吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 1.已知复数z=(3-,则H=() A.2 B.2√7 C.45 D.4 2.已知直线a,b,c,下列命题中正确的是() A.若a⊥c,b⊥c,则ab B.若alIb,c⊥a,则c⊥b C.若a/b/1c,则a,b,c共面 D.若a,b异面，b,c异面，则a,c异面 3.已知平面向量a五，满足a-(2a-)=5,且d=2,=3,则向量a与向量5的夹角余弦 值为() A.1 B.-1 C. D. 4.已知a=0.955,b=1.055,c=1og150.95,则a,b,c的大小关系为() A.a<c<b B.c<a<b C.a<b<c D.b<a<c 5.已知样本数据a,b,c的平均数为3，方差为2，则a2,b,c2的平均数为() A.9 B.11 C.13 D.15 6.若sinr+cosx=2cosa,sinxcosx=sin2B,则() A.cos2a+2cos28=0 B.2cos2a+cos28=0 C.c0s2-2c0s2B=0 D.2cos2a-cos2B=0 7.己知虚数3,3是方程x+x-2=0的两个不同的根，则下列说法正确的是() A.31=1 B.|l=√5 C.z+32=0 D.3+23=1 8.奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，若△BOC、△AOC、△AOB的面积分别记为S、 S,、S,则SOA+S,OB+SOC=0.“奔驰定理是平面向量中一个非常优美的结论，这 个定理对应的图形与“奔驰”轿车的1og0很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O 是△ABC的垂心，且20A+30B+4OC=0,则tanA=() 试卷第1页，共4页 A.V6 B.v6 C.3v6 D.6 4 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分 9.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A,B,C发生的概率分别为p,2p,3p(p>0), 则下列结论正确的是() A.P(AUB)=P(C) B.若Pg则PaUG)-号 c.若4UB与C是对立事件，则D=号 D.事件A,B不相互独立 1 10.已知a=l1og,5,b=log3,则() A.ab0 B.4.9=1 c.11 a b D.log,12=26-a b-a 11.已知在△ABC中，BC的长为2，△ABC的面积为2，则下列命题正确的是() A.△ABC外接圆面积的最小值为π B. C的最大值为V5+1 AB 2 C.aMBC内切圆的半径的最大值为5-1 D.若△ABC的内角满足C-B= 2,则Itanc=-V5+1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知单位向量a,b满足a-(3a+2b)=2,则a,b的夹角为 13.如图，海平面上位于信息中心O的正东方向且与O相距25海里的B处有一艘渔船遇险， 在原地等待救援，甲船位于信息中心O的南偏西30°方向且与O相距15海里的C处，现甲 船以30海里/小时的速度沿直线CB去营救渔船，则甲船到达B处需要 小时 试卷第2页，共4页 北 东 14.已知正方体ABCD-AB,CD,的棱长为3，点M是侧面ADDA上的一个动点（含边界）， 点P是棱CC1上靠近C的三等分点，若PM=√13，则点M的轨迹长度为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 15.己知复数z=(m-2-2)+(m-4)i(m∈R). (1)若复数=z-1+i为纯虚数，求z的值： (②若复数马异在复平面内对应的点位于第四象限，求加的取值范围。 16.已知平面向量a=(2,3),b=(-3,x),且a1b. (1)求b在a+b上的投影向量的坐标： (2)若向量2ā-b与ka+b的夹角是钝角，求实数k的取值范围. 17.某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查， 并将评分（满分100分）按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成5组，绘制 成如图所示的频率分布直方图 频率 个组距 a 0.025 0.020 0.015 0.010 5060708090100分数 (1)求图中α的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间 的中点值作代表)： (2)已知样本中在[60,70)内的评分的平均数为64.5，方差为14，在[70,80)内的评分的平均 数是74.5，方差是9，求落在[60,80)内的评分的平均数与方差， 18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,△ABD为等边三角形，BC=CD=1, ∠ABC=90°，M是PB上一点，且PB=3MB,N是PC的中点， 试卷第3页，共4页 M (I)求证：PC⊥BD: (2)若二面角P-BC-A的大小为45°，求三棱锥C-AMN的体积 19.如图①，己知等腰梯形ABCD的外接圆圆心O在底边AB上，ABIICD,CD=AD=3, P是上半圆上的动点（不包含A,B两点），点Q是线段PA上的动点，将半圆APB所在的 平面沿直径AB折起，得到图②所示图形，据此解答下列各小题： P B C 图① 图② PO (1)当PC/1平面QBD时， 求o4的值： (2)若PB⊥AD,PB=3,求PA与平面ABCD所成角的正弦值： (3)若PB≤3，平面PAB⊥平面ABCD,设QB与平面ABCD所成的角为a,二面角Q-BD-A 的平面角为B,求B-a取得最大值时tana的值. 试卷第4页，共4页 1.D 【分析】利用复数的乘方运算求得复数，进而利用复数的模的计算公式求解即可. 【详解】因为z=(5-i=3-25i+=2-2W5i,所以2+(2W5=4. 故选：D. 2.B 【详解】对于选项A,在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，例 如正方体中交于同一顶点的三条棱两两垂直，但并不都平行，故A错误 对于选项B,根据空间中平行线的性质，若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则必垂直 于另一条，故若a1b,c⊥a,则c⊥b,B正确 对于选项C,互相平行的三条直线不一定共面，例如三棱柱的三条侧棱互相平行，但它们不 共面，故C错误 对于选项D,若a,b异面，b,c异面，a与C可能平行、相交或异面，位置关系并不确定， 故D错误。 3.C 【分析】利用平面向量的数量积运算性质即可得出. 【详解】~平面向量a,6,满足a-(2a-)=5,且d=2=3, 5=2a2- lcos<a7>,解得cos<ab-5=2×2-1 -2×32 故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的数量积和夹角公式，属于基础题 4.B 【分析】根据幂函数与对数函数的单调性可得答案， 【详解】根据幂函数y=x5在(0，+0)上为增函数，可得0<0.955<1.055，即0<a<b, 又c=log150.95<log1g51=0,所以c<a<b, 故选：B 5.B 【详解】由题意得，a+b+c=9,a-3》+b-3+c-3》=2 3 则+办2+c2-6a+b+c)+27=2,解得++ -=11 3 3 答案第1页，共11页 6.B 【详解】已知sinr+cosx=2cosa,两边同时平方： (sinx+cosx)=(2cosa)sin'x+2sinxcosx+cos?x=4cos a, 即1+2 sinxcosx=4cos2u 由题目可知sinxcosx=sinB, 1+2sinxcosx=4cosa1+2sin2B=4cosa. 所以1+(1-c0s2B)=2(1+cos2), 即2-cos2B=2+2cos2a→2cos2au+c0s2B=0,B正确. 7.B 【分析】先因式分解得x3+x-2=(x-1)(x2+x+2)=0,即3,32为x2+x+2=0的两个根， 从而依次判断选项。 【详解】根据题意，x3+x-2=(x-1)(x2+x+2)=0, 令x2+x+2=0,其中△=1-8=-7<0， 由于，名为虚数，故名，马为x2+x+2=0的两个根，且为1±V71。 2 不药出画 2 +7=5,名+3=-1， 则4 则+32 了1++1-i3-匠+1-i.-2-, 2 2 2 2 故只有B正确. 故选：B 8.B 【分析】延长Co交AB与点P,结合三角形面积公式得S:S2:S=tanA:tamB:tanC,再由 己知有tanA:tanB:tanC=2:3:4,最后由三角形内角性质及和角正切公式列方程求值. 【详解】~O是△ABC的垂心，延长CO交AB与点P, 答案第2页，共11页 足8（3ocBP]}ocA切小PAP=mA:ma,同牌 S:S3 tan A:tanC, ...S:S2 S3 tan A:tan B:tanC,SA+S0B+SOC=0, 'tan A.04+tan B.0B+tanC.OC=0,204+308+40C=0, .'.tan A:tan B tan C=2:3:4, 不妨设tanA=2k,tanB=3k,tanC=4k,其中k≠0， tan4-tan[x-(B+C)]--ta(B+c)--tanB+tanc 1-tan BtanC …2k= 112, 3k+4k 化简整理得k2=3, ,解得k-V6 (负值舍)， 所以anA=26-y6 故选：B 9.ABD 【分析】利用互斥事件的加法公式和对立事件的加法公式注意判定ABC;D根据 P(A)P(B)≠P(AB)判定， 【详解】对于A,因A,B是互斥事件，故P(AUB)=P(A)+P(B)=3p=P(C),故A正确： 对于B,若D名则P(AUC)=P(+P(C)=p+3p=切，故B正确： 1 对于C,若AUB与C是对立事件，则P(AUB)+P(C)=P(A+P(B)+P(C)=1,即 卫+2p+3p=1,得D-石故C错误； 对于D,因为A,B互斥，所以P(AB)=0,故P(A)P(B)≠P(AB), 所以事件A,B不相互独立，故D正确. 故选：ABD 10.BCD 【分析】应用指对数互化、对数运算法则、换底公式及对数函数的性质分别判断各个选项即 答案第3页，共11页 可 【详解】对于A,a=1og,5>g,1=0b=1og写1bg,1=0,所以b<0,放A不正稀 对于B.由as5,6-e得若=58-号年9-(6)=店1，食BE 确； 1-1=1og,2-1og:3=log,2+log,3=lo9,6>1,故C正确： 对于C,ab 5 21g31g5 21g5 1g5 2 1 2b-a 对于D,b-a g3+1g2_3g2_1g2×3_2-=1e,12,故D log3÷-log25 1g5 1g5 1 ,1 1g(2×3)1g6 1g3 1g2 1g3 1g2 正确 故选：BCD. 11.BCD 【分析】利用正弦定理进行判断A选项与D选项，B选项利用余弦定理判断，C选项利用 内切圆半径与三角形面积公式进行判断： 【详解】设边BC,AC,AB分别为a,b,c,则a=2. 对于A选项：设外接圆半径为R,由正弦定理aBC-22R, sin A sin A sin A 所以外接圆的面积为R=, mA当n4=1,4=时，外接圆面积最小为元， 2 又因为A=匹时，d=b2+c2=4,由△4BC面积为2，得到bc=2,bc=4: 2 而b2+c2≥2bc=8与上式矛盾，故A错误. 对于B选项： 2 c sin A=-2,则be sinA=4:由余弦定理T=+c2-2bcc0sA 得到b2+c2-2 bc cos A=4=besinA,两边同除以bc, 得到士sin4+2cosA,令k=6则k+5m(4+,tam9=2, k 当且仅当s4+到=1时，k是5时，k最大且为k-5,放B正确： 2 对于C选项。白内切国半径的公式：1分子百0=+c2c， 2 2 故r最大时，P最小；当b=c时，P最小，此时b=c=√5， 所5，我e确 答案第4页，共11页 对于D选项：由C=B+和A+B+C=元，得到A+2B+汇=兀，则A+2B= 2 2 s=LacsinB=2.c 由正弦定理，a=b 2 sin B sin A sin B sinC' 2 得 2 sinB 2 即 sin(-2B) smB+宁 cos2B sin Bcos B cos2B-sinB=sin B cosB,两边除以cos2B,得到1-tanB=tanB, 所以tanB=-lJ±V5 2 由B为锐角，所以tamB=5-1, 2 sinB+ 2 cos B 1 tanC=tan 2 +2) m到 -sin B 5+1,故D正确， tanB√5-12 故答案为：BCD 晋l0 12. 【详解】由a(3a+2b)=2,得3a+2a.b=2, 所以3+2lcos(a,6）=2, 因为d==1,所以3×1+2×1x1×cos(ab=2, 解得cos位列=片 因为位列=0可，所以a}-子 18名脚g 6 【分析】利用余弦定理求出CB,结合行驶速度即可求得所需时间. 【详解】在AOCB中，由题意得：OC=15海里，OB=25海里， 因C在0南偏西30°，B在0正东，因此∠C0B=90°+30°=120°。 由余弦定理，CB2=OC2+OB2-2.OC.OB.c0s∠COB, 即c8-1s125215x25x( =225+625+375=1225, 故得CB=√1225=35海里， 答案第5页，共11页 因甲船速度为30海里小时，因此甲船到达B处所需时间1=35=乙小时。 306 4号 【分析】求出点M的轨迹是以？为圆心，2为半径的圆在正方形ADDA内的圆弧，求出轨 迹长度： 【详解】 D A ⊙ P M D B 由题意PC=1 在DD上，取RD=PC=1,则PP/1CD 由正方体的性质可知PP⊥平面ADDA,又RMC平面ADDA, 则PP⊥M, 则M=√PMP-Bp2=2, 即点M的轨迹是以？为圆心，2为半径的圆在正方形ADDA内的圆弧， 如图设圆弧与AD交于N,$im∠PND=1 2 所以∠RD=石则NA=, 3 则弧长ND为2亚×2=4杯 3 3 D P A 故点M的轨迹长度为4红 3 15.(1)26 答案第6页，共11页 (2)(-0,-2)U(3,+0) 【分析】(1)根据纯虚数的定义列出方程求出m,再根据复数的模的计算公式即可得解； (2)根据复数的几何意义列出不等式组，解之即可 【详解】(1)由题意可知z=(（m2-2m-3)+(m-3)i, [m2-2-3=0 因为五为纯虚数，则 ,解得m=-1, m-3≠0 所以z=1-5i,=VP+(←5}=V26: (2)3= m2-2m-2）+0m-4)i[(m2-2m-2）+0m-4)i1-i) 1+i 1+i)1-i) -m--6+-m+3-2i, 2 2 m2--6>0 因为2在复平面内对应的点位于第四象限，所以 2 -1m2+3m-2<0 2 解得>3或m<-2, 即m的取值范围是(-∞，-2)U(3,+w). 16.( 15 22 【分析】(1)先由向量垂直坐标点积为0算出x,得到，再求a+b,套用投影向量公式 (a+B)B a+ (a+b)代入求值： (2洗化简两个向显坐标，钝角满足数量积小于0且不类线反向，先列式点积不等式求k<行 再由平行条件算出k=-2并剔除，合并取值范围. 【详解】(1)因为a⊥b,所以2×(-3)+3x=0,解得x=2, 所以i=(-3,2),a+i=(-1,5),a+=V26,(a+b)-b=13, (a+b:b 所以石在a+b上的投影向量为 a+=ar 答案第7页，共11页 所以5在ā+B上的投影向量的坐标为22 15 (2)2a-b=(7,4),ka+b=(2k-3,3k+2), 因为向量2a-b与ka+b的夹角是钝角，则(2a-)(ka+b)<0,且2a-b与a+b不平行， 所以7×(2k-3到+4x(3+2)<0,解得<分 又2ā-b与a+b不平行，则7×(3k+2)-4×(2k-3)≠0，所以k≠-2， 所以实数的取雀范围为（心2小(2对】 17.(1)a=0.030,74.5. (2)平均数为70.5，方差为35 【详解】(1)根据题意，(0.015+0.020+a+0.025+0.010)×10=1,解得a=0.030. 0.15×55+0.20×65+0.30×75+0.25×85+0.10×95=74.5, 估计这200名客户的满意度评分的平均数为74.5. (2)由频率分布直方图可知评分在[60,70)，[70,80)的频率比为2：3， 则样本中在[60,80)内的评分的平均数为2x64.5+2×745=70.5. 样本中在[6080)内的评分的方差为号[14+(645-703]+号[9+(745-705门=35 18.(1)证明见解析 Wg 【分析】(I)首先证明AC⊥BD,再利用线面垂直的定义得PA⊥BD,再利用线面垂直的 判定定理证得BD⊥面PAC,则PC⊥BD: (2)首先证明∠PBA=45°，再求出相关三角形面积和棱锥的高，最后利用等体积法和棱锥 体积公式即可得到答案 【详解】(I)因为△ABD为正三角形，所以AB=AD,又BC=CD,所以AC⊥BD, 又PA⊥底面ABCD,BDC底面ABCD,所以PA⊥BD, 又PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,所以BD⊥平面PAC, 又因为PCc平面PAC,所以PC⊥BD (2)因为PAL底面ABCD,BCC底面ABCD,所以PA⊥BC,由己知AB⊥BC, 又ABOPA=A,且AB,PAC平面PAB,所以BC⊥平面PAB, 答案第8页，共11页 又PBC平面PAB,所以BC⊥PB,又AB⊥BC, 所以∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角，所以∠PBA=45, 因为AB=AD,AC=AC,BC=DC,则△ABC≌△ADC, 在△ABD中，因为△ABD是正三角形，则易知∠CAD=∠BAC=30°， 所以在R△ABC中，AB=BC =3, tan30° 因为PA⊥底面ABCD,ABC平面ABCD 所以PALAB.知PA=AB=√5，PB=√6， 所以aPBC的面积Sc= 1xV6=6 21 2 _VG 因为PB=3MB,所以S=5S2Bc书 3 -V6 又因为N为PC中点，所以S.aw=2Swc= 1 6 设点A到西aC的乐保为A,白片：=么得51x6-号6xa, 32 解得h=5,即点A到平面CN的距离为V6 2 1V661 又3aor6所以三棱锥C-AN的体积c=V4cw36X2 6 P91 19.(0042 (②PA与平面ABCD所成角的正弦值 (3)B-a取得最大值时tana- 2 PO CD 【分析】(1)连接AC交BD于点M,连接OM,则有PCIIOM,可得 OAAB 即可得答 案 (2)由题意可得AD⊥平面PBD,可得平面ABD⊥平面PBD,过P作PN⊥BD于N,连 接AN,可得∠PAN为PA与平面ABCD所成的角，求解即可； (3)作QH⊥AB于H,连接BQ,所以∠OBH即为OB与平面ABCD所成的角为 a∈(O,∠PBA),过H作GH⊥BD,垂足为G,连结OG,∠OGH为二面角O-BD-A的平 面角P,进而计算可得tan(B-a)的最大值即此时的tanu的值. 【详解】(I)连接AC交BD于点M,连接OM, 答案第9页，共11页 C D 因为CD=AD=3,ABCD,所以BC=3,AB=6, 则平面PACO平面2BD=2M, 依题意，PC/I平面OBD,PCc平面PAC,所以PC1IOM, 所以爬C4 OMa,等腰梯形ABCD中，△MAB-△MCD, 所以 PO CM CD 1 QA MA AB2 (2)因为等腰梯形ABCD的外接圆圆心O在底边AB上，所以∠ADB=90°， 所以AD⊥DB,又因为PBOBD=B,PB,BDC平面PBD,所以AD⊥平面PBD, 又ADC平面ABD,所以平面ABDL平面PBD, 过P作PN⊥BD于N,连接AN,所以PN⊥平面ABD, D 则∠PAN为PA与平面ABCD所成的角， 由(1)可得BD=√AB2-AD2=V6-32=33, PA=VAB-PB-16-3-313,PD=PAP-AD-(33)-33, 因为PD2+BP2=18+9=27=BD2,所以∠BPD=90°， 所以PN×BD方PB<PD,所以PNx35-之3x32,解得pV=6, 所以sin∠pAw=PW=V6_V反 PA 33 3 所以PA与平面ABCD所成角的正弦值V2 (3)作QH⊥AB于H,连接BQ, 答案第10页，共11页 G C 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB, 所以OH⊥平面ABCD,所以BH是BQ在平面ABCD内的射影， 因为PB≤3，所以∠PAB∈ 元π 32 所以∠QBH即为QB与平面ABCD所成的角为a∈(0，∠PBA),则tana= OH BH' 过H作GH⊥BD,垂足为G,连结OG, 又OH⊥BD,GH∩QH=H,GH,QHc平面QHG,所以BDL平面OHG, 又OGc平面2HG,.所以BD⊥OG, 所以∠QGH为二面角Q-BD-A的平面角B, OH 所以tanB= OH 所以anB GH GH tang OH BH=BA=2,tan B=2tan a>0, GH AD BH 所以an(B-a)anB-tane tan a tand 2 1+tan Btan a 1+2tan'a 22tan a 4 当且仅当tan= 5时，tan(p-a)取得最大值，即B-a取的最大值， 所以B-a取得最大值时tana= √2 2 答案第11页，共11页