精品解析：黑龙江绥化市望奎县东郊乡中学等2025至2026学年度第二学期第二次模拟试题九年级数学

黑龙江绥化市望奎县东郊乡中学等2025至2026学年度第二学期第二次模拟试题九年级数学 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 若，则m的值为（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 无法确定 2. 下列英文字母中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. A B. N C. C D. O 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个选项中，不是正方体展开图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 使式子有意义的的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 6. 下列命题中，其中是真命题的是（ ） A. 等角的余角相等 B. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C. 同位角相等 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 7. 在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，2），将线段AB 绕点A 顺时针旋转180°，则点B 的对应点B′ 的坐标是（ ） A. （2，0） B. （2，-1） C. （2，-2） D. （-2，2） 8. 已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法错误的是（ ） A. 极差是5 B. 众数是8 C. 中位数是9 D. 方差是2.8 9. 某班组织学生去距学校16千米的科技馆参观，一部分同学骑自行车先走，走了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的平均速度是骑车同学的3倍，设骑车同学的平均速度是x千米/时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，已知A、B两地相距20km，甲从A地出发到B地，一段时间后，乙从B地出发到A地，甲、乙两人离A地的距离与甲所用的时间之间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地（ ） A. 8km B. 10km C. 12km D. 14km 12. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF．有以下结论：①②AN＝EN③BE+DF＝EF④当AE＝AF时，，则正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 在一个不透明的口袋中装有6个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机摸出一个球是红球的概率为，则口袋中白球有______个． 14. 分解因式：_____． 15. 若不等式组的解集是，则的取值范围是________． 16. 已知圆锥的高为12，母线长为13，则圆锥的侧面积为________． 17. 已知是方程的根，则的值是 _____． 18. 已知是锐角，，则的值为_____． 19. 如图， 是正六边形的外接圆，是劣弧上一点，则的度数是_________． 20. 周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有______种． 21. 如图，，点在射线上，且，过点作交射线于点，在射线上截取，使得；过点作交射线于点，在射线上截取，使得；按照此规律进行下去，则的长为______． 22. 如图，在矩形 中，，，M为的三等分点（），N是从B出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动的动点，点N运动t秒后沿所在直线，将矩形纸片进行翻折，若点B恰好落在边上，则t的值为______． 三、解答题（共54分） 23. 如图，已知，利用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）作的角平分线AD； （2）在的边AC上方作，在射线上截取，连接，直接写出和的关系． 24. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题； （1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度； （2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 25. 某厂租用， 两种型号的货车给零售商运送货物．已知辆型货车和辆 型货车装满货物一次可运货吨；辆型货车和辆 型货车装满货物一次可运货吨．厂家现有吨货物需要配送，计划租用、 两种型号货车 辆一次配送完货物，且型货车至少辆．根据以上信息，解答下列问题： （1）辆型货车和辆 型货车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮助厂家设计完成一次配送完吨货物的租车方案，并写出所有方案； （3）给零售商运送货物过程中，一辆型货车和一辆 型货车同时从相距千米的甲、乙两地出发，沿同一条公路相向而行，其中型货车先以千米／时的速度匀速行驶了千米后与 型货车相遇，再以另一速度继续匀速行驶小时到达乙地， 型货车匀速行驶至甲地，两车到达各自的目的地后停止行驶．如图是型货车和 型货车距甲地的路程（单位：千米）与行驶时间（单位：小时）之间的函数图象． ①求两车相遇后，型货车距甲地的路程与行驶时间之间的函数关系式； ②直接写出当 型货车到达甲地时型货车距乙地的路程． 26. 【探究】 （）已知和都是等边三角形． ①如图，当点在上时，连接 ．请探究和之间的数量关系，并说明理由； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接 ．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （）如图，等边三角形中，，点 在 上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 27. 如图，内接于 ，过点O作交AC于点E，延长OE到点P，使，连接PC并延长，交AB的延长线于点D. （1）求证：； （2）求证：PD是 的切线； （3）若，求AC的长. 28. 如图，抛物线经过三点，交轴于点． （1）求a，b的值； （2）在抛物线对称轴上找一点，使的值最小时，求的面积； （3）点为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江绥化市望奎县东郊乡中学等2025至2026学年度第二学期第二次模拟试题九年级数学 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 若，则m的值为（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的性质计算即可． 【详解】∵， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查绝对值的性质，注意负数的绝对值是正数，正数的绝对值还是正数是解题的关键． 2. 下列英文字母中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. A B. N C. C D. O 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的运算法则和立方根的定义逐一计算选项即可判断对错． 【详解】解：对于选项A： ∵幂的乘方法则为 ， ∴，A错误； 对于选项B： ∵积的乘方法则为 ， ∴，B错误； 对于选项C： ∵ ∴，C正确； 对于选项D： ∵，∴D错误 4. 下列四个选项中，不是正方体展开图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图解答，中间四联方，上下各一个，可以围成正方体． 【详解】正方体共有11种表面展开图， B、C、D能围成正方体； A、不能，折叠后有两个面重合，不能折成正方体． 故选：A． 【点睛】本题考查的是学生的立体思维能力．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形． 5. 使式子有意义的的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】二次根式被开方数必须非负，分式分母不能为0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴，， 解不等式得， 由得， 综上所述，使式子有意义的的取值范围是且． 6. 下列命题中，其中是真命题的是（ ） A. 等角的余角相等 B. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C. 同位角相等 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行线的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、等角的余角相等，真命题，符合题意； B、两边及夹角分别相等的两个三角形全等，故原命题是假命题，不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题，不符合题意； D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题是假命题，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行线的性质，难度不大． 7. 在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，2），将线段AB 绕点A 顺时针旋转180°，则点B 的对应点B′ 的坐标是（ ） A. （2，0） B. （2，-1） C. （2，-2） D. （-2，2） 【答案】C 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据点与点关于点 对称求解即可得． 【详解】解：设点的坐标为， 由题意可知，点与点关于点 对称， ， ， 解得， 即点的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了点坐标与中心对称，正确判断出点与点关于点 对称是解题关键． 8. 已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法错误的是（ ） A. 极差是5 B. 众数是8 C. 中位数是9 D. 方差是2.8 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平均数求出x的值，然后分别根据极差、众数、中位数以及方差的定义求解即可． 【详解】一组数据8，5，x，8，10的平均数是8， ， 解得， 这组数据为：5，8，8，9，10， 极差为10-5=5，故A选项正确，不符合题意； 众数是8，故B选项正确，不符合题意； 中位数是8，故C选项错误，符合题意； 方差=， D选项正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】此题考查了极差、众数、中位数以及方差的定义，熟练掌握并运用平均数、众数、中位数以及极差的概念是解题的关键． 9. 某班组织学生去距学校16千米的科技馆参观，一部分同学骑自行车先走，走了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的平均速度是骑车同学的3倍，设骑车同学的平均速度是x千米/时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】关键描述语：“过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达”；等量关系为：骑自行车同学所用时间−乘车同学所用时间＝． 【详解】解：设骑车学生的平均速度为x 千米/时，则汽车的平均速度为3x 千米/时． 根据题意，列方程得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 10. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点，判断出、、的正负，然后根据、、的正负去判断一次函数和二次函数在坐标系中的位置即可． 【详解】解：由图可知， ，， ∴ 即 ∵二次函数与轴有两个不同的交点 ∴ ∴一次函数经过一、二、三象限 当时， ∴ ∴反比例函数经过一、三象限 故选：A． 【点睛】本题综合考查了一次函数、二次函数、反比例函数的图象与系数的关系．根据二次函数图象求出、、的正负是解决本题的关键． 11. 如图，已知A、B两地相距20km，甲从A地出发到B地，一段时间后，乙从B地出发到A地，甲、乙两人离A地的距离与甲所用的时间之间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地（ ） A. 8km B. 10km C. 12km D. 14km 【答案】B 【解析】 【分析】求得甲、乙两人所对应的函数解析式，从而求得相遇时的时间，从而求解． 【详解】解：设甲的解析式为， 将代入得，，解得，即， 设乙的解析式为， 将，代入得， ，解得，即， 令，解得， 将代入得，， 即他们相遇时距离A地10km． 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是正确求得甲、乙两人所对应的函数解析式． 12. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF．有以下结论：①②AN＝EN③BE+DF＝EF④当AE＝AF时，，则正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据正方形的性质和对顶角的性质找出两组角对应相等，则可证明△AMN∽△BME；②利用①的结果证明△AMB∽△NME利用相似三角形的性质可得∠NAE=∠AEN=45°，则可作出判断；③将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH（SAS），则EF=EH=BE+BH=BE+DF，可作判断；④先证明CE=CF，假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1-x，用含x的代数式表示出AC的长，根据建立方程求解，即可解答． 【详解】① ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°， ∵∠MAN=45°， ∴∠MAN=∠EBM=45°， ∵∠AMN=∠BME， ∴△AMN∽△BME，故①正确； ②由①得， ∴， ∵∠AMB=∠EMN， ∴△AMB∽△NME， ∴∠AEN=∠ABD=45°， ∴∠NAE=∠AEN=45°， ∴AN＝EN，故②正确； ③如图，将 绕点 顺时针旋转得到， 则AF=AH，∠DAF=∠BAH， ∴， ∵∠ABE=∠ABH=90°， ∴H、B、E三点共线， 在△AEF和△AEH中， ， ∴△AEF≌△AEH（SAS）， ∴EF=EH=BE+BH=BE+DF，故③正确； ④在Rt△ABE和Rt△ADF中， ∵， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF， ∵BC=CD， ∴CE=CF， 设正方形边长为1，则，设CE=x，则BE=1-x， 如图，连接AC，交EF于Ｏ， ∵AE=AF，CE=CF， ∴AC是EF的垂直平分线， ∴， 在Rt△CEF中，， 在和中， ∴， ∴AO=AB=1， ， ∴， ， ∴，故④错误； 综上，正确的有3个． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形． 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 在一个不透明的口袋中装有6个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机摸出一个球是红球的概率为，则口袋中白球有______个． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：设有白球个，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意． 故答案为： ． 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 出现种结果，那么事件 的概率；还考查了分式方程．理解和掌握概率的公式是解题的关键． 14. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】将原式变形为两个整式的平方差，运用平方差公式分解因式后，再合并同类项化简即可． 【详解】解： ． 15. 若不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求解不等式组中第二个一元一次不等式.，再根据一元一次不等式组解集的确定原则得到关于的不等式，最后求解即可得到的取值范围． 【详解】解：解不等式， 根据不等式的基本性质，不等式两边同乘，不等号方向改变，得． 不等式组的解集是， ∴， 不等式两边同除以，不等号方向改变，得． 16. 已知圆锥的高为12，母线长为13，则圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的高与母线长求得底面半径，根据公式即可求解． 【详解】∵圆锥的高为12，母线长为13， ∴由勾股定理得，底面半径==5， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了求圆锥侧面积，掌握圆锥侧面积公式是解题的关键． 17. 已知是方程的根，则的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 18. 已知是锐角，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题关键是掌握几个特殊角的三角函数值．由根据特殊角的锐角三角函数值可得，求出，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 19. 如图， 是正六边形的外接圆， 是劣弧上一点，则的度数是_________． 【答案】 ##30度 【解析】 【分析】如图所示，连接，先求出，再由圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵ 是正六边形的外接圆， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键． 20. 周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有______种． 【答案】4 【解析】 【分析】设购买口罩包，酒精湿巾包，根据总价单价数量，即可列出关于的二元一次方程，结合均为正整数，即可得出购买方案的个数． 【详解】解：设购买口罩包，酒精湿巾包， 依据题意得：， ， 均为正整数， 或或或， 小明共有4种购买方案． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题关键． 21. 如图，，点在射线上，且，过点作交射线于点，在射线上截取，使得；过点作交射线于点，在射线上截取，使得；按照此规律进行下去，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的知识，解题的关键是根据题意，求出，，探究出规律，并利用规律即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 通过观察，可得：； ， ； ∴； ∴当时，． 22. 如图，在矩形 中， ，，M为 的三等分点（），N是从B出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动的动点，点N运动t秒后沿所在直线，将矩形纸片进行翻折，若点B恰好落在边上，则t的值为______． 【答案】或7 【解析】 【分析】分两种情况进行讨论：①点在上；②点在上，结合折叠的性质，可得直角三角形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：①如图，过点 作交于点，在上， 可得四边形是矩形， ，， 是 的三等分点，， 由折叠性质得， 在中，， ， 设，则， 在中，， 解得：， ， 即； ②如图，过点 作交于点，在上， ∴四边形是矩形， ，， 在中，， ， 设，则， ， 在中，， 解得：，即， ． 综上所述，或7． 故答案为：或7． 【点睛】本题考查了矩形性质，翻折变换的性质，勾股定理，熟练掌握分类讨论以及方程思想是解题关键． 三、解答题（共54分） 23. 如图，已知 ，利用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）作 的角平分线AD； （2）在 的边AC上方作，在射线 上截取，连接 ，直接写出 和的关系． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，和即为所求，且． 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交、 于点M、点N，再分别以点M、点N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交 于点D，则线段即为所求； （2）以点C为圆心，任意长为半径画弧，交 、 于点G、点H，再以点A为圆心，长为半径画弧，交 于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，以点A为端点，过点作射线 ，此时即为所求；以点A为圆心， 长为半径画弧，交 于点D，此时即为所求；再结合平行四边形的判定与性质证明 和的关系即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接 ， 四边形 是平行四边形 且． 24. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题； （1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度； （2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1）18，6， （2）480人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据选择“E：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A占的比例即为m，总人数减去A，B，C ，E的人数即为n，360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算． 【小问1详解】 解：参与调查的总人数为：（人）， ， ， 文学类书籍对应扇形圆心角， 故答案为：18，6，； 【小问2详解】 解：（人）， 因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种， 因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为：． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、利用画树状图或者列表法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理． 25. 某厂租用 ，两种型号的货车给零售商运送货物．已知 辆 型货车和 辆型货车装满货物一次可运货吨； 辆 型货车和 辆型货车装满货物一次可运货吨．厂家现有吨货物需要配送，计划租用 、两种型号货车 辆一次配送完货物，且 型货车至少 辆．根据以上信息，解答下列问题： （1） 辆 型货车和 辆型货车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮助厂家设计完成一次配送完吨货物的租车方案，并写出所有方案； （3）给零售商运送货物过程中，一辆 型货车和一辆型货车同时从相距千米的甲、乙两地出发，沿同一条公路相向而行，其中 型货车先以千米／时的速度匀速行驶了千米后与型货车相遇，再以另一速度继续匀速行驶小时到达乙地，型货车匀速行驶至甲地，两车到达各自的目的地后停止行驶．如图是 型货车和型货车距甲地的路程（单位：千米）与行驶时间（单位：小时）之间的函数图象． ①求两车相遇后， 型货车距甲地的路程与行驶时间之间的函数关系式； ②直接写出当型货车到达甲地时 型货车距乙地的路程． 【答案】（1） 辆 型货车可运 吨， 辆型货车可运吨 （2） 种方案：① 型 辆、型辆；② 型 辆、型辆；③ 型 辆、型 辆 （3）①相遇后解析式为； ②当型货车到达甲地时， 型货车距乙地的路程为 【解析】 【分析】（1）根据 辆 型货车和 辆型货车装满货物一次可运货吨； 辆 型货车和 辆型货车装满货物一次可运货吨，列方程组求解即可； （2）根据厂家现有吨货物需要配送，计划租用 、两种型号货车 辆一次配送完货物，且 型货车至少 辆，列不等式求解即可； （3）①利用待定系数法求函数关系式即可；②先求出型货车到达甲地的行驶时间，再把代入相遇后的 型货车距甲地的路程（单位：千米）与行驶时间的函数关系式求得，最后用即可. 【小问1详解】 解：设 辆 型货车装满货物一次可运货吨， 辆型货车装满货物一次可运货吨， 由题意得： 解得：， 答： 辆 型货车可运 吨， 辆型货车可运吨 【小问2详解】 解：设 型货车辆，型货车辆， 由题意得：， ∴， ∵是正整数， ∴， 综上：共 种方案：① 型 辆、型辆；② 型 辆、型辆；③ 型 辆、型 辆； 【小问3详解】 解：①设两车相遇后， 型货车距甲地的路程与行驶时间之间的函数关系式为：； ∵在图象上， ∴， 解得：， 即：； ②∵，， ∴当时，， ∴， 答：型货车到达甲地时 型货车距乙地的路程为． 26. 【探究】 （ ）已知 和都是等边三角形． ①如图 ，当点在 上时，连接 ．请探究和 之间的数量关系，并说明理由； ②如图 ，当点在线段 的延长线上时，连接 ．请再次探究和 之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （ ）如图 ，等边三角形中，，点在 上，．点是直线 上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（ ）， 理由如下： ∵ 和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ，理由如下： ∵ 和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即； （ ）或． 【解析】 【分析】（ ）．证明可得，即得，进而可得；．同理即可求解； （ ）分点在 上，和点在 的延长线上，两种情况，画出图形，结合四点共圆及圆周角定理解答即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，等角对等边，应用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：（ ）略 ②略 （ ）解：分两种情况：如图，当点在 上，时， ∵ 和都是等边三角形， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴ 为该圆的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图，当点在 的延长线上，时， ∵ 和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴为该圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 27. 如图，内接于 ，过点O作交AC于点E，延长OE到点P，使，连接PC并延长，交AB的延长线于点D. （1）求证：； （2）求证：PD是 的切线； （3）若，求AC的长. 【答案】（1）证明：∵AB是 的直径， . ， . 又，                    . 又， ， 即；                   （2）证明：如图，连接OC，     ， . ， .                   ， . ，即. ∵OC是 的半径， ∴PD是 的切线；                   （3）AC=3. 【解析】 【分析】（1）根据题意，先证明，得到，即可得到结论成立； （2）连接OC，得到，根据角的和差关系，得到，然后得到结论成立； （3）由角的关系，得到，则，然后求出AC的长度. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图， ∵AB是 的直径， . . ， . ， . . ， . 即在中， 又， . 【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的性质，利用数形结合的思想进行解题. 28. 如图，抛物线经过三点，交轴于点． （1）求a，b的值； （2）在抛物线对称轴上找一点 ，使的值最小时，求的面积； （3）点 为轴上一动点，抛物线上是否存在一点，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的面积为 （3）存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）将代入，求出，得到抛物线的解析式，将代入解析式，即可求出b的值； （2）连接 ，求出直线 的解析式为，使的值最小，即点 为直线 与对称轴的交点，得到，即可求出三角形的面积； （3）当点在轴下方时和当点在轴上方时进行分类讨论即可． 【小问1详解】 解：将代入， 得到， 解得， 故抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得； ； 【小问2详解】 解：抛物线解析式为， ， 对称轴为直线， 连接 ，， 设直线 的解析式为， ， 解得， 直线 的解析式为， 使的值最小，即点 为直线 与对称轴的交点， 当时，， ， ； 【小问3详解】 解：①当点在轴下方时，如图， ∴ 抛物线的对称轴为直线，， ∴点纵坐标为， 将代入， 解得或（舍去）， ; ②当点在轴上方时， 过点作轴于点， 在和中， ， ，即点的纵坐标为 ， ， 解得或 或， 综上所述，符合条件的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $