 C. 0或 D. 或 10. 如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 有两个实根，但无法确定是否相等 D. 无实根 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 已知，则______． 12. 若是方程的一个根，则的值为______． 13. 已知，且，则______ 14. 国产某品牌无人机凭借它在和精准飞控方面的强大技术优势，使其在销量上独占鳌头．该品牌无人机在某次的方阵表演中，如图，无人机原来排成行列，后又增加了架，使得方阵增加的行、列数相同，则增加了多少行？设方阵增加的行数为行，根据题意可列方程为__________． 15. 一个菱形的边长是方程的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为_________． 16. △ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上且AD＝2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE＝______ 17. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根为___． 18. 已知关于的一元二次方程，有下列结论： ①当时，方程有两个不相等的实根； ②当时，方程不可能有两个异号的实根； ③当时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为_________． 三、解答题（共66分） 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 如图，，，求证：． 21. 对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：，例如． （1）计算； （2）若，求x的值． 22. 已知关于x的方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 23. 在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，那么每轮传播中平均一人传播了多少人？ 24. 周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线，通过在直线上选点观测，发现当他位于点时，他的视线从点通过露台点正好落在遮阳篷点处；当他位于点时，视线从点通过点正好落在遮阳篷点处，这样观测到的两个点、间的距离即为遮阳篷的宽．已知，点在上，、、、均垂直于，，露台的宽，测得米，米，米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽是多少米？（结果精确到米） 25. 2025年第十五届全国运动会于11月9日在广州开幕，全运会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神．我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是6万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是8.64万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元？ 26. （1）如图1，在中，，，垂足为．求证：． （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，若．求证：． 27. 对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”、例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于的代数式的不动值是___________． （2）判断关于的代数式是否有不动值，若有，请求出代数式的不动值；若没有，则说明理由． （3）已知关于的代数式． ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，直接写出正整数的值． 28. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与相交于点E，线段、的长是一元二次方程的两根（），，． （1）求点A、点C的坐标； （2）在x轴上是否存在点P，使以点C、点E、点P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $