精品解析：辽宁锦州市某校2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷

辽宁锦州市某校2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，恰好出现3次正面朝上的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 若随机变量服从正态分布，，则实数等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 等比数列中，为方程的两根，则等于（ ） A. 6 B. 12 C. 6或12 D. -6 4. 已知数列满足，，那么（ ） A. 2 B. -3 C. D. 5. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 6. 等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则当取得最大值时，（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了三局”，则（ ） A. B. C. D. 8. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（ ） A. 5.6 B. 6.4 C. 7.2 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记为等比数列的前n项和，q为的公比，.若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 现对跑完某次5公里马拉松的名参与者的完成时间t（单位:分钟）进行统计，得到这名参与者的完成时间t近似服从正态分布，则（ ） （参考数据:若，则） A. 这跑完全程的名参与者中大约有683人的完成时间在内 B. 这跑完全程的名参与者中大约有477人的完成时间在内 C. 这跑完全程的名参与者中大约有954人的完成时间在内 D. 这跑完全程的名参与者中完成时间在内与在内的人数大致相等 11. 掷2次质地均匀的骰子，记事件为“两次掷出的数字相同”，事件为“两次掷出的数字不同”，事件为“两次掷出的数字之和为奇数”，事件为“两次掷出的数字之和为偶数”，则下列说法正确的有（ ） A. 和互斥 B. 和独立 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某市场供应的灯泡中，甲厂产品占30%，乙厂产品占70%，甲厂产品的合格率是70%，乙厂产品的合格率是90%，在该市场中随机购买一个灯泡，已知买到的是合格品，则这个灯泡是甲厂生产的概率是________． 13. 已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P 则随机变量Y的方差等于______； 14. 数列的前项和，若，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）数列满足，求的前项和. 16. 《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据： 单价（元/件） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量（万件） 90 84 83 80 75 68 （1）根据以上数据，求关于的线性回归方程； （2）若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润，最大利润是多少. 附：参考公式：回归方程， 其中，. 参考数据：，. 17. 如图，四边形为正方形，平面， （1）证明： （2）若二面角的正切值为，求平面和平面夹角的正弦值； 18. 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示： DeepSeek的应用情况 相关从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 （1）根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？ （2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. （ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率. （ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：其中，） 19. 已知双曲线的右焦点为，虚轴长为，点在双曲线上，PF垂直于轴，且为实半轴长和半焦距的等差中项. （1）求双曲线的标准方程. （2）已知直线与双曲线相切. ①若与直线PF相交于点，与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值； ②若直线分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，为坐标原点，判断的面积是否为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁锦州市某校2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，恰好出现3次正面朝上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用独立重复试验的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，将一枚均匀硬币随机掷4次，每次正面向上的概率均为，且相互独立， 由次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式得： 恰好出现3次正面向上的概率为． 故选：D． 2. 若随机变量服从正态分布，，则实数等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性计算． 【详解】由题意，解得． 故选：B． 3. 等比数列中，为方程的两根，则等于（ ） A. 6 B. 12 C. 6或12 D. -6 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质求解即可. 【详解】由等比数列中，为方程的两根，得，， 因此，，， 所以. 故选：B 4. 已知数列满足，，那么（ ） A. 2 B. -3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递推关系式可知数列是周期为4的周期数列，根据可得结果. 【详解】 . 故选：A 5. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据超几何分布的概率计算公式计算即可. 【详解】因为随机变量服从超几何分布， 所以. 故选：A 6. 等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则当取得最大值时，（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先求出数列的通项公式，由，，知当取得最大值时有，然后求解即可. 【详解】， 解得，，所以， 所以当取得最大值时，，即，解得， 又，所以. 故选：C 7. 某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了三局”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由题意可知，事件为“比赛进行两局，甲获得冠军”，所以，， ， 由条件概率公式可得. 故选：C. 8. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（ ） A. 5.6 B. 6.4 C. 7.2 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，列出不等式求出，再利用二项分布的期望公式计算得解. 【详解】依题意，， 由是唯一的最大值，得，即， 则，整理得，解得， 而，因此，所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是列出不等式，利用组合数公式变形求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记为等比数列的前n项和，q为的公比，.若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式列出方程即可求解. 【详解】对于A，由题意得， 结合，解得或（舍去），故A正确； 对于B，则，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，当时，，故D错误， 故选:ABC. 10. 现对跑完某次5公里马拉松的名参与者的完成时间t（单位:分钟）进行统计，得到这名参与者的完成时间t近似服从正态分布，则（ ） （参考数据:若，则） A. 这跑完全程的名参与者中大约有683人的完成时间在内 B. 这跑完全程的名参与者中大约有477人的完成时间在内 C. 这跑完全程的名参与者中大约有954人的完成时间在内 D. 这跑完全程的名参与者中完成时间在内与在内的人数大致相等 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性和原则进行求解对应概率，从而可估计人数. 【详解】根据时间t近似服从正态分布，可得：， 所以跑完全程的名参与者中完成时间在内大约有：人，故A正确； 由可知，， 所以跑完全程的名参与者中完成时间在内大约有：人，故B正确； 由, 可知：， 所以跑完全程的名参与者中完成时间在内大约有：人，故C错误； 由正态分布的对称性可知：， 所以跑完全程的名参与者中完成时间在内与在内的人数大致相等，故D正确； 故选：ABD． 11. 掷2次质地均匀的骰子，记事件为“两次掷出的数字相同”，事件为“两次掷出的数字不同”，事件为“两次掷出的数字之和为奇数”，事件为“两次掷出的数字之和为偶数”，则下列说法正确的有（ ） A. 和互斥 B. 和独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义即可判断A；根据相互独立事件的定义判断B；根据条件概率的公式即可判断C；根据古典概型即可判断D． 【详解】对于A，由题可知，和互斥，故A正确； 对于B，，，， ，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，，故D正确； 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某市场供应的灯泡中，甲厂产品占30%，乙厂产品占70%，甲厂产品的合格率是70%，乙厂产品的合格率是90%，在该市场中随机购买一个灯泡，已知买到的是合格品，则这个灯泡是甲厂生产的概率是________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算即得. 【详解】设事件为“购买一个甲厂灯泡”，事件为“购买一个乙厂灯泡”，事件为“购买的灯泡是合格品”， 依题意，， 因此， ， 所以这个灯泡是甲厂生产的概率是. 故答案为： 13. 已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P 则随机变量Y的方差等于______； 【答案】## 【解析】 【分析】根据分布列中概率和为1可得，再由期望、方差公式计算出,最后利用计算可得答案. 【详解】因为，所以， ，， 所以. 故答案为：. 14. 数列的前项和，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件,通过递推法,然后作差即可证明数列从开始为等比数列,并求得公比,再由首项即可得数列的通项公式. 【详解】当时，, 当时，由， 可得， 所以, 即：, 所以当时，, 当时，数列从开始是等比数列，公比为，通项为 综上，, 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）数列满足，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用之间的关系式，结合等差数列的通项公式计算即可； （2）运用裂项相消法计算即可求解. 【小问1详解】 因为， 当时，，解得， 当时，， 两式作差得， 则， 因为，所以，， 所以是以2为首项，2为公差的等差数列，； 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以 . 16. 《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据： 单价（元/件） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量（万件） 90 84 83 80 75 68 （1）根据以上数据，求关于的线性回归方程； （2）若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润，最大利润是多少. 附：参考公式：回归方程， 其中，. 参考数据：，. 【答案】（1） （2）该产品的单价定为元时，工厂获得利润最大，最大利润为万元. 【解析】 【分析】（1）计算相关数据代入回归方程公式中计算即可； （2）设工厂获得的利润为万元，写出关于单价的二次函数，求出最大利润即可. 【小问1详解】 因为， ， 所以. 则， 因此回归直线方程为. 【小问2详解】 设工厂获得的利润为万元， 则， 所以该产品的单价定为元时，工厂获得利润最大，最大利润为万元. 17. 如图，四边形为正方形，平面， （1）证明： （2）若二面角的正切值为，求平面和平面夹角的正弦值； 【答案】（1）证明如下： 由正方形ABCD知：⊥， 又由于平面且平面，故， 又由于且平面， 故平面， 因为平面， ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到，结合得到平面，证明出结论； （2）先证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出即为二面角的平面角．利用正切值求出正方形边长，写出点的坐标，求出两平面的法向量，求出面面角的余弦值，进而求出正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于平面且平面， 故，显然两两垂直， 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立直角坐标系： 令AC与BD的交点为O，连接OQ， 由于平面，， 所以平面， 又平面，所以， 又⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 故即为二面角的平面角． ， ∵， ，故，故， ， 设平面的法向量为， 由，， 令得， ， 设平面的法向量为， 由，， 令，则， ， 设平面和平面夹角为， 则， . 18. 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示： DeepSeek的应用情况 相关从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 （1）根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？ （2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. （ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率. （ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：其中，） 【答案】（1）表格见解析，有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关 （2）（i）；（ii）人 【解析】 【分析】（1）分析数据关系，完善列联表，提出零假设，计算，比较其与临界值大小，判断结论； （2）（i）设“员工第轮获得优秀”， “员工经过培训能应用”，则，结合互斥事件概率加法公式，独立事件概率乘法公式求结论； （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数，则，由条件列不等式可求结论. 【小问1详解】 依题意，列联表如下： DeepSeek的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 没有应用 合计 零假设为：的应用与视频从业人员的减少独立，的应用前后视频从业人员无差异， 由列联表中数据得，. 根据小概率值的的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关. 【小问2详解】 （i）设“员工第轮获得优秀”，且相互独立. 设“员工经过培训能应用”，则 ， 所以员工经过培训能应用的概率是. （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数， 则，因此， 调整后视频部的年利润为 （万元）， 令，解得，又，所以. 所以视频部最多可以调人到其他部门. 19. 已知双曲线的右焦点为，虚轴长为，点在双曲线上，PF垂直于轴，且为实半轴长和半焦距的等差中项. （1）求双曲线的标准方程. （2）已知直线与双曲线相切. ①若与直线PF相交于点，与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值； ②若直线分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，为坐标原点，判断的面积是否为定值. 【答案】（1） （2）①是，；②是 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）①设直线的方程为，与双曲线方程联立，根据得出，再根据弦长公式化简即可； ②联立直线与渐近线的方程求出两点的纵坐标，化简即可. 【小问1详解】 因为的虚轴长为，所以. 因为PF垂直于轴，所以， 因为为实半轴长和半焦距的等差中项，所以， 因为，所以，则，故， 所以双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 由题意可知，直线的斜率存在且不为，故设直线的方程为， 因为，所以直线与直线PF的交点， 直线与直线的交点， 由，得， 则，即. ①因为，且， 所以，所以，为定值. ②由得，同理可得， 所以. 因为原点到直线的距离，所以. 因为，所以，即的面积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $