精品解析：吉林长春市第二中学2025-2026学年高一下学期第一学程考试数学试卷

高一年级下学期第一学程考试数学科试卷 命题人：付娆 审题人：郑鸿远 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设，向量，，，且，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 复数的虚部为（ ） A. -3 B. C. D. 3. 如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，则原图形的面积是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 5. 已知四边形中，，，，则四边形一定是（ ） A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 矩形 D. 菱形 6. 已知p，，复数是关于x的方程的一个根，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 B. 在△ABC中，若，，，则△ABC有唯一解 C. 复数满足，则的最大值为6 D. 在△ABC中，若，则△ABC为钝角三角形 10. 已知三个内角，，的对边分别为，，，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则边上高的最大值为 C. 若的角平分线长为，且，则 D. 若是锐角三角形，且，则的取值范围是 11. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 若P在线段BC上，且，则的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个圆锥的母线长为3，侧面积，则此底面半径为___________． 13. 如下图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点M，N．设，则________． 14. 在中，分别为三个内角的对应边，若．试求当取得最大值时，_____． 四、解答题：木大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）设，是不共线的两个向量，如果，，，求证：三点共线； （2）已知，，且与夹角为，求与的夹角的余弦值. 16. 已知，，分别为的三个内角，，的对边，若. （1）求： （2）若，，求的面积. 17. 在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计；灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性；现在有一盏独特的国风灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下： 顶部装饰：灯笼的顶部是一个正四棱台，上底边长为2分米，下底边长为4分米，高为2分米； 核心结构：灯笼的核心部分是一个正四棱柱，底面边长为3分米，高为6分米. （1）求灯笼总体积；（单位：分米） （2）已知灯笼上下底不糊纸，所以正四棱台侧面积与正四棱柱侧面积的和就是灯笼所需纸张的总面积，求灯笼所需纸张的总面积.（单位：分米） 18. 已知正方形的边长为1，F是线段的中点，（）. （1）若，证明：； （2）若，求的值； （3）求的取值范围. 19. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当三个内角均小于120°时，满足的点M为费马点； ②当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， （1）若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点M到各顶点的距离之和； （2），点M为的费马点： （ⅰ）求的最小值； （ⅰⅰ）若，且点P为平面上任意一点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级下学期第一学程考试数学科试卷 命题人：付娆 审题人：郑鸿远 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设，向量，，，且，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，解得， 又由，得，解得，所以. 2. 复数的虚部为（ ） A. -3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数除法运算和复数虚部概念即可求解. 【详解】由题复数， 所以复数的虚部为. 故选：C 3. 如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件结合平面向量基本定理求解即可. 【详解】因为在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，，， 所以 . 故选：A 4. 如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，则原图形的面积是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】还原，求出其边长即可求解直角三角形的面积. 【详解】如图，的直观图是，则， 则的面积为. 故选：B 5. 已知四边形中，，，，则四边形一定是（ ） A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 矩形 D. 菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知向量关系得四边形是平行四边形，为等边三角形，即可确定四边形形状. 【详解】由，则且，即四边形是平行四边形， 又，，则为等边三角形， 所以四边形是菱形. 故选：D 6. 已知p，，复数是关于x的方程的一个根，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再利用韦达定理即可得解. 【详解】因为复数是关于x的方程的一个根， 所以复数也是关于x的方程的一个根， 则，所以， 所以. 故选：C. 7. 在三棱锥中，已知平面，，.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积与体积分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，即为该三棱锥外接球的直径，再结合球体表面积与体积公式求解即可. 【详解】因为，，则，故. 又平面，，可将三棱锥补成长方体，如图： 所以三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长. 设三棱锥的外接球半径为， 则，故. 因此该球的表面积为， 体积为. 8. 海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意在中利用正弦定理得，在中可得，从而在中利用余弦定理即可得解. 【详解】如图，在中，，， ，所以， 由正弦定理得，解得， 在中，，， ， 所以，故， 所以在中，由余弦定理得 ， 则，即A，B两点间的距离为． 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 B. 在△ABC中，若，，，则△ABC有唯一解 C. 复数满足，则的最大值为6 D. 在△ABC中，若，则△ABC为钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A：因为用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台， 所以本选项说法错误； 对于B：由正弦定理可知， 因为，所以，当为锐角时，显然，符合题意； 当为钝角时，，符合三角形内角和定理，所以△ABC有唯一解这种说法错误； 对于C：因为复数满足， 所以复数在复平面表示的点到原点的距离为2，即在圆上， 表示圆上的点到点的距离，显然当时，有最大值为6，所以本选项说法正确； 对于D：为锐角，因此不能判断该三角形的形状，所以本选项说法错误. 10. 