第四单元 比例（同步练习）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

第4单元教材母题精析 例1 有x、y、z三个相关联的量，并有 xy=z。 (1)当z一定时，x与y成 比例关系； (2)当x一定时，z与y成 比例关系； (3)当y一定时，z与x成 比例关系。 分析判断两个相关联的量成什么比例关系，就是要判断这两个量是比值一定还是乘积一定。若比值一定，则这两个量成正比例关系；若乘积一定，则这两个量成反比例关系。 解答 反馈练习 1.已知 (x、y均不为0)，x和y成什么比例关系?为什么? 例2 一个长方形的面积是 ，用x和y表示它的长和宽。y与x成什么比例关系?如果把它们的关系用图象表示出来，图象是一条直线吗? 分析 长方形的面积=长×宽，在面积是 的情况下，长和宽的积是一定的，所以y和x成反比例关系。 解答 反馈练习 2.一根弹簧挂上物体后长度会伸长，下面的图象表示弹簧长度和所挂物体质量的关系。(在弹簧的弹性限度内) (1)看图填写下表。 物体质量/kg 0 2 4 6 8 弹簧长度/cm 弹簧伸长长度/cm 0 (2)所挂物体的质量与( )成正比例关系。 学科网（北京）股份有限公司 3.用相同的速度向 A、B两个容器(涂色的上底面为进水口)里面注水，注满即停，现根据注水时间和水位高度变化情况绘制成了一幅折线统计图。 (1)根据图象可看出4秒时，A容器中水高( )cm，B容器中水高( ) cm。 (2)根据图象判断容器A 和容器B 的容积之比为( )，容器B上段较粗圆柱和下段较细圆柱的底面积之比是( )。 例3 一个服装店的所有服装都按同样的折扣销售。 (1)李阿姨买了一件上衣，原价250元，现价150元。李阿姨还想买一条裤子，原价180元，现价多少钱? (2)张叔叔带的钱，如果买现价90元一件的衬衫，正好买4件。如果买原价200元一件的夹克衫，能买多少件? (3)如果用x表示原价，y表示现价，y和x的关系式为 。 分析 (1)折扣相同，现价与原价成正比例，即上衣的现价：上衣的原价=裤子的现价：裤子的原价。(2)总钱数一定，单价与数量成反比例。(3)用x表示原价，y表示现价，由于折扣率固定为60%，y和x的关系式为y=60%x。 解答 反馈练习 4.一个电器城所有的电器都打相同的折扣销售。 (1)王阿姨买了一台电视机，原价3600元，现价2700元。她还买了一台洗衣机，花费了 1800元。这台洗衣机的原价是( )元。 (2)张叔叔有一笔钱，如果买现价150元的小音箱，那么可以买8个。如果买原价320元的移动硬盘，那么可以买( )个。 (3)如果用x表示原价，y表示现价，那么y与x成比例关系吗?如果成比例关系，那么成什么比例关系? 学科网（北京）股份有限公司 第 4单元压轴思维拓展 ——极速提分3招 第 9 招 用比例解决较复杂的实际问题 例1 一个玻璃瓶内装有盐水，原来盐与水的质量比是1：11，加入15g盐后，盐与盐水的质量比是1∶9，玻璃瓶内原有盐水多少克? 分析设玻璃瓶内原有盐 xg，根据题意可列出下表。 盐质量/g 水质量/g 盐水质量/g 原有 x 11x 12x 加入15g盐后 x+15 11x 12x+15 因为加入15g盐后，盐与盐水的质量比是 1 ∶ 9，所以可列出比例式(x+15) ∶(12x+15)=1∶9。根据比例的基本性质求出x的值，进而求出原有盐水的质量。 解答 反馈练习 1. 甲、乙两件商品，甲商品的价格是乙商品的 。如果甲商品的价格上涨50元后，甲、乙商品的价格比变为3∶2，甲、乙两件商品原来的价格分别是( )元和( )元。 2. 甲、乙两人加工同样的零件，甲加工的零件个数比乙多 ，乙用的时间比甲少 甲每小时加工75个零件，乙每小时加工( )个零件。 3.小林打算在每天晚上看《三国演义》，原计划每天看 30页，12天时间看完，实际上比计划少花了 2天时间，他平均每天看( )页。 4. 一工程队承包了一段长100km的路面硬化任务，60天完工。施工期间由于设备更新换代，前 30天与后 30天的施工速度之比为 2∶3，求更换设备后每天施工多少千米。 技巧归纳 解决此类问题时，可以根据题目中的比例关系直接求解或列比例方程计算。 第 10 招 用正、反比例知识解决行程问题 例2 甲、乙两辆汽车同时从A、B两个城市相对开出，经过8小时后相遇。相遇后，甲车继续向前行进，开到B城还需要4小时，已知甲车每小时比乙车多行 35 km，A、B两个 学科网（北京）股份有限公司 城市之间的公路长多少千米? 分析在路程一定的情况下，速度和时间成反比例关系，可列出反比例的式子来解决问题。经过8小时相遇，甲车继续开4小时到达B城，则甲车相遇后行驶的路程就是乙车最开始的8小时行驶的路程，据此列式即可。 解答 反馈练习 5.一辆汽车从甲地前往乙地，原计划行驶5小时，每小时行驶72km，现因降雨路滑，实际行驶速度比原计划速度慢了 ，实际行驶的时间为( )。 6. 甲、乙、丙三人进行200m赛跑(假设三人速度不变)。当乙到达终点时，丙离终点还有40m，甲离终点还有80m。当丙到达终点时，甲离终点还有( )m。 7. 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行45km，返回时每小时比去时快20%，往返共用了11小时。求甲、乙两地间的距离。 8. 甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时甲车比乙车多行了40km，已知甲、乙两车的速度比是4：3，A、B两地相距多少千米? 技巧归纳 解决此类问题时，一般会用到路程=速度×时间、速度=路程÷时间、时间=路程÷速度。在路程一定的情况下，速度和时间成反比例关系；在速度一定的情况下，时间和路程成正比例关系；在时间一定的情况下，速度和路程成正比例关系。 第 11 招 用正、反比例知识解决图形有关的问题例3 如图，求涂色部分的面积。 分析长方形的长一定时，面积和宽成正比例关系，所以涂色部分 的面积与 的比等于两个小长方形的宽的比；同理这两个小长方形的宽的比等于 与 的比，即 所以涂色部分的面积为 解答 学科网（北京）股份有限公司 反馈练习 9.用12个边长为5cm 的小正方形拼成一个长方形，下表表示长方形相邻两条边长度的关系。 一条边/cm 另一条边/cm 5 10 15 (1)补全上表。 (2)长方形的相邻两条边长成什么比例关系?为什么? 10.如图，用96 cm长的绳子依次围成下面几种图形。 (1)填写下表，你发现了什么? 围成的正方形的个数/个 1 2 3 4 每个正方形的边长/cm 我发现：围成正方形的个数和每个正方形的边长成( )比例关系，理由是 。 (2)照这样围下去，第6个图形里小正方形的边长是( )cm；第n个图形里小正方形的边长是( )cm。 11. 把一个圆按一定的比例缩小，缩小前后两圆的面积之和为 ，已知缩小前后两圆的周长之比为 9∶5，缩小前圆的面积是多少平方厘米? 12. 如图,长方形ABCD中,AB=3cm,BC=6cm。点E在直线AB上运动,点 F 在线段BC、CD、AD上运动，三角形AEF的面积保持不变。某一时刻，当点 F与点C重合时，AE=2cm,BE=1cm,求当点 F 运动到BC的中点处时AE和BE的长度。 技巧归纳 解决此类问题时，要牢记三角形、正方形、长方形、平行四边形等图形的周长和面积公式。 学科网（北京）股份有限公司 第4单元 从课本到奥数：简单的比例模型 几何问题是数学中的一类重点问题。掌握一些比例模型能帮助我们快速解决一些几何问题。在这些模型之中，等高模型是学习其他模型的基础。今天，我们就来探究等高模型吧！ 初步感悟 例1 如图，D为BC的中点，三角形ABD 和三角形ACD等底等高，则( )的 面积=( )的面积。 深入理解 例2 在三角形ABE中，C、D是BE上两点，试验证： CD:DE。 我的验证 设三角形ABE的BE边上的高为h， S三角形ABC :S三角形ACD :S三角形ADE =( ):( ):( ) =( ):( ):( ) 我的结论 我来挑战 例3 如图,点 D、E、F分别是BC、AD、AB上的任意一点,那么: S三角形AEF :S三角形BEF=( ):( ) S三角形ABE :S三角形ABD=( ):( ) S三角形ABD :S三角形ABC=( ):( ) ·23 学科网（北京）股份有限公司 实践应用 1.如图，在三角形ABC中，D是BC上一点。 (1)若BD:DC=3:2,并且三角形ABD的面积为 ，三角形ADC 的面积是多少? (2)若3BD=4DC,并且三角形ABC的面积为 ，三角形ABD的面积是多少? 2.如图，三角形ABC的面积是 ,D是BC的中点,AD=3AE,EF=3BF,，求涂色三角形的面积。 3.如图，四边形ABCD被对角线AC以及线段BE、DE分成四个小三角形，这四个小三角形的面积分别记为a、b、c、d，那么根据比例模型可知，a:b=AE:EC,d:c=AE:EC,所以a:b=d:c,根据比例性质可知, ac= bd。 若三角形ABE、三角形BCE、三角形CDE的面积分别是 则四边形ABCD 的面积是多少? 参考答案 第4单元 教材母题精析 例1 (1)反 (2)正(3)正 反馈练习 1.成正比例关系。 x和y的比值为定值，所以x和y成正比例关系。 例2 y与x成反比例关系。它们的关系用图象表示出来不是一条直线，而是一条曲线。 反馈练习 2. (1) 物体质量/ kg 0 2 4 6 8 弹簧长度/ cm 3 3.5 4 4.5 5 弹簧伸长长度/ cm 0 0.5 1 1.5 2 (2)弹簧伸长长度 3. (1)4 6 (2)5:4 3:2 例3 (1)150÷250=60% 180×60%=108(元)答:现价108元。 (2)(90×4)÷(200×60%)=3(件) 答：能买3件。 (3)y=60%x 反馈练习 4. (1)2400 (2)5 (3)y与x成比例关系，成正比例关系。 第4单元 压轴思维拓展 例1 解：设玻璃瓶内原有盐 xg，则原有水11xg;加入15g盐后盐的质量为(x+15)g,盐水的质量为(12x+15)g。根据题意可列比例式(x+15) : (12x+15)=1 :9,解得x=40,所以玻璃瓶内原有盐水 12×40=480(g)。 答：玻璃瓶内原有盐水480g。 反馈练习 1. 400 300 2. 72 提示：根据甲、乙二人加工的零件数量和所用时间可知，乙、甲二人的工作效率之比是 即24：25，据此列比例求出乙每小时加工的零件数量即可。 3. 36 答：更换设备后每天施工2km。 提示：更换设备前后施工的时间相同，所以施工的距离与施工速度成正比例，所以更换设备后施工的距离：总距离=3：(2+3)，所以更换设备后施工的距离为 100× 因此，更换设备后每天施工60÷30=2(km)。 例2 答：A、B两个城市之间的公路长840 km。 反馈练习 5. 6小时 提示：路程一定时，速度与时间成反比例关系，即计划行驶的时间：实际行驶的时间=实际行驶的速度：计划行驶的速度，而实际行驶的速度是计划行驶速度的 所以实际行驶的时间： (小时)。 6.50 提示：甲和丙的速度之比为 而时间相同时，路程与速度成正比例关系，即甲和丙所跑的路程之比为 所以当丙到终点时，甲跑过的路程为 用200m减去甲跑过的路程即为甲离终点的距离。 答：甲、乙两地间的距离为270 km。 提示：根据题意，往返的速度比为1 ：(1+20%)，而路程一定时，速度与时间成反比例关系，所以往返所用的时间之比为(1+20%)：1，所以去时所用的时间占总时间的 即 小时，再乘去时的速度就是两地间的距离。 答:A、B两地相距280 km。 提示：时间一定时，路程与速度成正比例关系，所以相遇时甲、乙两车行驶的路程之比也为4：3，因此，甲比乙多行驶的路程等于两车行驶的路程和的 用除法即可求出两车行驶的路程和，也就是两地间的距离。 例3 答：涂色部分的面积是12 cm²。 反馈练习 9. (1) 60 30 20 (2)成反比例关系，因为相邻两条边长度的乘积不变，为300 cm²。 10. (1)24 12 8 6 反 它们的乘积不变 答：缩小前圆的面积是1271.7 cm²。 提示：缩小前后两圆的周长之比为9：5，则半径之比也为9：5，而缩小前后两圆的面积之比是半径之比的平方，即 81：25，所以缩小前圆的面积为两圆面积和的 用乘法即可求出缩小前圆的面积为 12.2×6÷(6÷2)=4(cm) 4-3=1(cm) 4+3=7(cm) 答:当点 F 运动到 BC 的中点时,AE=4 cm,BE=1 cm或7 cm。 提示：三角形AEF 的面积保持不变，则点 F到AB 的距离与AE 的长度成反比例关系，所以当点 F 运动到 BC 的中点处时，AE 的长度为2×6÷(6÷2)=4(cm);由于点E在直线AB 上运动，所以每个点 F 的位置都对应了两个点E 的位置，分别在点 A 的上方与下方;当点 E 在点 A 下方时,BE=4-3=1(cm),当点 E 在点 A 上方时,BE=4+3=7(cm)。 第4单元 从课本到奥数 初步感悟 例1 三角形ABD 三角形ACD 深入理解 例2 ×BC×h ×CD×h ×DE×hBC CD DE 例3 AF BF AE AD BD BC 实践应用 答：三角形ADC 的面积是 12 cm²。 答：三角形ABD 的面积是48 cm²。 提示:由于 3BD=4DC,所以 BD : DC=4:3,则 而 因此， 答：涂色三角形的面积是22.5 cm²。 提示：根据题意可知， 所以 3.(1)30×10÷20=15(cm²) 30+20+10+15=75(cm²) 答:四边形ABCD 的面积是75 cm²。 ABE 的面积占四边形ABED 面积的 据此计算即可。 学科网（北京）股份有限公司 $