精品解析：江苏无锡市东林集团2025-2026学年下学期八年级 期中联考数学试题（4月）

2026年春八年级期中测试数学试题 一、选择题（本大题共10小题） 1. 新情境 下列手机屏幕手势解锁图案中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查活动中，适合采用普查的是（ ） A. 对无锡市2026年空气质量的调查 B. 对清明小长假来鼋头渚旅游的人数的调查 C. 对神舟二十三号载人飞船发射前的调试检查 D. 对无锡市喜欢吃小笼包的人数的调查 3. 为了解2026年春学期无锡市八年级学生的跳绳水平，从中随机抽取了1000名学生进行检测，下列说法正确的是（ ） A. 样本容量是1000 B. 2026年春学期无锡市八年级学生的全体是总体 C. 被抽取的1000名学生是样本 D. 被抽取的每一名八年级学生是个体 4. 某品牌牛奶的营养成分信息：能量，蛋白质，脂肪，碳水化合物，钠，钙，其它，要选择一种统计图来反映上述信息，适宜的是（ ） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 频数分布直方图 5. 有65个数据，最大值为93，最小值为21，将数据适当分组，绘制成相应的频数直方图，若组距定为7，则组数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 6. 如图，在平行四边形 中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对边相等的平行四边形是矩形 8. 顺次联结一个四边形的四条边的中点得到一个菱形，那么原四边形可能是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 梯形 9. 如图，在中，分别平分，那么的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 以上都不对 10. 如图，中，对角线交于点，，分别是， 的中点．下列结论正确的是（ ） ①；②；③平分；④平分；⑤四边形是菱形． A. ③⑤ B. ①②④ C. ①②③④ D. ①②③④⑤ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 某校八年级（6）班50名学生的健康状况被分成5组，第1组的频数是6，第2、3组的频率之和为0.44，第4组的频率是0.2，则第5组的频数是______． 12. 如图，四边形 中，，要使四边形 为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是__________． 13. 如果一个平行四边形两对角线长度分别为8和6，那么它的边长a的取值范围是____________________． 14. 如图，在平行四边形 中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为______． 15. 如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线BF交CD于点P，则∠FPC的度数是______． 16. 如图，长方形 中，，，点 在边上，将沿着翻折后，点 落在线段上的点 处，那么的长度是______． 17. 已知菱形的边长为2，且，M是对角线上一动点，的最小值为______． 18. 如图，正方形的顶点B的坐标为，为x轴上的一个动点，以为边作正方形，点E在第四象限，点M为正方形对角线的交点，直线交y轴于点G，则点M的坐标为______（用含m的代数式表示）；点G的坐标为______． 三、解答题（本大题共7题，共66分） 19. 如图，四边形 是平行四边形，E，F是对角线 上的两点，． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 20. 某校七年级个班的名学生即将参加学校举行的研究旅行活动，学校提出以下个活动主题：．运河文化考察； ．无锡饮食文化考察； ．无锡革命红色文化考察；．无锡新兴科技考察，为了解学生喜欢的活动主题．学生会开展了一次调查研究，请将下面的过程补全． （1）收集数据：学生会计划调查学生喜欢的活动主题情况，下面抽样调查的对象选择合理的是______．（填序号） ①选择七年级 班、班、班学生作为调查对象 ②选择学校旅游摄影社团的学生作为调查对象 ③选择各班学号为 的倍数的学生作为调查对象 （2）整理、描述数据：通过调查后，学生会同学绘制了如下两幅不完整的统计图，请把统计图补充完整． （3）分析数据、推断结论：请你根据上述调查结果向学校推荐本次活动的主题，你的推荐是______（填到的字母代号），估算全年级大约有多少名学生喜欢这个主题活动． 21. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若 绕着点顺时针旋转后得到，画出，并写出点B的对应点的坐标是______，点C的对应点的坐标是______； （2）在此网格范围内，若要以为边，其他顶点均为格点的矩形，可作出______个矩形，面积为______． （3）若和 关于原点O中心对称，画出； （4）在此网格范围内，若P为平面直角坐标系内一点，以A，B，C，P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标______； 22. 如图，已知四边形是菱形，延长到点E使，延长到点F使，连接，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若平分，菱形的边长为4，求矩形的面积． 23. 如图，中，外角的平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． （1）求的度数； （2）①求证：四边形 是正方形； ②若，求的值． 24. 【知识回顾】本学期我们研究了三角形的中位线的性质：三角形中位线定理是：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （1）【方法迁移】梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路： 如图②，连接并延长，交的延长线于点G． …… 请写出梯形的中位线和两底、之间的关系，并说明理由． （2）【理解内化】已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是______； （3）【拓展应用】如图③，直线l为外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线l的垂线段、、、，请探究线段、、、之间的数量关系并说明理由． 25. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线为常数与直线交点的横坐标为 ，点在直线上，点在直线上，且轴，设点的横坐标为． （1）求直线对应的函数表达式． （2）当时，点的坐标为，线段的长度为______ （3）以为边作矩形，使，且点 、在直线的下方． ①当四边形是正方形时，求 的值． ②当矩形被直线分成的两部分的面积比为时，直接写出 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春八年级期中测试数学试题 一、选择题（本大题共10小题） 1. 新情境 下列手机屏幕手势解锁图案中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列调查活动中，适合采用普查的是（ ） A. 对无锡市2026年空气质量的调查 B. 对清明小长假来鼋头渚旅游的人数的调查 C. 对神舟二十三号载人飞船发射前的调试检查 D. 对无锡市喜欢吃小笼包的人数的调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查普查与抽样调查的选择，解题思路是先明确普查的适用条件，即对结果精确度要求高，调查事关重大或调查对象范围小的调查适合普查，调查范围广，对象数量多的调查适合抽样调查，再逐一判断选项即可． 【详解】解：A、无锡市空气质量调查范围广，适合抽样调查，不符合要求； B、清明小长假鼋头渚游客数量多，调查范围大，适合抽样调查，不符合要求； C、神舟飞船发射前调试要求零失误，事关重大，必须对所有项目逐一检查，适合采用普查，符合要求； D、调查无锡市喜欢吃小笼包的人数，调查对象数量多范围广，适合抽样调查，不符合要求． 因此答案选：C． 3. 为了解2026年春学期无锡市八年级学生的跳绳水平，从中随机抽取了1000名学生进行检测，下列说法正确的是（ ） A. 样本容量是1000 B. 2026年春学期无锡市八年级学生的全体是总体 C. 被抽取的1000名学生是样本 D. 被抽取的每一名八年级学生是个体 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查总体、个体、样本、样本容量的基本概念，解题关键是明确本题研究对象是学生的跳绳水平，而非学生本身． 【详解】解：∵ 总体是研究对象的全体，本题研究对象是八年级学生的跳绳水平，因此总体应为2026年春学期无锡市八年级学生的跳绳水平全体，不是学生全体，故B错误； ∵ 样本是从总体中抽取的部分研究对象，因此样本应为被抽取的1000名学生的跳绳水平，不是被抽取的学生，故C错误； ∵ 个体是总体中的每个研究对象，因此个体是每名八年级学生的跳绳水平，不是学生本身，故D错误； ∵ 样本容量是样本中个体的数目，本题抽取1000名学生，因此样本容量为1000，故A正确． 4. 某品牌牛奶的营养成分信息：能量，蛋白质，脂肪，碳水化合物，钠，钙，其它，要选择一种统计图来反映上述信息，适宜的是（ ） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 频数分布直方图 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，折线统计图，条形统计图，频数分布直方图，理解各统计图的特点是解题的关键．根据扇形统计图表示部分在总体中所占的百分比；折线统计图表示事物的变化情况；条形统计图表示每个项目的具体数目；频数分布直方图清楚显示各个不同区间内的取值，各组频数分布情况，各组之间频数的差别．根据各种统计图的特点即可解答． 【详解】解：∵统计图显示的是牛奶的营养成分的百分比， ∴应选择扇形统计图， 故选：B． 5. 有65个数据，最大值为93，最小值为21，将数据适当分组，绘制成相应的频数直方图，若组距定为7，则组数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了频数（率）分布直方图，可根据数据的最大最小值求得二者的差值，再除以组距，若结果不是整数，那么得到的结果要进一，据此求解即可． 【详解】解：， ， ∴组数为， 故选：C． 6. 如图，在平行四边形 中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平行四边形的对角相等，据此可得答案． 【详解】解：∵在平行四边形 中，， ∴． 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 四边相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对边相等的平行四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形、矩形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故A错误． B选项，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是矩形，故B错误． C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，符合矩形的判定定理，故C正确． D选项，对边相等是所有平行四边形都具有的性质，无法判定该平行四边形是矩形，故D错误． 8. 顺次联结一个四边形的四条边的中点得到一个菱形，那么原四边形可能是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 梯形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形和矩形的性质．根据三角形中位线定理以及菱形的性质，可得原四边形的对角线相等，即可求解． 【详解】解：如图，四边形 的四边中点分别为，且四边形为菱形，连接四边形对角线， ∵中点分别为， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， 即原四边形的对角线相等， 故符合题意的是矩形． 故选：C 9. 如图，在中，分别平分，那么的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等角对等边，结合平行四边形的性质求得是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，结合角平分线的定义可求得、，再由线段的和差可求得． 【详解】解： 四边形 为平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理， ， 故选：B． 10. 如图，中，对角线交于点，，分别是， 的中点．下列结论正确的是（ ） ①；②；③平分；④平分；⑤四边形是菱形． A. ③⑤ B. ①②④ C. ①②③④ D. ①②③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】由中点的性质可得出，且，结合平行即可证得②结论成立，由得出，即而得出，由中线的性质可知，且，，通过证得出得出①成立，再证得出④成立，此题得解． 【详解】解：令和 的交点为点，如图 、 分别是 、的中点， ，且， 四边形 为平行四边形， ，且， （两直线平行，内错角相等）， 点为 的中点， ， 在和中，， ，即②成立， ，， （内错角相等，两直线平行）， ，点为平行四边形对角线交点， ， 为 中点， ， ， ，为 中点， 为中点，即，且， 在和中，， ， ， ，即①成立， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 平分，即④成立， 综上所述，正确的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 某校八年级（6）班50名学生的健康状况被分成5组，第1组的频数是6，第2、3组的频率之和为0.44，第4组的频率是0.2，则第5组的频数是______． 【答案】12 【解析】 【分析】由第1组的频数除以总人数即得出第1组的频率，再用1减去其它组的频率，即可求出第5组的频率，最后用总人数乘第5组的频率即可求出第5组的频数． 【详解】根据题意可知第1组的频率是， ∴第5组的频率， ∴第5组的频数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查求频率和频数．由题意先求出第1组的频率，进而求出第5组的频率是解题关键． 12. 如图，四边形 中，，要使四边形 为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法解答即可． 【详解】解： 在四边形 中，，， 四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 可添加的条件是：； 在四边形 中， ， ∴四边形 是平行四边形； ∴可添加条件； 故答案是：（答案不唯一）. 13. 如果一个平行四边形两对角线长度分别为8和6，那么它的边长a的取值范围是____________________． 【答案】1＜a＜7 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分求出两对角线的一半，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求解． 【详解】解：∵平行四边形的两条对角线的长分别是为8和6， ∴两对角线的一半分别是4，3， ∴边长a的取值范围是4-3＜a＜4+3． 即1＜a＜7． 故答案为：1＜a＜7． 【点睛】本题考查了平行四边形对角线互相平分的性质，三角形的三边关系，熟记性质并考虑利用三边关系求解是解题的关键． 14. 如图，在平行四边形 中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】首先由平行四边形的对边相等的性质求得；然后利用三角形中位线定理求得． 【详解】解：如图，在平行四边形 中，． ，分别为，的中点， 是的中位线， ． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，解题过程中是利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度的． 15. 如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线BF交CD于点P，则∠FPC的度数是______． 【答案】112.5° 【解析】 【分析】利用正方形的性质得到，，再根据菱形的性质得BF平分 ，所以，然后根据三角形外角性质计算的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ， ， ∵四边形BEFD为菱形， ∴BF平分∠EBD， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；也考查了菱形的对角线的性质：菱形对角线平分每对对角，且互相垂直；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．熟记这些知识是解题关键． 16. 如图，长方形 中，，，点 在边上，将沿着翻折后，点 落在线段上的点 处，那么的长度是______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用长方形的性质得到，由翻折得，，证明，得到，根据勾股定理得到，计算即可得到答案． 【详解】解： 长方形 ， ，，，， ， 由翻折得， ，, ， ， ， 在中，， ， ． 17. 已知菱形的边长为2，且，M是对角线上一动点，的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交 于点，如图，过点 作的垂线，垂足为 ，连接，求得，，推出，当共线时，最小，然后用勾股定理算得即可． 【详解】解：连接，交 于点，如图，过点 作的垂线，垂足为 ，连接， ∵菱形的边长为2， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵ 是对角线 上一动点，，， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，最小，最小值为， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 18. 如图，正方形的顶点B的坐标为，为x轴上的一个动点，以为边作正方形，点E在第四象限，点M为正方形对角线的交点，直线交y轴于点G，则点M的坐标为______（用含m的代数式表示）；点G的坐标为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点 做交延长线于点，证得，得到M的坐标，再做轴，即可求得是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，从而求得G的坐标． 【详解】解：如图过点 作交延长线于点， ， ，， ， ， ， ，， ， 又，M为正方形的对称中心， ， 作轴，在中，，， 是等腰直角三角形， 也是等腰直角三角形， 有， ． 三、解答题（本大题共7题，共66分） 19. 如图，四边形 是平行四边形，E，F是对角线 上的两点，． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） 证明： 四边形 为平行四边形， ，， ， 又， （2） 证明：， ，， ， ∴， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟记判定方法是解本题的关键； （1）先证明，，再结合可得结论； （2）由全等三角形的性质可得，，再证明，可得，从而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某校七年级个班的名学生即将参加学校举行的研究旅行活动，学校提出以下个活动主题：．运河文化考察； ．无锡饮食文化考察； ．无锡革命红色文化考察；．无锡新兴科技考察，为了解学生喜欢的活动主题．学生会开展了一次调查研究，请将下面的过程补全． （1）收集数据：学生会计划调查学生喜欢的活动主题情况，下面抽样调查的对象选择合理的是______．（填序号） ①选择七年级 班、班、班学生作为调查对象 ②选择学校旅游摄影社团的学生作为调查对象 ③选择各班学号为 的倍数的学生作为调查对象 （2）整理、描述数据：通过调查后，学生会同学绘制了如下两幅不完整的统计图，请把统计图补充完整． （3）分析数据、推断结论：请你根据上述调查结果向学校推荐本次活动的主题，你的推荐是______（填到的字母代号），估算全年级大约有多少名学生喜欢这个主题活动． 【答案】（1）③ （2）见解析 （3） ，估算全年级喜欢这个主题活动的学生有名． 【解析】 【分析】（1）根据抽样调查的代表性求解可得； （2）先求出被调查的总人数，再乘以主题对应的百分比求得其人数，继而根据各主题人数之和等于总人数求得 的人数，然后求出、 对应的百分比，从而补全图形； （3）由统计图可知选择的主题，再利用样本估计总体思想求解可得． 【小问1详解】 解：抽样调查的对象选择合理的是③； 【小问2详解】 抽样调查的总人数为（人）， 主题的人数为（人）， 主题的人数为（人）， 主题的百分比为， 主题的百分比为， 补全统计图如下： 【小问3详解】 主题的百分比最大， 推荐 主题， （名）， 即全年级喜欢这个主题活动的学生大约有名． 21. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若 绕着点顺时针旋转后得到，画出，并写出点B的对应点的坐标是______，点C的对应点的坐标是______； （2）在此网格范围内，若要以为边，其他顶点均为格点的矩形，可作出______个矩形，面积为______． （3）若和 关于原点O中心对称，画出； （4）在此网格范围内，若P为平面直角坐标系内一点，以A，B，C，P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标______； 【答案】（1）；， 图见解析 （2）2个；13或26 （3）见详解 （4）或 【解析】 【分析】本题考查作图—旋转变换、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质以及平行四边形的判定，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、特殊四边形是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）取格点并证明，即可证明，则有四边形和以其他顶点均为格点的矩形，利用勾股定理和矩形面积公式求解即可； （4）根据平行四边形的判定确定点的位置，进而可得答案． 【小问1详解】 解：如图， 即为所求． 由图可得，点的坐标是，点的坐标是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， 那么，四边形和是以其他顶点均为格点的矩形， ∵，， ∴矩形的面积为， 矩形的面积为， 则以为边，其他顶点均为格点的矩形，可作出2个矩形，面积分别为13和26； 【小问3详解】 解：如图，即为所求． 【小问4详解】 解：当以为顶点的四边形是以 为对角线的平行四边形时，点的坐标为； 当以为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 22. 如图，已知四边形是菱形，延长到点E使，延长到点F使，连接，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若平分，菱形的边长为4，求矩形的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，得出四边形是平行四边形，根据四边形是菱形，得出，结合，，得出，即可证明四边形是矩形． （2）根据四边形是菱形，得出，，即可得，结合平分，证明，证出，得出，，在中，根据勾股定理求出，即可求出四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵菱形的边长为4 ， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】该题考查了勾股定理，矩形的性质和判定，菱形的性质，等腰三角形的判定等知识点，掌握以上知识点是解题的关键． 23. 如图，中，外角的平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． （1）求的度数； （2）①求证：四边形 是正方形； ②若，求的值． 【答案】（1） （2）①见解析；②128 【解析】 【分析】（1）先推导出，然后根据角平分线的定义得到，结合三角形内角和定理，即可解答； （2）①过点A作于G，推导出，得到四边形 为矩形，然后根据角平分线性质定理推导出，即可证得结论； ②由①得四边形 为正方形，推导出，得到，同理可得，再根据勾股定理，得到，化简得，然后展开式子，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：过点A作于G， 则， ∵， ∴， ∴四边形 为矩形， ∵外角平分线交于点A， ∴， ∴， ∴四边形 为正方形 ②解：如图 由①得四边形 为正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， 化简，得， ∴． 24. 【知识回顾】本学期我们研究了三角形的中位线的性质：三角形中位线定理是：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （1）【方法迁移】梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路： 如图②，连接并延长，交的延长线于点G． …… 请写出梯形的中位线和两底、之间的关系，并说明理由． （2）【理解内化】已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是______； （3）【拓展应用】如图③，直线l为外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线l的垂线段、、、，请探究线段、、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）；，理由见解析 （2）30 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）先证和全等，再说明是的中位线．利用三角形中位线定理得出结论； （2）根据梯形的中位线长为，得出梯形两底和的一半等于，再根据梯形面积公式计算即可； （3）连接 、相交于O，过点O作于P，过作交、于 、，交延长至点，过 作交于，利用四边形、、都是平行四边形，以及得出，同理可证，那么是梯形的中位线，是梯形的中位线，再利用梯形的中位线性质得出结论． 【小问1详解】 解：；． 证明：连接并延长，交的延长线于点G．如图，     ∵， ∴，， ∵就是梯形 的中位线， ∴ ∴ ∴，， ∴是的中位线， ∴，，即， ∵ ∴． 【小问2详解】 解：∵梯形的中位线长为， ∴梯形两底和的一半等于， ∴ 【小问3详解】 解：， 证明：连接 、相交于O，过点O作于P，如图， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ，， ∵，，，， ∴， 过作交、于 、，交延长至点，过 作交于， 则四边形、都是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 又， ∴， ∴， 同理可证， ∴是梯形的中位线，是梯形的中位线， ∴，， ∴． 25. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线为常数与直线交点的横坐标为 ，点在直线上，点在直线上，且轴，设点的横坐标为． （1）求直线对应的函数表达式． （2）当时，点的坐标为，线段的长度为______ （3）以为边作矩形，使，且点 、在直线的下方． ①当四边形是正方形时，求 的值． ②当矩形被直线分成的两部分的面积比为时，直接写出 的值． 【答案】（1）＋ ； （2）， （3）①或，② 的值为或． 【解析】 【分析】（1）求出两直线的交点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，再根据轴，求出点，即可求出； （3）①由，，得到，再根据正方形的性质即可求解； ②分两种情况：设直线交于，此时， 设直线交于，此时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：在中，令 得：， ∴直线与直线交点坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图： 当时，的纵坐标为， ， ∵轴， ∴在中，令得：， ∴， ， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：①如图： ∵点在直线上，的横坐标为 ， ∴， 在中，令得：， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 解得：或； ②设直线交于，此时，如图： 由①知，，， ∴， ∵， ∴，， 在中，令得：， ∴， ∴， ， ， ， ， 解得：， 设直线交于，此时，如图： 同理可得，， ∴， ∵， ∴， 在中，令得：， ∴， ∴， ， ∴， ， 解得：或（舍去）， 综上所述， 的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $