专题02 数列求和专项突破（裂项相消、错位相减、分组求和、不等式放缩）（5大题型40题）（期中专项训练）高二数学下学期人教A版

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02数列求和专项突破 (裂项相消、错位相减、分组求和、不等式放缩) 题型归纳·内容导航 题型1裂项相消求和（重点） 题型4数列不等式与参数问题（重点） 题型2错位相减求和（重点） 题型5不等式放缩问题（难点） 题型3分组求和（重点） 题型通关·靶向提分 题型一裂项相消求和（共8小题）】 1.(24-25高二下.海南省直辖县级单位·期中)已知正项数列{an}是等差数列，前n项和为S,满足首项 与公差d相等，且a1+1,a2,a成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式： (2)求数列 的前n项和T, (24-25高二下广东惠州期中)已知等差数列an}的前n项和为Sn,且满足a,=16,S6=51. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列 的前n项和T,: a,an) 3.(24-25高二下广东汕头期中)已知数列a}为等差数列，数列{b}为正项等比数列，且满足a1=b,=1, a2=b2+1,a5=b4+1. (1)求数列{a}和{bn}的通项公式； 2设c,=+h,求数列c,}的前2n项和S a an2 (24-25高二下辽宁大连期中)己知数列(an}的前项和Sn满足VSn=√Sn1+2,（n≥2，n∈N,且 1/9 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4=4. (1)求数列an}的通项公式a; 2)记6=1 ，求数列{b}的前项和工， a an+ 5.(24-25高二下.浙江杭州期中)数列(an}满足a2=5,a+1=2am-1. (1)证明：数列{a。-1}是等比数列； 2若=8，证明：数列b,的前硕和S,<3 aa 6.(24-25高二下广东江门期中)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a,=7,S,=15. (1)求数列{a}的通项公式： (2)求数列{an}的前n项和Sn,并求当n为何值时，数列{an}前n和Sn最大，求其最大值； 3)若数列(b,}的通项公式b,=1，求证： 11,1 +…+,1<1 bb2 b3b3 bba bb 7.(24-25高二下.四川绵阳期中)己知数列{an},若a1=2,且an1=3an+2. (1)证明数列{an+1}是等比数列，并求出{an}的通项公式： 2若b=0,+D,且数列 1 3” 的前n项和为Sn,求Sn; b.b (3)若cn= 2(an+1 ,且数列c的前项和为，求证：日≤T<2 3 1 anan 8 8.(24-25高二下江西上饶期中)己知{a}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn,a,=1,且 S+a,S+a,S4+a4成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式： an,n=2k-1 (2)设bn= (3n+5 a ,n=2KneN，求数列6，的前2n项和7n (n-(n+ 题型二错位相减求和（共9小题） 9.2425高二下贵州费阳期)已知数列a,的前%项和为，4分，当：≥2时，S-反9可 2/9 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求an: ，求数列的前刀项和为工 21设6-3” 10.(24-25高二下…云南-期中)己知数列(a}满足a,=2,且a1=3an-2. (1)求证：数列an-1为等比数列，并求通项公式a; (2)设bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn. 11.(24-25高二下广西来宾期中)在数列an}中，a1=1,且满足a1=2an+1,数列bn}的前项和为S ,且Sn=n2(neN) (1)求{a}和b}的通项公式； (2)令cm=(an+1)bn,记{cn}的前n项和为Tn,求T,. 12.(24-25高二下.四川成都期中)已知数列 11 是以公比为3，首项为3的等比数列，且a,=1. antl an (1)求 1 的通项公式； antl an (2)求出{an}的通项公式： (3)设bn=- 。十2数列b的面n项和为S,若不等式2S,>元”十对任意的nN恒成立，求实数入的取 值范围. 13.(24-25高二下广东广州期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,3an=2Sn+2nn∈N). (1)证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的前n项和Sn: (2)设bn=l0g;a2m1+1,求数列 b。的前n项和T· a,+1 14.（24-25高二下.海南海口·期中)已知等差数列{an}满足a=5,a4=2a2+1.数列{bn}的首项b=2,前 n项和为Sn且满足bn1=2Sn+2neN): (1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式： 3/9 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2令c,=a,求数列{c,的前项和工. 2 15.(24-25高二下山东淄博·期中)己知数列{a}为等差数列，a2=3,a4=3a,数列b,的前n项和为 Sn,且满足2Sn=3b.-1. (1)求{a.}和{bn的通项公式： (2)若c.=(a,+1b。，数列{cn的前n项和为Tn,且Tn-n3”<(-1)”·m对n∈N恒成立，求实数m的取值范 围 24-25高二下辽宁沈阳期中)设S,是数列Q的前n项和，若a三-7,3S,+2a+1=0, (1)求数列{an}的通项公式： 2设，=1og1a,Z是数列a,b的前n项和，若对任意的meN,元≤1-97+2≤4恒成立，其中、u 2 3n+2 是实数，求山一入的最小值。 17.(24-25高二下.四川广元·期中)若数列{P}满足p1=p,2，则称数列{P}为“平方递推数列.已知数 列{an}中，a1=7,点(an,a)在函数f(x)=x2+6x+6的图象上，其中n为正整数. (1)证明：数列{a,+3是“平方递推数列”； (2)设b,=(2n-1)1gan+3),数列{bn}的前n项和为Sn ①求Sn; ②若S,。+13-(n-141≥lga,+3)恒成立，求实数元的最大值. 题型三分组求和（共8小题） 18.(24-25高二下北京期中)己知数列{an}的前n项和S,=n2-4n,其中n∈N. (1)求数列{an}的通项公式： (2)求使不等式Sn>45成立的的最小值； (3)设b,=2+n,求数列bn}的前n项和Tn 19.（24-25高二下·浙江·期中)己知等差数列{an}的前项和为Sn,数列{bn}为等比数列，且满足 b=31=3,b2=S2+6,b3=S3+21. 4/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求{an}和b}的通项公式： (2)设cn=bn+ 又，求数列c}的前项和x. 20.(24-25高二下·内蒙古呼和浩特期中)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a=5,S,=a2s.数列{b,}满 足bn1=2bn且b2+b=6. (1)分别求出数列{an}和{b.}的通项公式； (2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和T =(1+3+5+7+…+2n-1+2°+2+22+23+…+2m-） -n1+2n-1-2” 1-2 21.(24-25高二下.辽宁期中)己知等差数列{an}前n项和为S,（neN,),数列{b}是等比数列，a1=3, b=1,b2+a2=8,3a1-4b2=3a5 (1)求数列{an}和b}的通项公式； bn,n为奇数 (2)若cn= ,n为偶数’ 设数列{cn}的前n项和为Tn,求Tn S 22.(24-25高二下辽宁大连期中)已知{an}为等差数列，{b,}为等比数列，a=b=1,a4=2(a3-a)， b=4b4-b3) (1)求{an}和b}的通项公式： （3a,-2)b,n为奇数 (2)对neN，设cn= dan2 ，求数列cn}的前n项和. aL,n为偶数。 bad 23.(24-25高二下.浙江杭州期中)公差不为0的等差数列{a}满足：a,=1,且a1,a2,a成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； 2求数列asin2) 元an 的前n项和， 24. (24-25高二下山西太原期中)己知数列{an}的前n项积为Pn,且Pn=1-a,neN,0<an<1: (1)证明： 是等差数列； 5/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2m+a,n为偶数 (2)设bn={1 ,n为奇数 ，求数列{bn}的前n项和Sn; 3)若对于任意n∈N,(a,+1)(a2+1小…a,+1)≥k(n+1恒成立，求实数k的最大值. 25.(24-25高二下.广东广州期中)已知数列{an}满足an1-a,=4n+1(n∈N),且4=1，数列b,}满足 nb-(n+1)b =n2+n(neN),b=1. (1)求数列an}的通项公式： (2)证明 为等差数列； n B喏C=-4+(aN),求数列c,的前n项和S anan 题型四数列不等式与参数问题（共10小题） 26.(24-25高二下.山东日照.期中)设数列{a}满足2a。=a1+a-(n≥2，neN),数列{b,}是公比大于0 的等比数列.已知a,=1,b,=4,b=2(a2+a,b是a2-1和a4+1的等比中项. (1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式； 数列©的前顶和为L,若对任意的neN，不等式-3，<a-20恒 围 27.(24-25高二下黑龙江齐齐哈尔.期中)记数列(an}的前n项和为Sn,己知a,=1,an1-Sn=1 (1)求{an}的通项公式. (2)若数列{bn}满足bn=nan,其前n项和为Tn· (i)求Tn; (i)若Tn≤2b,-4n-元对任意n∈N恒成立，求实数元的取值范围. 28.(24-25高二下.四川遂宁·期中)已知数列{a,}的前n项和为S,a=2,S1=2S,+21,n∈N. 1)求证：数列}是等差数列： a设6，-是，的前n项和为工： 6/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①求T; ②若对任意的正整数n,不等式6-T<入·2"恒成立，求实数1的取值范围. 29.(24-25高二下.北京期中)在数列{an}中，a,=2,an+1=an+2”. (1)求{an}的通项公式； (2)若数列{b.}满足对任意neN,2bn1=b,+bn+2,且b=3，b=a3+1,设其前n项和为Sn· (i)设数列 2 S 的前n项和为工，求证：T,< (ⅱ)若对任意n∈N,bn-5≤元an恒成立，写出实数1的最小值，（结论不要求证明） 30.(24-25高二下辽宁大连期中)已知数列{an}的前项和S。=n2+n. (1)求{an}的通项公式； 1 (2)设bn= a an -,,为数列bn}的前n项和，若对任意的n∈N,不等式Tn<n+5恒成立，求实数2的取值 范围. 1 31.(2425高二下广东：期中)已知数列(a,}的前项和为S,且S,+30,=1neN) (1)求数列{an}的通项公式： 1+…+1 1 2)设b=10g4-SneN，Tb6,千b,b.一bb，求使≥03成产 成立的最小的正整数的值. 32。(24-25高二下辽宁大连期中)已知数列{a,}满足4，=2，a1=2a,+32+ (1)求数列{an}的通项公式： 2设，=+10，记数列b,的前n项和为S 3n-2 ①求Sn; ②若n∈N,S,<m·3m成立，求m的取值范围. 33.(24-25高二下广东广州期中)已知数列{an}满足a=1,且an1=an+1;数列{bn}的前n项和为S, 满足2Sn+3=3bn· (1)求{an}与{b}的通项公式： 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2设数列a,6,的前项和为工，若对任意的正整数，不涂式1<入9恒成立。求实数的取值范 围 34。(24-25高二下辽宁期中)已知数列a,满足a1=neN),a=1. an+1 (1)证明：数列 为等差数列，并求数列an}的通项公式； (2)若记b为满足不等式 ≤ak< n∈N)的正整数k的个数，求数列 6 的前n项和Sn; 2 2 a. (3)在(2)的条件下，cn= -1” +1,若不等式22-3<c。<入对n∈N都成立，求实数2的取值范围. n2"+1-S 1 35.(24-25高二下.四川成都期中)己知数列{a}满足41=1，an+1=1 4a,’其中n∈N. (1)设b. 2a,一，求证：数列b,}是等差数列 (2)在(1)的条件下，求数 b, 3+1 的前n项和Sn; (3)在(1)的条件下，若c。=6”+(-1)-·2·2,是否存在实数2，使得对任意的n∈N,都有c1>cn,若 存在，求出入的取值范围；若不存在，说明理由， 题型五不等式放缩问题（共5小题） 36.（24-25高二下辽宁.期中)己知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a+1=3(Sn+l). (1)求数列{an}的通项公式： (2)令bn=nan,求{bn}的前n项和Tm; B)冷令c,=0,-1,证明：1+上+…+L8 18 CI C2 C 9 37.(24-25高二下-黑龙江期中)已知数列{a}的首项a=5,且满足a1=3a,-2n∈N） (1)求数列{an}的通项公式和前n项和工n; 1 (2)记b,=l0gan-1),求数列 的前项和S。,并证明S。<4 3 8/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 38.（24-25高二下.四川成都.期中)已知数列{an}满足：2-a,+2-2a2+…+an=2+1-n-2,正项数列 11 {b}满足： +2n+3,且6=2 (1)求数列{an}、{b}的通项公式； n+ (-l)2·an,n为奇数 (2)若cn= an 求数列{cn}的前2n项的和； 2,n为偶数 32 B记d,=a,工为数列的前项积，证明：d了+巧+++<d青 39.(2026海南省直辖县级单位模拟预测)记正项数列{a}的前n项和为S. 1 (1)若an=2n,求 11+1++ (2)若a42-a1≥a-an,且Sn≤1，证明：a≤an e诺a=l-aa,=an+同，证班8<5。< 8 40.(2026天津.一模)己知数列{an}满足a=1,am1= log2an,n为奇数 2,+2,n为偶数 (1)证明：求a2,a的值，并证明数列a2a-}为等比数列： (2设b,=04,求数列{b,}的前项和T; 2 (3)设cm= 1+ ,求证：G+G2+G++c,<n+1-1 8 (a2m+4 n+11 9/9专题02 数列求和专项突破 （裂项相消、错位相减、分组求和、不等式放缩） 题型1 裂项相消求和（重点） 题型4数列不等式与参数问题（重点） 题型2 错位相减求和（重点） 题型5 不等式放缩问题（难点） 题型3 分组求和（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 裂项相消求和（共8小题） 1．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知正项数列是等差数列，前项和为，满足首项与公差相等，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列 的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据，，成等比数列且列式求解，然后利用等差数列通项公式求解即可. （2）利用等差数列求和公式求出，可得，然后利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，， 由首项与公差相等，且，，成等比数列，所以， 所以，所以，解得， 所以，所以数列的通项公式为； （2）由，有， 所以， 可得 . 2．（24-25高二下·广东惠州·期中）已知等差数列的前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式可得，再由通项公式即可求解； （2）由（1）可知，利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为，，所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以 . 3．（24-25高二下·广东汕头·期中）已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用等差数列等比数列公式即可求解两个数列的通项； （2）利用裂项相消法和等比数列求和公式即可求和. 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 则，解得：， 所以数列的通项公式为； 数列的通项公式. （2）， 数列的前项和． . 4．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知数列的前项和满足，，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式求出，再利用求出； （2）采用裂项相消即可求和. 【详解】（1）因，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，即， 则， 又满足上式，故， 则数列的通项公式为 （2）由（1）知，， 则 5．（24-25高二下·浙江杭州·期中）数列满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)若，证明：数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)构造结合等比数列的定义判断即可； (2)根据（1）可得的通项公式，进而可得的通项公式，根据裂项相消求和证明即可. 【详解】（1）由可得，解得，则. 且，故是以2为首项，2为公比的等比数列，即得证. （2）由（1），故， ， 故 ，即得证. 6．（24-25高二下·广东江门·期中）设为等差数列的前n项和，若. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和，并求当n为何值时，数列前n和最大，求其最大值； (3)若数列的通项公式，求证： 【答案】(1) (2)，，最大值为16 (3)证明见解析 【分析】（1）设等差数列的公差为d，由等差数列前n项和基本量运算得，代入通项公式求解即可. （2）法一：根据等差数列是递减数列，且，即可得为的最大值； 法二：，利用二次函数性质求解最大值即可. （3）先利用裂项相消法求和，然后利用证明即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意得： 所以，解得， 所以； （2）法一：由得，又等差数列的公差， 所以等差数列是递减数列，因为，所以等差数列前4和最大， 此时； 法二：因为， 所以当时，取到最大值. （3） ， 因为，所以，即. 7．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列，若，且． (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求； (3)若，且数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先对变形得到，结合的值确定是等比数列，进而求出. （2）由（1）得出表达式，再对裂项，通过裂项相消求出. （3）同样由（1）得到表达式并裂项，用裂项相消求，根据单调性和范围确定范围. 【详解】（1）因为，所以，又，所以， 所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，则. （2）由（1）可得， 所以 所以 （3）由（1）可得 易知在上单调递增，且恒成立，所以 故得证. 8．（24-25高二下·江西上饶·期中）已知是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，，且，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用等差中项列式求出公比，再求出通项公式作答； （2）由（1）的结论求出，再利用等比数列前项和公式、裂项相消法分组求和作答. 【详解】（1）设正项等比数列的公比为，因为，，成等差数列， 则，即有， 即，因此，，而，解得，又， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，当时，， 当时， ， ， 所以数列的前项和. 题型二 错位相减求和（共9小题） 9．（24-25高二下·贵州贵阳·期中）已知数列的前n项和为，，当时， (1)求； (2)设，求数列的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系及等差数列的定义，结合等差数列的通项公式可得，再计算得到； （2）利用（1）的结论及错位相减法求前n项和. 【详解】（1）当时，，即， 整理得：，即， 当时，， 所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，即. 当时，， 当时，不符合上式，故. （2）由（1）知，所以， 所以，① ，② 由得，. 所以. 10．（24-25高二下·云南·期中）已知数列满足，且． (1)求证：数列为等比数列，并求通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）根据已知递推关系证明为等比数列，进而写通项公式； （2）由（1）得，应用错位相减法、等比数列前n项和公式及分组求和求. 【详解】（1）证明：由题意得，所以， 因为，所以，则， 所以为等比数列，公比为3，首项为1， 所以，即． （2），记，前n项和为， ， ， ， 所以， 综上，． 11．（24-25高二下·广西来宾·期中）在数列中，，且满足，数列的前项和为，且． (1)求和的通项公式； (2)令，记的前项和为，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）等式两边加1，构造出等比数列，利用与之间的关系求解； （2）由（1）得出，再利用错位相减法及公式法求和即可． 【详解】（1），， 是首项为2，公比为2的等比数列，即； 由，当时，， 当时，，也满足， ， （2）， ， ① ②， ①②可得 即， ． 12．（24-25高二下·四川成都·期中）已知数列是以公比为3，首项为3的等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)求出的通项公式； (3)设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)由等比数列的通项公式即可得出的通项公式 (2)由利用累加法求出的通项公式，进而求出的通项公式. (3)由得,利用错位相减法求出,不等式可转化为,利用 的单调性求出最小值即可. 【详解】（1）数列是首项为3，公比为3的等比数列， ， （2）当时， ， 即，，. 又也满足上式， 数列的通项公式为 （3）由（1），可得， ①， ②， 由①-②，得， ， 不等式可化为， 即对任意的恒成立， 令且为递增数列，即转化为. 又，所以， 综上，λ的取值范围是 13．（24-25高二下·广东广州·期中）已知数列的前项和为，． (1)证明：数列为等比数列，并求数列的前项和； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析；； (2) 【分析】（1）根据化简结合等比数列定义证明，再结合等比数列前n项和公式分组求和计算求解； （2）先应用对数运算律化简，再应用错位相减法计算求解. 【详解】（1）数列的前项和为，，， 当时，， 当时，， 所以， 所以， 所以，所以， 所以数列是首项为3，以3为公比的等比数列， 所以，所以， ， 所以； （2）因为， 所以， 设数列的前项和为， ， ， ， ， ， ， 所以. 14．（24-25高二下·海南海口·期中）已知等差数列满足，.数列的首项，前项和为且满足. (1)求数列和数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，计算等差数列的基本量，求出通项公式，再根据数列的项与前项和的关系，作差法求出数列通项并验证，求出数列通项公式. （2）数列是一个等差和一个等比乘积，使用错位相消求和方法，求出前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意得， 由得，联立解得，， 所以数列的通项公式为. 因为① 当时，② ①②可得，， 当时，满足上式， 又，故，故是首项为2，公比为3的等比数列， 所以数列的通项公式. （2）由（1）得 ① ② ①②得：. 化简得：. 15．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足． (1)求{}和{}的通项公式； (2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求解等差数列{}通项公式，只需设参数，d列方程组即可求解，数列{}通过已知前n项和求解通项公式； （2）需要先用错位相减法求得数列{}的前项和为，代入不等式中对分类讨论，转化为最值问题，求出范围即可． 【详解】（1）解：等差数列{}中，设公差为d， 则 数列{}中的前n项和为，且① 当时， 当时，② ②－①得： 故数列{}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以. （2）解：数列{}中，. 则 所以 故 所以 ∵对恒成立． 当为奇数时，， 当为偶数时， 综上：实数的取值范围为． 16．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设是数列的前n项和，若，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，是数列的前n项和，若对任意的，恒成立，其中是实数，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，由题可得，两式相减得，据此可得通项公式； （2）由（1）结合错位相减法可得，则，然后由单调性可得答案. 【详解】（1）当时，，两式相减可得： . 中令，得，注意到 符合上式，所以数列是以为首项，为公比得等比数列． 所以 （2） ，相减得 所以，则 从而恒成立．即 令， 则当为奇数时，随着n增大而减小，当为偶数时，随着n增大而增大， 又注意到，则 所以，从而 17．（24-25高二下·四川广元·期中）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数． (1)证明：数列是“平方递推数列”； (2)设，数列的前项和为 ①求； ②若恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）结合数列新定义，利用完全平方公式直接证明即可； （2）①由（1）数列是“平方递推数列”，即可求得，进而得到，然后利用错位相减法，求解数列的前项和即可；②由①代入不等式，则将不等式转化为恒成立，结合基本不等式即可求出结果. 【详解】（1）由题知，， 即， 当时，， 所以， 所以数列是“平方递推数列”. （2）①由（1）知，数列是“平方递推数列”，且， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 两式相减得， ， 则， 当时，，符合上式， 当时，，符合上式， 所以. ②由①知，， 则， 所以恒成立， 可得恒成立， 即，即， 令，则， 所以， 当且仅当，即时，取等， 所以，即实数的最大值为. 题型三 分组求和（共8小题） 18．（24-25高二下·北京·期中）已知数列的前项和，其中. (1)求数列的通项公式； (2)求使不等式成立的的最小值； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)10 (3) 【分析】（1）利用的关系式即可求得； （2）代入不等式可解得，即的最小值为10； （3）采用分组求和，利用等比和等差数列前项和公式代入计算可得结果. 【详解】（1）当时，可得， 当时，， 显然符合上式， 数列的通项公式为； （2）因为，所以等价于， 解得或（舍）， 又，所以的最小值为10； （3）由（1）可知， 所以 . 即可得. 19．（24-25高二下·浙江·期中）已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，且满足，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设出等差数列公差、等比数列公比，由已知条件列出方程组，求解即得通项公式. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法及等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，数列的等比为， 依题意，，，，， 即且，解得，， 所以和的通项公式分别为，. （2）由（1）得，则，， 因此， 所以. 20．（24-25高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知是等差数列的前项和，.数列满足且. (1)分别求出数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)；； (2). 【分析】（1）数列为等差数列，由已知可求得首项和公差，进而可得数列的通项公式；又，可得数列是公比为2的等比数列，结合已知条件，可求得其首项，进而可得通项公式； （2）由（1）得，利用等差等比数列的求和公式，采用分组求和的方法即可求得数列的前项和. 【详解】（1）因为数列是等差数列，又，即，化简得，解得， 所以； 数列满足，即，所以是公比为2的等比数列， 又，即，所以，解得，所以； （2）由（1）得，， 所以              . 21．（24-25高二下·辽宁·期中）已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由条件结合等差数列通项公式和等比数列通项公式列方程求，由此可得结论； （2）先求，再分别确定为偶数时的通项和为奇数时的通项，再利用分组求和法结合裂项相消法和等比数列求和公式求结论. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由， 得，所以 解得， 所以，， （2）由（1）知，， 因此当为偶数时， 当为奇数时，， 所以 . 22．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知为等差数列，为等比数列，，， (1)求和的通项公式； (2)对，设，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差等比的通项公式即可求解； （2）利用分类讨论奇偶数分别求和，此时奇偶项数分别为或，这样在裂项相消法时只要关注首项和最后一项，但在错位相减法求和时要注意项数根据分类是不同的，最后利用分组求和即可得结论. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为q． 由，，可得． 从而的通项公式为． 由，， 又，可得，解得， 从而的通项公式为． （2）当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 所以当n为奇数时， 令，则， 两式相减得：， 可得： 可得：， 即， 所以， 所以当n为偶数时， 令，则， 两式相减得：， 可得： 可得：， 即， 所以 综上可得：． 23．（24-25高二下·浙江杭州·期中）公差不为0的等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差，等比定义即可解题； （2）利用分类讨论，并项求和，结合等差数列求和公式即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，, 因为，所以可解得，即. （2）因为， 所以， 因为 当为偶数时， ； 当为奇数时， ． 综上所述：. 24．（24-25高二下·山西太原·期中）已知数列的前项积为，且. (1)证明：是等差数列； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意，恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知得，且，进而得到，结合等差数列的定义即可证； （2）由（1）得，讨论的奇偶性，应用分组求和及等差、等比数列的前n项和公式求； （3）由（2）有，不等式化为，作商法研究右侧的单调性，确定参数范围，即可得. 【详解】（1）当，则，故，所以， 由，故，可得， 由，则， 所以是首项为2，公差为1的等差数列； （2）由（1）得，则，故， 所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以； （3）由（2）得，原不等式等价于， 令，， 则， 故，即， 所以在上单调递增，故，即实数的最大值. 25．（24-25高二下·广东广州·期中）已知数列满足，且，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明为等差数列； (3)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）利用累加法结合条件即可求得，验证首项即得通项公式； （2）由已知数列递推式，利用等差数列定义即可证明； （3）先求出的解析式，按照和分类裂项相消求和即可. 【详解】（1）由，可得，，且， 则当时， . 又时也满足上式，故. （2）∵，∴， ∴是公差为1，首项为1的等差数列. （3）由（2）得，即. 当时， 数列的前n项和 . 当时， 数列的前n项和 . 所以，. 题型四 数列不等式与参数问题（共10小题） 26．（24-25高二下·山东日照·期中）设数列满足，数列是公比大于0的等比数列.已知是和的等比中项. (1)求数列和数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据等差数列等比数列基本量的计算可得公差和公比，即可利用等比等差的通项求解， （2）利用错位相减法求解，根据的单调性，将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）由可得数列为等差数列， 设的公差为，的公比为， 由于是和的等比中项，所以， 由题意可得，解得， 所以， 即 （2）由（1）可得， 所以， ， 相减可得， 而，于是为单调递增数列，即， 对任意的，不等式恒成立，得， 解得或， 故的取值范围为或. 27．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）记数列的前项和为，已知 (1)求的通项公式. (2)若数列满足，其前n项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）运用关系式，得到数列是等比数列，再由等比数列的基本量法求出通项即可； （2）（ⅰ）由错位相减法求和即可；（ⅱ）将不等式变形后得恒成立，令，讨论数列的单调性求最小值即可； 【详解】（1），则，两个式子相减，化简得（），即（）， 当时，有，即， 又，所以. 综上，可知是首项，公比为2的等比数列， 故的通项公式为. （2）（ⅰ）由（1）得， 则， 可得， 所以， 所以. （ⅱ）对任意恒成立， 即，整理得恒成立. 令，则， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，即的最小值为， 综上，，即实数的取值范围是. 28．（24-25高二下·四川遂宁·期中）已知数列的前n项和为，，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)设，的前n项和为； ①求； ②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②. 【分析】（1）变形给定的递推公式，利用等差数列定义推理得证. （2）①由（1）求出，进而求出，再利用错位相减法求和；②由①的结论结合已知不等式，分离参数构造新数列，再判断单调性求出最大值即可. 【详解】（1）由，得，即， 所以是公差为1的等差数列. （2）①由（1）及已知得，，则， ，于是， 两边同乘以，得， 两式相减得， ，所以. ②不等式 依题意，对任意的恒成立，令， 则， 因此数列为递减数列，则当时，，则， 所以实数的取值范围是. 29．（24-25高二下·北京·期中）在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足对任意，，且，，设其前项和为． （ⅰ）设数列的前项和为，求证：； （ⅱ）若对任意，恒成立，写出实数的最小值．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）利用累加法计算可得； （2）（ⅰ）依题意可得为等差数列，求出其通项公式，即可求出，由，利用裂项相消法计算可得；（ⅱ）参变分离可得对任意，恒成立，令，利用作差法判断其单调性，即可求出，从而求出的取值范围. 【详解】（1）因为，即， 所以，，…，将这个等式累加， 得， 又，所以， 因为也满足，所以． （2）（ⅰ）因为，所以为等差数列， 设公差为，又，，所以， 所以，则； 所以， 所以 ； （ⅱ）因为对任意，恒成立， 即对任意，恒成立， 所以对任意，恒成立， 令，则， 所以当时，当时， 所以， 所以，所以，则实数的最小值. 30．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知数列的前项和． (1)求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系求出数列的通项公式， （2）由（1）的结论，用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，成立， 所以 （2）由（1）得， 所以， 则， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，； 当时，， 所以当时，取最小值为42，所以， 所以实数的取值范围为. 31．（24-25高二下·广东·期中）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，，求使成立的最小的正整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当可求得的值，当时，由得，两式作差可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可得出数列的通项公式； （2）求出，利用裂项相消法求和可求出，解不等式即可得出正整数的最小值. 【详解】（1）当时，，由得， 当时，由得， 两式相减得，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以． （2）由（1）知， 所以， 所以， 所以 ． 又因为，所以，解得， 故使成立的最小的正整数的值是. 32．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为． ①求； ②若，成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式. （2）①由（1）的结论，利用错位相减法求出前项和；②由①的结论，结合已知分离参数，构造新数列，利用不等式确定最大项即可. 【详解】（1）由，得， 因此数列是以为首项，3为公差的等差数列，， 所以数列的通项公式. （2）①由（1）得，， ， 于是， 则， ， 所以. ②由，，得， 令，不妨设的第项取得最大值， 由，解得，即数列的最大值为， 所以，即的取值范围是. 33．（24-25高二下·广东广州·期中）已知数列满足，且；数列的前n项和为，满足． (1)求与的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立．求实数的取值范围． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）利用等差数列的定义求出数列的通项公式；利用求出数列的通项公式； （2）利用错位相减求和求出，转化为恒成立，设，判断出的单调性可得答案. 【详解】（1）因为，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； 由知，当时，由得， 由得， 当时，， 可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； （2）由（1）， ， ， 两式相减得 ， 所以， 则即恒成立， 即恒成立， 设，则， 当时，，当时，， 所以的最大值为， 所以. 34．（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)若记为满足不等式的正整数的个数，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，，若不等式对都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【分析】（1）由题干等式变形得出，结合等差数列的定义可证得结论成立，进而可求得数列的通项公式； （2）根据解出满足条件的正整数的个数，可得出数列的通项公式，再利用错位相减法可求得的表达式； （3）求出数列的通项公式，对分奇数和偶数两种情况讨论，分析数列的单调性，求出数列最大值和最小值，结合已知条件可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1），即， 又，为等差数列，其首项为，公差为. ，. （2）由得，， ，满足不等式的正整数的个数为， ，， ①， ②， ①②得：， . （3）由已知可得， 当为奇数时，， 因为数列为递增数列，所以当时，取最小值，此时， 当为偶数时，， 因为数列为递减数列，所以当时，取最大值，此时， 所以且，所以，解得. 因此，实数的取值范围为. 35．（24-25高二下·四川成都·期中）已知数列满足，其中． (1)设，求证：数列是等差数列； (2)在（1）的条件下，求数列的前项和； (3)在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在；． 【分析】（1）结合递推关系，证明为常数即可； （2）由错位相减法求和； （3）命题等价成恒成立，转为说明恒成立，对分奇偶讨论，分别求恒成立问题即可. 【详解】（1）证明： ， 数列是首项为2，公差为2的等差数列， （2），， ， ， 得：，其中，是首项， 公比的等比数列的前项和，根据等比数列的前项和公式， 这里的首项，公比，项数为， ， 所以， . （3）存在，理由如下： 则， 若对任意的，都有， 则等价于恒成立， 即恒成立，， 当为偶数时，，则， 当为奇数时，时，则 综上，存在，使得对任意的，都有． 题型五 不等式放缩问题（共5小题） 36．（24-25高二下·辽宁·期中）已知等比数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前n项和； (3)令，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据和关系求得，即可求出公比，再利用条件求出，即可求解通项公式. （2）利用错位相减法求和即可. （3）通过变形得，结合等比数列求和公式及数列的有界性证明即可. 【详解】（1）由，得， 两式相减，得， 即，又是等比数列，故公比， 由，知，则． （2）由题， 则， ， 两式相减，得， 即． （3），由， 得： 则. 37．（24-25高二下·黑龙江·期中）已知数列的首项，且满足． (1)求数列的通项公式和前项和； (2)记，求数列的前项和，并证明． 【答案】(1)；. (2)，证明见解析. 【分析】（1）直接利用关系式的恒等变换和构造法求出数列的通项公式和数列的和； （2）利用对数的运算以及放缩法即可得出结果． 【详解】（1）数列的首项，且满足，整理得， 而，故数列是以4为首项3为公比的等比数列， 所以，故， 所以． 综上，数列的通项公式为，前项和. （2）证明： 由已知及（1）得： ， 所以 ， 所以 ， 由于，所以， 故得证. 38．（24-25高二下·四川成都·期中）已知数列满足：，正项数列满足：，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项的和； (3)记为数列的前项积，证明： 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据得到，时，，经检验，也满足上式，故，累加可得，经检验，也满足上式，又因为是正项数列，故； （2）分组求和，结合错位相减法得到当为偶数时，，当为奇数时：，得到答案； （3）计算出，利用放缩证明出不等式左边，利用证明出不等式右边 【详解】（1）， 当时，，即， ， 等式两边同除以得①， 当时，②， 两式相减有：， ， 经检验，也满足上式，故. 因为， 则当时，， 累加可得：， 且， . 经检验，也满足上式，又因为是正项数列，故. （2）， ， 令，则， 两式相减可以得到：， . 令， 当为偶数时：； 当为奇数时：； 故当为偶数时，， 当为奇数时：， . （3）因为，所以， 证明不等式左边： ， 证明不等式右边： ，得证. 39．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）记正项数列的前n项和为． (1)若，求； (2)若，且，证明： (3)若，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由，求得，结合裂项法求和，即可求解； （2）假设存在，使得，取满足该式的n的最小值，设为k，即，根据题意，求得当，且时，必有，结合反证法，即可得证； （3）根据题意，求得，得到，结合，证得；再由，利用累加法求得，结合裂项法求和，证得，即可得证. 【详解】（1）解：因为，所以，则， 所以． （2）证明：假设存在，使得，取满足该式的n的最小值， 设为k，即，① 由已知得，② 又由①+②得，所以 因为k是满足的n的最小值，若，则， 若，则，即是中最小的项． 当时，有，取整数使得且，此时必有， 这与相矛盾，假设不成立，故． （3）证明：先证： 由，可得， 由，可得， 所以；          再证： 由， 可得，所以． 当时，， 累加得，即． 所以， ． 40．（2026·天津·一模）已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出，即可求出，从而得到，利用错位相减法计算可得； （3）由数列的通项公式可得，利用放缩法即可得到，再利用裂项相消法即可证明. 【详解】（1）当时，可得， 当时，可得， 因为，， 所以 ， 所以数列为首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得， 则， 所以 ， 所以， 则， 所以 ， 即； （3）因为 ， 所以 ，即命题得证. $