第三章☆问题解决活动：最短距离课件2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第三章 图形的平移与旋转 问题解决活动：最短距离 学习目标： 。 1.经历发现问题、提出问题的过程，在分析问题、解决问题的过程中发展学生的几何直观、推理能力和应用意识。 2.能利用平移的相关知识将陌生问题与熟悉的问题场景建立联系，渗透转化的数学思想方法，经历理解问题、拟订计划、实施计划与回顾反思的过程，增强模型观念. 3.在解决实际问题的过程中，增强学习数学的自信心,培养敢于尝试的精神. 1.在公路l两侧有两村庄，现要在公路l旁修建一所候车亭，要使候车亭到两村庄的距离之和最短，试确定候车亭P的位置。 A B P ★思考：本题运用了 . 两点之间，线段最短. l 复习回顾： 3 B 将军饮马问题一（ ）（解题思路： ） 2.如图，将军在图中B处，现要带马去河边喝水，之后返回军营A处，问：将军怎么走能使得路程最短？ A B A B' P 作法： （1）作点B关于直线 MN 的对称点 B' （2）连结B'A，交MN于点 P； 所以 点P就是所求的点． M N 结论： P点即为饮马处， PA+PB最小值为AB' 依据：两点之间，线段最短。 转化成数学问题：如图：已知 直线 和 侧的两个___点A、B．在MN上找一动点P,使 最小． 连接BP, N A B P B´ P´ M 问题分析 作点B关于直线的对称点B´, 连接B´A， 则PB´=PB， 交MN于点P, 在直线MN上任意取一点P´ 连接AP´,BP´,B´P´, 则BP´=B´P´， 则PA+ PB= 则AP´+BP´= PA+ PB ´= AB’ AP´+ B’P´ △BA´P´中，A ´B < AP´+B´P´， ∴ AP+BP < AP´+B´P´， 即AP+BP最小． 活动1 ：如图1，居民区和工厂分别在一条城铁线路的南、北两侧，现要沿着城铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工厂上班。已知该地下通道长度为am，那么地下通道的两个出入口应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短？请画出这条最短路线并说明理由（不考虑地面到地下通道地面的高度)。 图1 合作探究 上述问题可以抽象成怎样的数学问题？试着写一写、画一画。 理解问题 （1）将实际问题中的图形转化为几何示意图，并标注相应的字母和数据（如图2）； A 图2 E F B a m 理解问题 上述问题可以抽象成怎样的数学问题？试着写一写、画一画。 （2）理解由点A到点E再到点F最后到达点B的线路变化情况， 思考：其中哪些点是确定的点？哪些点是动态变化的点？变化中的不变量是什么？ A 图2 E F B a m 拟订计划 A 图3 P B （1）你以前遇到过类似的问题吗？（学生各抒己见） 【情况一】如图3，求A，B两点间的最短距离。 A 图4 P B （1）你以前遇到过类似的问题吗？（同学们各抒己见） 【情况二】如图4，在直线上找一点P，使得PA＋PB的和最小。 拟订计划 （2）解决这个问题最大的困难是什么？ 如图5，将问题转化为求AE＋EF＋FB的最小值，因为线段EF的长度为am且位置是动态的，所以如何确定线段EF的位置是最大的困难。 学生先独立思考，再分小组讨论，最后由小组代表发言交流。 A 图5 E F B am 拟订计划 （3）地下通道将居民区到工厂的路从中间分成了两段，你能设法将居民区、通道或工厂“移动”位置，让前后两段路连起来吗？ 拟订计划 （3）地下通道将居民区到工厂的路从中间分成了两段，你能设法将居民区、通道或工厂“移动”位置，让前后两段路连起来吗？ 地下通道EF是必经路段，可以考虑先走这一段，即将点A向右平移 am得到点 A′，再将问题转化为求点A′与点B之间的最短距离（将点B向左平移am得到点 B′ 亦可）。 拟订计划 （1）写出你的解决方案。 （2）说明你的方案的合理性。 （3）四人小组讨论方案，并派代表讲解，最终对被研究的问题作出决策。 实施计划 解决方案1 如图6所示。 作法：①过点A作直线m平行于直线l； ②以点A为圆心，线段EF的长为半径作圆弧，交直线m于点A′； ③连接A′B，交直线l 于点F′； ④以点F′为圆心，线段EF的长为半径作圆弧，交直线l于点E′； ⑤连接AE′，则A—E′—F′—B即为所求的最短路线。 实施计划 F′ A′ A 图6 E F B l E′ m 证明：假设E，F是异于E′，F′的点，如图7，连接A′F。 由平移性质，得AA′＝EF＝E′F′＝a，AE＝A′F，AE′＝A′F′。 所以，AE′＋E′F′＋F′B＝A′F′＋a＋F′B＝A′B＋a≤A′F＋FB＋a＝AE＋EF＋FB。 即如图7所画出的路线是最短的，此时地下通道的两个出入口位置是确定的。 实施计划 F′ A′ A 图7 E F B l E′ m 解决方案2 将点B向左平移am，也可以解决问题，请同学们独立完成。 实施计划 通过解决上述问题，你获得了哪些经验？你认为解决这类问题的关键是什么？ 回顾反思 根据图8，自己编写一个实际问题，求AE＋EF＋FC的最短路线。 回顾反思 A 图7 E F C a 如图1，已知直线m∥n，在m，n上分别找一点M，N，使MN⊥m， 求 AM＋MN＋NB 的最小值，. 当堂达标 【问题解决】 第一步：如图 2，将点 A 沿 MN 的方向向下平移至点 A′，平移距 离为 MN 的长度， 第二步：如图 2，连接 AA′，A′N，则四边形 AA′NM 为平行四边形， 所以 AM＝A′N，则 AM＋MN＋NB＝MN＋A′N＋NB≥MN＋A′B， 第三步：如图 3，当且仅当点 A′，N，B 三点共线时，AM＋MN＋ NB 取得最小值. 谢谢！再见！ $