精品解析：2025年山东省青岛市崂山区中考数学一模试题

九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题，解答题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 国产大模型DeepSeek已经成为全球增长最快的AI工具，其每月新增网站访问量已超过OpenAI的ChatGPT．据报道，2025年2月，DeepSeek访问量达到525000000次，将数字525000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 小篆的诞生标志着汉字的统一，是我国汉字发展史上重要的里程碑，对汉字的规范和对隶、楷、行、草诸书的变革起了重要推动的作用．下列小篆文字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 青花缠枝莲纹赏瓶是乾隆时期的一件经典佳作，因其花枝缠绕不断，故称“缠枝”莲．下图是由青岛博物馆收藏的清乾隆青花缠枝莲纹赏瓶，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某中学足球队16名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别为（ ） 年龄（单位岁） 14 15 16 17 18 人数 2 4 5 3 2 A. 15，16 B. 16，16.5 C. 16，16 D. 17，16.5 6. 如图，在平面直角坐标系中，位于第四象限，点的坐标是，把向上平移4个单位长度得到，再将绕点按逆时针方向旋转90°，得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，点在圆上且在正五边形外部，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为5的正方形中，点是上一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，平分交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（，，为常数，，）的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论： ①； ②若点，，均在该二次函数图象上，则； ③方程的两个实数根为，，且，则； ④若为任意实数，则． 其中，正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：__________； 12. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第四象限交于点A，过点A作轴，垂足为，若的面积为3，则的值是__________． 13. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，则图1中菱形的面积是_________． 14. 为推进全民阅读，打造书香城市，崂山区图书馆创新园分馆已于2024年12月向市民开放．开馆后流量逐月增加，据统计，2025年1月进馆7000人次，3月进馆9000人次，若进馆人次的月平均增长率相同，设进馆人次的月平均增长率为，则根据题意，可列方程为___________； 15. 如图，在边长为的正方形网格中，“状”图案（阴影部分）是由半径分别为和，圆心在格点上的两种弧围成的，则阴影部分的面积是______． 16. 如图，在中，，．若点是边上一动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，，且以线段为边构造等边，若，则线段的最小值是_________． 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：线段a．求作：矩形，使得，． 四、解答题（本大题共8小题，共68分） 18. 计算 （1）解不等式组，并求出所有的整数解； （2）先化简，再从，0，2中选一个数作为的值代入求值． 19. 《简爱》《艾青诗选》《水浒传》《儒林外史》（分别编号为A，B，C，D）是九年级学生必读名著．某学校为了解学生对必读名著的阅读情况，就“四部必读名著你读完了几部”的问题在全校九年级学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题： （1）本次调查一共抽取了_______名学生，中位数是_______部； （2）请将条形统计图补充完整； （3）该学校九年级有480名学生，估计约有________名学生至少阅读完2部必读名著； （4）小红和小颖两位同学分别从这四部必读名著中任选一部阅读，请用列表或画树状图的方法，求两人恰好阅读同一部名著的概率． 20. 人工智能越来越多地应用于现实生活，某科技馆的人形机器人正在进行货物运输测试．机器人需要将一批货物从地面运送到展示台上，为此设计了可调节斜坡装置．当斜坡与地面夹角为时．运输速度快但能耗很大，为减少能耗，将斜坡加长3米，此时斜坡与地面夹角为，机器人刚好能稳定行走，且耗能低．请你计算展示台的高度及斜坡加长后多占多长一段地面？（结果保留小数点后一位） （参考数据：，，，） 21. 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“等对四边形”进行研究． 定义：对角线相等的四边形是等对四边形． （1）判断：根据等对四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是等对四边形的是__________； ①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形 （2）操作：如图1是方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为的等对四边形，要求四个顶点均在格点上； （3）推理：如图2，已知中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连结．求证：四边形是等对四边形． 22. 如图，在平行四边形中，，、分别是和的中点． （1）判定四边形的形状并证明； （2）给补充一个条件，使得四边形是正方形，并证明． 23. 2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（类）和敖丙手办（类）盲盒，已知生产商每天生产类手办比生产类手办多200个，若单独生产12000个类手办所需时间和单独生产8000个类手办所用时间相同． （1）求生产商每天单独生产两类手办的个数； （2）两种手办某商家的购进价和售价如下表： 进价 售价 类/个 80 100 类/个 100 150 根据网上预约的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润； （3）商家为寻求合适的销售价格，对进价为100元的类手办，进行了4天的试销，试销情况如下表： 第一天 第二天 第三天 第四天 日销售单件利润（元） 20 30 40 50 日销售量（个） 300 200 150 120 根据试销情况，请你猜测并求与之间的函数关系式，若该手办每天的销售量不高于600个，求该手办的最低销售单价． 24. 甲同学在距篮筐中心水平距离4米处跳起投篮，球在距地面2米的点处出手．按如图所示的平面直角坐标系，球在空中运行的轨迹可以近似地用二次函数来表示．当篮球达到最高点时，其距地面高度为3.5米，距篮筐中心的水平距离为2米（篮球看作一个点，篮筐中心、点、点在同一平面内），已知篮筐中心距地面3.05米，解答下列问题： （1）求篮球运动轨迹的抛物线函数表达式； （2）若甲同学位置和球出手高度不变，仅调整出手角度，使篮球达到最高点时，其距地面高度仍为3.5米，距篮筐中心的水平距离变为3米，求新的抛物线表达式； （3）在（2）的条件下，另一同学乙在甲面前跃起拦截（注：拦截应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属于犯规行为），已知乙的最大摸球高度为，求乙在甲面前多远才能恰好拦截成功． 25. 如图1，在矩形中，，，长度为线段在射线上，点与点重合，如图2，线段从图1所示起始位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发，沿方向以速度运动，当点到达时运动结束，运动同时结束．连接，，相交于点．设运动时间为秒，解答下列问题： （1）当为何值时四边形是平行四边形？ （2）当点在上运动时，求为何值时点在的垂直平分线上？ （3）求的面积与的关系式； （4）运动过程中，将绕点顺时针旋转90°得到，是否存在某一时刻，使，，三点在同一条直线上？若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题，解答题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 国产大模型DeepSeek已经成为全球增长最快的AI工具，其每月新增网站访问量已超过OpenAI的ChatGPT．据报道，2025年2月，DeepSeek访问量达到525000000次，将数字525000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故选：B． 2. 小篆的诞生标志着汉字的统一，是我国汉字发展史上重要的里程碑，对汉字的规范和对隶、楷、行、草诸书的变革起了重要推动的作用．下列小篆文字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 青花缠枝莲纹赏瓶是乾隆时期的一件经典佳作，因其花枝缠绕不断，故称“缠枝”莲．下图是由青岛博物馆收藏的清乾隆青花缠枝莲纹赏瓶，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：根据三视图的定义可得：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图、左视图不相同． 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，积的乘方和幂的乘方，去括号，同底数幂的乘法，运用相关法则计算出各选项的结果再进行判断即可． 【详解】解：A．，原式运算错误，不符合题意； B. ，原式运算错误，不符合题意； C. ，原式运算错误，不符合题意； D. ，计算正确，符合题意， 故选：D． 5. 某中学足球队16名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别为（ ） 年龄（单位岁） 14 15 16 17 18 人数 2 4 5 3 2 A. 15，16 B. 16，16.5 C. 16，16 D. 17，16.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计综合，涉及求众数、中位数求法，结合统计表，由众数、中位数的求法即可得到答案．熟记众数、中位数的定义与求法是解决问题的关键． 【详解】解：由表可知，16岁的人数最多有5人，则这些队员年龄的众数是16， 足球队16名队员， 这些队员年龄的中位数是第8名、第9名年龄的平均值，则由表可知，第8名、第9名年龄都是16岁， 这些队员年龄的中位数是16， 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，位于第四象限，点的坐标是，把向上平移4个单位长度得到，再将绕点按逆时针方向旋转90°，得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转，先根据题意画出，进而画出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，，即为所求， ∴点的坐标是， 故选：C． 7. 如图，已知，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用三角函数比解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数比． 利用等腰直角三角形求出，再利用求出长度即可得出答案． 【详解】解：在中，， ∴， ， ， ， 故选：A． 8. 如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，点在圆上且在正五边形外部，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线定理，正五边形的内角，同弧所对的圆周角和圆心角的关系，解题的关键是作辅助线构造圆心角． 连接，利用切线定了和正五边形的内角求出，然后利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，与相切， ， 正五边形的内角度数为， 在正五边形和不规则五边形中 ， ， 故选：B． 9. 如图，在边长为5的正方形中，点是上一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，平分交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转可证明，故，设，则，，在中，由勾股定理可得：，解得，即可由求解． 【详解】解：∵正方形的边长为5， ∴，， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， 又∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理可得：， 解得， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 10. 已知二次函数（，，为常数，，）的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论： ①； ②若点，，均在该二次函数图象上，则； ③方程的两个实数根为，，且，则； ④若为任意实数，则． 其中，正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，依据题意，由抛物线经过，对称轴为直线，得出，再结合二次函数的性质可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断②，由抛物线的对称性可得抛物线与轴交点坐标，从而判断③，由时取最大值可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ，故①错误； ， 抛物线开口向下． 又点，，均在该二次函数图象上，且点到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小， ∴，故②正确； ∵二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线 ∴另一个交点坐标为， 方程可以看成与的交点，函数大致图象如下： ∴由图可得，故③正确； ∵对称轴为直线，抛物线开口向下． ∴抛物线最大值为， 若为任意实数，则，故④正确． 综上，正确的有②③④． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：__________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握零指数幂运算法则和求实数的绝对值是解题的关键． 根据绝对值的性质和零指数幂运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 12. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第四象限交于点A，过点A作轴，垂足为，若的面积为3，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键．根据反比例函数k值几何意义解答本题即可． 【详解】解：根据反比例函数k值的几何意义可得： ， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴． 故答案为：． 13. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，则图1中菱形的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形性质，解二元一次方程组等知识，先由菱形性质得到四个直角三角形全等，再由图2列出方程组，求出值后，由菱形面积与三角形面积关系，求出三角形面积即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在菱形中，对角线交于点，则，，，， 四个直角三角形全等， 设，，且， 由图2左图可知，， 由图2右图可知，， 联立，解得， ， 故答案为：． 14. 为推进全民阅读，打造书香城市，崂山区图书馆创新园分馆已于2024年12月向市民开放．开馆后流量逐月增加，据统计，2025年1月进馆7000人次，3月进馆9000人次，若进馆人次的月平均增长率相同，设进馆人次的月平均增长率为，则根据题意，可列方程为___________； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程，是解题的关键． 设进馆人次的月平均增长率为，利用3月进馆人次等于1月进馆人次乘（1+进馆人次的月平均增长率）的平方，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解: 设进馆人次的月平均增长率为，根据题意得， 故答案为：． 15. 如图，在边长为的正方形网格中，“状”图案（阴影部分）是由半径分别为和，圆心在格点上的两种弧围成的，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式，求其他不规则图形的面积，由图形可知，然后代入求解即可，解题关键是掌握由扇形面积公式求该不规则图形面积的求法． 【详解】解：如图， ∴ ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，．若点是边上一动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，，且以线段为边构造等边，若，则线段的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，确定当时，线段取最小值，根据等边三角形的性质可得和，过点作于点，交于点，根据勾股定理，三角形的中位线，等腰三角形的三线合一求出的长度，证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，当时，线段取最小值， ∵线段绕点按顺时针方向旋转得到线段， ， ∵是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， ∴当时，线段取最小值， 过点作于点，交于点， ∵，， ∴，由勾股定理得， 根据等腰三角形的三线合一可得，点是中点，且， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，线段的最值问题，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和作辅助线． 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：线段a．求作：矩形，使得，． 【答案】 所作满足条件矩形如下． 【解析】 【分析】本题考查了作图：作矩形；先作边长为a的等边，分别延长，得射线，在射线上分别截取，佽次连接即得满足条件的矩形． 【详解】略 四、解答题（本大题共8小题，共68分） 18. 计算 （1）解不等式组，并求出所有的整数解； （2）先化简，再从，0，2中选一个数作为的值代入求值． 【答案】（1）原不等式组的解集：，不等式组所有的整数解为、0 （2）；1或 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握解不等式组的步骤和分式化简的步骤． （1）利用解不等式组的步骤进行求解并取整数解即可； （2）先对分式进行化简，然后选择合适的数代入求值即可． 【小问1详解】 解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； 在同一数轴上表示不等式①②的解集为： ∴原不等式组的解集：， ∴不等式组所有的整数解为、0； 【小问2详解】 解：原式； ∵，，， ∴当时，原式或当时，原式． 19. 《简爱》《艾青诗选》《水浒传》《儒林外史》（分别编号为A，B，C，D）是九年级学生必读名著．某学校为了解学生对必读名著的阅读情况，就“四部必读名著你读完了几部”的问题在全校九年级学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题： （1）本次调查一共抽取了_______名学生，中位数是_______部； （2）请将条形统计图补充完整； （3）该学校九年级有480名学生，估计约有________名学生至少阅读完2部必读名著； （4）小红和小颖两位同学分别从这四部必读名著中任选一部阅读，请用列表或画树状图的方法，求两人恰好阅读同一部名著的概率． 【答案】（1）80；2 （2）读完一部的人数为：（人）， 将条形统计图补充如下： （3）288名 （4） 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中“2部”的人数除以扇形统计图中“2部”的百分比可得本次调查的学生人数；根据中位数的定义可得答案． （2）求出“1部”的人数，补全条形统计图即可． （3）根据用样本估计总体，用480乘以样本中“2部”“3部”“4部”的学生人数所占的百分比之和，即可得出答案． （4）画树状图可得出所有等可能的结果数以及抽出两支笔刚好是两人恰好阅读同一部名著的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次调查一共抽取了名学生， 80个数据从小到大排列后，处在中间位置的是第40个和41个数据，即为2和2， 故中位数为（部）． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（名）， ∴至少阅读2部名著的学生有288名． 【小问4详解】 解：画树状图如图所示： 由图可得所有等可能的结果数共有16种，两人恰好阅读同一本名著的结果数有4种， ∴两人恰好阅读同一本名著的概率为：． 【点睛】本题考查用列表法或树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、中位数的定义是解答本题的关键． 20. 人工智能越来越多地应用于现实生活，某科技馆的人形机器人正在进行货物运输测试．机器人需要将一批货物从地面运送到展示台上，为此设计了可调节斜坡装置．当斜坡与地面夹角为时．运输速度快但能耗很大，为减少能耗，将斜坡加长3米，此时斜坡与地面夹角为，机器人刚好能稳定行走，且耗能低．请你计算展示台的高度及斜坡加长后多占多长一段地面？（结果保留小数点后一位） （参考数据：，，，） 【答案】展台高度约为米，斜坡加长后多占米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 设，则，在和中利用三角函数表示出相关线段的长度，利用公共边为等量关系即可求出未知数的解，并可求解． 【详解】解：设米，则米， 在中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴（米）， ∴（米）， 所以，展台高度约为米，斜坡加长后多占米． 21. 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“等对四边形”进行研究． 定义：对角线相等的四边形是等对四边形． （1）判断：根据等对四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是等对四边形的是__________； ①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形 （2）操作：如图1是方格，每一个小正方形的边长为1，在方格中画一个对角线长为的等对四边形，要求四个顶点均在格点上； （3）推理：如图2，已知中，以和为边在的外侧分别作等腰直角和，连结．求证：四边形是等对四边形． 【答案】（1）①③ （2）如图所示，四边形即为所求； 由勾股定理可知：． （3）证明：如图，连接，， ∵与是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是等对四边形． 【解析】 【分析】（1）根据矩形与正方形的性质得其对角线相等，由等对四边形的定义即可求解； （2）画一个对角线等于，顶点在格点的矩形即可； （3）连接，，证明，得到，即可由等对四边形的定义得出结论． 【小问1详解】 解：∵①矩形和③正方形的对角线相等，②菱形和④平行四边形对角线不一定相等， ∴①矩形和③正方形是等对四边形，②菱形和④平行四边形不一定是等对四边形， 故答案为：①③ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查新定义，平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，理解新定义，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键． 22. 如图，在平行四边形中，，、分别是和的中点． （1）判定四边形的形状并证明； （2）给补充一个条件，使得四边形是正方形，并证明． 【答案】（1） 解：四边形是菱形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵、分别是和的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴四边形是菱形． （2） 解：当时四边形是正方形． 证明：∵，是的中点， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，先证明四边形是平行四边形，再证明，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （2）根据等腰三角形的性质得到，求得，由（1）知，四边形是菱形，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的判断，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键． 23. 2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（类）和敖丙手办（类）盲盒，已知生产商每天生产类手办比生产类手办多200个，若单独生产12000个类手办所需时间和单独生产8000个类手办所用时间相同． （1）求生产商每天单独生产两类手办的个数； （2）两种手办某商家的购进价和售价如下表： 进价 售价 类/个 80 100 类/个 100 150 根据网上预约的情况，该商家计划用不超过17000元的资金购进两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润； （3）商家为寻求合适的销售价格，对进价为100元的类手办，进行了4天的试销，试销情况如下表： 第一天 第二天 第三天 第四天 日销售单件利润（元） 20 30 40 50 日销售量（个） 300 200 150 120 根据试销情况，请你猜测并求与之间的函数关系式，若该手办每天的销售量不高于600个，求该手办的最低销售单价． 【答案】（1）生产商每天生产类手办600个，类手办400个 （2）当购进150个种手办，50个种手办时，商家获利最大，最大利润是5500元 （3）110元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，不等式，函数解析式是解题的关键． （1）设生产商每天生产类手办个，则每天生产类手办个，根据时间相同列出方程求解即可； （2）设购进个种手办，则购进个种手办，根据不超过17000元的资金列出不等式求解，设这200个手办全部售完获得的总利润为元，列出一次函数并分析一次函数自变量的取值即可得出结果； （3）根据表格信息列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设生产商每天生产类手办个，则每天生产类手办个， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根，并符合题意， 所以，生产商每天生产类手办600个，类手办400个； 【小问2详解】 解：设购进个种手办，则购进个种手办， 根据题意得：， 解得：． 设这200个手办全部售完获得的总利润为元， 则，即， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时（个）． 所以，当购进150个种手办，50个种手办时，商家获利最大，最大利润是5500元； 【小问3详解】 解：由表中数据得：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴利润至少为10元 ∴单价至少为元． 24. 甲同学在距篮筐中心水平距离4米处跳起投篮，球在距地面2米的点处出手．按如图所示的平面直角坐标系，球在空中运行的轨迹可以近似地用二次函数来表示．当篮球达到最高点时，其距地面高度为3.5米，距篮筐中心的水平距离为2米（篮球看作一个点，篮筐中心、点、点在同一平面内），已知篮筐中心距地面3.05米，解答下列问题： （1）求篮球运动轨迹的抛物线函数表达式； （2）若甲同学位置和球出手高度不变，仅调整出手角度，使篮球达到最高点时，其距地面高度仍为3.5米，距篮筐中心的水平距离变为3米，求新的抛物线表达式； （3）在（2）的条件下，另一同学乙在甲面前跃起拦截（注：拦截应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属于犯规行为），已知乙的最大摸球高度为，求乙在甲面前多远才能恰好拦截成功． 【答案】（1） （2） （3）乙距离甲0.4米时可以拦截成功 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）设抛物线顶点式为，将顶点坐标和点代入即可求解； （2）由题意可知新顶点坐标，设新抛物线顶点式为，将点代入即可求解； （3）由（2）求得的函数解析式，当时，求得的值求解． 【小问1详解】 设抛物线顶点式为， ∵将顶点坐标和点代入得，解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 ∵新顶点坐标， ∴设新抛物线顶点式为， ∵将点代入得，解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问3详解】 由（2）求得的函数解析式，当时， 解得，（犯规，应舍去）， ∴乙距离甲米时可以拦截成功． 25. 如图1，在矩形中，，，长度为线段在射线上，点与点重合，如图2，线段从图1所示起始位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发，沿方向以速度运动，当点到达时运动结束，运动同时结束．连接，，相交于点．设运动时间为秒，解答下列问题： （1）当为何值时四边形是平行四边形？ （2）当点在上运动时，求为何值时点在的垂直平分线上？ （3）求的面积与的关系式； （4）运动过程中，将绕点顺时针旋转90°得到，是否存在某一时刻，使，，三点在同一条直线上？若存在请求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时， （4）不存在某一时刻，使、、三点在同一条直线上 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，列方程求解即可； （2）当点M在的垂直平分线上时，，过Q点作于H点，则四边形为矩形，利用勾股定理，列方程求解即可； （3）分两种情况讨论：①当时，点M在上；②当时，点M在上，利用相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，即可解答； （4）根据相似三角形的判定与性质，得到当三点在同一条直线上时，四边形为矩形，利用旋转的性质列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当四边形是平行四边形时，， 即， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：当点M在的垂直平分线上时，， 如图，过Q点作于H点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， 得（不合题意，舍去），， ∴当时，点M在的垂直平分线上； 【小问3详解】 解：①当时，点M在上，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ②当时，点M在上，如图， 由①得， 又∵， ∴， ∴， 综上，当时，；当时，； 【小问4详解】 解：不存在，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点在同一条直线上时，四边形为矩形，如图， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴不合题意， ∴不存在某一时刻t,使三点在同一条直线上． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $