第三章 图形的平移与旋转 问题解决活动-距离最短-【导学练评】2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学导学案聚焦“距离最短”问题，以“将军饮马”历史故事导入，引导学生从“两点异侧”最短路径出发，通过轴对称、平移等图形变换，将“同侧”问题转化为“异侧”，搭建从实际问题抽象为数学模型的学习支架。 资料采用“导学练评”一体化设计，通过问题探究、分层练习（基础达标、能力提升、拓展迁移）强化转化思想，培养学生几何直观、空间观念的数学眼光，提升推理能力的数学思维，发展模型意识的数学语言，助力学生高效掌握最短路径问题解决方法。

第三章问题解决活动-距离最短-【导学练评】北师大版数学八年级下册 学习目标： 1、 能利用轴对称、平移、旋转的性质解决“两点在一条直线异侧”的最短路径问题。 2、 通过“将军饮马”模型的探究，体会“化折为直”的转化思想，经历将实际问题抽象为数学模型的过程。 感受数学在生活中的应用价值，培养勇于探索、严谨求实的科学态度。 学习重点： 构建模型、转化思想。 学习难点： 严谨的逻辑语音证明最短距离问题。 “将军饮马”由来 相传亚历山大城有一位精通数学的学者海伦。某日，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为'将军饮马'的问题广泛流传。 抽象为数学模型：直线同侧有两个定点A、B,请在直线上找一点C,使AC+BC值最小。如果点A、B在直线的两侧，我们便可用两点之间线段最短，找到点C的位置了。即连接AB交直线于点C。 因此，构造点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交直线于点C，点C就找到了。（找对称点，本质上是通过AC=A'C,把问题转化为求A'C+BC最小值） 提出问题 如图，居民区和工厂分别在一条城铁线路的南、北两侧，现要沿城铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过地下通道去工厂上班，已知地下通道长a米，那么地下通道的两个出口应该设计在何处，才能使居民经过地下通道去工厂上班的线路最短？请画出这条最短线路并说明理由（不考虑地面到地下通道地面的高度） 理解问题 上述问题可以抽象怎样的数学问题，试着写一写，画一画。 。 拟定计划 （1）你以前遇到过类似的问题吗？ （2）解决这个问题的最大困难时什么？ （3）地下通道将居民区到工厂的路从中间分成两段，你能设法将居民区、通道或工厂“移动”位置，让前后两段路连起来吗？ 实施计划 （1）写出你的解决方案， （2）说明方案的合理性。 （1）居民区点A沿城铁方向平移am到 ，连接B交城铁线点C. （2）作AD平行C,交城铁线点D 理论根据：AD+DC+CB= C+CB+a= B+a (两点之间线段最短） 回顾反思 将固定的一段线路平移，将问题转化成两点之间线段最短的问题来解答；解决最短距离问题的关键是要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点、旋转点，将复杂的图形转化成简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”等进行解决 【强调】： 最短距离问题，关键是要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点、旋转点，将复杂的图形转化成简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”等进行解决。 一、基础达标1： 1．如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使ΔPAB周长最小的是(　　) A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4． A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（　　） A． B． C． D． 5．如图，某工厂甲、乙两个单位分别位于厂内一条封闭的道路两旁，现计划修建一座天桥，要求天桥与道路垂直，那么天桥建在何处才能使由甲到乙的路程最短？ 二、能力提升1： 6．已知点P（0，1），Q（5，4），点M在x轴上运动，当MP+MQ的值最小时，点M的坐标为　 　 ． 三、拓展迁移1： 7．如图，在△ABC中，AB=AC． （1）利用尺规作线段AB的垂直平分线DE，垂足为E，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下， ①若∠A=30°，求∠DBC的度数； ②若△ABC的面积是12，BC=4，点M、N分别是BC、DE上的动点，求BN+NM的最小值． 四、基础达标2： 8．如图，在平面直角坐标系中，点A（－2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（　　） A．（－2，0） B．（4，0） C．（2，0） D．（0，0） 9．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（　　）． A．15° B．22.5° C．30° D．45° 10．如图，锐角三角形ABC中，∠C＝45°，N为BC上一点，NC＝5，BN＝2，M为边AC上的一个动点，则BM＋MN的最小值是（　　）． A． B． C． D． 11．已知，如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A，B两处距河岸的距离AC，BD的长分别为700米，500米，且CD的距离为500米，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走（　　）米． A．1400 B．1300 C．1200 D．1100 12．如图，某工厂计划在一条笔直的道路上新建两个储物点，两个储物点的距离固定，工作人员每天进入大门后先到甲储物点取物品。然后沿道路到乙储物点取物品，最后到另一侧的车间，请画图说明两个储物点设在何处，使工作人员所走的路程最短？ 五、能力提升2： 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，E是AB边的中点，F是AC边的中点，则 （1）EF＝　 　； （2）若D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是 　 　． 六、拓展迁移2： 14．在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明） 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：作点P关于直线l的对称点P'，连接QP'交直线l于M. 根据两点之间，线段最短，则所需管道最短. 故选： C. 【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：分别在 的两边上找点A，B，使 周长最小的是D选项 故答案为：D. 【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：解： ∵EF垂直平分BC， ∴B、C关于EF对称，AC交EF于D， ∴当P和D重合时， AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，AP+BP的最小值是4. 故答案为：A. 【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可. 4．【答案】D 5．【答案】解：如图为所求的天桥的位置. 【解析】【分析】把甲点沿垂直方向平移至C，平移距离等于天桥的长度，连接C乙两点，交道路的另一边于N，作MN垂直于道路。则MN就是天桥的位置. 6．【答案】(1，0) 【解析】【解答】解：如图所示，作P点关于x轴对称点 ∵P 点坐标为(0，1)， 点坐标 ， 连接P1Q，则P1Q与x轴的交点应满足(QM+PM的最小值，即为点 M设 所在的直线的解析式为y=kx+b， 把 Q(5，4) 代入解析式得： ，解得： ， ， 当y=0时，x=1， ∴点M坐标是(1，0)， 故答案为(1，0). 【分析】作P点关于x轴对称点 P1，根据轴对称的性质 的最小值可以转化为QP1的最小值，再求出 所在的直线的解析式，即可求出直线与x轴的交点，即为M点. 7．【答案】（1）解：如图，DE为所作； （2）解：①∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=12×（180°-30°）=75°， ∵DE垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠DBA=∠A=30°， ∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=75°-30°=45°； ②如图，∵DE垂直平分AB， ∴NA=NB， ∴BN+NM=AN+MN≥AM（当且仅当A、N、M共线时取等号）， ∵当AM⊥BC时，AM的长度最小， ∵AM•BC=12， ∴AM=6， ∴BN+NM的最小值为6 【解析】【分析】(1)利用基本作图作AB的垂直平分线即可； (2)①根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出 再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到. 然后计算 即可； ②如图，根据线段垂直平分线的性质得到NA=NB，利用三角形三边的关系得到BN+NM=AN+MN≥AM(当且仅当A、N、M共线时取等号)，再利用垂线段最短得到当 '时， AM的长度最小，然后根据三角形面积公式计算出AM即可. 8．【答案】C 9．【答案】C 10．【答案】C 【解析】【解答】解：如图所示，先作点N关于AC的对称点N'，由两点之间线段最短可知BN'即为BM+MN的最小值， 根据对称的性质可知.N'C= ，即 在 中， 故答案为： C 【分析】先作点N关于AC的对称点N'，由两点之间线段最短可知.BN'即为BM+MN的最小值，根据对称的性质可知 ，再利用勾股定理即可求出BN'的长. 11．【答案】B 【解析】【解答】解：点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点M，过点E作EN⊥AC于点N， 由对称的性质可知，BD =ED，∠EDM =∠MDB， DM=DM， ∴△MDE≌△MDB， ∴BM = ME， BM +AM = M E+AM= AE， 即AE为牧童要走的最短路程. ∵EN=CD=500米，AN=NC+AC=700+500=1200米， ∴在Rt△ANE中， 米. 故牧童至少要走1300米. 故答案为：B. 【分析】在CD边上找一点M，使AM和BM的和最小，延长BD到E点， 使BD = DE， 连接AE交CD边于点M， 过点E作EN⊥AC于点N， 则AE为所求的长即牧童最少要走的距离. 12．【答案】如图， 记大门为A，车间为B，道路为水平直线l，甲储物点为M，乙储物点为N，两个储物点的间距始终为m.将点A 向右平移m个单位长度得到点A'，连接A'B，交直线l于点 N，将线段A'N向左平移m个单位长度得到线段AM，则点 M 为甲储物间的位置，点N 为乙储物间的位置，此时工作人员所走的路程最短. 【解析】【分析】大门沿道路方向平移至点A，平移距离等于两个储物点之间的距离，连接A和车间两点，和道路相交的点就是乙储物点。根据两储物点的距离是固定的，再确定甲储物点的位置即可. 13．【答案】（1）2 （2） 【解析】【解答】解：解： (1)∵ E是AB边的中点， F是AC边的中点， ∴ EF为△ABC的中位线， ∵BC=4， (2)延长FC到P， 使FC= PC， 连接EP交BC于D， 连接ED、FD， 此时ED+FD最小， 即△EDF的周长最小， ∵EF为△ABC的中位线， ∴EF∥BC， ∵∠C=90°， ∴∠EFC=90°， FC = PC = ∵在Rt△EFP中， EP = ∴△EDF的周长为：EF+FD+ED=2+ED 故答案为：2； 【分析】(1)根据E是AB边的中点，F是AC边的中点可以得到EF为三角形的中位线，根据中位线定理求得EF的长即可； (2)根据对称点的性质， 延长FC到P， 使FC= PC， 连接EP交BC于D， 连接ED、FD， 此时ED+FD最小，即△EDF的周长最小，求出EP长，即可求出答案. 14．【答案】解：沿AC－CD－DB路线走是最短的路线如图（1）所示 证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT， ∵A、E关于ON对称， ∴AC＝EC， 同理BD＝FD，FR＝BR，AT＝ET， ∴AC＋CD＋DB＝EC＋CD＋FD＝EF， AT＋TR＋BR＝ET＋TR＋FR， ∵ET＋TR＋FR＞EF， ∴AC＋CD＋DB＜AT＋TR＋BR， 即沿AC－CD－DB路线走是最短的路线． 学科网（北京）股份有限公司 $