专题01 一次函数29大题型（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材北京版

专题01 一次函数 题型1 常量与变量（常考点） 题型16 一次函数的平移问题（重点） 题型2 函数的相关概念 题型17 根据一次函数的增减性求参数（重点） 题型3 函数的三种表示方法 题型18 比较一次函数值的大小 题型4 从函数的图象获取信息（常考点） 题型19 求直线围成的图形面积（重点） 题型5 平面直角坐标系 题型20 一次函数与方程（常考点） 题型6 坐标的平移（常考点） 题型21 一次函数与不等式（常考点） 题型7 点坐标规律探索 题型22 分配方案问题（重点） 题型8 正比例函数的定义 题型23 最大利润问题（难点） 题型9 根据一次函数的定义求参数（重点） 题型24 行程问题（难点） 题型10 一次函数的图象 题型25 梯度计价问题（重点） 题型11 根据一次函数经过的象限求参数范围（常考点） 题型26 一次函数的旋转问题（难点） 题型12 一次函数图象与坐标轴的交点问题（重点） 题型27 一次函数的折叠问题（难点） 题型13 画一次函数的图象 题型28 一次函数中的最值问题（难点） 题型14 一次函数解析式（常考点） 题型29 一次函数的新定义问题（难点） 题型15 正比例函数的图象、性质 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 常量与变量（共3小题） 1．某地手机通话费为元，小明存入50元手机话费，记此后他的手机通话时间为，话费余额为元．则此问题中的常量和变量是（    ） A．常量50；变量． B．常量，50；变量． C．常量，50；变量． D．常量，50；变量，． 2．球的体积是，球的半径为，则，其中变量和常量分别是（   ） A．变量是，；常量是， B．变量是，；常量是 C．变量是，，；常量是 D．变量是，；常量是 3．下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，满足，则是的函数 D．在中，是常量，，是自变量，是的函数 题型二 函数的相关概念（共3小题） 4．下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 5．函数中自变量的取值范围是__________． 6．老师在黑板上写了如下几个函数： ①；②；③；④． (1)在①～④的函数中，自变量的取值范围是任意实数的是______（填序号）； (2)去掉（1）中所填的函数后，请写出其他函数自变量的取值范围． 题型三 函数的三种表示方法（共3小题） 7．为了解汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油实验，并把实验数据记录下来，如下表： 汽车行驶时间（小时） … 油箱剩余油量（升） … (1)表中反映了两个变量，自变量是________，因变量是________． (2)根据表可知，汽车行驶3小时，该车油箱的剩余油量为________升，汽车每小时耗油________升． (3)请直接写出两个变量之间的关系式． 8．今年，果农小林家的刺梨喜获丰收．在销售过程中，刺梨的销售额y（元）与销量x（千克）满足如下关系： 销量x/千克 1 2 3 4 5 6 7 8 销售额y/元 3 6 9 12 15 18 21 24 (1)上表这个关系中，自变量是_______； (2)刺梨的销售额y与销量x之间的函数解析式为_______； (3)当刺梨的销量为50千克时，销售额是_______元． 9．如图表示一辆汽车在行驶途中的速度（千米时）随时间（分）的变化示意图． (1)从点到点、点到点、点到点分别表明汽车在什么状态？ (2)分段描述汽车在第0分钟到第28分钟的行驶情况． 题型四 从函数的图象获取信息（共3小题） 10．甲、乙两人沿相同的路线从地匀速行驶到地，已知，两地的路程为，他们行驶的路程与甲、乙出发的时间之间关系的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．甲的速度是 B．乙的速度是 C．乙比甲晚出发 D．甲比乙晚到地 11．已知，两地相距，小明和小亮两人分别从，两地出发相向而行，小亮先出发；图中，表示两人离地的距离与时间的关系，则小亮出发______后两人的路程和为． 12．为推进乡村道路硬化工程建设，A，B两地技术员甲、乙前往施工现场C地开展专项工作．如图1，已知A，B，C三地共线，B距A地10千米，C距B地80千米，甲乘车从A地出发，乙骑摩托车从B地同时启程；甲抵达C地停留0.5小时后，随即返回A地．两人离A地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的关系如图2所示． (1)图中_______，______． (2)甲前往C地时的速度为_______千米/小时，甲返回A地时的速度为______千米/小时； (3)求乙离A地的距离（千米）与时间x（小时）之间的表达式； (4)请直接写出甲，乙二人相遇时x的值． 题型五 平面直角坐标系（共3小题） 13．在平面直角坐标系中，若点在第四象限内，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 14．如图所示，在正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”，“年”的坐标分别为，，则“强”的坐标为________． 15．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在第二、四象限的角平分线上，求点M的坐标； (2)若点N的坐标为，且直线轴，求点M的坐标． 题型六 坐标的平移（共3小题） 16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为将线段先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应线段． (1)写出 两点的坐标： (___________)， (___________)； (2)连接 ，求三角形的面积． 17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在网格点上，A的坐标为． (1)填空：点的坐标为______． (2)求出的面积． (3)把向下平移5个单位，再向左平移4个单位，得到．在图中画出并写出、、三点坐标．若上的一点的坐标为，请直接写出点的对应点的坐标． 18．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．当时，回答下列两个问题： (1)求三角形的面积； (2)将线段先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到线段，点的对应点分别是点，连接，与轴交于点．若点在轴上，且，求两点的坐标． 题型七 点坐标规律探索（共3小题） 19．如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与轴重合并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（） A． B． C． D． 20．如图，直角坐标系中长方形ABCD的四个顶点坐标分别为，，，，点P从点A出发，沿长方形的边运动，速度为每秒2个长度单位，同时点Q从点A出发，沿长方形的边运动，速度为每秒3个长度单位，记P、Q在长方形边上第一次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 21．如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，按照此规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型八 正比例函数的定义（共3小题） 22．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 23．若是关于的正比例函数，则的值是__________． 24．若是关于的正比例函数，求的值． 题型九 根据一次函数的定义求参数（共3小题） 25．若函数是一次函数，则m的值为（　　） A．2 B． C． D．0 26．当______时，函数是一次函数． 27．已知函数， (1)当是何值时函数是一次函数． (2)当函数是一次函数时，写出此函数解析式．并计算当时的函数值． (3)点在此一次函数图象上，则的值为多少． 题型十 一次函数的图象（共3小题） 28．已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 29．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 30．若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（    ） A． B． C． D． 题型十一 根据一次函数经过的象限求参数范围（共3小题） 31．已知一次函数（、为常数，且）的图象不经过第三象限，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 32．已知一次函数不经过第一象限，则的取值范围______________． 33．已知关于的函数． (1)若此函数为正比例函数，求的值； (2)若此函数为一次函数，且图像不经过第二象限，求的取值范围． 题型十二 一次函数图象与坐标轴的交点问题（共3小题） 34．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 35．已知直线与两坐标轴的交点分别为点、，则的周长为_____________． 36．如图，已知直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点是直线上的一个动点，且，求点的坐标． 题型十三 画一次函数的图象（共3小题） 37．一次函数的图象与轴交于点，且经过点． (1)求点和点的坐标； (2)直接在图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象； (3)点在轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点坐标． 38．已知一次函数． (1)填表： …… …… …… __________ __________ __________ __________ …… (2)画出该函数的图象． 39．已知一次函数图象经过点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值及点和点的坐标； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (3)若点是轴上一点，且面积是，直接写出点的坐标． 题型十四 一次函数解析式（共3小题） 40．如果与成正比例关系，且当时，，那么关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 41．已知函数的部分自变量的值和对应的函数值如下表所示，则这个一次函数的解析式为___________． x … 0 1 … y … 0 3 6 9 … 42．如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于第二象限内的点，且的面积为，，求正比例函数与一次函数表达式． 题型十五 正比例函数的图象、性质（共3小题） 43．已知均在直线上，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 44．如图是四个正比例函数的图象，则，，，的大小关系是_____________； 45．已知函数，，，． (1)在同一坐标系内画出函数的图象； (2)探索发现： 观察这些函数的图象可以发现：随着的增大，直线与y轴的位置关系有何变化？ (3)灵活运用： 已知正比例函数与在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为 ． 题型十六 一次函数的平移问题（共3小题） 46．如图，一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数向上平移1个单位长度就经过原点，求的值． 47．如图，直线是一次函数的图像． (1)求直线的函数表达式； (2)在直线上取点，使的面积为8，求点的坐标； (3)将直线沿轴向___________平移___________个单位，则平移后的直线经过点． 48．如图，直线与直线相交于点A，直线与y轴相交于点B，直线与y轴负半轴相交于点C，，点A的纵坐标为3． (1)求直线的解析式； (2)将直线沿x轴正方向平移，记平移后的直线为，若直线与直线相交于点D，且点D的横坐标为1，求的面积． 题型十七 根据一次函数的增减性求参数（共3小题） 49．已知函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若这个函数不过第二象限，y随着x的增大而增大，求m的取值范围． 50．已知一次函数，m为常数． (1)若y随x的增大而增大，且与y轴的交点在原点上方，求m的取值范围 (2)若该函数的图像与直线平行，求m的值； (3)若函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 51．已知关于的一次函数的图象为直线． (1)若函数图象过坐标原点，求的值． (2)证明：无论为何值，直线总经过点． (3)当时，函数最大值与最小值的差为6，求直线的解析式． 题型十八 比较一次函数值的大小（共3小题） 52．已知一次函数的图象经过点，，若，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 53．已知一次函数的图象不经过第三象限，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为______． 54．已知一次函数的图象经过点和点，且点B在正比例函数的图象上． (1)求该一次函数的表达式． (2)若是该一次函数图象上的两点，试比较与的大小． (3)当时，求函数值y的取值范围． 题型十九 求直线围成的图形面积（共3小题） 55．已知直线的表达式为，与轴交于点，点在直线上，点的坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)若的面积为，求点的坐标． 56．如图，直线：分别交x轴、y轴于点A，B，直线经过点B交x轴于点 (1)求点A的坐标； (2)当时，求的面积． 57．已知点． (1)在平面直角坐标系中画出A，B，C三点并求直线的解析式； (2)求的面积； (3)已知一次函数（a为常数）． ①求证：一次函数的图象一定经过点A； ②若一次函数的图象与线段有交点，直接写出a的取值范围． 题型二十 一次函数与方程（共3小题） 58．已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 59．综合与实践 问题情境：在平面直角坐标系中，把方程的解中的x，y的值分别作为点的横、纵坐标． … -1 0 1 … … 4 3 2 … 数学建模： （1）请直接写出：_____；_____，经过这些点中的任意两点画直线，你会发现这些点_____（填“在”或“不在”）同一条直线上．以方程的解为坐标的点的全体叫作方程的图象． 问题解决： （2）设方程的图象与轴、轴的交点分别是A，B，方程的图象与轴、轴的交点分别是C，D． ①求点A，D的坐标． ②已知关于x，y的二元一次方程组无解，点在轴正半轴上，且．请在平面直角坐标系中作出符合题意的两方程的图象，并求m，n的值． 60．如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为． (1)则______，______，______； (2)关于x，y的二元一次方程组的解为______； (3)求四边形的面积． 题型二十一 一次函数与不等式（共3小题） 61．在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出m的取值范围． 62．如图，已知直线与直线交于点分别与轴和轴交于两点． (1)填空：关于的不等式的解集是_____； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，并求出点的坐标，若不存在，请说明你的理由． 63．在学习了函数相关的知识后，小巳同学想要借助函数图象求解不等式． (1)他选择通过描点法画函数的图象． 自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … 0 1 2 3 … … 0 0 … 其中，； 根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象． 根据函数图象，直接写出不等式的解集为　　　 (2)在进一步的探究过程中小巳同学有两个新的发现： ①若关于的函数的图象上到轴的距离等于的点恰好有个，则的取值范围为　　　； ②若关于的函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为　　　． 题型二十二 分配方案问题（共3小题） 64．福鼎市贯岭镇是黄栀子之乡，今年黄栀子价格大涨，农民收益颇丰，某天一农户采收级、级黄栀子共斤，级黄栀子售价每斤元，级黄栀子售价每斤元． (1)求该农户全部售出这些黄栀子的收入（元）与采收的级黄栀子数量（斤）之间的函数关系式； (2)若当天全部售出这些黄栀子的总收入为元，求售出的级黄栀子的数量． 65．某校要采购一款水杯，了解到有A，B两家超市可供选择，此款水杯在A，B两家超市售价均为50元，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打8折出售； B超市：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 该校计划购买水杯x个，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． (1)分别求出，关于x的函数关系式； (2)若该校只在一个超市购买，怎样买更划算． 66．某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．某顾客准备购买x支钢笔和笔记本本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元． (1)请分别写出，与x之间的关系式： ， ； (2)若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 题型二十三 最大利润问题（共3小题） 67．某校乒乓球队为激励球员努力训练，特购买若干个乒乓球拍和乒乓球以示奖励．已知购买20个乒乓球和2个乒乓球拍共花费180元，购买30个乒乓球和1个乒乓球拍共花费150元． (1)求乒乓球和乒乓球拍的单价． (2)该球队计划购买乒乓球和乒乓球拍共100个，且乒乓球的数量不超过乒乓球拍的4倍，则如何购买才能使总费用最少？ 68．某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元；第二次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元． (1)求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共盒，总费用不超过元，那么至少购进种礼品盒多少盒？ (3)在（2）的条件下，若每个礼品盒的利润为元，每个礼品盒的利润为元，如何进货才能使销售利润最大？最大利润是多少元？ 69．洛阳作为十三朝古都，近年来文旅融合发展成效显著．某景区纪念品商店为迎接牡丹文化节，准备采购两款特色文创产品——牡丹瓷和龙门石窟书签． (1)已知该商店用元购进牡丹瓷和用元购进龙门石窟书签的数量相同．经核算，牡丹瓷的进货单价比龙门石窟书签多元．求这两种文创产品的进货单价； (2)已知牡丹瓷的售价为每件元，龙门石窟书签的售价为每件元．由于销售火爆，该商店计划追加不超过元的预算，再次购进这两种文创产品共件．则该商店应如何安排进货数量，才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 题型二十四 行程问题（共3小题） 70．小明和小亮进行百米赛跑，小明比小亮跑得快，如果两人同时起跑，小明肯定赢；现在小明让小亮先跑若干米，图中，分别表示小亮、小明的路程与小明追赶时间的关系． (1)求的函数表达式，并说明一次项系数表示的实际意义是什么？ (2)小明和小亮谁将赢得这场百米赛跑，请说明理由； (3)小明到达终点前，他出发________s时，两人相距． 71．甲、乙两地间的直线公路长为400km，一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行．货车比轿车早出发1h，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶，1h后轿车故障排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地．已知两车距各自出发地的距离y（单位：km）与轿车所用的时间x（单位：h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)货车的速度是________km/h；轿车的速度是________km/h；t的值为________． (2)求轿车距其出发地的距离y关于所用时间x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90km． 72．小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地．如图是他们离家的路程与小明离家时间的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍． (1)本题图中的 ． (2)求小明从甲地到乙地这段的函数关系式． (3)直接写出从小明出发开始到小明到达乙地过程中，两人相距2千米时x的所有值． 题型二十五 梯度计价问题（共3小题） 73．为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．若每月用气量不超过（包含），则按第一档收费标准a元/收费；若每月用气量超过，但不大于，则超过部分按第二档收费标准b元/收费；若每月用气量超过，则超过部分按第三档收费标准4元/收费．小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元． (1)求第一档燃气费单价和第二档燃气费单价分别是多少元/？ (2)设每月用气量为x，应交燃气费为y元，求y与x之间的函数关系式． (3)小明家5月份用气量为，应交燃气费为多少元？ (4)某户6月份的燃气费是182.5元，求该户6月份的用气量． 74．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，某市出台了“阶梯价格”制度，具体收费标准如表所示： 阶梯 月用电量 单价元 第一档 第二档 第三档      (1)当时，写出电费（单位：元）与x之间的关系式； (2)小亮家6月份用电，应缴纳电费多少元？ (3)小亮家7月份开始用电增多，缴纳电费220元，求小亮家7月份的用电量． 75．盛夏时节，阎良“南果北种”的红心火龙果进入丰产期，颗颗饱满如红宝石．当地种植基地为方便市民尝鲜，推出同城快递配送服务，按包裹重量(计量单位为千克，不足1千克按1千克计量)实行阶梯计费．具体计费标准如下： 费用档位 包裹重量(单位：千克) 计价方式 第一档 元 第二档 超出千克的部分，元/千克 第三档 超出千克的部分，元/千克 根据以上提供的信息，请你解答下列问题： (1)当时，求配送费(单位：元)与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该基地火龙果，快递配送费用为元，求出该包裹重量是多少千克？ 题型二十六 一次函数的旋转问题（共3小题） 76．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则的面积是（   ） A．22 B．20 C．18 D．16 77．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，过点A的直线与y轴交于点B．将直线绕点A按顺时针方向旋转得到直线，设直线与y轴的负半轴交于点C，当时，________． 78．已知点，且． (1)求直线的函数表达式； (2)如图，已知直线与直线相交于点C，点P为直线上一动点，若有，请求出点P的坐标； (3)点T为平面内一动点，连接，将线段绕点T旋转得到线段．若点Q恰好落在直线上，且当取到最小值时，请求出点T的坐标． 题型二十七 一次函数的折叠问题（共3小题） 79．如图，，，点在线段上，将沿直线折叠，点恰好落在点处． (1)求的值； (2)求直线的解析式． 80．已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C为线段上一点，将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处． (1)用无刻度直尺和圆规作出直线； (2)求直线的解析式； (3)在直线上找一点E，使和面积相等，则点E的坐标为 ． 81．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．    (1)求C点的坐标以及直线的解析式； (2)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二十八 一次函数中的最值问题（共3小题） 82．如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，，的坐标分别为，，，点，是边上的两个动点，且，要使四边形的周长最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 83．在平面直角坐标系中，已知，若轴上有一点，使得的值最小，则点的坐标为______． 84．已知一次函数的图象过，两点，且与轴交于点． (1)求此一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知点在轴上，若使的值最小，求点的坐标． 题型二十九 一次函数的新定义问题（共3小题） 85．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数的图象上存在“近轴点”，则m的值可以为（   ） A． B． C． D．1 86．定义：若x，y满足（t为参数），则称点为“好点”．在的范围内，若直线上存在“好点”，则c的取值范围为__________． 87．定义：平面直角坐标系中，对于两点，称为两点的“曼哈顿距离”，记为． 【探究应用】 平面直角坐标系中，． （1）如图1，轴，轴，______． （2）如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在线段上任取一点是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． （3）使的所有点围成的图形面积为______． （4）若点是函数的图象上一动点，则使的所有点构成的线段长度为______． 【拓展延伸】 对于平面直角坐标系中的两点，定义．如图3的网格坐标系中，给定点，请类比“曼哈顿距离”的探究，在网格范围内画出使的所有点构成的图形，并直接写出的最大值． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题01 一次函数 题型1 常量与变量（常考点） 题型16 一次函数的平移问题（重点） 题型2 函数的相关概念 题型17 根据一次函数的增减性求参数（重点） 题型3 函数的三种表示方法 题型18 比较一次函数值的大小 题型4 从函数的图象获取信息（常考点） 题型19 求直线围成的图形面积（重点） 题型5 平面直角坐标系 题型20 一次函数与方程（常考点） 题型6 坐标的平移（常考点） 题型21 一次函数与不等式（常考点） 题型7 点坐标规律探索 题型22 分配方案问题（重点） 题型8 正比例函数的定义 题型23 最大利润问题（难点） 题型9 根据一次函数的定义求参数（重点） 题型24 行程问题（难点） 题型10 一次函数的图象 题型25 梯度计价问题（重点） 题型11 根据一次函数经过的象限求参数范围（常考点） 题型26 一次函数的旋转问题（难点） 题型12 一次函数图象与坐标轴的交点问题（重点） 题型27 一次函数的折叠问题（难点） 题型13 画一次函数的图象 题型28 一次函数中的最值问题（难点） 题型14 一次函数解析式（常考点） 题型29 一次函数的新定义问题（难点） 题型15 正比例函数的图象、性质 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 常量与变量（共3小题） 1．某地手机通话费为元，小明存入50元手机话费，记此后他的手机通话时间为，话费余额为元．则此问题中的常量和变量是（    ） A．常量50；变量． B．常量，50；变量． C．常量，50；变量． D．常量，50；变量，． 【答案】D 【分析】本题考查了常量和变量，理解定义是解题的关键； 根据常量和变量的定义，常量是固定不变的量，变量是会发生变化的量．本题中，通话费率和初始话费为常量，通话时间和余额为变量即可解答． 【详解】解：手机通话费为元/分钟，小明存入的50元话费，这两个数值在问题中固定不变，所以，，50是常量． 通话时间和话费余额会随着通话的进行而变化．具体来说，是自变量，是因变量，满足关系式． 所以，和均为变量． 故选：D． 2．球的体积是，球的半径为，则，其中变量和常量分别是（   ） A．变量是，；常量是， B．变量是，；常量是 C．变量是，，；常量是 D．变量是，；常量是 【答案】A 【分析】根据常量和变量的概念解答即可． 【详解】解：球的体积是，球的半径为，则， 其中变量是，；常量是， 故选：． 【点睛】本题考查了常量和变量，掌握概念是解题的关键． 3．下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，满足，则是的函数 D．在中，是常量，，是自变量，是的函数 【答案】B 【分析】根据函数的定义解答即可． 本题考查对函数概念的理解，认识变量和常量． 【详解】解：与不是唯一的值对应，故选项错误； B．当取一值时，有唯一的值与之对应，故选项正确； C．与不是唯一的值对应，故选项错误； D．在中，、是常量，是自变量，是的函数，故选项错误． 故选B． 题型二 函数的相关概念（共3小题） 4．下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的定义，根据对于任意一个x的值，都有唯一的一个y值对应，结合图形判定即可求解． 【详解】解：A、如图所示， 当时，函数值不唯一，故y不是x的函数，不符合题意； B、如图所示， 当时，函数值不唯一，故y不是x的函数，不符合题意； C、如图所示， 当时，函数值不唯一，故y不是x的函数，不符合题意； D、任取一个x的值，都有唯一的一个y值对应，符合题意； 故选：D ． 5．函数中自变量的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查了自变量的取值范围，分式和二次根式有意义的条件； 根据分式的分母不能为零，二次根式的被开方数非负，求解自变量x的取值范围． 【详解】解：对于函数，要使函数有意义， 需满足以下条件：分式的分母，二次根式的被开方数， 解得， 因此，自变量x的取值范围是且， 故答案为：且． 6．老师在黑板上写了如下几个函数： ①；②；③；④． (1)在①～④的函数中，自变量的取值范围是任意实数的是______（填序号）； (2)去掉（1）中所填的函数后，请写出其他函数自变量的取值范围． 【答案】(1)②④ (2)①；③ 【分析】本题主要考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． （1）根据分式的意义以及二次根式的性质可得自变量的范围，即可求解； （2） 函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．列式计算即可得解． 【详解】（1）解：①中，；③中，，不合题意， ②；④的函数表达式为整式，自变量可取全体实数， 故答案为：②④． （2）解：①有意义 ，则， ； ③有意义 ，则， ． 题型三 函数的三种表示方法（共3小题） 7．为了解汽车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油实验，并把实验数据记录下来，如下表： 汽车行驶时间（小时） … 油箱剩余油量（升） … (1)表中反映了两个变量，自变量是________，因变量是________． (2)根据表可知，汽车行驶3小时，该车油箱的剩余油量为________升，汽车每小时耗油________升． (3)请直接写出两个变量之间的关系式． 【答案】(1)汽车行驶时间；油箱剩余油量 (2)； (3) 【分析】（1）根据变量的定义即可判断． （2）当时，此时油箱剩余油量即为油箱大小，根据表格可知，小时共耗油5升． （3）根据（2）即可求出的关系式． 【详解】（1）解：由题意可知，自变量为汽车行驶时间t，因变量为油箱剩余油量Q． （2）解：由表格可知，当行驶小时的时候，汽车油箱的剩余油量为升，且汽车每行驶一小时，耗油量为5升． 故答案为：，． （3）解：由表格可知，汽车一开始的油量为升，每行驶一小时汽车耗油升，则汽车油箱剩余油量和汽车行驶时间的关系为． 8．今年，果农小林家的刺梨喜获丰收．在销售过程中，刺梨的销售额y（元）与销量x（千克）满足如下关系： 销量x/千克 1 2 3 4 5 6 7 8 销售额y/元 3 6 9 12 15 18 21 24 (1)上表这个关系中，自变量是_______； (2)刺梨的销售额y与销量x之间的函数解析式为_______； (3)当刺梨的销量为50千克时，销售额是_______元． 【答案】(1)销量x (2) (3)150 【分析】本题重点把握函数的表示的方法---解析法： （1）（2）根据表格即可求解；（3）把代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：上表这个关系中，自变量是销量x； （2）解：由表格可得； （3）解：当刺梨的销量为50千克时，销售额是（元）． 9．如图表示一辆汽车在行驶途中的速度（千米时）随时间（分）的变化示意图． (1)从点到点、点到点、点到点分别表明汽车在什么状态？ (2)分段描述汽车在第0分钟到第28分钟的行驶情况． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查利用图象表示变量之间的关系，正确理解图象中点的坐标表示的意义是解决问题的关键． （1）根据图象的变化趋势，可得汽车的状态； （2）根据图象的变化，可得答案； 【详解】（1）解：由平行于横轴，得从点到点汽车以 30 千米时匀速行驶； 点到点汽车在加速行驶； 点到点汽车在减速行驶； （2）解：从、、是匀加速运动， 从、是匀减速运动， 从、、是匀速运动，汽车静止． 题型四 从函数的图象获取信息（共3小题） 10．甲、乙两人沿相同的路线从地匀速行驶到地，已知，两地的路程为，他们行驶的路程与甲、乙出发的时间之间关系的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．甲的速度是 B．乙的速度是 C．乙比甲晚出发 D．甲比乙晚到地 【答案】B 【详解】解：由图象可知，当时，甲行驶了， 甲的速度是，选项说法错误； 当时，乙行驶了， 乙的速度是，选项说法正确； 由图可知，甲乙同时出发，选项说法错误； 甲在时到达，乙在时到达， 则甲比乙晚到地，选项说法错误． 11．已知，两地相距，小明和小亮两人分别从，两地出发相向而行，小亮先出发；图中，表示两人离地的距离与时间的关系，则小亮出发______后两人的路程和为． 【答案】 【分析】根据题意求出两人的速度，列出方程即可解决问题． 【详解】解：由题意可知，小亮的函数图象是，小明的函数图象是， 小亮的速度是，小明的速度是． 设小亮出发小时两人的路程和为． 由题意得，， 解得， 答：小亮出发小时两人的路程和为． 12．为推进乡村道路硬化工程建设，A，B两地技术员甲、乙前往施工现场C地开展专项工作．如图1，已知A，B，C三地共线，B距A地10千米，C距B地80千米，甲乘车从A地出发，乙骑摩托车从B地同时启程；甲抵达C地停留0.5小时后，随即返回A地．两人离A地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的关系如图2所示． (1)图中_______，______． (2)甲前往C地时的速度为_______千米/小时，甲返回A地时的速度为______千米/小时； (3)求乙离A地的距离（千米）与时间x（小时）之间的表达式； (4)请直接写出甲，乙二人相遇时x的值． 【答案】(1)90，2 (2)60，50 (3) (4)或 【分析】此题考查了从函数图象获取信息、求函数解析式、一元一次方程的应用等知识，正确列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）根据图象反映的时间变化情况即可求出答案； （2）根据路程除以时间即可求出答案； （3）求出乙的速度，即可得到函数解析式； （4）分甲前往地和甲返回地两种情况分别列出方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∵甲抵达C地停留0.5小时后，随即返回A地． ∴， 故答案为：90，2 （2）∵（千米/小时），（千米/小时） ∴甲前往C地时的速度为千米/小时，甲返回A地时的速度为千米/小时； 故答案为：， （3）由图象可知，乙的速度为（千米/小时）， ∴， （4）甲前往地时，， 解得， 甲返回地时，， 解得 ∴甲，乙二人相遇时x的值为或． 题型五 平面直角坐标系（共3小题） 13．在平面直角坐标系中，若点在第四象限内，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据第四象限的点的符号特征，列出不等式组进行求解即可. 【详解】解：由题意， 解得． 14．如图所示，在正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”，“年”的坐标分别为，，则“强”的坐标为________． 【答案】 【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为、， ∴建立直角坐标系如下： ∴“强”的坐标为． 15．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在第二、四象限的角平分线上，求点M的坐标； (2)若点N的坐标为，且直线轴，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点M在第二、四象限的角平分线上，得到点的坐标互为相反数，建立等式求解即可； （2）根据直线轴，得到两点的纵坐标相等，建立等式求解即可． 【详解】（1）解：∵点M在第二、四象限的角平分线上， ∴， 解得， ∴，， ∴点M的坐标为． （2）解：∵轴， ∴ 解得， ∴，， ∴点M的坐标为． 题型六 坐标的平移（共3小题） 16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为将线段先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应线段． (1)写出 两点的坐标： (___________)， (___________)； (2)连接 ，求三角形的面积． 【答案】(1)； (2)4 【分析】本题考查作图-平移变换、割补法求面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，根据图形即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图， 则， 故答案为：； （2）解：． 17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在网格点上，A的坐标为． (1)填空：点的坐标为______． (2)求出的面积． (3)把向下平移5个单位，再向左平移4个单位，得到．在图中画出并写出、、三点坐标．若上的一点的坐标为，请直接写出点的对应点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)作图见解析，，，， 【分析】本题考查平面直角坐标系，及坐标系中的平移作图，平移性质，三角形面积，熟练掌握平移的性质和平移作图是解题的关键． （1）利用平面直角坐标系即可得出； （2）利用格点得到的底为，则高为，即可求出的面积； （3）利用平移性质得出对应点坐标，再作图，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，的顶点在网格点上，A的坐标为 故答案为：． （2）如图所示，； （3）如图所示，即为所求作图形， ，，； 若上的一点的坐标为，则点的对应点的坐标为． 18．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．当时，回答下列两个问题： (1)求三角形的面积； (2)将线段先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到线段，点的对应点分别是点，连接，与轴交于点．若点在轴上，且，求两点的坐标． 【答案】(1)6 (2)， 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，图形平移的性质，平面直角坐标系中图形面积的计算，掌握以上知识是关键． （1）根据题意得到，根据面积的计算即可求解； （2）根据题意得到线段先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，由平移规律得到点的坐标，即，设点的坐标为，由，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为，， ∴， ∴； （2）解：根据题意作图，连接，如解图所示， ∵点的坐标为，点在轴上， ∴， ∵， ∴， ∴线段先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∵点的对应点是点， ∴，即， 设点的坐标为， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 题型七 点坐标规律探索（共3小题） 19．如图，在平面直角坐标系中，，将边长为1的正方形的一边与轴重合并按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据横坐标，纵坐标的变化规律，每个点看作一次循环，再根据点在第个循环中的第个点的位置，即可得出点的坐标． 【详解】解：由图可得，第一个正方形中，，，，， 各点的横坐标依次为，纵坐标依次为， 第二个正方形中，，，，， 各点的纵坐标依次为，横坐标依次为； 根据纵坐标的变化规律可知，每个点一次循环， ， ∴点在第个循环中的第个点的位置， ∴故点的纵坐标为， 又的横坐标为1，的横坐标为，的横坐标为， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 20．如图，直角坐标系中长方形ABCD的四个顶点坐标分别为，，，，点P从点A出发，沿长方形的边运动，速度为每秒2个长度单位，同时点Q从点A出发，沿长方形的边运动，速度为每秒3个长度单位，记P、Q在长方形边上第一次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点与点每次相遇所需时间为秒，由行程问题的数量关系可得，由此可得每次相遇的时间，从而找出规律计算即可求解． 【详解】解：如图可知，，，， ∴长方形的周长为， ∴每一次相遇后，出发到再相遇，点和点所运动的路程和均为， 设点与点每次相遇所需时间为秒，则， 解得， 即每秒相遇一次，则根据运动方式可求出，，，，，，， ∴可以发现相遇点的坐标每次完成一循环， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同，即点的坐标为． 21．如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，按照此规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先观察平面直角坐标系中坐标的数据，分别总结出横、纵坐标的变化规律，即可得解． 【详解】解：根据平面直角坐标系中坐标的数据，可得出： 、的横坐标为，、的横坐标为，、的横坐标为，， 的横坐标为； 的纵坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，， 的纵坐标为， 的纵坐标为； 点的坐标为． 题型八 正比例函数的定义（共3小题） 22．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，掌握一次函数的形式为，正比例函数是一次函数中的特殊情况是解题的关键． 一次函数的形式为，正比例函数是的特殊情况，需要找出是一次函数但的选项． 【详解】解：A、，符合形式，且，，是一次函数但不是正比例函数，符合题意； B、，x的最高次数为2，不是一次函数，不符合题意； C、，符合形式，，是正比例函数，不符合题意； D、，x在分母上，不是一次函数，不符合题意． 故选：A． 23．若是关于的正比例函数，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数需满足常数项为且比例系数不为是解题的关键． 根据正比例函数的定义，函数形式应为 （），即常数项为零且比例系数非零． 【详解】解：∵ 是正比例函数，所以常数项 且比例系数 由 得 ， ∴或 ∵，即 ， ∴． 故答案为：． 24．若是关于的正比例函数，求的值． 【答案】 【分析】由正比例函数定义得到，分别解绝对值方程、解一元一次方程、解一元一次不等式得到，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：是关于的正比例函数， ， 解得或； 解得； 解得 ， ． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及正比例函数的定义、解绝对值方程、解一元一次方程、解一元一次不等式等知识，熟记正比例函数定义得到相应方程及不等式求解是解决问题的关键． 题型九 根据一次函数的定义求参数（共3小题） 25．若函数是一次函数，则m的值为（　　） A．2 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的定义，根据一次函数的定义，自变量x的指数必须为1，且系数不能为零，可得且，进一步求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且． 由得， ∴， 由可得：， ∴． 故选：B 26．当______时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义，可得自变量的次数为，且一次项系数不为，据此列出方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 由， 得或，即或， 又，得， 因此． 27．已知函数， (1)当是何值时函数是一次函数． (2)当函数是一次函数时，写出此函数解析式．并计算当时的函数值． (3)点在此一次函数图象上，则的值为多少． 【答案】(1) (2)，当时， (3) 【分析】（1）根据一次函数的定义进行求解即可； （2）根据（1）所求代入m得值求出对应的函数关系式，再把代入对应的函数关系式求出此时y的值即可； （3）代入，求出此时x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴， ∴， ∴当时，函数是一次函数； （2）解：由（1）得， ∴当时，； （3）解：在中，当时，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值，一般地，形如（其中k、b都是常数，且）的函数叫做一次函数． 题型十 一次函数的图象（共3小题） 28．已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数与系数的关系，由函数的图象位置可得，，然后根据系数的正负判断函数的图象位置． 【详解】解：函数的图象经过第一、二、三象限， ，， ， 函数的图象经过第一、二、四象限． 故选：C． 29．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象分布，理解题意是解决本题的关键． 在函数中，当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限”，再进行讨论b的情况即可判断． 【详解】解：A由图象得，由图象得，故不符合题意； B由图象得，由图象得，故符合题意； C由得，，图象经过第一、三象限，故不符合题意； D由得，，图象经过第一、三象限，故不符合题意； 故选：B． 30．若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，则，从而一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∴一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限， ∴选项B、C、D均不符合题意，选项A符合题意． 题型十一 根据一次函数经过的象限求参数范围（共3小题） 31．已知一次函数（、为常数，且）的图象不经过第三象限，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据已知一次函数的位置判断和的符号，再判断目标一次函数经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数（、为常数，且）的图象不经过第三象限， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴一次函数的图象不经过的象限是第二象限． 32．已知一次函数不经过第一象限，则的取值范围______________． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质可得，解不等式组即可． 【详解】解：∵一次函数不经过第一象限， ∴， 解得． 33．已知关于的函数． (1)若此函数为正比例函数，求的值； (2)若此函数为一次函数，且图像不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一次函数图象的性质，一元一次不等式等知识点，解题的关键是准确掌握正比例函数的定义和一次函数图像的性质． （1）根据正比例函数的定义求解即可； （2）根据一次函数图象经过的象限可得，且，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：根据正比例函数的定义可得， ， 解得，且此时， 所以的值为1； （2）解：根据题意得， ∴，且， 解得， 所以，的取值范围为． 题型十二 一次函数图象与坐标轴的交点问题（共3小题） 34．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程可知当时，，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴当时，，即当时，， ∴直线一定经过点． 35．已知直线与两坐标轴的交点分别为点、，则的周长为_____________． 【答案】 【分析】分别令和，求出直线与轴、轴的交点坐标，进而得到两条直角边、的长度，根据勾股定理计算斜边的长度，将、、的长度相加，得到的周长． 【详解】解：令，代入直线方程，得， ∴点的坐标为，； 令，代入直线方程，得，解得， ∴点的坐标为，则； ∵是直角三角形， ∴； ∴的周长为． 36．如图，已知直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点是直线上的一个动点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【分析】（1）把点代入直线，可求出点的坐标，再利用待定系数法求出k，b即可； （2）求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可； （3）根据题意可得，设，再利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：把点代入直线，得， ， 点的坐标为， ∵，都在上， ， 解得， 直线的表达式为． （2）解：直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为． ． ， 即的面积为3． （3）解：， ， ， 设， 则， 解得：或 点的坐标为或． 题型十三 画一次函数的图象（共3小题） 37．一次函数的图象与轴交于点，且经过点． (1)求点和点的坐标； (2)直接在图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象； (3)点在轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）点，的坐标满足一次函数的表达式，将点，的坐标分别代入，求解即可得到答案； （2）因为一次函数的图象是一条直线，且点和点在该函数图象上，所以过点和点作一条直线，该直线即为一次函数的图象； （3）分两种情况：当时， 当时． 【详解】（1）因为一次函数的图象经过点，且点的纵坐标为，可得 解得 所以点的坐标为． 因为一次函数经过点，可得 解得 所以点的坐标为． （2）一次函数的图象如图所示． （3）根据题意可知，． 当时，可知点的坐标为． 当时，可知点的坐标为． 所以点的坐标为或． 38．已知一次函数． (1)填表： …… …… …… __________ __________ __________ __________ …… (2)画出该函数的图象． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】本题考查了一次函数的代入求值与图象绘制，掌握一次函数的基本性质是解题关键． （1）利用一次函数的表达式，将给定的值代入解析式，计算对应的值，完成表格填写； （2）根据一次函数图象为直线的性质，通过描出表格中对应点的坐标，再连接这些点，即可画出函数图象． 【详解】（1）解：分别将代入， ：； ：； ：； ：； 故填表为： …… …… …… …… （2）解：分别将上述表中的各点在坐标系中标出，图象如图所示． 39．已知一次函数图象经过点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值及点和点的坐标； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (3)若点是轴上一点，且面积是，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)点的坐标为或 【分析】（1）将代入一次函数求得的值，再分别令、即可求解点和点的坐标； （2）由（1）求出的一次函数表达式，采用描点法作出一次函数图象即可求解； （3）根据题意，作出图形，数形结合表示出的面积，建立一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数图象经过点， 将代入，得：， 解得：． ∴一次函数解析式为， 一次函数与轴交于点，与轴交于点， 令时，，即， 令时，，即． （2）解：由（1）得：一次函数与轴交于点，与轴交于点， 过点B、C作直线即为一次函数图象，如图所示： （3）解：如图所示， ，点是轴上一点，且面积是， 设，则， 得：，解得：或． 点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求一次函数表达式，一次函数的图象与性质，求一次函数与坐标轴的交点坐标，描点法作一次函数图象，平面直角坐标系中求三角形的面积，解含绝对值的方程，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 题型十四 一次函数解析式（共3小题） 40．如果与成正比例关系，且当时，，那么关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据“与成正比例”设出函数关系式，再代入已知条件求出比例系数，进而得到关于的函数解析式． 【详解】解：∵与成正比例， ∴设． 当时，，代入得：，解得． 因此，整理得． 逐一分析选项： A、，整理得，与推导结果不符，不符合题意； B、，与推导结果不符，不符合题意； C、，与推导结果一致，符合题意； D、，整理得，与推导结果不符，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义及待定系数法求函数解析式，解题关键是根据“与成正比例”正确设出函数关系式，再代入已知条件求解． 41．已知函数的部分自变量的值和对应的函数值如下表所示，则这个一次函数的解析式为___________． x … 0 1 … y … 0 3 6 9 … 【答案】 【分析】利用待定系数法，选取表格中两组自变量与函数的对应值代入一次函数解析式，构建关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到函数解析式． 【详解】解：选取表格中，和，两组对应值代入中， 可得， 解得：， ∴这个一次函数的解析式为． 42．如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于第二象限内的点，且的面积为，，求正比例函数与一次函数表达式． 【答案】正比例函数和一次函数的解析式分别为， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，求正比例函数的解析式．作交于点，根据等腰三角形的性质求出的坐标，再利用三角形面积公式求出点的坐标，然后利用待定系数法分别求直线的解析式和直线的解析式即可． 【详解】解：作交于点，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线的解析式为； ∵直线的解析式为， 把、分别代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 即正比例函数和一次函数的解析式分别为，． 题型十五 正比例函数的图象、性质（共3小题） 43．已知均在直线上，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据正比例函数的解析式可判断该函数的增减性，根据增减性和已知条件即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x的增大而减小， ∵均在直线上，且， ∴． 44．如图是四个正比例函数的图象，则，，，的大小关系是_____________； 【答案】/ 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数的图象与性质． 先由正比例函数的图象与性质得到，，然后通过取点作垂线求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一、三象限， ∴； ∵直线经过第二、四象限， ∴， 在直线上任取一点，过点作轴，交直线，轴于点， 设，则， ∵，且， ∴； 在直线上任取一点，过点作轴，交直线，轴于点， 设，则， ∵，且， ∴； ∴， 故答案为：． 45．已知函数，，，． (1)在同一坐标系内画出函数的图象； (2)探索发现： 观察这些函数的图象可以发现：随着的增大，直线与y轴的位置关系有何变化？ (3)灵活运用： 已知正比例函数与在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为 ． 【答案】(1)见详解 (2)随着的增大，直线与y轴的夹角减小 (3) 【分析】本题考查了画出正比例函数的图象，以及正比例函数的性质，正确画出图象是解题的关键． （1）由两条直线的解析式可知其图象均过原点，再分别令求出的值，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象； （2）比较分析可得答案． （3）由（2）分析的规律即可判断． 【详解】（1）解：依题意，令时，则，，，． 如图： （2）解：观察这些函数的图象可以发现，随着的增大直线与轴的夹角越小． （3）解：由（2）规律可知，， 由图可知， ∴ 故答案为：． 题型十六 一次函数的平移问题（共3小题） 46．如图，一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数向上平移1个单位长度就经过原点，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据函数图象与轴、轴负半轴相交判断出函数图象经过第二、三、四象限，利用一次函数过第二、三、四象限的性质且列不等式求解的取值范围； （2）根据一次函数“上加下减”的平移规律写出向上平移1个单位后的解析式，再利用原点坐标满足平移后的函数解析式，代入后列一元一次方程求解的值． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴的负半轴相交于点、， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴，解得； （2）解：将向上平移1个单位长度后， 解析式为． ∵平移后的图象经过原点， ∴，解得． 47．如图，直线是一次函数的图像． (1)求直线的函数表达式； (2)在直线上取点，使的面积为8，求点的坐标； (3)将直线沿轴向___________平移___________个单位，则平移后的直线经过点． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)上， 【分析】本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键； （1）由图像可知点，然后根据待定系数法可进行求解； （2）设点，然后根据三角形的面积公式可列方程进行求解； （3）根据一次函数的平移可进行求解． 【详解】（1）解：由图像可知点，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）可知：直线的解析式为，， 设点， ∵的面积为8， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； （3）解：设直线平移后的表达式为， ∵平移后的直线经过点， ∴，解得：， ∴直线平移后的表达式为， 由直线的解析式为，可知：将直线沿轴向上平移个单位长度； 故答案为上，． 48．如图，直线与直线相交于点A，直线与y轴相交于点B，直线与y轴负半轴相交于点C，，点A的纵坐标为3． (1)求直线的解析式； (2)将直线沿x轴正方向平移，记平移后的直线为，若直线与直线相交于点D，且点D的横坐标为1，求的面积． 【答案】(1) (2)18 【分析】此题考查了一次函数图象与几何变换，两条直线相交或平行问题，待定系数法，关键是求出C点坐标，A点坐标，D点坐标． （1）根据y轴上点的坐标特征可求B点坐标，再根据，可求C点坐标，根据点A的纵坐标为3，可求A点坐标，根据待定系数法可求直线的解析式； （2）根据点D的横坐标为1，可求D点坐标，再由即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ， ， ， 点A的纵坐标为3， ， 解得， ， 则， 解得． 故直线的解析式为； （2）解：点D的横坐标为1， ， ， 的面积 ． 题型十七 根据一次函数的增减性求参数（共3小题） 49．已知函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若这个函数不过第二象限，y随着x的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出值即可； （2）根据互相平行的两条直线相等求出的值即可； （3）根据一次函数的性质求出的取值范围． 【详解】（1）函数图象经过原点， 令，， 代入得：， ； （2）函数的图象平行于直线， ， ； （3）这个函数不过第二象限，y随着x的增大而增大， 且， 且， ． 50．已知一次函数，m为常数． (1)若y随x的增大而增大，且与y轴的交点在原点上方，求m的取值范围 (2)若该函数的图像与直线平行，求m的值； (3)若函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由y随x的增大而增大可知，与y轴的交点在原点上方可知，据此列出不等式组求解即可； （2）根据一次函数图像的性质可得，然后求解即可； （3）分和两种情况，分别根据函数图像第二象限，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解∶由题意可得∶ ， 解不等式①可得∶ ， 解不等式②可得∶ ； 所以，不等式的解集为． 所以m的取值范围为． （2）解：由题意可得∶ ，解得∶． （3）解：当时， 由题意可得∶， 解不等式③可得：， 解不等式④可得： ； 所以，不等式的解集为． 当，即时，原函数解析式可化为， 所以函数图象是一条平行于轴、在轴下方的直线，不经过第二象限，符合条件． 综上，的取值范围为． 51．已知关于的一次函数的图象为直线． (1)若函数图象过坐标原点，求的值． (2)证明：无论为何值，直线总经过点． (3)当时，函数最大值与最小值的差为6，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数的性质，不等式等知识点，理解题意，列出方程及不等式是解决问题的关键． （1）将原点坐标代入求解即可； （2）将整理得，当时，，即可求解； （3）分两种情况：当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，根据增减性求得最大值与最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数图象过坐标原点， ∴， 解得； （2）证明：∵， ∴当时，， ∴无论为何值，直线总经过点； （3）解：， 当时，随增大而增大， 则当时，，为最小值， ，为最大值， ∵函数最大值与最小值的差为6， ∴， 解得：， 此时，的解析式为； 当时，随增大而减小， 则当时，，为最大值， ，为最小值， ∵函数最大值与最小值的差为6， ∴， 解得：， 此时，的解析式为； 综上，的解析式为或． 题型十八 比较一次函数值的大小（共3小题） 52．已知一次函数的图象经过点，，若，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质和一次函数的函数值计算，明确的正负是解题关键． 由条件，和推导出，据此对选项依次进行判断． 【详解】解：∵ 点和在函数上， ∴，， ∵， ∴，化简得， ∴， ∴， 对于点，有， ∵， ∴， ∴，故 一定正确，选项正确； 选项：错误，应该是； 选项：错误，由且可知； 选项：，不一定成立，如时，． 故选：． 53．已知一次函数的图象不经过第三象限，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 根据一次函数的图象不经过第三象限得，，所以随的增大而减小，故当时，取最大值，当时，取最小值，再根据的最大值与最小值的差为，列出等式，解出的值即可． 【详解】解：一次函数的图象不经过第三象限， ，， 随的增大而减小， 当时，，当时，， 当时，的最大值与最小值的差为， ， 解得：， 故答案为：． 54．已知一次函数的图象经过点和点，且点B在正比例函数的图象上． (1)求该一次函数的表达式． (2)若是该一次函数图象上的两点，试比较与的大小． (3)当时，求函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)一次函数的函数值，正比例函数的函数值 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先把点代入正比例函数，求出a的值，得到点B的坐标，再根据待定系数法求出一次函数的表达式； （2）根据一次函数的增减性求解即可； （3）先求出当和时的函数值，再根据函数的增减性解答． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象经过点和点， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵一次函数中，比例系数， ∴y随x的增大而减小， ∵是该一次函数图象上的两点，且， ∴． （3）解：对于一次函数， 当时，， 当时，， ∴当时，函数值． 对于正比例函数， 当时，， 当时，， ∴当时，函数值． 题型十九 求直线围成的图形面积（共3小题） 55．已知直线的表达式为，与轴交于点，点在直线上，点的坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题考查待定系数法求一次函数表达式、一次函数与三角形面积问题，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由待定系数法直接求解即可得到答案； （2）设点的纵坐标为，由的面积为，列方程求解得到，再根据点在直线上，代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：直线的表达式为，与轴交于点， ， 解得， 直线的函数表达式为； （2）解：如图所示： 点的坐标为， ， ∵的面积为， 设点的纵坐标为， 则， 解得， 则， 点在直线上， 当时，，解得，则点的坐标为； 当时，，解得，则点的坐标为； 点的坐标为或． 56．如图，直线：分别交x轴、y轴于点A，B，直线经过点B交x轴于点 (1)求点A的坐标； (2)当时，求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，令，则，又，则，进而可以判断得解； （2）依据题意，当时，函数为，则令，则，故，又直线经过点，进而可得直线，再令，则，解得，从而，又，则，故可得的面积为； 【详解】（1）解：令，则， 解得， 点A的坐标为； （2）解：当时，函数为， 令，则， ， 直线经过点B， ∴，解得：， 直线， 令，则， 解得：， ， ， ， 的面积为． 57．已知点． (1)在平面直角坐标系中画出A，B，C三点并求直线的解析式； (2)求的面积； (3)已知一次函数（a为常数）． ①求证：一次函数的图象一定经过点A； ②若一次函数的图象与线段有交点，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)见解析， (2) (3)①见解析；②且 【分析】本题主要考查了待定系数法求直线解析式，利用网格求三角形的面积，判断直线是否经过点，一次函数的图象和性质等，解题的关键掌握以上性质． （1）在坐标系中找出点的位置，然后利用待定系数法求直线解析式即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）①将点的横坐标代入函数解析式求值，然后与点的纵坐标对比即可； ②将线段端点坐标代入函数解析式求出值，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中画出A，B，C三点，如图所示， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：； （3）解：①由得， 当时，代入得， ，与点的纵坐标相等， ∴图象必经过A点； ②一次函数的图象与线段有交点， 把代入直线得， ∴， 把代入直线得， ∴， 当时，不是一次函数， 综上a的取值范围为且． 题型二十 一次函数与方程（共3小题） 58．已知一次函数的图象如图所示． (1)关于x的方程的解是________； (2)关于x的方程的解是________； (3)关于x的方程的解是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案． （1）一次函数的图象与轴交点横坐标的值即为方程的解； （2）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解； （3）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与轴相交于点， 关于的方程的解是． 故答案为：； （2）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：； （3）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于的方程的解， 故答案为：． 59．综合与实践 问题情境：在平面直角坐标系中，把方程的解中的x，y的值分别作为点的横、纵坐标． … -1 0 1 … … 4 3 2 … 数学建模： （1）请直接写出：_____；_____，经过这些点中的任意两点画直线，你会发现这些点_____（填“在”或“不在”）同一条直线上．以方程的解为坐标的点的全体叫作方程的图象． 问题解决： （2）设方程的图象与轴、轴的交点分别是A，B，方程的图象与轴、轴的交点分别是C，D． ①求点A，D的坐标． ②已知关于x，y的二元一次方程组无解，点在轴正半轴上，且．请在平面直角坐标系中作出符合题意的两方程的图象，并求m，n的值． 【答案】（1）5，2，在（2）①，②图见解析，， 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形，掌握相关知识是解题的关键． （1）把对应点横纵坐标代入方程中，即可求出的值，然后画图发现这些点在同一条直线上； （2）①在中，当时，，在中，当时，，据此可得答案； ②根据题意可得直线和直线没有交点，即在这两条直线互相平行，根据点在轴正半轴上，且，求出点和点的坐标，进而即可求出，的值． 【详解】解：（1）当时，代入，得， ∴； 当时，代入，得， ∴； 经过画图发现，这些点在同一条直线上； 故答案为：5，2，在； （2）①在中，当时，， 在中，当时，， ∴，； ②关于，的二元一次方程组无解， 直线和直线 没有交点，即这两条直线互相平行， 点在轴正半轴上，且，， ， ，即， 将点的坐标代入得， ， 解得， ， ，， ， ，即， 将点的坐标代入 得， ， 解得， 如图所示即为所求： 60．如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为． (1)则______，______，______； (2)关于x，y的二元一次方程组的解为______； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）把点D的坐标为代入，求出的值，待定系数法求出的值即可； （2）图象法解二元一次方程组即可； （3）连接，分割法求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：把代入，得； ∴， 把，代入，得，解得； 故答案为：3；；2． （2）解：∵直线和直线的交点坐标为， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为． （3）解：连接， ∵， ∴当时，， ∴， 由（1）知：， 当时，， ∴， ∵， ∴四边形的面积． 题型二十一 一次函数与不等式（共3小题） 61．在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)且． 【分析】（1）根据平移得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为； （2）解：函数中，当时，，当时，， 函数的图象如下， ∵当时，的图象平行于， 又∵当时，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值， ∴且 ∴在成立 ∴ 解得：， ∴，且． 62．如图，已知直线与直线交于点分别与轴和轴交于两点． (1)填空：关于的不等式的解集是_____； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，并求出点的坐标，若不存在，请说明你的理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，根据两条直线的交点坐标求出不等式的解集，根据轴对称求出线段和最小， 对于（1），根据直线在直线上方时，自变量的取值即可不等式的解集解答； 对于（2），先求出点，再求出直线的关系式，然后求出点最后根据面积公式可得答案； 对于（3），作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为所求的点，再求出直线的表达式，然后令，求得，可得答案． 【详解】（1）解：由图可知，当时，， ∴不等式的解集是． 故答案为：； （2）解：将点代入中，得：， ． 代入中， 得：， 解得：， ， 当时，， 当时，， ； （3）解：作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为所求的点， 设的表达式为，代入点、，得： ， 直线的表达式为． 令，求得， 点的坐标为． 63．在学习了函数相关的知识后，小巳同学想要借助函数图象求解不等式． (1)他选择通过描点法画函数的图象． 自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … 0 1 2 3 … … 0 0 … 其中，； 根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象． 根据函数图象，直接写出不等式的解集为　　　 (2)在进一步的探究过程中小巳同学有两个新的发现： ①若关于的函数的图象上到轴的距离等于的点恰好有个，则的取值范围为　　　； ②若关于的函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为　　　． 【答案】(1)；图见解析；或 (2)①；② 【分析】本题考查了一次函数的应用、描点法画函数图象、解一元一次不等式（组），根据题意正确画出函数图象是解题的关键． （1）代入到求出的值，利用描点法画函数图象，根据函数图象即可求出不等式的解集； （2）①由题意得，方程有2个解，方程也有2个解，结合函数图象列出关于的不等式即可求解；②分两种情况讨论：和，结合函数图象可知的最小值为，求出此时，再结合当时，随的增大而增大，列出关于的不等式即可求解； 【详解】（1）解：当时，， ∴； 描点，画出函数图象如下： 根据函数图象，当或时，， ∴不等式的解集为或． 故答案为：；或． （2）解：①∵关于的函数的图象上到轴的距离等于的点恰好有个， ∴方程有2个解，方程也有2个解， 即方程和都有2个解， 由（1）中的函数图象可得，， 解得：． 故答案为：； ②若，，不符合题意； 若， ∵， ∴， ∴函数的最小值为， 令，则， 解得：， ∵当时，随的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 题型二十二 分配方案问题（共3小题） 64．福鼎市贯岭镇是黄栀子之乡，今年黄栀子价格大涨，农民收益颇丰，某天一农户采收级、级黄栀子共斤，级黄栀子售价每斤元，级黄栀子售价每斤元． (1)求该农户全部售出这些黄栀子的收入（元）与采收的级黄栀子数量（斤）之间的函数关系式； (2)若当天全部售出这些黄栀子的总收入为元，求售出的级黄栀子的数量． 【答案】(1) (2)若收入元时，则售出的级黄栀子斤． 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用： （1）依题意得，化简即可求得答案； （2）将代入一次函数即可求得答案． 【详解】（1）依题意，得 ， 即； （2）当时，可得 解得 ． 答：若收入元时，则售出的级黄栀子斤． 65．某校要采购一款水杯，了解到有A，B两家超市可供选择，此款水杯在A，B两家超市售价均为50元，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打8折出售； B超市：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 该校计划购买水杯x个，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． (1)分别求出，关于x的函数关系式； (2)若该校只在一个超市购买，怎样买更划算． 【答案】(1)，； (2)当时，在A厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在B厂家购买划算． 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据题意写出函数关系式并掌握一元一次不等式的解法是本题的关键． （1）根据售价、购买数量和折扣可直接写出关于x的函数关系式；分别根据购买数量小于等于20件和大于20件两种情况列出方程即可； （2）根据x不同的取值范围，分别求出当、、时对应的x的取值范围即可． 【详解】（1）解：，， ∴， 当时，， 当时，， ∴； （2）解：当时，， 当且为整数时： 若，得，解得； 若，得，解得； 若，得，解得； 综上，当时，在A厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在B厂家购买划算． 66．某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．某顾客准备购买x支钢笔和笔记本本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元． (1)请分别写出，与x之间的关系式： ， ； (2)若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 【答案】(1)， (2)选择方案②更为优惠，见解析 【分析】（1）根据两种优惠方案，列出函数关系式即可； （2）将代入两个函数解析式，求出函数值，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，； （2）当时，； ， 选择方案②更为优惠． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出一次函数的解析式，是解题的关键． 题型二十三 最大利润问题（共3小题） 67．某校乒乓球队为激励球员努力训练，特购买若干个乒乓球拍和乒乓球以示奖励．已知购买20个乒乓球和2个乒乓球拍共花费180元，购买30个乒乓球和1个乒乓球拍共花费150元． (1)求乒乓球和乒乓球拍的单价． (2)该球队计划购买乒乓球和乒乓球拍共100个，且乒乓球的数量不超过乒乓球拍的4倍，则如何购买才能使总费用最少？ 【答案】(1)乒乓球3元，乒乓球拍60元 (2)购买80个乒乓球和20个乒乓球拍 【分析】（1）设乒乓球的单价为元，乒乓球拍的单价为元，根据两次购买的花费列二元一次方程组求解； （2）设该球队计划购买乒乓球个和乒乓球拍个，总费用为元，建立总费用的一次函数，结合数量限制的不等式，利用一次函数增减性求最小值． 【详解】（1）解：设乒乓球的单价为元，乒乓球拍的单价为元． 依题意，得 解得 答：乒乓球的单价为元，乒乓球拍的单价为元． （2）解：设该球队计划购买乒乓球个和乒乓球拍个，总费用为元， 则， 由题知， 即． 因为， 所以随着的增大而减小， 所以当时，总费用最小， 则：， 所以该球队计划购买个乒乓球和个乒乓球拍能使总费用最少． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用与一次函数的最值问题，掌握用方程组求单价，结合不等式与一次函数增减性求最值是解题的关键． 68．某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元；第二次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元． (1)求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共盒，总费用不超过元，那么至少购进种礼品盒多少盒？ (3)在（2）的条件下，若每个礼品盒的利润为元，每个礼品盒的利润为元，如何进货才能使销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元； (2)至少购进种礼品盒盒； (3)购进种礼品盒盒，种礼品盒盒才能使销售利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用， （1）设购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元，根据题意列二元一次方程组解决； （2）设购进种礼品盒盒，则购进种礼品盒盒，根据总费用不超过元列不等式解决； （3）设销售利润为元，得出，根据一次函数性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元， 由题意得：， 解得：， 答：购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元； （2）设购进种礼品盒盒，则购进种礼品盒盒， 由题意得：， 解得：， 答：至少购进种礼品盒盒； （3）设销售利润为元， 由题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值， 此时，， 答：购进种礼品盒盒，种礼品盒盒才能使销售利润最大，最大利润是元． 69．洛阳作为十三朝古都，近年来文旅融合发展成效显著．某景区纪念品商店为迎接牡丹文化节，准备采购两款特色文创产品——牡丹瓷和龙门石窟书签． (1)已知该商店用元购进牡丹瓷和用元购进龙门石窟书签的数量相同．经核算，牡丹瓷的进货单价比龙门石窟书签多元．求这两种文创产品的进货单价； (2)已知牡丹瓷的售价为每件元，龙门石窟书签的售价为每件元．由于销售火爆，该商店计划追加不超过元的预算，再次购进这两种文创产品共件．则该商店应如何安排进货数量，才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)龙门石窟书签的进价为元，牡丹瓷的进价为元 (2)购进牡丹瓷件，龙门石窟书签件时，销售总利润最大，最大利润为元 【分析】（）设龙门石窟书签的进货单价为元，则牡丹瓷的进货单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进牡丹瓷件，则购进书签件，列出不等式求出的取值范围，设利润为元，求出与的一次函数函数关系，再根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设龙门石窟书签的进货单价为元，则牡丹瓷的进货单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴， 答：龙门石窟书签的进价为元，牡丹瓷的进价为元； （2）解：设购进牡丹瓷件，则购进书签件， 由题意得，， 解得， 设利润为元， 由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的值最大，元， 此时， 答：购进牡丹瓷件，龙门石窟书签件时，销售总利润最大，最大利润为元． 题型二十四 行程问题（共3小题） 70．小明和小亮进行百米赛跑，小明比小亮跑得快，如果两人同时起跑，小明肯定赢；现在小明让小亮先跑若干米，图中，分别表示小亮、小明的路程与小明追赶时间的关系． (1)求的函数表达式，并说明一次项系数表示的实际意义是什么？ (2)小明和小亮谁将赢得这场百米赛跑，请说明理由； (3)小明到达终点前，他出发________s时，两人相距． 【答案】(1)函数表达式为，一次项系数表示的实际意义：小亮的赛跑速度为 (2)小明将赢得这场比赛，见解析 (3)或 【分析】本题考查了根据函数图像获取信息，用待定系数法求解函数表达式，一次函数的实际应用．熟悉用待定系数法求解函数表达式是解题的关键． （1）由图可知，领先米，得出反映小亮所跑路程与时间之间关系的图像是，设的函数表达式为，把，代入，求出和的值，即可得出函数表达式． （2）用待定系数法求出表达式是，再求出当时，，的自变量的值，再比较即可． （3）进行分类讨论：当小明在小亮前时，和当小明在小亮后时，即可解答． 【详解】（1）解：设的函数表达式为， 把，代入得：， 解得：， ∴的函数表达式为， ∴一次项系数表示的实际意义：小亮的赛跑速度为； （2）解：当时，， 解得， 设的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴表达式是， 当，， 解得， ∵， ∴小明将赢得这场比赛． （3）解：当小明在小亮前时，此时， 解得：， 当小明在小亮后时，此时， 解得：， 故答案为：或． 71．甲、乙两地间的直线公路长为400km，一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行．货车比轿车早出发1h，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶，1h后轿车故障排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地．已知两车距各自出发地的距离y（单位：km）与轿车所用的时间x（单位：h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)货车的速度是________km/h；轿车的速度是________km/h；t的值为________． (2)求轿车距其出发地的距离y关于所用时间x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90km． 【答案】(1)50；80；3 (2) (3)距货车出发3h或5h两车相距90km 【分析】（1）由函数的图象，结合速度、时间和路程的关系，可得所求； （2）分别求出得、、的坐标，运用待定系数法解得即可； （3）根据题意列方程解答即可，注意分为相遇前和相遇后两种情况． 【详解】（1）解：，，． 由函数图象可知，货车的速度是， 轿车的速度是：， 轿车从出发到出现故障用时． （2）解：由（1）得，，． 设直线的表达式为． ∵过点， ∴，解得， ； 当时，． 设直线的表达式为． ∵过点，， ∴ 解得： ， （3）解：距货车出发或两车相距． 设货车出发小时后两车相距千米， 根据题意得：或, 解得：或． 答：距货车出发或两车相距． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式． 72．小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地．如图是他们离家的路程与小明离家时间的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍． (1)本题图中的 ． (2)求小明从甲地到乙地这段的函数关系式． (3)直接写出从小明出发开始到小明到达乙地过程中，两人相距2千米时x的所有值． 【答案】(1)2 (2) (3)0.1或1.7或1.8 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据实际问题并结合函数的图象得到进一步解题的有关信息，并从实际问题中整理出一次函数模型． （1）先求出小明的速度，求出甲乙两地的距离，根据时间=路程÷速度求出小明从甲地到乙地的时间，从而可得的值； （2）设小明从甲地到乙地这段的函数关系式为，把，代入求出的值即可； （3）妈妈出发前，距离等于小明的路程，妈妈出发后求出妈妈驾车速度和行驶全程的时间，再运用待定系数法求出妈妈驾车行驶路程与时间关系式，根据两人相遇前相距2千米和相遇后相距2千米列方程求解即可． 【详解】（1）解：小明的速度为：， 甲乙两地之间的距离为 小明从甲地到乙地所用时间为：（小时）， ∴， 故答案为：2； （2）解：设小明从甲地到乙地这段的函数关系式为， 把，代入得， 解得 ∴小明从甲地到乙地这段的函数关系式为； （3）解：∵妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍， ∴妈妈驾车的速度是 ∴妈妈驾车行完全程的时间， 设妈妈驾车行驶路程与时间关系式为， 把，即分别代入得， 解得， ∴妈妈驾车行驶路程与时间关系式为， ①当妈妈还未出来出发时，； ①相遇前相距2千米，则：， 解得：； ②相遇后相距2千米，则：， 解得：； 综上，x的所有值为或1.7或1.8． 题型二十五 梯度计价问题（共3小题） 73．为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．若每月用气量不超过（包含），则按第一档收费标准a元/收费；若每月用气量超过，但不大于，则超过部分按第二档收费标准b元/收费；若每月用气量超过，则超过部分按第三档收费标准4元/收费．小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元． (1)求第一档燃气费单价和第二档燃气费单价分别是多少元/？ (2)设每月用气量为x，应交燃气费为y元，求y与x之间的函数关系式． (3)小明家5月份用气量为，应交燃气费为多少元？ (4)某户6月份的燃气费是182.5元，求该户6月份的用气量． 【答案】(1)第一档燃气费单价为3元/，第二档燃气费单价为元/ (2) (3)元 (4) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确理解题意列出方程组和对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元建立方程组求解即可； （2）分，和三种情况，根据所给收费标准列式求解即可； （3）把代入中求出y的值即可得到答案； （4）可推出该户的用气量超过，把代入中求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， 解得． 答：第一档燃气费单价为3元/，第二档燃气费单价为元/； （2）解：由（1）可得，当时，， 当时，； 当时，, 综上所述，； （3）解：在中，当时，， 答：应交燃气费为元； （4）解：在中，当时，， ∵， ∴该户的用气量超过， 在中，当时，则 解得． 答：该户6月份的用气量为． 74．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，某市出台了“阶梯价格”制度，具体收费标准如表所示： 阶梯 月用电量 单价元 第一档 第二档 第三档      (1)当时，写出电费（单位：元）与x之间的关系式； (2)小亮家6月份用电，应缴纳电费多少元？ (3)小亮家7月份开始用电增多，缴纳电费220元，求小亮家7月份的用电量． 【答案】(1)y与x的关系式为； (2)应缴纳电费129元； (3)小亮家7月份用电量为． 【分析】本题主要考查了一次函数及一元一次方程的应用，能根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据所给收费标准，得出y与x的关系式即可； （2）根据所给收费标准及用电量进行计算即可； （3）根据所给收费标准及电费进行计算即可； 【详解】（1）解：当时，月用电量属于第二组， 则， 所以y与x的关系式为； （2）解：将代入得， 元， 所以应缴纳电费129元； （3）解：因为，，且， 则将代入得， ， 解得， 所以小亮家7月份用电量为 75．盛夏时节，阎良“南果北种”的红心火龙果进入丰产期，颗颗饱满如红宝石．当地种植基地为方便市民尝鲜，推出同城快递配送服务，按包裹重量(计量单位为千克，不足1千克按1千克计量)实行阶梯计费．具体计费标准如下： 费用档位 包裹重量(单位：千克) 计价方式 第一档 元 第二档 超出千克的部分，元/千克 第三档 超出千克的部分，元/千克 根据以上提供的信息，请你解答下列问题： (1)当时，求配送费(单位：元)与包裹重量之间的函数关系式． (2)某用户购买该基地火龙果，快递配送费用为元，求出该包裹重量是多少千克？ 【答案】(1) (2)千克 【分析】（1）根据阶梯累计计费规则，整理得到对应区间的配送费与重量的函数关系式； （2）先计算第二档的最高配送费，判断32.8元所在的费用档位，再根据对应档位的计费规则列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：当时第一档费用为10元，超出5千克的重量为千克，超出部分单价为元/千克 总配送费 化简得 即当时， 函数关系式为． （2）把代入， 得(元) 该包裹重量，属于第三档当时， 总配送费为 化简得 令， 得方程 ∴ 解得 答∶该包裹重量是26千克． 题型二十六 一次函数的旋转问题（共3小题） 76．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则的面积是（   ） A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】B 【分析】根据已知条件得到，，过A作交于F，过F作轴于E，得到是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到，求得，求得直线的函数表达式，据此求解可得到结论． 【详解】解：∵一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B， ∴令，得，令，则， ∴，， ∴， 过A作交于F，过F作轴于E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为：， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为：， ∴， ∴， ∴的面积是， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 77．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，过点A的直线与y轴交于点B．将直线绕点A按顺时针方向旋转得到直线，设直线与y轴的负半轴交于点C，当时，________． 【答案】 【分析】过作轴于，过作交于，过作轴于，通过证明得出，，设，表示出，设，利用待定系数法求出直线的解析式，整理得①，结合，再利用勾股定理得到②，联立①②求出的值，即可解答． 【详解】解：过作轴于，过作交于，过作轴于， ∴， ∴， ∵将直线绕点A按顺时针方向旋转得到直线，直线与y轴的负半轴交于点C， ∴，点必定在y轴的正半轴且在点下方， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∵点A的坐标是， ∴， ∴，， ∴， ∴； 设，则直线解析式为， 代入，得， 解得， 整理得：①， ∵，，， ∴， 整理得：②， 得，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、直线的旋转、求一次函数解析式、全等三角形的性质与判定、一元二次方程的应用，利用45度角构造“一线三垂直”全等三角形是解题的关键． 78．已知点，且． (1)求直线的函数表达式； (2)如图，已知直线与直线相交于点C，点P为直线上一动点，若有，请求出点P的坐标； (3)点T为平面内一动点，连接，将线段绕点T旋转得到线段．若点Q恰好落在直线上，且当取到最小值时，请求出点T的坐标． 【答案】(1) (2)P的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）非负性求出的值，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而求出，分点在下方和上方，两种情况进行求解即可； （3）分T在O上方和T在O下方，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∴； （2）联立，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在直线下方时：， ∴， 当时，， ∴； 当点在直线上方时：， ∴， 当时，， ∴； 综上：或． （3）当T在O上方时，过T作轴于M，过Q作于N，如图： ∵将线段绕点T旋转得到线段， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最小时，最小， 此时， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 过点作，则：， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵将线段绕点T旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 解得， ∴T； 当T在O下方时，同理可得T， ∴T的坐标为或． 题型二十七 一次函数的折叠问题（共3小题） 79．如图，，，点在线段上，将沿直线折叠，点恰好落在点处． (1)求的值； (2)求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与几何综合，涉及勾股定理、折叠性质、待定系数法求函数解析式等知识，数形结合，熟练掌握勾股定理及待定系数法是解决问题的关键． （1）根据题中数据，在中，利用勾股定理求出，再由折叠性质得到，从而确定，即可得到答案； （2）根据已知条件，利用勾股定理列方程得到，再由待定系数法求出直线的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 在中，，则由勾股定理可得， ∵将沿直线折叠，点恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：设， 根据折叠的性质得，， 由（1）知， 在中，，则由勾股定理可得， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， 将、代入解析式得 ， 解得， 故直线的解析式为． 80．已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C为线段上一点，将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处． (1)用无刻度直尺和圆规作出直线； (2)求直线的解析式； (3)在直线上找一点E，使和面积相等，则点E的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)直线的解析式为 (3)点的坐标为或 【分析】本题主要考查作角平分线，角平分线性质定理以及求一次函数解析式等知识，正确作出角平分线是解答本题的关键． （1）作的平分线即可； （2）分别求出A，B的坐标，过点C作于点D，则，由勾股定理求出，利用等积法求出，得，运用待定系数法可求出直线的解析式； （3）分别求出，；得,设，根据和面积相等列方程，求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所作； （2）解：对于，当时，，当时，，解得：， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， 过点C作于点D，则， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：由（2）知，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； 设点， ∴， 当时，则有， 解得：，或， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 81．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．    (1)求C点的坐标以及直线的解析式； (2)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，直线解析式为， (2)或 (3)或或 【分析】（1）求出点A和点B的坐标，利用勾股定理求出的长，由折叠的性质可得，设出点C的坐标，表示出的长，再利用勾股定理建立方程求解即可； （2）先求出，进而得到，根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案； （3）分三种情况：若；若，；若，，分别利用全等三角形的判定及性质求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵点M在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点M的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 若，如图，过点P作轴于点G，    ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时点P的坐标为； 若，，如图，过点P作轴于点H，    同理可证明， ∴， ∴， 此时点P的坐标为； 若，，如图，过点P作轴于点M，轴于点N，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点P的坐标为， ∴， 解得， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，数形结合是解答本题的关键． 题型二十八 一次函数中的最值问题（共3小题） 82．如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，，的坐标分别为，，，点，是边上的两个动点，且，要使四边形的周长最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析四边形的周长最小，则最小，如图，把沿轴正方向平移个单位长度得作关于轴的对称点 则 连接交轴于 则 所以当重合时，最小，即最小，再利用一次函数的性质求解一次函数与轴的交点的坐标即可求解． 【详解】解： 四边形的周长 ， 是定值， 所以四边形的周长最小，则最小， 如图，把沿轴正方向平移个单位长度得 则 则 作关于轴的对称点 则 连接交轴于 则 所以当重合时，最小，即最小， 设的解析式为： 解得： 所以的解析式为： 令 则 则 即 故选C 【点睛】本题考查的是利用轴对称的性质求解四边形的周长的最小值时点的坐标，平移的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握的位置使周长最小是解本题的关键. 83．在平面直角坐标系中，已知，若轴上有一点，使得的值最小，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的应用，利用待定系数法可求出直线的解析式，再求出直线与y轴的交点即可． 【详解】解：连接，交y轴于点P，此时值最小， ∵，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，则， ∴点的坐标为． 故答案为：． 84．已知一次函数的图象过，两点，且与轴交于点． (1)求此一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知点在轴上，若使的值最小，求点的坐标． 【答案】(1)此一次函数的解析式为； (2)； (3)点的坐标为． 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，轴对称—最短路线问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （）把，代入，利用待定系数法即可求出此一次函数的解析式； （）根据一次函数解析式求出点的坐标，再根据即可求解； （）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据两点之间线段最短得出此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴此一次函数的解析式为； （2）解：由一次函数得，令，得到， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据两点之间线段最短得出此时的值最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴点的坐标为． 题型二十九 一次函数的新定义问题（共3小题） 85．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数的图象上存在“近轴点”，则m的值可以为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了新定义—“近轴点”，正确理解新定义，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键． 的图象恒过点，当直线过时，；得到；当直线过时，，得到． 【详解】解：中，当时，， ∴图象恒过点， 当直线过时，， ， ， 当直线过时，， ， ， ∴的取值范围为或． 故m的值可以为， 故选：B． 86．定义：若x，y满足（t为参数），则称点为“好点”．在的范围内，若直线上存在“好点”，则c的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系，求不等式组的解集等知识，熟练掌握以上知识点是关键． 根据题意得出，消去t得，在中，代入计算得出． 【详解】解：∵在的范围内，若直线上存在“好点”， ∴， 消去t得， ∴， ∴， 故答案为：． 87．定义：平面直角坐标系中，对于两点，称为两点的“曼哈顿距离”，记为． 【探究应用】 平面直角坐标系中，． （1）如图1，轴，轴，______． （2）如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在线段上任取一点是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． （3）使的所有点围成的图形面积为______． （4）若点是函数的图象上一动点，则使的所有点构成的线段长度为______． 【拓展延伸】 对于平面直角坐标系中的两点，定义．如图3的网格坐标系中，给定点，请类比“曼哈顿距离”的探究，在网格范围内画出使的所有点构成的图形，并直接写出的最大值． 【答案】探究应用：（1）3，（2）是定值，3，（3）18，（4），拓展延伸：图见解析，最大值为 【分析】探究应用：（1）根据定义代入数据计算即可； （2）先求出点的坐标，设点，再根据定义得到，即可解答； （3）由（2）知点Q在一次函数的图象上时，，根据对称的性质可得所有点围成的图形为边长为的正方形，即可解答； （4）设，根据定义得，解不等式，求出临界点，再利用勾股定理即可解答； 拓展延伸：由题意得，分别求出与的关系式，即可画出图形；分情况求出的关系式，利用一次函数的性质解答即可． 【详解】探究应用： 解：（1）根据题意：； （2）∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 令，则，令，则， ∴， 设点， 则， ∴是定值，且； （3）如图，由（2）知点Q在一次函数的图象上时，， 由对称的性质可得所有点围成的图形为边长为的正方形， 则所有点围成的图形面积为； （4）设，根据定义得， 当时，则，即，解得：（舍去）； 当时，则，即，解得：， ∴； 当时，则，即，解得：， ∴； 综上，时，， 此时，所有点构成的线段为点到点的线段长，长度为； 拓展延伸： 由题意得， 当时，则即； 当时，则即； 当时，则即； 当时，则即； 则在网格范围内使的所有点构成的图形如图所示， 当时，则， 当时，则， 此时，时，有最大值，最大值为； 当时，则， 此时，时，有最大值，最大值为； 综上，的最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数综合，理解曼哈顿距离的计算方法，掌握一次函数图形的性质，勾股定理，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． $