3.5整式的化简 自主达标测试题 2025-2026学年浙教版七年级数学下册

2025-2026学年浙教版七年级数学下册《3.5整式的化简》自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．若，则a、b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．若，则的值为（    ） A．60 B．30 C．15 D． 3．已知，则的值为（   ） A．3 B．9 C．49 D．100 4．规定，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．整式可以变形为，由此可知的最小值是5．那么按此方法，整式的最小值是（   ）． A． B． C． D． 6．已知，，，则代数式的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 8．如图，小明以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案．若四个正方形的周长之和为56，面积之和为54，则长方形的面积为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 二、填空题（满分24分） 9．计算的结果为________． 10．若，则代数式的值等于__________． 11．若，则代数的值为______． 12．若，则___________． 13．已知，则代数式的值为______． 14．如图，正方形的边长为，正方形的边长为，若，长方形的面积为6，则___________． 15．如图，两个正方形的边长分别为a，b（）．若，，则图中阴影部分的面积为________． 16．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式：，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的.例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于_____________对称； （2）若关于的多项式关于对称，则________． 三、解答题（满分72分） 17．计算： (1) (2) 18．先化简，再求值： ，其中 ． 19．已知，．求： (1)的值． (2)的值． (3)的值． 20．观察下列等式，并回答问题． ； ； ； ；… (1)将写成两个整数平方差的形式： ． (2)用含有字母（，且为整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． (3)相邻的两个整数的平方差是的倍数吗？请说说你的理由． 21．有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例：若，，试比较，的大小． 解：设， 那么，． 因为，所以． 看完后，你学会了这种方法吗？利用上面的方法解答下列问题： 若，，试比较，的大小． 22．如果将完全平方公式：进行适当的变形，可以得到很多等式，利用这些等式可以帮助我们解决许多数学问题． (1)若，，则的值为__________； (2)如图，在正方形中，点E，F分别在，边上，且，，长方形的面积是13．分别以、为边在正方形外部作正方形①和正方形②，求正方形①和正方形②面积和． 23．很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，容易机械记忆．为了帮助同学们直观理解公式的几何意义，老师设计了一节“拼图与公式”实验课： 【知识重现】 观察图①，用等式表示图中图形面积的运算： 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分的面积为__________． 【拓展应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，则__________． （3）若实数满足，求． 【学习致用】 （4）如图③，两块完全相同的直角三角板与按图示放置，点在同一直线上．连接，已知，且，求一块直角三角板的面积． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了利用完全平方公式配方，通过将二次三项式进行配方后，比较系数求出a和b的值，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 比较系数得：， 即； 又， 即， ， 因此，， 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了求代数式的值，准确的计算是解决本题的关键． 将代数表达式重组并因式分解，利用完全平方公式和已知条件代入计算即可． 【详解】解： ， 又∵， ∴ ． 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 利用完全平方公式求的值，再根据选项判断． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了整式的乘法运算． 根据新定义列出等式，进而计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：， 则代数式的最小值是． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式的变形对代数式进行转化，再代入计算． 先求出的值，再利用恒等式 进行计算． 【详解】解：已知， 则， ， ， 根据恒等式，将上述值代入可得： ． 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，观察式子规律通过引入中间变量进行简化计算是解题的关键．设 ，将原式进行变形，然后简化计算，即可得解． 【详解】解：设 ，则原式可表示为： ， ， 故选： D． 8．C 【分析】本题考查了完全平方公式在长方形面积计算中的应用，解题的关键是利用正方形的周长和面积关系得出长方形长与宽的和及平方和，再通过完全平方公式求解面积． 设长方形的长为，宽为，根据四个正方形的周长之和与面积之和列出关于、的方程，得出和的值，再利用完全平方公式求出（即长方形面积）． 【详解】解：设，，由四个正方形的周长之和为，面积之和为可得， ，， 即①，②， 由①得，③， ③ - ②得， 所以， 即长方形的面积为， 故选C． 9．/ 【分析】先根据完全平方公式展开原式，再合并同类项即可得到计算结果． 【详解】解： ． 10． 【分析】本题考查了求代数式的值，运用整体代入求值法，整体代入求值法是将已知条件适当变形，然后作为一个整体，代入到经过变形的待求的代数式中去求值的一种方法．由已知条件 可得 ，将代数式 利用平方差公式变形后整体代入求值． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ． 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了求代数式的值，根据已知式子，利用完全平方公式求解出x的值，然后将x的值代入代数式求值即可． 【详解】解：由，得， 所以， 代入，得． 故答案为：． 12． 【分析】根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 13．0 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，整式的混合运算，运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先运用完全平方公式、平方差公式将代数式化简，再利用已知条件代入求值． 【详解】解：原式 ∵， ∴， 原式 故答案为：0． 14．37 【分析】本题考查了完全平方公式与几何综合，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 由题意得，，，则根据即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴， 故答案为：． 15．14 【分析】本题考查完全平方公式的应用，用含有a、b的代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式进行代数式的变形，进而求出答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 故答案为：14． 16． 2 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． （1）已知多项式进行配方，然后根据新定义判断即可； （2）把关于x的多项式进行配方，得出其关于对称，从而列出关于b的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵， ∴多项式关于对称， 故答案为：2； （2）∵， ∴关于x的多项式关于对称， 又∵关于x的多项式关于对称， ∴，则． 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】（1）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再去括号，合并同类项即可； （2）先利用多项式乘以多项式法则和完全平方公式计算，再去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．，当时，原式 【分析】先利用平方差、完全平方公式，以及单项式乘多项式的运算法则进行计算，再去括号，最后合并同类项，再将所给的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）； （2）； （3），直接代入求值即可． 【详解】（1）解：当，时， ； （2）解：当，时， ， 所以； （3）解：当，时， ． 20．(1)， (2)（且为整数），证明见解析 (3)不是，理由见解析 【分析】本题主要考查完全平方公式： （1）根据题意可知，； （2）根据题意可知（且为整数），将上述等式右边展开，即可证明； （3）设相邻的两个整数为和（为整数），当这两个整数的平方差为时，，当这两个整数的平方差为时，． 【详解】（1）根据题意可知，． 故答案为：， （2）根据题意可知（且为整数）． 将上述等式右边展开： （3）设相邻的两个整数为和（为整数）． 当这两个整数的平方差为时，． 当这两个整数的平方差为时，． 因为和是奇数，而的倍数是偶数， 所以，相邻两个整数的平方差不是的倍数． 21．；过程见解析 【分析】本题考查的知识点是整式的混合运算，解题关键是正确理解题意，掌握题目所给将较大数值计算问题转化为整式混合运算的方法和步骤． 设，则，，根据整式混合 运算的法则，分别计算出，的值即可比较大小． 【详解】解：学会了，此时，的大小关系为， 设， 则， ， ， ； ， ， ， ， ． 22．(1)18 (2)42 【分析】（1）根据完全平方公式的变形解答即可； （2）设，则正方形①和正方形②面积和为，，再由，，可得，再由完全平方公式的变形解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，则正方形①和正方形②面积和为， ∵长方形的面积是13， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即正方形①和正方形②面积和为42． 23．（1）；（2）108；（3）15；（4）58 【分析】考查了完全平方公式的几何背景及应用，熟练掌握完全平方公式的变形与几何意义是解题的关键． （1）观察图②，用整体与部分的面积关系推导等式，即大正方形面积减去空白部分面积得到阴影部分面积，或者用各部分阴影小图形面积相加来表示． （2）根据类比探究得出的公式，将与的值代入计算 ． （3）把和看作整体，利用类比探究的公式，结合已知条件计算 ． （4）设出直角三角板的两条直角边，根据线段和与面积和的条件，结合完全平方公式变形求解单块三角板面积 ． 【详解】解：（1）大正方形边长，面积，空白是两个长宽的长方形，两个小正方形的面积分别为，， ∴阴影面积； （2）由，，， ∴； （3）设，，则， ． ， ∴； （4）设，，则 ． ，即 ． ∵， ∴， 解得 ． ∴一块直角三角板面积 ． 学科网（北京）股份有限公司 $