精品解析：四川省宜宾市长宁县2026年春教学质量诊断监测（一）九年级·数学

2026年春教学质量诊断监测（一） 九年级·数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 2的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 拒绝餐桌浪费，刻不容缓．一个人一日少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年．“32400000”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 对一组数据：2、3、、3、4，描述正确的是（ ） A. 中位数是 B. 平均数是2 C. 众数是2 D. 方差是1 5. 不等式组的解集为( ) A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 《算法统宗》是我国古代非常重要的数学名著，其中记载了一道题，原文：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少八两，几多客人几两银？大意为：有若干客人分银若干两，若每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则缺少8两．客人有多少？银有多少两？（题中斤、两是旧制质量单位，1斤=16两），设客人有x人，银有y两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 某市某化工厂，现有A种原料52千克，B种原料64千克，现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件．已知生产1件甲种产品需要A种原料3千克，B种原料2千克；生产1件乙种产品需要A种原料2千克，B种原料4千克，则生产方案的种数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为( )． A. B. C. D. 11. 如图，正方形中，为边上一点，过点作交的延长线于点，连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点的横坐标在2和3之间，顶点为．下列四种说法：①；②若，则；③若点、点，点在该函数图象上，则；④点关于直线的对称点为，点在轴上，当时，三角形周长的最小值为，其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在答题卡对应题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效） 13. 因式分解：________． 14. 分式方程的解为_______． 15. 如图，在中，直径于点E，，则弦的长为______． 16. 关于x的一元二次方程的两个实数根分别是、，且，则k的值是________． 17. 一个三位自然数，百位数字比个位数字多2，十位数字为4，则称这个数为“砺新数”，则最小的“砺新数”是___________；若是“砺新数”，将的百位数字与个位数字交换位置得新数，若是7的倍数，则的值是___________． 18. 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是______． 三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）（注意：在试题卷上作答无效） 19. 计算： （1）； （2） 20. 某学校为了开展好课后延时服务，举办了：机器人；：航模；：科幻绘画：：信息学；：科技小制作等五个兴趣小组（每人限报一项），将参加各兴趣小组的人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）求本次参加课后延时服务的学生人数； （2）把条形统计图补充完整，并求扇形统计图中的度数； （3）在组最优秀的2名同学（1名男生1名女生）和组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加全区的课后延时服务成果展示比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率． 21. 如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． （1）求点离水平地面的高度． （2）求电线塔的高度（结果保留根号）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是y轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 24. 如图，在四边形中，，．以为直径的经过点，且与边交于点，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标； （3）在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春教学质量诊断监测（一） 九年级·数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上． 2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 2的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，“只有符号不同的两个数互为相反数”．根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：2的相反数是， 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，除法，积的乘方法则进行计算即可. 【详解】解：A、不能合并，原计算错误； B、，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算正确. 3. 拒绝餐桌浪费，刻不容缓．一个人一日少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年．“32400000”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的表示方法作答即可． 【详解】解：． 故选：C． 4. 对一组数据：2、3、、3、4，描述正确的是（ ） A. 中位数是 B. 平均数是2 C. 众数是2 D. 方差是1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数、平均数、众数、方差的定义与计算，关键是掌握各统计量的计算方法．首先将数据排序，再分别计算各统计量，逐一判断选项是否正确． 【详解】解：先将数据从小到大排序为：，，，，． 对于选项A：中位数是排序后处于中间位置的数，这组数据共5个，中间的数是第3个，即，故A错误； 对于选项B：平均数，故B正确； 对于选项C：众数是一组数据中出现次数最多的数，出现了2次，其余数均出现1次，故众数是，并非2，C错误； 对于选项D：，并非1，故D错误； 故选：B． 5. 不等式组的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的解集，分别解两个不等式，再求公共部分，即可求解． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 故不等式的解集为． 故选：A． 6. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据是的直径得出，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 《算法统宗》是我国古代非常重要的数学名著，其中记载了一道题，原文：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少八两，几多客人几两银？大意为：有若干客人分银若干两，若每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则缺少8两．客人有多少？银有多少两？（题中斤、两是旧制质量单位，1斤=16两），设客人有x人，银有y两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组． 根据每人分七两，则剩余四两，若每人分九两，则还差八两，列出方程组即可． 【详解】解：由题意，得 故选A． 8. 某市某化工厂，现有A种原料52千克，B种原料64千克，现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件．已知生产1件甲种产品需要A种原料3千克，B种原料2千克；生产1件乙种产品需要A种原料2千克，B种原料4千克，则生产方案的种数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】设生产甲产品x件，则乙产品（20﹣x）件，根据现有A种原料52千克，B种原料64千克列出不等式组求解即可 【详解】解：设生产甲产品x件，则乙产品（20﹣x）件， 根据题意得：， 解得：8≤x≤12， ∵x为整数， ∴x=8，9，10，11，12， ∴有5种生产方案： 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，找出合适的不等关系列出不等式组是解题的关键． 9. 如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长恰好经过点B，，确定，然后结合图形及反比例函数的意义，得出，代入求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 设点的坐标为， ∵矩形的对称中心M， ∴延长恰好经过点B，， ∵点D在上，且， ∴， ∴， ∴ ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 10. 如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为( )． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，连接，由，推出、、、四点共圆，再证为定值，推出点在射线上运动，当时，的值最小，然后求出与，即可解决问题． 【详解】解：过点作于点，连接，如图所示： ， 、、、四点共圆， ， ，， ， ， ， 点在射线上运动， 当时，的值最小， 四边形是矩形， ， ， ， ， 即 ， ， 在中，由勾股定理得： ， 的最小值 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、勾股定理、四点共圆、圆周角定理，熟练掌握矩形的性质，利用垂线段最短解决最值问题是解题的关键． 11. 如图，正方形中，为边上一点，过点作交的延长线于点，连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形的性质，可得，，证明，可得，设，，在中，根据勾股定理可得，可得，，作于点，证明，可得，，可得，在中，可得，即可得的值． 【详解】解：正方形中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，，则，， ∵为边上一点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，（舍去）， ∴，， 作于点，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 12. 如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点的横坐标在2和3之间，顶点为．下列四种说法：①；②若，则；③若点、点，点在该函数图象上，则；④点关于直线的对称点为，点在轴上，当时，三角形周长的最小值为，其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线与轴的一个交点的横坐标在 2 和 3 之间得出不等式组，求解后可判断①；由抛物线的对称性及抛物线与轴的一个交点在 2 和 3 之间可得出该抛物线与轴另一个交点坐标位置，从而得出相应的函数值的范围，可判断②；结合图象，根据二次函数的性质（离对称轴距离越近的点所对应的函数值越大）可判断③；因边一定，只要其他三边和最小便可，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于点，求出便是其他三边和的最小值，可判断④． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点的横坐标在 2 和 3 之间，且二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ， 解得：，故结论①正确； ∵抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点的横坐标在 2 和 3 之间，且， ∴抛物线与轴另一交点横坐标在和 0 之间，， ， ，即， ， 即， ， ，故②正确； ∵抛物线对称轴为直线，且开口向下， 又 ∵， ∴，故结论③错误； 当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线， ∴ 当时，得， ， ∵点关于直线的对称点为， ， 如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则， ， 此时的长最短，而的长度一定， ∴周长的最小值为， ， ， ∴周长的最小值为，故结论④正确； ∴正确结论的个数是3个． 故选：B． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点，对称的性质，求线段和的最小值，两点间的距离等知识，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在答题卡对应题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效） 13. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 14. 分式方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程化为整式方程求解，最后要检验所得的根是否为增根．通过交叉相乘将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后检验所得的根． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项：， ∴， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 故答案为：． 15. 如图，在中，直径于点E，，则弦的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 16. 关于x的一元二次方程的两个实数根分别是、，且，则k的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据根与系数的关系结合已知条件得出关于的一元二次方程.，解出的所有可能值后，再根据方程有实数根，结合根的判别式得出的取值范围，即可确定符合条件的的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别是、， 由根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， 整理可得， 解得或， 一元二次方程有两个实数根， 根的判别式， ， ． 17. 一个三位自然数，百位数字比个位数字多2，十位数字为4，则称这个数为“砺新数”，则最小的“砺新数”是___________；若是“砺新数”，将的百位数字与个位数字交换位置得新数，若是7的倍数，则的值是___________． 【答案】 ①. 240 ②. 240或947 【解析】 【分析】本题考查新定义运算与数的整除性，解题的关键是根据”砺新数”的定义设出个位和百位数字，建立数的表达式，再结合条件求解． 对于最小”砺新数”，需让百位数字最小，结合百位与个位数字的关系确定各位数字；对于是7的倍数的情况，先建立的表达式，再根据整除性分析个位数字的可能值，进而得到的值． 【详解】解：设的个位数字为，则百位数字，十位数字为4， 因此， 将的百位数字与个位数字交换位置得新数，， 求最小的”砺新数”： 要使最小，需让百位数字最小．因为，且是百位数字（），是个位数字（，所以当时，，此时，即最小的”砺新数”是240； 求是7的倍数时的值： 因为是7的倍数，即能被7整除， 计算，所以，即能被7整除， 因为3和7互质，所以能被7整除， 又因为，所以或， 当时，，此时，符合条件， 当时，，此时，符合条件， 综上，答案为①240；②240或947． 故答案为：①240；②240或947． 18. 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是______． 【答案】 【解析】 【分析】分点在矩形内部和点在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点在矩形内部时，作，交于点，证明，进而得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，得到当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆，当点在矩形外部时，同法可得，点在以为直径的圆上，得到当点运动到点时，点的运动轨迹是圆心角为的，求出两段路径的和即可得出结果． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵翻折， ∴， 当点在矩形内部时，作，交于点，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∴当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆， ∴点的运动路径长为：； 当点在矩形的外部时，作，交的延长线于点， 同法可得：，， ∴，点在以为直径的上运动，连接， 当点运动到点时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为圆心角为的，路径长为， ∴点的运动路径总长为：； 故答案为： 【点睛】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）（注意：在试题卷上作答无效） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 某学校为了开展好课后延时服务，举办了：机器人；：航模；：科幻绘画：：信息学；：科技小制作等五个兴趣小组（每人限报一项），将参加各兴趣小组的人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）求本次参加课后延时服务的学生人数； （2）把条形统计图补充完整，并求扇形统计图中的度数； （3）在组最优秀的2名同学（1名男生1名女生）和组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加全区的课后延时服务成果展示比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】（1）100人 （2） 补全条形统计图如图所示． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或画树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）用参加组的学生人数除以其所占的百分比可得本次参加课后延时服务的学生人数． （2）用本次参加课后延时服务的学生人数分别减去参加，，，组的学生人数，可求出参加组的学生人数，补全条形统计图即可；用乘以参加组的学生所占的百分比，即可求出的度数． （3）列表格得出所有等可能的结果数和所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：（人）． 答：本次参加课后延时服务的学生人数是100人． 【小问2详解】 解：参加组的人数为（人． 补全条形统计图略 扇形统计图中的的度数是． 【小问3详解】 解：设组的1名男生和1名女生分别记为，，组的2名男生和1名女生分别记为，，． 列表如下： C组 E组 共有6种等可能的结果，其中所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有：，，，共3种， ∴所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为． 21. 如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得，再根据即可证得结论； （2）结合（1）利用线段的和差即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴． 22. 某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． （1）求点离水平地面的高度． （2）求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）； （2）电线塔的高度． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用． （1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可； （2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵斜坡的坡度， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：作于点，则四边形是矩形，，， 设， 在中，， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 答：电线塔的高度． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是y轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）点坐标为或或 【解析】 【分析】（1）先求出值，进而求出点坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）图象法求出不等式的解集即可； （3）分三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由图象可知，不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴， 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得； 综上：点坐标为或或． 24. 如图，在四边形中，，．以为直径的经过点，且与边交于点，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 又， ， 为的直径， ， ， ，即， ， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，然后由圆周角定理得，则，故，即可证明； （2）先解，然后证明，作于点，可得，设，则，，再证明即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作于点， ，， ． ∴在中，由勾股定理得，， ． ，， ， ， ∵ ． ， ， 设，则，， ，， ． 又， ， ，即． ， 解得， ． 【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，圆的切线的判定等知识点． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接、，当面积最大时，求点P的坐标； （3）在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）过P作轴，交于F，求出，从而可得直线解析式为，进而得出直线的解析式为，联立，可得， 设，则，，表示出，结合二次函数的性质可得当时，最大，由是定值，且，可得最大，即可得出结果； （3）设与交于点L，由勾股定理可得，结合二次函数图象平移的性质可得，先证明，从而可得，求出解析式为，解析式为，当时，联立，计算即可得出；设关于x轴对称点为，求出 直线解析式为，联立，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线为； 【小问2详解】 解：如图，过P作轴，交于F， 在中，令，则． ∴． 设直线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∵是定值，， ∴最大， ∴当面积最大时，； 【小问3详解】 解：设与交于点L， ， ∵，， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线，为， 即， ∵点为点P的对应点， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 当时，联立， 解得或（舍去）， ∴； 设关于x轴对称点为，直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∴联立， 解得（舍去）或， ∴． 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—角度问题，求一次函数的解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $