精品解析：2026年江西南昌市中考一模数学试卷

2026年江西南昌市中考一模数学试卷 说明： 1．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，是正有理数的是（ ） A. B. 3 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正有理数的定义逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：有理数包含整数和分数，正有理数是大于0的有理数，无限不循环小数是无理数， A 、是无限不循环小数，属于无理数，不符合要求； B、 是正整数，属于正有理数，符合要求； C、 既不是正数也不是负数，不符合要求； D 、是负整数，不符合要求． 故选B． 2. 碳酸氢钙中，元素、、、的化合价分别为，，，，其中化合价最小的元素是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目已给出各元素的化合价，只需根据有理数大小比较规则，找出最小化合价对应的元素即可． 【详解】解：∵， ∴化合价最小的元素是． 3. 如图是海昏侯墓出土的三足青铜鼎，显示出西汉时期手工业高超的工艺水平，下面关于它的三视图，说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三视图都不相同 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图的定义判断即可． 【详解】解：主视图看到的是三足青铜鼎的正面轮廓，顶部两个鼎耳，底部能看到三个鼎足； 左视图只能看到左侧的鼎耳，底部只能看到前后两个鼎足； 俯视图从上往下看，只能看到鼎口的圆形轮廓，以及向两侧伸出的鼎耳，看不到鼎足和鼎身的侧面； 综上所述，三视图都不相同． 4. “赣水欢腾 马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（ ） A. 点动成线 B. 线动成面 C. 面动成体 D. 两点定线 【答案】A 【解析】 【详解】解：烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为点动成线． 5. 为塑造学校独特的品牌形象，某校邀请5位专家评委对进入复赛的两幅校徽设计作品甲、乙进行打分，其中甲作品最终所得平均分为90.8分，方差为0.5；乙作品得分（单位：分）分别为90，91，91，91，m（整数），若甲作品最终所得平均分低于乙作品，且5位评委对乙作品的评价相比甲作品更一致，则m的值为（ ） A. 90 B. 91 C. 92 D. 93 【答案】C 【解析】 【分析】先由甲平均分低于乙得到m的取值范围，再由乙评分更一致说明乙方差更小，验证得到m的值． 【详解】解：∵甲平均分低于乙，甲平均分为，乙分数和为， ∴乙的平均分为， 解得：， ∵是整数， ∴，排除A、B选项； 方差越小，评分越一致，因此乙的方差需小于甲的方差， 当时： 乙的平均分为， 乙的方差， ∵，符合条件； 当时： 乙的平均分为， 乙的方差， ∵，不符合条件， ∴． 6. 如图，在菱形中，，，点E是对角线上任意一点，连接，将线段沿着直线翻折，得到线段，若是等腰三角形，则E，F两点间的距离不可能为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据菱形的性质和折叠的性质可知，，，然后分三种情况讨论：、、，再根据直角三角形的性质和勾股定理分别求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴当时，连接，交于点M，如图所示， ∵将线段沿着直线翻折，得到线段， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当时，如图所示， 同理，， 则在中，，， ∴， ∴； 当时，此时交的延长线于点M，如图所示， 此时点E与点C重合，， 同理，， 则在中，，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，A选项符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 的相反数是__________． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此的相反数是2026． 【详解】解：的相反数是． 故答案为：2026． 8. “以声音为眼让团圆无界”，截至2026年2月18日，“春晚无障碍版”直点播播放量达2833.66万次，数2833.66万用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将2833.66万转化为整数，再根据科学记数法的定义确定和的值即可． 【详解】解：， 根据科学记数法的定义，将一个数表示为的形式，其中，为整数，为原整数位数减1， ． 9. 如图是某晚会表演节目的机器人，图2是从中抽象出的示意图．经测量，，，若，则的度数为________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】连接，求得，根据三角形内角和，得到，根据互余的性质求解即可． 【详解】解：连接， ，且三点共线， ， ， ， ， ， ． 10. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你结合图中的两个直角三角形，运用数形结合思想，解决下面问题：代数式的最小值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】连接，延长、交于点F，当点A、C、E三点共线时，最小，即为的长度，最后由勾股定理可得结论． 【详解】解：连接，延长、交于点F， ∵，， ∴， 当点A、C、E三点共线时，最小，即最小， ∴的最小值为： 11. 已知快递员取一件快递的收益比送一件快递的收益多1元，某天该快递员送快递的件数是取快递件数的2倍，若送、取快递获益相同，则该快递员取一件快递的收益为________元． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题思路是设出相关未知数，根据送、取快递总获益相等的等量关系列方程求解． 【详解】解：设该快递员送一件快递的收益为元，则取一件快递的收益为元，设取快递的件数为，则送快递的件数为，. 根据送、取快递获益相同，列方程得 等式两边同时除以，得 移项得 合并同类项得 因此取一件快递的收益为元． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B在线段上运动，过点B作x轴的垂线交函数的图象于点C，若三条线段，，中，恰有两条线段长度的比值为2，则线段的长为________． 【答案】3或 【解析】 【分析】由题意可得，分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出结果． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵三条线段，，中，恰有两条线段长度的比值为2， ∴当时，，即点的坐标为， 此时， ∴，此时不满足恰有两条线段长度的比值为2，故不符合题意，舍去； 当时， ∵， ∴，即点的坐标为， ∵过点B作x轴的垂线交函数的图象于点C， ∴此时点的横坐标为，纵坐标为，故此时； 当时， ∵， ∴，即点的坐标为， ∵过点B作x轴的垂线交函数的图象于点C， ∴此时点的横坐标为，纵坐标为，故此时； 综上所述，线段的长为3或． 二、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）如图，分别是边上的高．求证． 【答案】（1）1 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先计算除法，绝对值，再计算加法即可； （2）先利用平行四边形的性质可得，再根据分别是边上的高，可得，即可证明． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 证明：∵中，， ， ． ∵分别是边上的高， ， ． 14. 解不等式组并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】根据题意，先对不等式组进行求解，然后将其解集在数轴上表示即可 【详解】解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 故原不等式组的解集为． 将解集在数轴上表示为 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 16. “马踏新程·新年有光·少年有为”，某班开展马年迎新活动，活动中有个游戏环节，规则为每位同学只能转动转盘（图1）一次，指针落在面积相等的A，B，C，D的某个区域，对应可得一个有奔马、福马、萌马、祥云马图案的马卡龙（图2），若指针落在边界位置，则要重新转动，甲、乙两位同学各转动转盘一次． （1）事件“甲同学得到有福马图案的马卡龙”是_________事件； A．随机 B．不可能 C．必然 D．确定性 （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位同学抽到图案相同的马卡龙的概率． 【答案】（1）A （2） 【解析】 【分析】（1）根据事件的分类即可解答； （2）列表求出总的结果数和甲、乙两位同学抽到图案相同的马卡龙的结果数，利用概率公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：事件“甲同学得到有福马图案的马卡龙”是随机事件； 【小问2详解】 解：列表如下： 甲 乙 A B C D A B C D 故P（甲、乙两位同学抽到图案相同的马卡龙）． 17. 如图，点C是的直径延长线上一点，点D在上，，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，作，使； （2）在图2中，作一个角，使之与互余． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）延长交于点E，连接即可； （2）方法一：延长交于点E，延长交于点F，连接交于点M，则为所求；方法二：延长交于点P，过点作的直径，连接，交于点F，为所求． 【小问1详解】 解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为所求． 【小问2详解】 方法一：如图， ∵为直径， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴为所求． 方法二：如图， ∵为直径， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴为所求． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某选手在练习打台球时，他将母球和目标球按图1所示的位置放置，击打母球，母球沿着图2所示的白色路线运动，图3是从图2中抽象出的示意图，边界，点，和，分别在边界和上，线段和相交于点．（台球的大小忽略不计） （1）求证：点到边界和的距离之比等于与之比； （2）已知边界和之间的距离为，洞宽，要使目标球顺利落袋，必须与相等，此时测得．求该选手让目标球顺利落袋时的度数．（参考数据：，，结果精确到．） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，并延长交于点，根据可证，根据相似三角形的性质可证结论成立； （2）根据平行线的性质和等角的补角相等，可证，根据等角对等边可证，根据等腰三角形的三线合一定理可得，根据可以求出，根据可知，根据三角形外角的性质可得． 【小问1详解】 证明：过点作，垂足为，并延长交于点， ， ，， 即点到边界和的距离分别是线段和的长， ， 点到边界和的距离之比等于与之比； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ， ， ，，，， ， 在中，， ， 是的一个外角， ． ． 19. 教师群体的心理健康状况值得特别关注．某区为了解教师心理健康现状，从本区随机抽取a名教师进行心理健康测评，测评标准如下： 得分区间 0～10分 11～20分 21～30分 31～40分 41～50分 心理健康等级 A：优秀 B：良好 C：一般 D：需要注意 E：需专业干预 【数据处理】 将收集到的数据整理成以下两幅统计图： 【数据应用】 （1）_________，_________，_________； （2）补全条形统计图； （3）在抽取的教师中，得分为中位数的教师心理健康等级处于_________； （4）调查发现，心理健康等级为E的教师中，通过单次专业心理干预，约有的教师心理获得正向改善，恢复了健康．若该区共有教师2900名，问心理健康等级为E的教师都经过单次专业心理干预后，约有多少名教师获得正向改善，恢复了健康？ 【答案】（1）200，16，38 （2）见解析 （3）C （4）约有116名获得正向改善，恢复了健康 【解析】 【分析】（1）用B等级的人数除以其所占的百分比，可求出a的值；用总人数乘以A等级所占的百分比可得b的值，用D等级的人数除以总人数，可求出c的值； （2）根据（1）中即可补全条形统计图； （3）根据中位数的定义解答即可； （4）用2900乘以E等级所占的百分比，再乘以，即可． 【小问1详解】 解：； ； ，即； 【小问2详解】 解：等级E的人数： 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：∵，， ∴把这200个数据从小到大排列，第100个和101个数位于等级C， 即在抽取的教师中，得分为中位数的教师心理健康等级处于C； 【小问4详解】 解：（名） 答：该区心理健康等级为E的教师约有116名获得正向改善，恢复了健康． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x，y轴的垂线，垂足为C和B，矩形的面积为4． （1）求该反比例函数的解析式； （2）如图2，点D，E分别在边上，线段和的长成反比例关系，比例系数为1，顺次连接． ①当点A的横坐标为4时，求的面积； ②当点A在该反比例函数的图象上运动时，的面积是否发生改变？若发生改变，写出它们的变化规律；若没有发生改变，请说明理由． 【答案】（1） （2）①②不会发生改变．理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用反比例函数的性质求解； （2）①根据函数解析式求出点纵坐标，设点D的坐标为，点E的坐标为，得出，然后利用割补法表示出三角形的面积即可； ②设点A的坐标为，表示出点D的坐标为，点E的坐标为，然后利用割补法表示出三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：∵矩形的面积为4， ∴， ∴或， ∵函数图象位于第一象限， ∴ ∴该反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：①∵点A的横坐标为4， ∴， ∴点A的纵坐标为1． ∴可设点D的坐标为，点E的坐标为． ∵线段和的长成反比例关系，比例系数为1， ． ． 即． ； ②不会发生改变．理由如下： ∵设点A的坐标为， ∴可设点D的坐标为，点E的坐标为，且． ∵线段和的长成反比例关系，比例系数为1， ． ， ． 即． ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，为半径画半圆，分别与，相交于点D，E，过点E作，垂足为F． （1）求证：是半圆O的切线； （2）已知，，如图2，当与半圆O相切于点G时． ①求半圆O的半径； ②求图中阴影部分的周长． 【答案】（1）见解析 （2）①4；② 【解析】 【分析】（1）连接,根据等腰三角形的性质易得到，进而得到，根据平行线的性质得到，根据得到，从而得出结论； （2）①连接，根据切线的性质得到是直角三角形，进而得到，设，则，，进而求出，结合，列方程求出的值，从而求出长； ②连接，易证明四边形为正方形，进而得到，，利用阴影部分的周长等于求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是半圆O的切线； 【小问2详解】 解：①如图，连接， 与半圆O相切于点G， ， 是直角三角形， ， 设，则，， ， ， ， ， ， 即半圆O的半径为4； ②连接， ， 四边形为矩形， ， 矩形为正方形， ，， 由①知：半圆O的半径为4， 阴影部分的周长为：． 【点睛】本题考查切线的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、正方形的判定与性质、勾股定理及弧长公式，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 22. 已知点是抛物线上一点，若，则我们把点P称为该抛物线的“二倍点”． （1）【定义理解】 ①若点P是抛物线上的“二倍点”，则点P的坐标为________； ②下列抛物线，没有“二倍点”的是________． A． B． C． （2）【深入探究】 已知抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点． ①求该抛物线的解析式； ②将该抛物线向下平移k个单位得到新的抛物线，若新抛物线恰好只存在1个“二倍点”，求k的值及该“二倍点”的坐标． 【答案】（1）①或，②C （2）①；②，“二倍点”的坐标为 【解析】 【分析】（1）①根据“二倍点”的定义可得，且，据此解方程即可得到答案；②根据题意可得当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线一定有交点，故联立对应的抛物线的解析式和直线的解析式，看方程是否有解即可得到答案； （2）①抛物线与x轴只有1个公共点可得判别式的值为0，再结合点B和点C的坐标列式求解即可；②求出平移后的抛物线解析式，根据新抛物线恰好只存在1个“二倍点”可得新抛物线与直线只有一个交点，据此求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二倍点”， ∵点P是抛物线上的“二倍点”， ∴，且， ∴， 解得或， 当时，；当时，； 综上所述，点P的坐标为或； ②由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二倍点”， ∴所有的抛物线的“二倍点”都在直线上， ∴当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线一定有交点； 联立得，即， ∴， ∴二次函数与直线有两个不同的交点， ∴二次函数上有“二倍点”； 联立得，即， 解得， ∴二次函数与直线只有一个交点， ∴二次函数上有“二倍点”； 联立得，即， ∴， ∴二次函数与直线没有交点， ∴二次函数上没有“二倍点”； 【小问2详解】 解：①∵抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； ②由题意得，平移后的抛物线的解析式为， 联立得，即 ∵平移后的抛物线上恰好只存在1个“二倍点”， ∴， ， ∴， 解得． ∴“二倍点”的坐标为． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合实践 如图1，在中，，，某数学兴趣小组将绕着点C顺时针旋转一定角度得到，直线，相交于点D，在它们形成的四个角中，其中一个锐角用表示，在探究的度数及与的数量关系时，经历了如下过程： （1）【特例感知】 如图2，当A，C，三点共线时． ①__________； ②若，则__________． （2）【猜想证明】 猜想的度数及与的数量关系，并结合图1进行证明． （3）【拓展应用】 如图3，已知，在旋转的过程中，若，求线段的长． 【答案】（1）①；② （2）猜想：，．理由见解析 （3）线段的长为或 【解析】 【分析】（1）①在中，，，得出是等腰直角三角形，则 ， 由旋转性质得 ，，，，求出，在等腰中，求出，在等腰中，求出，则，设与交于点，（对顶角相等），求出 ，即可得． ②由①可得，，得出，，从而求出，即可得出，则，结合，即可求出． （2）如图，分别过点A，作的垂线，垂足为Q和P，证明，得出，再证明，得出．设，由旋转可知，，，则．即可得，．根据三角形外角的性质得出即可解答． （3）连接，过作于点，根据，，得出，，则，根据勾股定理求出，则，勾股定理得出，证明，求出，得出，即可得．再分为①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，分别画图求解即可． 【小问1详解】 解：①在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∵绕点旋转得到， ∴ ，，，， ∵三点共线， ∴， ∴， 在等腰中，， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴， 设与交于点，（对顶角相等）， ∵， 是相交形成的锐角， ∴． ②由①可得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：猜想：，．理由如下： 如图，分别过点A，作的垂线，垂足为Q和P， ， 根据旋转可得，，， ，， ， ， ， 又， ． ． 又， ． ． 设， 由旋转可知，，． ． ，． 是的一个外角， ， 故的度数为． 【小问3详解】 解：连接，过作于点， ，， ，， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． ①当点在线段上时，如下图． 则． ②当点在线段的延长线上时，如下图． 则． 综上所述，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年江西南昌市中考一模数学试卷 说明： 1．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，是正有理数的是（ ） A. B. 3 C. 0 D. 2. 碳酸氢钙中，元素、、、的化合价分别为，，，，其中化合价最小的元素是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是海昏侯墓出土的三足青铜鼎，显示出西汉时期手工业高超的工艺水平，下面关于它的三视图，说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三视图都不相同 4. “赣水欢腾 马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（ ） A. 点动成线 B. 线动成面 C. 面动成体 D. 两点定线 5. 为塑造学校独特的品牌形象，某校邀请5位专家评委对进入复赛的两幅校徽设计作品甲、乙进行打分，其中甲作品最终所得平均分为90.8分，方差为0.5；乙作品得分（单位：分）分别为90，91，91，91，m（整数），若甲作品最终所得平均分低于乙作品，且5位评委对乙作品的评价相比甲作品更一致，则m的值为（ ） A. 90 B. 91 C. 92 D. 93 6. 如图，在菱形中，，，点E是对角线上任意一点，连接，将线段沿着直线翻折，得到线段，若是等腰三角形，则E，F两点间的距离不可能为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 的相反数是__________． 8. “以声音为眼让团圆无界”，截至2026年2月18日，“春晚无障碍版”直点播播放量达2833.66万次，数2833.66万用科学记数法表示为________． 9. 如图是某晚会表演节目的机器人，图2是从中抽象出的示意图．经测量，，，若，则的度数为________． 10. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你结合图中的两个直角三角形，运用数形结合思想，解决下面问题：代数式的最小值为________． 11. 已知快递员取一件快递的收益比送一件快递的收益多1元，某天该快递员送快递的件数是取快递件数的2倍，若送、取快递获益相同，则该快递员取一件快递的收益为________元． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B在线段上运动，过点B作x轴的垂线交函数的图象于点C，若三条线段，，中，恰有两条线段长度的比值为2，则线段的长为________． 二、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）如图，分别是边上的高．求证． 14. 解不等式组并将解集在数轴上表示出来． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. “马踏新程·新年有光·少年有为”，某班开展马年迎新活动，活动中有个游戏环节，规则为每位同学只能转动转盘（图1）一次，指针落在面积相等的A，B，C，D的某个区域，对应可得一个有奔马、福马、萌马、祥云马图案的马卡龙（图2），若指针落在边界位置，则要重新转动，甲、乙两位同学各转动转盘一次． （1）事件“甲同学得到有福马图案的马卡龙”是_________事件； A．随机 B．不可能 C．必然 D．确定性 （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位同学抽到图案相同的马卡龙的概率． 17. 如图，点C是的直径延长线上一点，点D在上，，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，作，使； （2）在图2中，作一个角，使之与互余． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某选手在练习打台球时，他将母球和目标球按图1所示的位置放置，击打母球，母球沿着图2所示的白色路线运动，图3是从图2中抽象出的示意图，边界，点，和，分别在边界和上，线段和相交于点．（台球的大小忽略不计） （1）求证：点到边界和的距离之比等于与之比； （2）已知边界和之间的距离为，洞宽，要使目标球顺利落袋，必须与相等，此时测得．求该选手让目标球顺利落袋时的度数．（参考数据：，，结果精确到．） 19. 教师群体的心理健康状况值得特别关注．某区为了解教师心理健康现状，从本区随机抽取a名教师进行心理健康测评，测评标准如下： 得分区间 0～10分 11～20分 21～30分 31～40分 41～50分 心理健康等级 A：优秀 B：良好 C：一般 D：需要注意 E：需专业干预 【数据处理】 将收集到的数据整理成以下两幅统计图： 【数据应用】 （1）_________，_________，_________； （2）补全条形统计图； （3）在抽取的教师中，得分为中位数的教师心理健康等级处于_________； （4）调查发现，心理健康等级为E的教师中，通过单次专业心理干预，约有的教师心理获得正向改善，恢复了健康．若该区共有教师2900名，问心理健康等级为E的教师都经过单次专业心理干预后，约有多少名教师获得正向改善，恢复了健康？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x，y轴的垂线，垂足为C和B，矩形的面积为4． （1）求该反比例函数的解析式； （2）如图2，点D，E分别在边上，线段和的长成反比例关系，比例系数为1，顺次连接． ①当点A的横坐标为4时，求的面积； ②当点A在该反比例函数的图象上运动时，的面积是否发生改变？若发生改变，写出它们的变化规律；若没有发生改变，请说明理由． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，为半径画半圆，分别与，相交于点D，E，过点E作，垂足为F． （1）求证：是半圆O的切线； （2）已知，，如图2，当与半圆O相切于点G时． ①求半圆O的半径； ②求图中阴影部分的周长． 22. 已知点是抛物线上一点，若，则我们把点P称为该抛物线的“二倍点”． （1）【定义理解】 ①若点P是抛物线上的“二倍点”，则点P的坐标为________； ②下列抛物线，没有“二倍点”的是________． A． B． C． （2）【深入探究】 已知抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点． ①求该抛物线的解析式； ②将该抛物线向下平移k个单位得到新的抛物线，若新抛物线恰好只存在1个“二倍点”，求k的值及该“二倍点”的坐标． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合实践 如图1，在中，，，某数学兴趣小组将绕着点C顺时针旋转一定角度得到，直线，相交于点D，在它们形成的四个角中，其中一个锐角用表示，在探究的度数及与的数量关系时，经历了如下过程： （1）【特例感知】 如图2，当A，C，三点共线时． ①__________； ②若，则__________． （2）【猜想证明】 猜想的度数及与的数量关系，并结合图1进行证明． （3）【拓展应用】 如图3，已知，在旋转的过程中，若，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $