精品解析：浙江金华市曙光学校2025-2026学年第二学期第一次阶段性考试高二数学试题

金华市曙光学校2025－2026学年第二学期第一次阶段性考试 高二年级数学试题卷 （本试卷满分共150分，考试时间：120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 二项式的展开式中，第2项的系数为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 3. 已知x与y之间的一组数据： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则y与x的线性回归方程为必过点　（ ） A. （2，2） B. （1.5，0） C. （1.5，4） D. （1， 2） 4. 已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩X(单位:分)服从正态分布N(105,)，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间(90,105)内的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 5. 随机询问50名大学生调查爱好某项运动是否和性别有关.利用2×2列联表计算得，则下列结论正确的是（ ） 附： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 A. 在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为“是否爱好该项运动与性别有关” B. 在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为“是否爱好该项运动与性别无关” C. 在犯错误的概率不大于0.001的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不大于0.001的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别无关” 6. 为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一､高二､高三年级分别有1名､2名､3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 72种 D. 144种 7. 从中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等比数列的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 杭州“六小龙”企业(宇树科技、深度求索、游戏科学、群核科技、强脑科技、云深处科技)在科技领域大放异彩.现从这6家企业中选出4家，分别派往A、B、C、D四个不同的科技交流活动进行成果展示，且必须同时满足条件：①宇树科技和深度求索中至少有一家被选中；②若宇树科技被选中，则必须去A活动，若深度求索被选中，则不能去D活动.则不同的安排方式种数是（ ） A. 96 B. 120 C. 240 D. 336 二、多选题（本题有3小题，每题6分，共18分.每小题中有多个符合题意的正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、有选错的得0分） 9. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，则 B. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，当时概率最大 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 已知，则 10. 已知，则（ ） A. 展开式的各二项式系数的和为0 B. C. D. 11. 某地区从某一年开始进行了环境污染整治，得到了如下的数据： 第x年 1 2 3 4 5 污染指数y 5.7 5.0 4.5 4.1 3.2 附： 已知与线性相关，回归直线方程为，下列说法正确的是（ ） A. 与线性负相关 B. 若删掉第3年数据，则回归直线方程中的变小 C. 若y关于x的回归方程为，估计该地区第10年的污染指数为0.37 D. 地区政府加大整治力度后重新检测得到新的一组数据，新数据都在直线上，这组新数据的样本相关系数为1 三、填空题（本大题共3小题，每空5分，共15分） 12. 学校有A，B两家餐厅，刘同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.刘同学第2天去A餐厅用餐的概率为________． 13. 的展开式中的系数为______（用数字作答）. 14. 给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有___种不同的染色方案. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 有6名同学站成一排． （1）甲不站排头也不站排尾，则不同的排法种数为？ （2）甲、乙不相邻，则不同的排法种数为？ （3）甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为？ 16. 某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求的值； （2）从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率. 17. 2022年2月4日，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传北京冬奥会，某大学从全校学生中随机抽取了110名学生，对是否喜欢冬季体育运动情况进行了问卷调查，统计数据如下： 喜欢 不喜欢 男生 50 10 女生 30 20 （1）根据上表说明，能否有的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关？ （2）现从这110名喜欢冬季体育运动的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取8人参加2022年北京冬奥会志愿者服务前期集训，且这8人经过集训全部成为合格的冬奥会志愿者.若从这8人中随机选取2人到场馆参加志愿者服务，求选取的2人中至少有一名女生的概率. 18. “坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”这是我们现阶段教育必须坚持的．甲乙两人为了培养自己的体育素养，分别进行乒乓球和羽毛球两场比赛，两场比赛中，胜者得2分、败者得0分，每场比赛一定会分出胜负，其中甲在两场比赛中胜出的概率分别为：和，每场比赛相互独立，谁最终得分多谁获胜． （1）求甲获胜的概率； （2）求甲得分的分布列及数学期望． 19. 杭州是国家历史文化名城，为了给来杭州的客人提供最好的旅游服务，某景点推出了预订优惠活动，下表是该景点在某App平台10天预订票销售情况： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量（万张） 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07 0.5 经计算可得：. （1）因为该景点今年预订票购买火爆程度远超预期，该App平台在第10天时系统异常，现剔除第10天数据，求关于的线性回归方程（结果中的数值用分数表示）； （2）该景点推出团体票，每份团体票包含5张门票，其中张为有奖门票（可凭票兑换景点纪念品），的分布列如下： 2 3 4 5 今从某份团体票中随机抽取3张，恰有2张为有奖门票，求该份团体票中共有4张有奖门票的概率. 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金华市曙光学校2025－2026学年第二学期第一次阶段性考试 高二年级数学试题卷 （本试卷满分共150分，考试时间：120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数公式直接求解即可. 【详解】. 故选: B. 2. 二项式的展开式中，第2项的系数为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式定理求解. 【详解】根据二项式定理： ，第二项即 ， ， 第二项的系数为：； 故选：B. 3. 已知x与y之间的一组数据： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则y与x的线性回归方程为必过点　（ ） A. （2，2） B. （1.5，0） C. （1.5，4） D. （1， 2） 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出的均值即得． 【详解】由已知，， 所以回归直线一定过中心点． 故选：C． 4. 已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩X(单位:分)服从正态分布N(105,)，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间(90,105)内的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，且，由利用正态曲线的对称性可推得，列式计算即得所求. 【详解】依题意，，而， 由可得，, 故, 即数学成绩落在区间(90,105)内的概率为. 故选：B. 5. 随机询问50名大学生调查爱好某项运动是否和性别有关.利用2×2列联表计算得，则下列结论正确的是（ ） 附： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 A. 在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为“是否爱好该项运动与性别有关” B. 在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为“是否爱好该项运动与性别无关” C. 在犯错误的概率不大于0.001的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不大于0.001的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别无关” 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查独立性检验的理解，注意越大，有关系的可能性越大（或没有关系的可能性越小）． 【详解】∵ ∴在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为“是否爱好该项运动与性别有关”， A正确，B错误； ∵ ∴没有充分的证据说明在犯错误的概率不大于0.001的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别有关”， C、D错误； 故选：A． 6. 为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一､高二､高三年级分别有1名､2名､3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 72种 D. 144种 【答案】C 【解析】 【分析】根据相邻问题捆绑法即可由全排列求解. 【详解】由题意可得， 故选:C 7. 从中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等比数列的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合可求基本事件的总数，利用枚举法可得随机事件中基本事件的个数，故可求概率. 【详解】设取出的3个不同的数分别为，不同的取法共有种， 若这3个数构成等比数列，则有. 故可以的取值有或或或. 从而所求概率为. 故选：B. 8. 杭州“六小龙”企业(宇树科技、深度求索、游戏科学、群核科技、强脑科技、云深处科技)在科技领域大放异彩.现从这6家企业中选出4家，分别派往A、B、C、D四个不同的科技交流活动进行成果展示，且必须同时满足条件：①宇树科技和深度求索中至少有一家被选中；②若宇树科技被选中，则必须去A活动，若深度求索被选中，则不能去D活动.则不同的安排方式种数是（ ） A. 96 B. 120 C. 240 D. 336 【答案】B 【解析】 【分析】分选中宇树科技，不选中深度求索、选中深度求索，不选中宇树科技、宇树科技和深度求索都选中，三种情况分别求解即可. 【详解】若选中宇树科技，不选中深度求索，共有种安排方式； 若选中深度求索，不选中宇树科技，共有种安排方式； 若宇树科技和深度求索都选中，共有种安排方式， 所以不同的安排方式种数是. 故选：B. 二、多选题（本题有3小题，每题6分，共18分.每小题中有多个符合题意的正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、有选错的得0分） 9. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，则 B. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，当时概率最大 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 已知，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，由二项分布的期望和方差公式，列方程组求解；B选项，由二项分布的概率公式求解；C选项，由正态分布的对称性求解；D选项，由全概率公式求解. 【详解】随机变量服从二项分布，若， 则，解得，即，A选项错误； ，则， 设当时概率最大，则有, 即，解得， 由，所以当时概率最大，B选项正确； 随机变量服从正态分布，正态密度曲线的对称轴为，有， 若，则，C选项正确； 已知，则，由全概率公式，，即， 解得，D选项正确. 故选：BCD. 10. 已知，则（ ） A. 展开式的各二项式系数的和为0 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】二项式系数和为，得出A；令，得到，令，得到，得出B；由二项式定理可得，所以，它是的展开，得到C；，， 化简即可得D. 【详解】， 展开式的各二项式系数的和为，所以A错； 令，得到，令，得到， ，所以B对； 由二项式定理可得：，， 所以，， ， ，故C对； ， ， ， ，，故D对. 故选：BCD. 11. 某地区从某一年开始进行了环境污染整治，得到了如下的数据： 第x年 1 2 3 4 5 污染指数y 5.7 5.0 4.5 4.1 3.2 附： 已知与线性相关，回归直线方程为，下列说法正确的是（ ） A. 与线性负相关 B. 若删掉第3年数据，则回归直线方程中的变小 C. 若y关于x的回归方程为，估计该地区第10年的污染指数为0.37 D. 地区政府加大整治力度后重新检测得到新的一组数据，新数据都在直线上，这组新数据的样本相关系数为1 【答案】AC 【解析】 【分析】根据表中数据与的变化关系可判断A；根据删掉第3年数据为样本中心结合最小二乘法计算公式可判断B；结合B计算后，计算即可判断C；根据新直线方程结合相关系数可判断D. 【详解】对于A，由题中表格数据可知，污染指数随着年份的增大而减小，所以与线性负相关，故A正确； 对于B，，即回归方程的样本中心为， 所以删掉第3年数据为样本中心，由最小二乘法计算公式可知不变，故B错误； 对于C，由B可知，，即回归方程为， 所以地区第10年的污染指数为0.37，故C正确； 对于D，若新数据都在直线上， 则与线性负相关，故这组新数据的样本相关系数为，故D错误. 故选：AC 三、填空题（本大题共3小题，每空5分，共15分） 12. 学校有A，B两家餐厅，刘同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.刘同学第2天去A餐厅用餐的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】应用全概率公式计算求解即可. 【详解】学校有A，B两家餐厅，刘同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐， 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为； 如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为. 刘同学第2天去A餐厅用餐的概率为． 故答案为： 13. 的展开式中的系数为______（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为求的展开式中的系数，然后利用的展开式通项求出含的系数，即可得解. 【详解】的展开式中的系数等价于的展开式中的系数， 而的展开式的通项为， 令得的展开式中的系数为， 即的展开式中的系数为. 故答案为： 14. 给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有___种不同的染色方案. 【答案】96 【解析】 【分析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，最少需要3种颜色，即同色，同色，同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色全部用上，即，，三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和． 【详解】解：要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色， 即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法； 第二类是用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法． 由分类加法原理得总的染色种数为种． 故答案为：96． 【点睛】本题考查了排列、组合、及简单的计数问题，解答的关键是正确分类，明确相邻的两区域不能染相同的颜色，属于中档题． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 有6名同学站成一排． （1）甲不站排头也不站排尾，则不同的排法种数为？ （2）甲、乙不相邻，则不同的排法种数为？ （3）甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为？ 【答案】（1）480 （2）480 （3）144 【解析】 【分析】（1）由插空法及分步乘法计数原理计算即可； （2）由插空法及分步计数乘法原理计算即可； （3）由捆绑法，插空法及分步计数乘法原理计算即可． 【小问1详解】 甲不站排头也不站排尾，则先排其余5人，有种排法， 甲插空，有种，故共有种不同排法． 【小问2详解】 甲、乙不相邻，则先排其余4人，有种不同排法， 甲乙两人再插空，有种，故共有种不同排法． 【小问3详解】 甲、乙相邻，且甲、乙均不与丙相邻，则甲乙捆绑在一起，有种排法， 先排列其余3人，有种，甲乙与丙再插空，有种排法， 故共有种不同排法． 16. 某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求的值； （2）从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图的性质即可求解； （2）利用频率直方图计算电池续航时间不少于35小时的组数，然后利用超几何分布概率公式求解即可. 【小问1详解】 根据频率之和等于1可得， ，解得. 【小问2详解】 由频率分布图可知，电池续航时间不少于小时的频率等于， 所以电池续航时间不少于35小时的电池有组， 电池续航时间少于35小时的电池有组， 所以从抽取的50组电池中任取2组， 恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率为. 17. 2022年2月4日，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传北京冬奥会，某大学从全校学生中随机抽取了110名学生，对是否喜欢冬季体育运动情况进行了问卷调查，统计数据如下： 喜欢 不喜欢 男生 50 10 女生 30 20 （1）根据上表说明，能否有的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关？ （2）现从这110名喜欢冬季体育运动的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取8人参加2022年北京冬奥会志愿者服务前期集训，且这8人经过集训全部成为合格的冬奥会志愿者.若从这8人中随机选取2人到场馆参加志愿者服务，求选取的2人中至少有一名女生的概率. 【答案】（1）有的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关 （2） 【解析】 【分析】（1）由公式求出卡方，与6.635比较大小，得出结论；（2）列举法得到所有情况，利用求解古典概型的概率公式进行求解. 【小问1详解】 因为， 所以有的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关. 【小问2详解】 根据分层抽样方法得，选取的8人中，男生有5人，女生有3人. 男生有5人分别记为女生有3人分别记为， 从8人中选取2人的情况共有， ce，cA，cB，cC，de，dA，dB，dC，eA，eB，eC，AB，AC，BC，共28种，其中至少有一名女生的结果有，共18种， 所求概率为. 18. “坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”这是我们现阶段教育必须坚持的．甲乙两人为了培养自己的体育素养，分别进行乒乓球和羽毛球两场比赛，两场比赛中，胜者得2分、败者得0分，每场比赛一定会分出胜负，其中甲在两场比赛中胜出的概率分别为：和，每场比赛相互独立，谁最终得分多谁获胜． （1）求甲获胜的概率； （2）求甲得分的分布列及数学期望． 【答案】（1）；（2）分布列见解析；. 【解析】 【分析】（１）由题意分析可得，甲胜的充分必要条件是两场比赛都是甲胜，利用独立事件概率公式即可求得； （2）由题意，甲的得分可能值为0，2，4，分别求的对应概率，得到概率分布列，利用期望的定义计算期望值即可. 【详解】解：（1）设甲获胜的概率为，则． （2）设甲得分数为，则可取值为0，2，4， ，， 于是分布列为： 0 2 4 于是． 【点睛】本题考查独立事件的概率，离散型分布列和期望，属基础题，理解题意，分析甲的分的各种情况是解决问题的关键. 19. 杭州是国家历史文化名城，为了给来杭州的客人提供最好的旅游服务，某景点推出了预订优惠活动，下表是该景点在某App平台10天预订票销售情况： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量（万张） 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07 0.5 经计算可得：. （1）因为该景点今年预订票购买火爆程度远超预期，该App平台在第10天时系统异常，现剔除第10天数据，求关于的线性回归方程（结果中的数值用分数表示）； （2）该景点推出团体票，每份团体票包含5张门票，其中张为有奖门票（可凭票兑换景点纪念品），的分布列如下： 2 3 4 5 今从某份团体票中随机抽取3张，恰有2张为有奖门票，求该份团体票中共有4张有奖门票的概率. 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据题意，由线性回归方程的公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，记“从某份团体票中随机抽取3张，恰有2张为有奖门票”为事件，“该份团体票中共有张有奖门票”为事件，由全概率公式可得恰有张为有奖门票的概率，再结合条件概率公式代入计算，即可求解. 【小问1详解】 设关于的线性回归方程：， 则， ， ， 所以， ， 所以关于的线性回归方程是. 【小问2详解】 记“从某份团体票中随机抽取3张，恰有2张为有奖门票”为事件， “该份团体票中共有张有奖门票”为事件，则 ， ， ， ， 所以 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $