精品解析：陕西西安市铁一中学2025－2026学年九年级下学期阶段自测数学试题

数学练习 一、选择题（每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 如果把向东走8米记作米，那么向西走6米记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，根据已知规定的正方向，推导相反方向的计数方式即可． 【详解】解：∵规定向东走记为正，向东走米记作米， 又∵东与西是一对相反意义的方向， ∴向西走应记为负，因此向西走米记作 米． 2. 如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体形成的基本原理解答即可． 本题考查了几何体的生成，熟练掌握原理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是圆锥， 故选：A． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对应运算法则逐一判断选项即可得到正确结果. 【详解】解：A. 与 不是同类项，不能合并，故原计算错误，不符合题意； B．，故原计算正确，符合题意； C．，故原计算错误，不符合题意； D．，故原计算错误，不符合题意． 4. 如图，，点E在上，交于点E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质求出的度数，再结合直角三角形两锐角互余的性质求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5. 如图，已知直线 经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段 平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的坐标，判断直线是怎样平移，再用的坐标推出坐标． 【详解】解：将代入 ， 得，即 ， 即先向左平移8个单位长度，再向上平移2个单位长度． 将 代入 ， 得，即， 则． 6. 如图，已知四边形和四边形 都是菱形，且，，如果，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接与，两线相交于点，过点作交的延长线于点，利用菱形性质解直角三角形求出的长，根据周角定义求出的度数，在中，利用含角的直角三角形性质结合勾股定理求出的长，在中， 利用勾股定理可求出的长，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，连接与，两线相交于点，过点作交的延长线于点， 四边形是菱形，， ，， ， ， ，  ，  ，  ，  在中，，，  ，， 在中， ，  ． 7. 已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ） A. 无论实数a取什么值，都有 B. 无论实数a取什么值，都有 C. 可以找到实数a，使得 D. 可以找到实数a，使得 【答案】C 【解析】 【分析】把代入解析式可得，可判断A选项；把代入解析式可得，从而得到，可判断B、D选项；再由当时，此时，可判断C选项． 【详解】解：当时，， ∴， 即，故A错误，不符合题意； 当时，， ∴， 即，故B、D错误，不符合题意； 当时，此时， 即可以找到实数a，使得，故C正确符合题意． 二、填空题 8. 若n为正整数，且满足，则 ____． 【答案】3 【解析】 【分析】通过平方法估算的范围即可求解． 【详解】解：，． ， ， ． 9. 如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为____ ． 【答案】 【解析】 【分析】设，则， 根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图， 设，则， 则在直角三角形 中，由勾股定理可得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为． 10. 如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图3个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图11个圆点，第四幅图15个圆点……按照此规律，第10幅图中圆点的个数是____． 【答案】39 【解析】 【分析】根据图形总结规律：第 幅图中圆点的个数为，即可得解． 【详解】解：由题意可知，第一幅图 个圆点，， 第二幅图个圆点，， 第三幅图11个圆点，， 第四幅图15个圆点，， … 观察发现，第 幅图中圆点的个数为， 则第10幅图中圆点的个数是（个）． 11. 如图，点A，B，E在 上，与关于弦 对称，若，则______． 【答案】 ##130度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形，轴对称性质，先根据圆内接四边形，对角互补得，结合轴对称性质，得，结合圆周角定理得，即可作答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵与关于弦 对称， ∴， ∴． 12. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作 轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作 轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，已知在 中，，垂足为点H，，，以为边在 外部作， ，且，则的长是_______． 【答案】10 【解析】 【分析】过点作平行于的直线、过点作垂直于的直线，两直线相交于点，在直线上取点 ，使，连接，，首先证明四边形是矩形，可得 ，再证明，可得，利用勾股定理求得即可得的长． 【详解】解：如图，过点作平行于的直线、过点作垂直于的直线，两直线相交于点，在直线上取点 ，使，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ ， ∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴， 在 中，， ∴． 三、解答题 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式乘法法则、绝对值的性质、负整数指数幂的运算规则，分步计算每一项，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 15. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别解不等式即可． 【详解】解：解不等式，得, 解不等式，得, 所以不等式组的解集为． 16. 已知，求代数式的值． 【答案】4 【解析】 【详解】解： ； ， ， 原式． 17. 如图，已知 ，请用尺规作图法，分别在 ，，边上取点D，E，F，使得四边形 是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，菱形 即为所求作．（作法不唯一） 由作图可知：平分，垂直平分， ∴ ， ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴四边形 是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定及尺规作图，熟练掌握菱形的判定及尺规作图是解题的关键；先作出的角平分线，然后作线段的线段垂直平分线，进而问题可求解． 【详解】略 18. 如图，已知矩形，点E和点F是边上的点，和交于点G，．求证： ． 【答案】 证明：因为矩形， ， ， ， ， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ． 【解析】 【分析】根据矩形的性质，证明，结合等式的性质证明即可． 【详解】略 19. 如图是某小型停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为21米，宽为18米，停车场内车道宽度都相等，若停车位的占地面积为180平方米，求车道宽度． 【答案】车道宽度为6米 【解析】 【分析】设车道宽度为x米，依题意列出一元二次方程，求出x的值，并判断是否符合题意即可． 【详解】解：如图 设车道宽度为x米，依题意，得 ， ， 解得（不符合题意，舍去）， 答：车道宽度为6米． 20. 2026世界机器人大会()于8月在北京亦创国际会展中心举办；大会以人工智能与机器人深度融合为主题，设立工业机器人、人形机器人、服务机器人和特种机器人四大展区．小宇准备和爸爸利用暑假前去参会，他将这四个展区名称写在形状、大小、质地完全相同的卡片上，背面朝上洗匀后放在不透明盒子中．卡片对应：A-工业机器人展区，B-人形机器人展区，C-服务机器人展区，D-特种机器人展区． （1）小宇随机抽取1张卡片，恰好抽到特种机器人展区(D)的概率为_____． （2）小宇一次性随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表法计算小宇抽到特种机器人展区(D)和工业机器人展区(A)的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式，用符合条件的结果数除以所有等可能的总结果数，即可求出所求概率； （2）用列表法列举出抽取2张卡片的所有等可能结果，找出满足抽到 和的结果数，再代入概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，随机抽取1张卡片，共有4种等可能的结果， 其中恰好抽到特种机器人展区的结果有1种，则恰好抽到特种机器人展区的概率为． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的抽取结果，其中抽到 和的结果有2种 小宇抽到特种机器人展区和工业机器人展区的概率为． 21. 在日常地面环境，气温t在（单位：）范围内，声速y（单位：）和气温t（单位：）可用一次函数近似描述．现通过实验测得两组数据：当气温t为时，声速y是；当气温t为时，声速y是． （1）根据上述测量数据，求声速y（单位：）与气温t（单位：）之间的一次函数表达式． （2）某日气温为，小明看到远处闪电后，经过3秒听到雷声．已知光在空气中的传播速度远大于声速，因此光从闪电发生处传播到小明处的时间可以忽略不计．请利用（1）中所得关系式，估算小明与闪电发生处的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设一次函数表达式为，利用待定系数法求出的值，即可解答； （2）代入，求出对应的值，再根据距离 声速时间，即可求解． 【小问1详解】 解：设一次函数表达式为， 由题意得，， 解得， ∴声速y与气温t之间的一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）得，， 当时，， ， 答：小明与闪电发生处的距离为． 22. 如图，某数学活动小组计划测量小河对岸古树的高度，现操作如下： 活动课题 测量河对岸古树的高度 示意图 测量方案与测量数据 在水岸边点A处，测得树顶端D点的仰角为，再从A点出发沿斜坡走到达点B处，测得大树顶端D点的仰角为；测得斜坡 的坡度．已知点A、B、C、D、M都在同一平面上，且在同一水平线上． 参考数据 ，． 请求出古树的高度（结果保留整数）． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作交延长线于E，则，设，，在 中根据勾股定理构造方程，求出 ，得到．证明四边形是矩形，得到，，设，则，，根据求解即可． 【详解】解：过点B作交延长线于E，则． ∵斜坡 的坡度，即， ∴设，， ∵从A点出发沿斜坡走到达点B处， ∴， ∵在 中，， 即， 解得 或（不合题意，舍去）， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ， 设， ∴，， ∵在 中，， ∴， 解得：． 答：古树的高度约为 ． 23. 为深入落实“健康第一”的教育理念，践行“身上有汗、眼里有光”的育人目标，育英中学在阳光大课间开展了4分钟跳绳比赛活动，随机抽取50名九年级女生进行测试，并对成绩进行了整理，信息如下： 成绩频数分布表： 组别 A B C D E 成绩x（个） 频数 2 6 10 8 频率 0.04 0.12 0.2 0.16 成绩在C组的数据是（单位：个）： 386 390 391 393 396 396 396 399 402 403 根据以上信息，回答下列问题： （1）_____， ______，这次测试成绩的中位数在_______组，C组的众数是_____； （2）如果在平时训练中，4分钟跳绳成绩不低于405个，中考体育时在“4分钟跳绳”项目中就能获得满分．该校九年级共有325名女生，请你估计能得满分的女生有多少人？ 【答案】（1）24，0.48，D，396 （2）208人 【解析】 【分析】（1）用测试总人数减去A、B、C、E组对应的频数确定的值，根据频率 频数 总数，求出 的值，再根据中位数和众数的定义即可求解； （2）先求出4分钟跳绳成绩不低于405个的女生人数所占比例，再乘以325即可求解． 【小问1详解】 解：D组的频数为， D组的频率为， 将测试成绩从小到大排列，第25位和第26位的数据都在D组， ∴这次测试成绩的中位数在D组； 成绩在C组的数据中，396出现次数最多，共3次， ∴C组的众数是396； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计能得满分的女生有208人． 24. 如图，已知 的直径是 ，点C和点E是 上的点，且在 的两侧，满足，连接，，在 的延长线上取点D，使． （1）求证：是 的切线； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：过O作于F，交于G，则 ∴， 又， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，即， 又 是 的半径， ∴是 的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）过O作于F，交于G，根据垂径定理并结合已知可得出，则，推导可求出，进而得出，然后根据切线的判定即可得证； （2）在中，解直角三角形求出，，过C作于H，根据等面积法求出，连接，过E作 于N，过C作于M，根据矩形的判定与性质求出，在 中，解直角三角形求出，，根据等面积法求出，然后在 中根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，即， 解得，经检验，符合题意， ∴， 过C作于H， 根据等面积法得， 连接，过E作 于N，过C作于M， 则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据等面积法得， ∴， ∴． 25. 某林区消防大队利用无人机进行消防演练，无人机升空后在点C所在高度水平匀速飞行，到达指定位置A时，空投一枚模拟灭火干粉罐．干粉罐灭火弹离开无人机后，在空中做平抛运动，轨迹为一段抛物线，如图所示，空投点A即为抛物线的最高点．若无人机程序设计空投点坐标，投放目标点坐标． （1）求抛物线的函数关系式； （2）如果在距离空投点A水平距离20米处有一棵高10米的树木．请通过计算判断干粉罐是否会撞到树木；如果干粉罐会碰到树木，保持无人机原有速度不变（即平抛运动轨迹抛物线形状不变）且水平位置不变，仅调整无人机空投点高度，求调整后空投点的高度至少为多少米时，干粉罐才能避开树木（结果保留整数） 【答案】（1） （2）干粉罐会撞到树木．调整后空投点的高度至少为50米，干粉罐才能避开树木 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的顶点为，设抛物线的函数关系式为，再把点代入，求出a的值，即可解答； （2）距离空投点A水平距离20米的位置，则该点的横坐标为，把代入函数关系式，求出函数值，与树高10米比较即可判断干粉罐是否会撞到树木．设调整后空投点的高度为h米，设调整后空投轨迹抛物线的函数关系式为，将点代入，求出h的值即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的函数关系式为， ∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线的函数关系式为． 【小问2详解】 解：距离空投点A水平距离20米的位置，则该点的横坐标为， 当时， ， ∴干粉罐会撞到树木． 设调整后空投点的高度为h米， ∵平抛运动轨迹抛物线形状不变， ∴设调整后空投轨迹抛物线的函数关系式为， 由题意可得，当该抛物线过点时， ， 解得， ∴调整后空投点的高度至少为50米，干粉罐才能避开树木． 26. 结合图形解答问题 （1）如图①，已知在 中，，，垂足是点．若，______． （2）如图②，在中，，平分交于 点，过点E作交于点D，且平分．若 ，求的长． （3）某现代艺术展览馆的屋顶采用几何镂空钢架结构，设计师采用平行四边形单元为基础模块，如图③所示，在中，为荷载传导杆，且平分，是垂直增强杆， 交于点F．为增加稳定性，需在延长线上的G点与边上F点之间新增一条支撑杆 ．已知，中，米， 米，荷载杆倾斜率，且对称补偿设计要求．请你计算新增支撑杆 的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，，求出，得到； （2）根据角平分线的性质、平行线的性质、直角三角形的性质求出，再利用含角的直角三角形的性质计算即可得到答案； （3）连接，过于点,推出，作于点，，根据等腰三角形的性质、平行线的性质得到 ，设 ，则，求出，设，则，， 利用勾股定理求出，，证明四边形是平行四边形，得到． 【小问1详解】 解：，设，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解： 平分， ， ，平分， ，， ， ，， ， ，即， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，连接，作于点, ， 米，，，， , 平分， ， ， ， 作于点，， 设，, ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 设 ，则， ， ， 解得， ,, ， 设，则，， 在中，，即， 解得， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习 一、选择题（每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 如果把向东走8米记作米，那么向西走6米记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，点E在上，交于点E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知直线 经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段 平移至 ，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，已知四边形和四边形 都是菱形，且，，如果，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ） A. 无论实数a取什么值，都有 B. 无论实数a取什么值，都有 C. 可以找到实数a，使得 D. 可以找到实数a，使得 二、填空题 8. 若n为正整数，且满足，则 ____． 9. 如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为____ ． 10. 如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图3个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图11个圆点，第四幅图15个圆点……按照此规律，第10幅图中圆点的个数是____． 11. 如图，点A，B，E在 上，与关于弦 对称，若，则______． 12. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________． 13. 如图，已知在中，，垂足为点H， ，，以 为边在外部作， ，且，则的长是_______． 三、解答题 14. 计算：． 15. 解不等式组：． 16. 已知，求代数式的值． 17. 如图，已知，请用尺规作图法，分别在 ，， 边上取点D，E，F，使得四边形 是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，已知矩形 ，点E和点F是边上的点，和 交于点G，．求证： ． 19. 如图是某小型停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为21米，宽为18米，停车场内车道宽度都相等，若停车位的占地面积为180平方米，求车道宽度． 20. 2026世界机器人大会()于8月在北京亦创国际会展中心举办；大会以人工智能与机器人深度融合为主题，设立工业机器人、人形机器人、服务机器人和特种机器人四大展区．小宇准备和爸爸利用暑假前去参会，他将这四个展区名称写在形状、大小、质地完全相同的卡片上，背面朝上洗匀后放在不透明盒子中．卡片对应：A-工业机器人展区，B-人形机器人展区，C-服务机器人展区，D-特种机器人展区． （1）小宇随机抽取1张卡片，恰好抽到特种机器人展区(D)的概率为_____． （2）小宇一次性随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表法计算小宇抽到特种机器人展区(D)和工业机器人展区(A)的概率． 21. 在日常地面环境，气温t在（单位：）范围内，声速y（单位：）和气温t（单位：）可用一次函数近似描述．现通过实验测得两组数据：当气温t为时，声速y是；当气温t为时，声速y是． （1）根据上述测量数据，求声速y（单位：）与气温t（单位：）之间的一次函数表达式． （2）某日气温为，小明看到远处闪电后，经过3秒听到雷声．已知光在空气中的传播速度远大于声速，因此光从闪电发生处传播到小明处的时间可以忽略不计．请利用（1）中所得关系式，估算小明与闪电发生处的距离． 22. 如图，某数学活动小组计划测量小河对岸古树 的高度，现操作如下： 活动课题 测量河对岸古树 的高度 示意图 测量方案与测量数据 在水岸边点A处，测得树顶端D点的仰角为，再从A点出发沿斜坡走到达点B处，测得大树顶端D点的仰角为；测得斜坡 的坡度．已知点A、B、C、D、M都在同一平面上，且 在同一水平线上． 参考数据 ，． 请求出古树 的高度（结果保留整数）． 23. 为深入落实“健康第一”的教育理念，践行“身上有汗、眼里有光”的育人目标，育英中学在阳光大课间开展了4分钟跳绳比赛活动，随机抽取50名九年级女生进行测试，并对成绩进行了整理，信息如下： 成绩频数分布表： 组别 A B C D E 成绩x（个） 频数 2 6 10 8 频率 0.04 0.12 0.2 0.16 成绩在C组的数据是（单位：个）： 386 390 391 393 396 396 396 399 402 403 根据以上信息，回答下列问题： （1）_____， ______，这次测试成绩的中位数在_______组，C组的众数是_____； （2）如果在平时训练中，4分钟跳绳成绩不低于405个，中考体育时在“4分钟跳绳”项目中就能获得满分．该校九年级共有325名女生，请你估计能得满分的女生有多少人？ 24. 如图，已知 的直径是 ，点C和点E是 上的点，且在 的两侧，满足，连接 ，，在 的延长线上取点D，使． （1）求证：是 的切线； （2）连接，若，，求的长． 25. 某林区消防大队利用无人机进行消防演练，无人机升空后在点C所在高度水平匀速飞行，到达指定位置A时，空投一枚模拟灭火干粉罐．干粉罐灭火弹离开无人机后，在空中做平抛运动，轨迹为一段抛物线，如图所示，空投点A即为抛物线的最高点．若无人机程序设计空投点坐标，投放目标点坐标． （1）求抛物线的函数关系式； （2）如果在距离空投点A水平距离20米处有一棵高10米的树木．请通过计算判断干粉罐是否会撞到树木；如果干粉罐会碰到树木，保持无人机原有速度不变（即平抛运动轨迹抛物线形状不变）且水平位置不变，仅调整无人机空投点高度，求调整后空投点的高度至少为多少米时，干粉罐才能避开树木（结果保留整数） 26. 结合图形解答问题 （1）如图①，已知在中， ，，垂足是点．若，______． （2）如图②，在 中，， 平分 交于 点，过点E作交 于点D，且平分．若 ，求的长． （3）某现代艺术展览馆的屋顶采用几何镂空钢架结构，设计师采用平行四边形单元为基础模块，如图③所示，在中， 为荷载传导杆，且 平分 ， 是垂直增强杆， 交 于点F．为增加稳定性，需在 延长线上的G点与 边上F点之间新增一条支撑杆 ．已知，中，米， 米，荷载杆倾斜率，且对称补偿设计要求．请你计算新增支撑杆 的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $