4.2提取公因式（1)-【导学练评】2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学导学案围绕北师大版八年级下册“提取公因式”展开，核心知识点包括因式分解概念、公因式确定及提公因式法。课堂导入通过简便计算、图形面积两种表示法，建立整式乘法与因式分解的联系，搭建逆向思维学习支架。 资料特色在于分层设计（基础达标、能力提升、拓展迁移），结合学生错误解法辨析培养推理意识，融入实际问题（如长方形面积、代数式求值）发展抽象能力和模型意识，帮助学生掌握方法，提升运算能力与应用意识。

4.2提取公因式（1)-【导学练评】北师大版数学八年级下册 学习目标： 1.理解因式分解的概念及它与整式乘法的关系，学会确定多项式的公因式并会用提公因式法分解因式. 2. 培养学生观察、分析、归纳的能力及逆向思维能力，并向学生渗透类比、化归、整体等数学思想方法． 3.通过互助交流、生生互动,使学生形成自主学习、合作学习的良好习惯． 学习重点： 能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来。 学习难点： 让学生识别多项式的公因式。 1、因式分解的概念 。 2、整式乘法与分解因式之间的关系是 。 3、简便计算 4、 如图：两个长和宽分别为a和m，b和m的长方形，合并成一个较大的长方形，请用两种方法表示新长方形的面积。 一、认识公因式 1、认真观察等式两边各有什么特点？ 多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 x+4x呢？多项式mb +nb–b呢？ 【强调】多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2、 怎样确定多项式的公因式？ 定系数（最大公因数）；定字母（相同字母）；定指数（最低次幂） 例如：2x–6x 的公因式是2x 1．练一练 ① 4a + 2b 的公因式是　 　. ② ab+ac+ad 的公因式是　 　. ③3x + 9x 的公因式是　 　. ④2x + 6x 的公因式是 　 　. ⑤ 7（a–3)–b（a–3) 的公因式是　 　. 二、提取公因式 2．① 4a + 2b 提取公因式是 　 　. ② ab+ac+ad 提取公因式是 　 　. ③3x + 9x 提取公因式是 　 　. ④2x + 6x提取公因式是 　 　. ⑤ 7（a–3)–b（a–3) 提取公因式是　 　. 【强调】如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式 乘积 的形式， 这种分解因式的方法叫做提公因式法。 例1 3．将下列各式分解因式： （1） （2） （3） （4） 注意：当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。注意：多项式第一项系数为负数时，通常提出“-”，使括号里面第一项为为正数，其他各项注意符号的改变。 例题2 4．把下列多项式分解因式： （1）12xy+18xy； （2）-x+xy-xz；（3）2x+6x+2x 现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：你认为他们的解法正确吗？试说明理由 （1）甲同学： 解：12xy+18xy=6xy（2x+3y) （2）乙同学： 解：-x+xy-xz =-x（x-y+z) （3）丙同学： 解：2x+6x+2x=2x（x+3x+1) 一、基础达标1： 5．6ab与8ab的公因式是（　　) A．ab B．6ab C．2ab D．24ab 6．下列各个多项式的各项中，有公因式的是（　　) A．x－9y B．x－3x＋5 C．a＋b D．ab－ab＋ab 7．多项式9xy－36xy＋3xy提取公因式　 　 后，另一个因式是　 　． 8．分解因式：x2-xy=　 　 9．下列多项式中，能用提取公因式法分解因式的是（　　) A．x－y B．x＋2x C．x＋y D．x－xy＋y 10．用提公因式法将下列各式因式分解. （1）ax-ay； （2）6xyz-3xz； （3）-xz+xy； （4）36aby-12abx+6ab 二、能力提升1： 11．下列各组式子中，没有公因式的是（　　） A．-a2+ab与ab2-a2b B．mx+y与x+y C．（a+b）2与-a-b D．5m（x-y）与y-x 12．边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为（　　) A．15 B．30 C．60 D．78 13．把多项式-3x-6x因式分解，结果为（　　) A．-3x（x＋2) B．-3（x2＋2x) C．-3x（x2＋2) D．3（-x2-2x) 三、拓展迁移1： 14．分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1） =（1+x)[1+x+x（x+1)] =（1+x)（1+x)=（1+x). （1）上述因式分解的方法是　 　，共应用了　 　次； （2）若分解因式 1+x+x（x+1)+x（x+1)+x（x+1)，则需应用上述方法 　 　次，结果是　 　； （3）分解因式 1+x+x（x+1)+x（x+1)+⋯+x（x+1)（n 为正整数）的结果是 　 　 ． 1、公因式的定义： 多项式各项都含有相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2、公因式的找法： （1)定系数：取各项系数的最大公约数； （2)定字母及指数：取各项相同字母的最低次幂 3、提公因式法的定义： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。 四、基础达标2： 15． 将 5x（a+b)−y（b+a )用提公因式法分解因式，应提取的公因式是 （　　）   A．5x−y B．5b+a C．a+b D．5x+y 16． 若 mn=−2，m−n=3，则代数式 m2n−mn2 的值是（　　)    A．−6 B．−5 C．1 D．6 17． 分解因式 b（x−2)+b（2−x），正确的结果是 （　　)   A．（x−2)（b+b) B．b（x−2)（b+1) C．（x−2)（b−b) D．b（x−2)（b−1) 18． 多项式 xy（a−b)−xy（b−a)+y（a−b )提公因式后，另一个因式为（   ) A．x−x+1 B．x+x+1 C．x−x−1 D．x+x−1 19．把下列各式分解因式： （1） （2） 五、能力提升2： 20．已知ab=7，a+b=6，求多项式的值 21．已知a+b=5，ab=3，求ab+ab的值. 六、拓展迁移2： 22．已知 x，y 满足：（x+y）=5，（x−y） =41；求 xy+xy的值． 23．若x-3x-4=1，求2029-2x+6x的值. 24．已知x，y都是自然数，且有x（x﹣y)﹣y（y﹣x)=12，求x、y的值. 答案解析部分 1．【答案】2；a；3x；2x2；(a-3) 【解析】【解答】解：① 4a + 2b 的公因式是2； ② ab+ac+ad 的公因式是a. ③3x + 9x 的公因式是3x. ④2x + 6x 的公因式是 2x2； ⑤ 7（a–3)–b（a–3) 的公因式是(a-3)； 故答案为：2；a；3x；2x2；(a-3). 【分析】根据公因式的定义“一个多项式中每一项都含有的相同因式是公因式”解答即可. 2．【答案】2(2a+b)；a(b+c+d)；3x(x+3)；2x2(1+3x)；(a-3)(7-b) 【解析】【解答】解：① 4a + 2b 提取公因式是2(2a+b)； ② ab+ac+ad 提取公因式是a(b+c+d). ③3x + 9x 提取公因式是3x(x+3). ④2x + 6x 提取公因式是 2x2(1+3x)； ⑤ 7（a–3)–b（a–3) 提取公因式是(a-3)(7-b)； 故答案为：2(2a+b)；a(b+c+d)；3x(x+3)； 2x2(1+3x)；(a-3)(7-b). 【分析】利用提取公因式法分解因式即可. 3．【答案】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【解析】【分析】（1）提取公因式2m，然后分解因式即可； （2）提取公因式7p，然后分解因式即可； （3）提取公因式ab，然后分解因式即可； （4）提取公因式-4x，然后分解因式即可. 4．【答案】（1）不正确，系数的最大公因数是6； （2）不正确，提取“-”时，第二、三项未变号； （3）不正确，提取公因式2x，另一多项式的项数和原多项式的项数相同. 【解析】【分析】（1）根据提取最大公式式解答即可； （2）提取公因式-x，进入括号的各项都变号，据此解答即可； （3）提取公因式2x后，另一多项式的项数和原多项式的项数相同，据此解答即可. 5．【答案】C 【解析】【解答】解： 6ab与8ab的公因式是2ab， 故答案为：C. 【分析】根据最大公因数的确定“数字的最大公约数，相同字母的最低次幂”解答即可. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：A：没有公因式； B：没有公因式； C：没有公因式； D：有公因式ab， 故答案为：D. 【分析】根据公因式的定义“一个多项式中每一项都含有的相同因式是公因式”解答即可. 7．【答案】3xy； 【解析】【解答】解： 9xy－36xy＋3xy=3xy(3x2-12y2+1)， ∴提取的公因式为3xy，另一个因式是； 故答案为：3xy；. 【分析】根据提取公因式3xy，进行因式分解解答即可. 8．【答案】x(x-y) 【解析】【解答】解：x2-xy=x(x-y) 【分析】观察此多项式各项都含有公因式x，因此利用提取公因式法分解可。 9．【答案】B 【解析】【解答】解：A：没有公因式，不能提取公因式法分解因式 ； B：有公因式x，能 提取公因式法分解因式 ； C：没有公因式， 不能提取公因式法分解因式 ； D：没有公因式， 不能提取公因式法分解因式 ； 故答案为：B. 【分析】根据提取公因式的定义“将多项式中各项的公因式提取到括号外，转化为因式乘积的形式”解答即可. 10．【答案】（1）解：ax-ay=a(x-y) （2）解：6xyz-3xz=3xz(2y-z) （3）解：-xz+xy=-x(z-xy) （4）解：36aby-12abx+6ab=6ab(6y-2x+1) 【解析】【分析】（1）利用提取公因式a分解因式即可； （2）利用提取公因式3xz分解因式即可； （3）利用提取公因式-x3分解因式即可； （4）利用提取公因式6ab分解因式即可. 11．【答案】B 【解析】【解答】解：A、∵-a2+ab=a（b-a）与ab2-a2b=ab（b-a）的公因式是a（b-a），∴A不符合题意； B、∵mx+y与x+y没有公因式，∴B符合题意； C、∵（a+b）2与-a-b=-（a+b）的公因式是（a+b），∴C不符合题意； D、∵5m（x-y）与y-x=-（x-y）的公因式是（x-y），∴D不符合题意； 故答案为：B. 【分析】先分别求出各选项中的公因式，再求解即可. 12．【答案】D 【解析】【解答】解：∵ 边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6， ∴2(a+b)=10，ab=6，即a+b=5， ∴ a3b+ab3 =ab(a2+b2)=ab[(a+b)2-2ab]=6×(52-2×6)=78， 故答案为：D. 【分析】先根据长方形的周长和面积得到ab=6，a+b=5，然后把代数式化为ab[(a+b)2-2ab]，然后整体代入即可. 13．【答案】A 【解析】【解答】解： -3x-6x=-3x(x+2)， 故答案为：A. 【分析】利用提取公因式-3x分解因式即可. 14．【答案】（1）提取公因式；2 （2）3； （3） 【解析】【解答】解：（1） 因式分解的方法是提取公因式，共用了2次， 故答案为：提取公因式；2. （2） 1+x+x（x+1)+x（x+1)+x（x+1) =(x+1)[1+x+(x+1)+x(1+x)2]=(x+1)2[1+x+x(1+x)]=(x+1)3(1+x)=(1+x)4， 应用上述方法3次，结果为(1+x)4， 故答案为：3；； （3）根据（1）（2）的结果可得 1+x+x（x+1)+x（x+1)+⋯+x（x+1) =， 故答案为：. 【分析】根据提取公因式因式分解解答即可. 15．【答案】C 【解析】【解答】解： 5x（a+b)−y（b+a )=(a+b)(5x-y)， ∴提取的公因式为(a+b)， 故答案为：C. 【分析】根据提取公因式分解因式解答即可. 16．【答案】A 【解析】【解答】解：m2n−mn2=mn(m-n)=-2×3=-6， 故答案为：A. 【分析】先提取公因式分解因式，然后整体代入解答即可. 17．【答案】D 【解析】【解答】解： b（x−2)+b（2−x）=b(x-2)(b-1)， 故答案为：D. 【分析】利用提取公因式分解因式解答即可. 18．【答案】B 【解析】【解答】解： xy（a−b)−xy（b−a)+y（a−b ) =y(a-b)(x2+x+1)， ∴另一因式为x2+x+1， 故答案为：B. 【分析】根据提取公因式分解因式解答即可. 19．【答案】（1）解： （2）解： 【解析】【分析】（1）提取公因式-a因式分解即可； （2）提取公因式-2ab分解因式即可. 20．【答案】解：=ab(a+b)=7×6=42. 【解析】【分析】先因式分解，然后整体代入即可解答. 21．【答案】解：ab+ab=ab(a+b)=3×5=15 【解析】【分析】先提取公因式ab因式分解，然后整体代入解答即可. 22．【答案】解：由(x+y)=5 得：x+2xy+y=5． 由（ x−y）=41 得：x−2xy+y=41． 解得：x+y=23；xy=−9， xy+xy=xy(x+y）=−9×23=−207 【解析】【分析】先根据完全平方公式的变形求出x+y=23；xy=−9，然后提取公因式xy分解因式，然后整体代入解答即可. 23．【答案】解：原式=2029-2(x-3x) =2029-2×5 =2019. 【解析】【分析】先提取公因式得到2029-2(x-3x)，然后整体代入解答即可. 24．【答案】解：x(x﹣y)﹣y(y﹣x)=(x﹣y)(x+y)； 因为x，y都是自然数，又12=1×12=2×6=3×4； 经验证(4﹣2)×(4+2)=2×6符合条件； 所以x=4，y=2. 【解析】【分析】先把等式左边因式分解，然后根据12的因数可得12=1×12=2×6=3×4；再根据 x，y都是自然数求出x和y的值解答即可. 学科网（北京）股份有限公司 $