已知三个内角，，的对边分别为，，，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则边上高的最大值为 C. 若的角平分线长为，且，则 D. 若是锐角三角形，且，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助余弦定理与两角和的正弦公式计算可得A；借助等面积法、余弦定理及基本不等式计算即可得B；借助等面积法结合余弦定理计算即可得C；利用正弦定理可用表示除，再利用的范围计算即可得. 【详解】对A：由可得， 由余弦定理可得， 利用正弦定理可得， 则， 即有，又，故， 则，又，故，故A正确； 对B：设边上高为，则，即， 由余弦定理可得，即， 即，当且仅当时，等号成立， 故，故B错误； 对C：由题意可得， 即有， 故，又，则， 故， 故，故C正确； 对D：由正弦定理可得， 则 ， 由是锐角三角形，则，解得， 故，故， 故，故D正确. 11. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 若P在线段BC上，且，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】易得及的大小关系，即可判断A；易得当取得最小值时，点在上时，进而可判断B；根据数量积的几何意义可得当点在边上时，取得最大值，即可判断C；设，再根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可判断D. 【详解】对于A，由正八边形的结构特征可知：， 则，所以， 所以，故A正确； 对于B，由正八边形的结构特征可知， 当点在边上时（不包含两点）， 的夹角为锐角，此时， 当点在上时，设，则 则， 当时，取得最小值， 综上所述，的最小值为，故B正确； 对于C，由题意可知，当点在边上时， 在方向上的投影最大， 最大值为， 根据数量积的几何意义可得的最大值为，故C错误； 对于D，设， 则 ， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个圆锥的母线长为3，侧面积，则此底面半径为___________． 【答案】2 【解析】 【详解】设圆锥的底面圆半径为，由题意知：，所以. 13. 如下图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点M，N．设，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】通过代入后，根据三点共线计算即可. 【详解】因为点是的中点， 所以， 又三点共线， 所以，即. 故答案为：. 14. 在中，分别为三个内角的对应边，若．试求当取得最大值时，_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用余弦定理和正弦定理化简等式，得到，然后利用和差的正切公式和基本不等式的性质求出，进而求得，最后根据和差的正弦公式计算即可. 【详解】 ， 于是， 等号成立时． 所以，， 由于， 所以． 故答案为：. 四、解答题：木大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）设，是不共线的两个向量，如果，，，求证：三点共线； （2）已知，，且与夹角为，求与的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）通过向量加法计算出，证明其与存在数乘关系，结合公共点，证得三点共线； （2）先计算与，再代入向量数量积变形公式求解. 【详解】（1）因为， 则与共线．又因与有公共点，故三点共线． （2）由于， 又， 因此. 设与的夹角为， 则. 16. 已知，，分别为的三个内角，，的对边，若. （1）求： （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式计算即可得； （2）借助余弦定理可求出，再利用面积公式计算即可得. 【小问1详解】 由正弦定理将边化为角，可得， 即， 即， 又，则，故， 又，故； 【小问2详解】 ，整理得， 故（负值舍去），则. 17. 在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计；灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性；现在有一盏独特的国风灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下： 顶部装饰：灯笼的顶部是一个正四棱台，上底边长为2分米，下底边长为4分米，高为2分米； 核心结构：灯笼的核心部分是一个正四棱柱，底面边长为3分米，高为6分米. （1）求灯笼总体积；（单位：分米） （2）已知灯笼上下底不糊纸，所以正四棱台侧面积与正四棱柱侧面积的和就是灯笼所需纸张的总面积，求灯笼所需纸张的总面积.（单位：分米） 【答案】（1）分米3 （2）分米2 【解析】 【分析】（1）先分别代入公式计算正四棱台的体积和正四棱柱的体积，将两个几何体的体积相加，即可得到灯笼的总体积； （2）先根据正四棱台的高和上下底边长差求出正四棱台的斜高，再分别计算正四棱台的侧面积与正四棱柱的侧面积，将两个侧面积相加，即可得到灯笼所需纸张的总面积. 【小问1详解】 已知正四棱台上底边长，下底边长，高，则，，  所以（分米3），  已知正四棱柱底面边长，高，则（分米3）， 总体积：​（分米3）. 【小问2详解】 正四棱柱侧面为4个矩形，侧面积（分米2）， 正四棱台侧面为4个全等等腰梯形，先求斜高： 正四棱台高为，等腰梯形上下底差的一半为， 由勾股定理得斜高，单个等腰梯形面积为， 因此正四棱台侧面积， 总面积（分米2）. 18. 已知正方形的边长为1，F是线段的中点，（）. （1）若，证明：； （2）若，求的值； （3）求的取值范围. 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用表示，再根据向量的数量积运算律计算； （2）利用表示，再根据向量的数量积运算律计算； （3）利用表示，再根据向量的数量积运算律得到，利用二次函数单调性求得答案. 【小问1详解】 当时，，所以， 又， 所以. 所以； 【小问2详解】 因为，， 所以， 所以，即，解得， 所以，所以，故. 【小问3详解】 因为，， 所以 ， 因为，所以， 所以的取值范围为. 19. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当三个内角均小于120°时，满足的点M为费马点； ②当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， （1）若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点M到各顶点的距离之和； （2），点M为的费马点： （ⅰ）求的最小值； （ⅰⅰ）若，且点P为平面上任意一点，求的最小值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅰⅰ） 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可； （2）（ⅰ）由正弦定理，结合勾股定理、余弦定理、基本不等式进行求解即可； （ⅰⅰ）建立直角坐标系，结合平面向量线性运算、模的坐标表示公式、费马点的性质进行求解即可. 【小问1详解】 设， 因为点M是的费马点， 所以在中，由余弦定理可得：， 同理可得，，三式相加，得 即， 显然， 所以有， 即， 所以， 所以的费马点M到各顶点的距离之和； 【小问2详解】 （ⅰ）， 因为，所以， 所以由， 因为，所以，所以是直角三角形， 所以有， 设， 因为点M是的费马点，所以由 即， 因为，当且仅当时取等号， 所以有 ，或， 由， 由，显然不成立， ， 当时，有最小值； （ⅰⅰ）因为，所以是等腰三角形，且斜边，建立如图所示的平面直角坐标系，， 设， ， 设点，所以表示的长度， 因此有， 要想有最小值， 只需有最小值，所以当点P为的费马点时取到最小值， 在中，， 由余弦定理可知， 因为，所以， 因为在有一个内角大于120°时， 所以最大内角的顶点为费马点，即重合， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $