精品解析：2025-2026学年山东青岛市崂山区一模九年级数学试题

九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题，第Ⅰ卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共27分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 青岛胶东国际机场于2021年8月12日正式通航．2026年春运期间（2月2日至3月13日），该机场旅客吞吐量达到3060000人次．将3060000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若一种机器零部件如图所示，则该零部件的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，，是上的动点，于点，于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在直角坐标系中，将点绕原点按顺时针方向旋转到，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，是的弦，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共93分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 计算的结果是______． 11. “双减”政策实施后，某校为了解学生课后服务参与情况，随机抽取了5名同学，记录他们一周内（周一至周五，每天最多参加1次）参加课后服务的次数（单位：次），数据如下：3，4，4，4，5，则这组数据的方差为________． 12. 如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为5，则________． 13. 如图，一个正六边形的边长为3，连接对角线，交于点P，则的值为________． 14. 如图，某模具是大半圆内部挖去小半圆而成．为了求该模具的面积，在图中作一条平行于大半圆直径且与小半圆相切的切线，分别交大半圆于A，B两点，已知，则图中阴影部分的面积为________． 15. 抛物线的顶点是，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论： ①； ②； ③对于任意实数t，总有不等式； ④若方程的两个根为，，则． 其中正确的是________（只写序号）． 三、作图题（本大题满分4分） 16. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段a． 求作：矩形，使它的对角线，交于点O，且，． 四、解答题（本大题共9小题，共71分） 17. 按要求完成下列计算： （1）解不等式组； （2）化简． 18. 某中学开展“生态青岛”知识竞答，准备了3张完全相同的卡片，正面主题分别为：A无废城市建设；B美丽海湾保护；C青岛蓝天行动．竞答时选手要先将卡片背面朝上搅匀，随机抽取1张记录后不放回，再抽取第2张，抽到的两个主题均要作答． （1）第一次抽到“B美丽海湾保护”的概率为________； （2）请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，求抽到的两张卡片中有“A无废城市建设”的概率． 19. 随着航空技术的发展，飞机已成为人们出行的重要交通工具．在某次飞机降落过程中，垂直下降的距离与水平距离之比一直保持（即每垂直下降1米，水平向前飞行20米）．小明先后两次观测山顶：第一次观测时，飞机在点P处，测得山顶A的俯角为；第二次观测时，飞机降落到点Q处，测得山顶A的俯角为，此时飞机飞行的水平距离为2000米．求第二次观测飞机到山顶的垂直距离．（，，，，，） 20. 为科学预防近视，引导学生爱护视力，某校组织开展“科学用眼”知识竞赛．现从七年级、八年级参赛学生中各随机抽取50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩（用x表示）分为四个等级：为“不合格”，为“合格”，为“良好”，为“优秀”．下面给出了部分信息： 七年级被抽取学生的竞赛成绩在“良好”等级的有：82，83，84，84，84，84，85，86，87，88． 八年级被抽取学生的竞赛成绩在“合格”等级的有：72，74，75，77，78． 两组数据的平均数、中位数、众数： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 82 a 84 八年级 82 87 89 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级各有400人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”（）的总共有多少人？ 21. 如图，在中，，点M为的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． （1）求证：； （2）当时，四边形是________形，请证明． 22. 问题：某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持上端到屋顶和下端到墙角的距离相等，钢丝绳长度的最小值为多少米？ 小明收集了该简易房屋的相关数据，将该问题转化为数学问题：如图②，屋顶是等腰三角形，墙是矩形，其中米，，点M在上，点N在上，钢丝绳始终保持．求的最小值． （1）小明决定从简单情形出发试试看：如图③，在等边三角形中，，点M，N分别在边，上，且，求的最小值．请你在下面小明思路的基础上完成． 解：过点C，M分别作，的平行线，并交于点P，作射线， ∵四边形是平行四边形， ∴，； 经证明当时，最小，此时最小． 请你求出的最小值，写出求解过程． 解决： （2）请你借助小明的探究解决问题，直接写出图②中钢丝绳的最小值． 23. 2026年马年春节联欢晚会中《武》《奶奶的最爱》等机器人表演节目火爆全网，让机器人成为新春热点．某文化演艺公司计划采购A，B两种型号的表演机器人，用于各类文艺演出的舞台呈现．据了解，A型机器人的单价比B型机器人的单价低3000元，用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同． （1）求A，B两种型号表演机器人的单价各是多少元； （2）该文化演艺公司计划购买A，B两种型号的表演机器人共25台，且A型机器人的购买数量不超过B型机器人购买数量的3倍，购买A型机器人多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 24. 学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2）．以吸液管底为原点，吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知喷口A点到台面高度为，为，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为，这滴洗手液在水平方向喷出时，到台面高度为． （1）求这滴洗手液轨迹的函数关系式； （2）当这滴洗手液落到台面上时，落点离喷口A点的水平距离是多少？ （3）小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心约为，现在点M到喷口A点的水平距离为．若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心到台面的高度h的取值范围． 25. 如图，在中，，为边上的高，，．沿方向匀速运动，速度为；同时，沿方向匀速运动，速度为，分别得到，，如图②，连接，，．设运动时间为t（秒）（）． （1）请用含t的代数式表示下列线段的长度：________，________； （2）连接，当t为何值时，点在的垂直平分线上？ （3）是否存在某一时刻，使得与互余？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由； （4）若五边形的面积为S，求出S关于t的函数关系式，并说明是否存在某一时刻t，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题，第Ⅰ卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共27分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，进行计算即可． 【详解】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数，且， ∴ ． 2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此分析判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 3. 青岛胶东国际机场于2021年8月12日正式通航．2026年春运期间（2月2日至3月13日），该机场旅客吞吐量达到3060000人次．将3060000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：. 4. 若一种机器零部件如图所示，则该零部件的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图是从左面看到的图形，进行求解即可． 【详解】解：该零部件的左视图为： 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，原计算错误； B、，原计算错误； C、，原计算错误； D、，正确. 6. 如图，在矩形中，，，是上的动点，于点，于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设相交于点，连接，可得，即得，再利用解答即可求解． 【详解】解：如图，设相交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴， 又∵， ∴， ∴． 7. 在直角坐标系中，将点绕原点按顺时针方向旋转到，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴于点，可得是等腰直角三角形，，又根据旋转得，点落在轴的正半轴上，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵将点绕原点按顺时针方向旋转到， ∴，点落在轴的正半轴上， ∴． 8. 如图，是的直径，是的弦，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理进行求解即可. 【详解】解：连接，则，， ∵是的直径， ∴， ∴. 9. 如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，则，根据矩形的判定和性质、折叠的性质、中点的定义得到，设，在中，进一步利用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处． ∴， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得 即的长为． 第Ⅱ卷（共93分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的加减法，正确掌握二次根式的化简及加减法计算法则是解题的关键． 11. “双减”政策实施后，某校为了解学生课后服务参与情况，随机抽取了5名同学，记录他们一周内（周一至周五，每天最多参加1次）参加课后服务的次数（单位：次），数据如下：3，4，4，4，5，则这组数据的方差为________． 【答案】0.4 【解析】 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差的计算公式代入计算即可得到结果. 【详解】解：， ∴. 12. 如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为5，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由反比例函数的几何意义得，，，再根据即可求出k的值． 【详解】解：∵D，E在反比例函数的图像上且图像在第二象限， ∴，， ∵点A是双曲线上一点，且图像在第二象限， ∴， ∵， ∴，解得：． 13. 如图，一个正六边形的边长为3，连接对角线，交于点P，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】由正六边形的性质得，，可得，则，过点作于点，求得，，，可得，求出，即可得出结论． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， 过点作于点，如图， ∴，，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，某模具是大半圆内部挖去小半圆而成．为了求该模具的面积，在图中作一条平行于大半圆直径且与小半圆相切的切线，分别交大半圆于A，B两点，已知，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】用大半圆的面积减去小半圆的面积进行求解即可． 【详解】解：作，连接，则， 设小半圆的圆心为，作， ∵，与小半圆相切， ∴，为小半圆的半径， 设大半圆的半径为，小半圆的半径为，则， ∴， ∴阴影部分的面积为． 15. 抛物线的顶点是，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论： ①； ②； ③对于任意实数t，总有不等式； ④若方程的两个根为，，则． 其中正确的是________（只写序号）． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】根据图象判断①，对称轴和特殊点判断②，最值判断③，对称性判断④即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的顶点是， ∴对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与x轴的一个交点A在点和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， ∴抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴；故①正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， 则当时，， ∵， ∴，故②错误； ∵抛物线的开口向下，顶点是， ∴当时，函数有最大值为， ∴对于任意实数t，总有不等式；故③错误； ∵抛物线与x轴的一个交点A在点和之间，与x轴的另一个交点在点和之间， ∴方程的两个根在和之间， ∴．故④正确； 综上：正确的是①④． 三、作图题（本大题满分4分） 16. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段a． 求作：矩形，使它的对角线，交于点O，且，． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据矩形的性质，结合，得到为等边三角形，作线段的中点，作线段，以为圆心，为半径画圆，确定点，再以为圆心，为半径画圆，与的交点，确定点，点，连接，根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形，即可得到矩形. 【详解】解：如图，矩形即为所求； 四、解答题（本大题共9小题，共71分） 17. 按要求完成下列计算： （1）解不等式组； （2）化简． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即可； （2）通分，化为同分母，再进行计算即可． 【小问1详解】 解： 由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为：； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 某中学开展“生态青岛”知识竞答，准备了3张完全相同的卡片，正面主题分别为：A无废城市建设；B美丽海湾保护；C青岛蓝天行动．竞答时选手要先将卡片背面朝上搅匀，随机抽取1张记录后不放回，再抽取第2张，抽到的两个主题均要作答． （1）第一次抽到“B美丽海湾保护”的概率为________； （2）请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果，求抽到的两张卡片中有“A无废城市建设”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：第一次抽到“B美丽海湾保护”的概率为； 【小问2详解】 解：由题意，列表如下： 第1张 第2张 A B C A A，B A，C B B，A B，C C C，A C，B 共有6种等可能的结果，其中有A卡片的结果有4种， ∴． 19. 随着航空技术的发展，飞机已成为人们出行的重要交通工具．在某次飞机降落过程中，垂直下降的距离与水平距离之比一直保持（即每垂直下降1米，水平向前飞行20米）．小明先后两次观测山顶：第一次观测时，飞机在点P处，测得山顶A的俯角为；第二次观测时，飞机降落到点Q处，测得山顶A的俯角为，此时飞机飞行的水平距离为2000米．求第二次观测飞机到山顶的垂直距离．（，，，，，） 【答案】1500m 【解析】 【分析】延长交于点，则，根据垂直下降的距离与水平距离之比一直保持，求出的长，设，解直角三角形和直角三角形，进行求解即可. 【详解】解：延长交于点，由题意可知：，四边形为矩形，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 在中，，即， 解得， ∴； 答：第二次观测飞机到山顶的垂直距离的长为1500米. 20. 为科学预防近视，引导学生爱护视力，某校组织开展“科学用眼”知识竞赛．现从七年级、八年级参赛学生中各随机抽取50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩（用x表示）分为四个等级：为“不合格”，为“合格”，为“良好”，为“优秀”．下面给出了部分信息： 七年级被抽取学生的竞赛成绩在“良好”等级的有：82，83，84，84，84，84，85，86，87，88． 八年级被抽取学生的竞赛成绩在“合格”等级的有：72，74，75，77，78． 两组数据的平均数、中位数、众数： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 82 a 84 八年级 82 87 89 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级各有400人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”（）的总共有多少人？ 【答案】（1）82.5，26 （2）八年级的成绩更好，见解析 （3）232人 【解析】 【分析】（1）根据中位数的确定方法求出，根据扇形图中各部分的百分比之和为1，求出的值； （2）根据中位数和众数作决策即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可. 【小问1详解】 解：， 故七年级成绩的中位数落在良好等级，将数据从大到小排序后，第25和第26个数据分别为， ∴； 八年级被抽取学生的竞赛成绩在“合格”等级的百分比为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：八年级的成绩更好，理由如下： 两个年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级成绩的中位数和众数均比七年级的大，故八年级的成绩更好； 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”（）的总共有232人. 21. 如图，在中，，点M为的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． （1）求证：； （2）当时，四边形是________形，请证明． 【答案】（1）见解析 （2）正方，见解析 【解析】 【分析】（1）平行四边形的性质，得到证明，得到，根据，等量代换，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，进而得到四边形是菱形，再根据，即可得到四边形是正方形. 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，四边形是正方形． 证明：由（1）知，， 又， 四边形是平行四边形， ∵ ∴是直角三角形， 由（1）可知，， ， 四边形是菱形， ∵， ， ， ∴菱形是正方形． 22. 问题：某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持上端到屋顶和下端到墙角的距离相等，钢丝绳长度的最小值为多少米？ 小明收集了该简易房屋的相关数据，将该问题转化为数学问题：如图②，屋顶是等腰三角形，墙是矩形，其中米，，点M在上，点N在上，钢丝绳始终保持．求的最小值． （1）小明决定从简单情形出发试试看：如图③，在等边三角形中，，点M，N分别在边，上，且，求的最小值．请你在下面小明思路的基础上完成． 解：过点C，M分别作，的平行线，并交于点P，作射线， ∵四边形是平行四边形， ∴，； 经证明当时，最小，此时最小． 请你求出的最小值，写出求解过程． 解决： （2）请你借助小明的探究解决问题，直接写出图②中钢丝绳的最小值． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）先证明，得出点P在射线上，根据垂线段最短，得出当时，最小，根据直角三角形性质得出； （2）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，求出，得出点H总是射线上，说明当时，最小，此时最小，作于点R，根据直角三角形的性质和勾股定理，求出结果即可． 【小问1详解】 解：过点C，M分别作，的平行线，并交于点P，作射线， ∵四边形是平行四边形， ∴，； ， ∴， ∴， 在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， ∵在中，， ， 线段长度的最小值为； 【小问2详解】 解：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ， ， ， ∴， 四边形是矩形， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴点H总是射线上， 当时，最小，此时最小， 作于点R， 在中，米，， （米）， （米）， 米， 在中，， ∴为等腰直角三角形， （米）， 线段长度的最小值为米． 23. 2026年马年春节联欢晚会中《武》《奶奶的最爱》等机器人表演节目火爆全网，让机器人成为新春热点．某文化演艺公司计划采购A，B两种型号的表演机器人，用于各类文艺演出的舞台呈现．据了解，A型机器人的单价比B型机器人的单价低3000元，用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同． （1）求A，B两种型号表演机器人的单价各是多少元； （2）该文化演艺公司计划购买A，B两种型号的表演机器人共25台，且A型机器人的购买数量不超过B型机器人购买数量的3倍，购买A型机器人多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】（1）A型机器人的价格为29000元，则B型机器人的价格为32000元 （2）故购买A型机器人18台，购买B型机器人7台时，费用最低，最低费用746000元 【解析】 【分析】（1）设A型机器人的价格为x元，则B型机器人的价格为元，根据用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，A型机器人买了台，采购费用为，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数的解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设A型机器人的价格为x元，则B型机器人的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根且符合题意， 此时， 答：A型机器人的价格为29000元，则B型机器人的价格为32000元． 【小问2详解】 解：根据题意，A型机器人买了台，则购买B型机器人的数量为台， 根据题意，得，解得， 采购费， 由得w随a的增大而减小， ∵a为整数，故当时，w取得最小值，最小值为（元） 故购买A型机器人18台，购买B型机器人7台时，费用最低，最低费用746000元． 24. 学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2）．以吸液管底为原点，吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知喷口A点到台面高度为，为，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为，这滴洗手液在水平方向喷出时，到台面高度为． （1）求这滴洗手液轨迹的函数关系式； （2）当这滴洗手液落到台面上时，落点离喷口A点的水平距离是多少？ （3）小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心约为，现在点M到喷口A点的水平距离为．若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心到台面的高度h的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）令，解一元二次方程即可； （3）分当洗手液恰好落到手心左端M和洗手液恰好落到手心右端N两种情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：由题意，抛物线过、两点． 把、代入， 得： 解得： 所以洗手液轨迹的函数关系式为． 【小问2详解】 解：令，得． 解得或（舍去）． 与喷口水平距离为cm． 故洗手液最远能喷射到离喷口水平距离的位置． 【小问3详解】 解：由题意得，点M横坐标为，点N横坐标为． 当洗手液恰好落到手心左端M时： 令，得， 当洗手液恰好落到手心右端N时： 令，得， ∵，抛物线开口向下； ∴在时，y随x增大而减小． ∴手心离台面的高度h的范围是． 25. 如图，在中，，为边上的高，，．沿方向匀速运动，速度为；同时，沿方向匀速运动，速度为，分别得到，，如图②，连接，，．设运动时间为t（秒）（）． （1）请用含t的代数式表示下列线段的长度：________，________； （2）连接，当t为何值时，点在的垂直平分线上？ （3）是否存在某一时刻，使得与互余？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由； （4）若五边形的面积为S，求出S关于t的函数关系式，并说明是否存在某一时刻t，使得． 【答案】（1）， （2） （3） （4）；存在， 【解析】 【分析】（1）根据“路程=速度×时间”可得，，由线段的和差关系可得； （2）连接，根据题意得，运用勾股定理可得，根据垂直平分线的性质得，列方程得，求出的值即可； （3）证明，求出，再证明，根据对应边成比例列式求解即可； （4）根据运用平行线分线段成比例定理得，，得出，，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：，， ∵． ∴； 【小问2详解】 解：由题意得， 连接， ， 点在的垂直平分线上， ， 即， ； 【小问3详解】 解：由题意得，为边上的高 ， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ， ， 由题，， ， ， 又， ， ，即 ； 【小问4详解】 解：如图， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴ ， ， ， 同理， ， ， ， ， 解得，（舍去），， 综上，存在． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $