精品解析：2026年福建泉州台商初中毕业班模拟考试数学试题

2026届泉州台商初中毕业班模拟考试 数学试题 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 在0，，，这四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 数学推理与运算离不开数学符号的规范使用，下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成．如图是常见的一种秤砣，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 5. 关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，边的垂直平分线交于，点在上，连接，，，则的周长为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 12 7. 临近毕业，相处三年的同学们建立了深厚的友谊，九年级（1）班的同学们组织每名同学给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为的三等分线，交于点E，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 10. 若是函数图像上的两点，且，则与的大小关系为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案写在答题卡相应的位置） 11. 9的算术平方根是_____． 12. 如图，，，则________． 13. 截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破1.64亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将1.64亿用科学记数法表示应为__________． 14. 为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动．现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为_____． 15. 如图，在中，．若， ，则_____． 16. 已知双曲线与函数的图象有两个交点，则b的值是________． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答时应写出必要的文字说明．推理过程或演算） 17. 18. 如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，．求证： ． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 新闻媒体对三位 篮球球星的成绩分别从球队战绩、个人荣誉、个人能力三个方面进行比较，甲、乙、丙三人得分如下表（单位：分）： 姓名 球队战绩 个人荣誉 个人能力 平均得分 方差 甲 86 92 98 92 24 乙 91 94 91 92 ② 丙 ① 89 88 90 （1）将表格中空缺的数据补充完整：①________，②________； （2）如果媒体认为这三个方面的重要程度有所不同，而给予“球队战绩”“个人荣誉”“个人能力”三个方面在总评得分中所占的比例分别为 ，通过计算说明谁的最终得分最高； （3）综合第（2）问的计算结果，你认为哪位球星更优秀？请说明理由． 21. 如图，是中边上的中线，与相交于点E，且 ， ． （1）求证：四边形 为平行四边形； （2）若，，求的面积． 22. 如图，△ABC中 （1）请你利用无刻度的直尺和圆规在平面内画出满足PB2＋PC2＝BC2的所有点P构成的图形，并在所作图形上用尺规确定到边AC、BC距离相等的点P．（作图必须保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接BP，若BC＝15，AC＝14，AB＝13，求BP的长． 23. 已知二次函数 （a，b是常数，）． （1）若时，二次函数图象的对称轴为直线，求二次函数的表达式； （2）写出一组a，b的值，使函数 的图象的顶点在x轴上，并求此二次函数的顶点坐标； （3）已知二次函数 的图象和直线都经过点，求 的最小值． 24. 【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度． （1）现有m克盐水中含n克盐，则盐水的浓度为．加入a克水，则盐水浓度为．生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式：______（填“”、“”或“”）． 【数学思考】 （2）将（1）中的“加入a克水”改为“加入a克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，此时盐水浓度为______，由此得到新的不等式______（用含a、m、n的式子表示），试证明你发现的新的不等式． 【结论运用】 （3）在中，三条边的长度分别为x、y、z，试运用（1）、（2）中的不等式，证明：． 25. 在中，，， ，点O为的中点．在 中，，， ，连接并延长到点F，使，连接． （1）如图1，当点D，E分别在 上时，求证； （2）如图2，若将图1中的 绕点B按逆时针方向旋转一定的角度α（），连接，，，． ①设，求k的值； ②当四边形 的面积最小时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届泉州台商初中毕业班模拟考试 数学试题 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 在0，，，这四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比大小，把四个数从小到大进行排序，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，即 ， ∴， 故选：D． 2. 数学推理与运算离不开数学符号的规范使用，下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，解题的关键是掌握两种图形的判定方法（轴对称图形沿直线折叠后重合，中心对称图形绕中心旋转后重合）． 分别判断各选项图形是否同时满足轴对称和中心对称的判定条件． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，此选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意； 故选：D． 3. 若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式的分母不为0即可求解． 【详解】解：要使分式有意义， 则 ， 解得 ， 故选：A． 4. 杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成．如图是常见的一种秤砣，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，可得它的主视图是． 故选：A． 5. 关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求不等式的解集，在数轴上表示不等式解集，熟练掌握用数轴表示不等式解集是解题的关键．先求出不等式的解集，再把解集用数轴表示出来即可． 【详解】解：， 移项得：， 在数轴上表示为： 故选：C． 6. 如图，在中，，边的垂直平分线交于，点在上，连接，，，则的周长为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得出，结合垂直平分线的性质，得出 ，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵边的垂直平分线交于 ∴ ∵的周长 ∴的周长 故选：A 7. 临近毕业，相处三年的同学们建立了深厚的友谊，九年级（1）班的同学们组织每名同学给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 每名学生需要给其他名学生写留言，因此总留言数为份，根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意，列出方程为， 故选：C． 8. 如图，为的三等分线，交于点E，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三等分线定义可设，得到，，，根据周角的定义列方程并解方程，进一步即可得到答案． 【详解】解：∵为的三等分线， ∴可设， 则， ∵交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 9. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案． 【详解】解：如图：连接BE， ∵四边形BCED是正方形， ∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD， ∴BF＝CF， 根据题意得：AC∥BD， ∴△ACP∽△BDP， ∴DP：CP＝BD：AC＝1：3， ∴DP：DF＝1：2， ∴DP＝PF＝CF＝BF， 在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2， ∵∠APD＝∠BPF， ∴tan∠APD＝2． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，以及求角的正切值，灵活运用相似三角形的性质，并理解正切的定义是解题关键 10. 若是函数图像上的两点，且，则与的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的大小比较． 通过计算与的差值判断即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ， ∵， ∴， 即． 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案写在答题卡相应的位置） 11. 9的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】∵ ， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 12. 如图，，，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据平行线的性质和对顶角相等进行解答即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴． 13. 截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破1.64亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将1.64亿用科学记数法表示应为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：亿. 14. 为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动．现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及他们恰好参加同一社团的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：把器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团分别记为、、， 画树状图得： 共有9种等可能的结果，他们恰好参加同一个社团的有3种情况， 两人恰好参加同一社团的概率为：； 故答案为：． 15. 如图，在中，．若， ，则_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意，易得 ，有，结合已知条件，得到的长． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故答案为：12． 16. 已知双曲线与函数的图象有两个交点，则b的值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】由函数得，且，与双曲线联立，根据一元二次方程的根与交点的关系即可求解． 【详解】解：由函数得，且， 联立，则， ∴， ∵， ∴必有两个不相等的实数根， ∵时，，且双曲线的图象在第一、三象限， ∴与的图象在第一象限必有一个交点； 联立，则， ∴， ∵与的图象在第一象限有一个交点， ∴要使总交点数为2， ∴与的图象必有一个交点， ∴有两个相等的实数根， ∴， 解得， 当时，则，解得， 当时，，符合题意； 当时，则，解得， ∵， ∴不符合题意，舍去； 综上所述，． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答时应写出必要的文字说明．推理过程或演算） 17. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算， 根据，再计算即可． 【详解】解：原式， ． 18. 如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，．求证： ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】证明，即可得到结论． 【详解】证明：在矩形中， ， ， 在 和中， ∴； ∴ ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】利用分式的乘法进行计算得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： ． ． 当时， 原式． 20. 新闻媒体对三位 篮球球星的成绩分别从球队战绩、个人荣誉、个人能力三个方面进行比较，甲、乙、丙三人得分如下表（单位：分）： 姓名 球队战绩 个人荣誉 个人能力 平均得分 方差 甲 86 92 98 92 24 乙 91 94 91 92 ② 丙 ① 89 88 90 （1）将表格中空缺的数据补充完整：①________，②________； （2）如果媒体认为这三个方面的重要程度有所不同，而给予“球队战绩”“个人荣誉”“个人能力”三个方面在总评得分中所占的比例分别为 ，通过计算说明谁的最终得分最高； （3）综合第（2）问的计算结果，你认为哪位球星更优秀？请说明理由． 【答案】（1）93，2； （2）乙的最终成绩更高 （3） 乙最优秀，理由如下： 乙的平均数是 分，与甲的平均数相等，且大于丙的平均数分，同时乙的方差为，是三个人中方差中最小的，最稳定的， ∴乙最优秀． 【解析】 【分析】本题考查了求平均数，求方差，利用平均数，方差作决策，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平均数的公式列式计算，根据方差的公式列式计算，即可作答． （2）根据加权平均数公式进行列式计算，再进行比较大小，即可作答． （3）根据乙的平均数是 分，与甲的平均数相等，且大于丙的平均数分，同时乙的方差为，是三个人中方差中最小的，最稳定的，进行作答即可． 【小问1详解】 解：依题意， （分） ∴丙的战绩为 分， 则 ∴乙的方差为2分， 故答案为：93，2； 【小问2详解】 解：依题意，甲： （分）； 乙： （分）； 丙： （分）； ∵ ∴乙的最终成绩更高； 【小问3详解】 略 21. 如图，是中边上的中线，与相交于点E，且 ， ． （1）求证：四边形 为平行四边形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明：∵ ， ∴ ， 又∵，， ∴， ∴， ∵是中边上的中线， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 为平行四边形； （2）24 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质、三角形中线的定义得到 ，根据平行四边形的判定即可得到结论； （2）证明是直角三角形，且， 根据直角三角形的性质和勾股定理求出相应的边长，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ∴，， ∴点A，B，C都在以为直径的圆上， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴． 22. 如图，△ABC中 （1）请你利用无刻度的直尺和圆规在平面内画出满足PB2＋PC2＝BC2的所有点P构成的图形，并在所作图形上用尺规确定到边AC、BC距离相等的点P．（作图必须保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接BP，若BC＝15，AC＝14，AB＝13，求BP的长． 【答案】（1）见解析；（2）BP＝ 【解析】 【分析】（1）根据PB2＋PC2＝BC2得出P点所构成的圆以BC为直径，根据垂直平分线画法画出O点，补全⊙O，再作∠ACB的角平分线与⊙O的交点即是P点. （2）设⊙O与AC的交点为H，AH＝x，得到AH、BH，根据题意求出OP∥AC，即可得出OP⊥BH，BQ＝BH，OQ=CH,求出PQ，根据勾股定理求出BP. 【详解】(1)如图： （2）由（1）作图，设⊙O与AC的交点为H，连接BH，∴∠BHC＝90° ∵BC＝15，AC＝14，AB＝13 设AH＝x ∴HC＝14－x ∴ 解得：x＝5 ∴AH＝5 ∴BH＝12. 连接OP，由（1）作图知CP平分∠BCA ∴∠PCA＝∠BCP 又∵OP＝OC ∴∠OPC＝∠BCP ∴∠OPC＝∠PCA ∴OP∥CA ∴OP⊥BH 与点Q ∴BQ＝BH＝6 又BO＝ ∴OQ＝ ∴PQ＝ ∴BP＝. 【点睛】此题主要考查了尺规作图中垂直平分线，角平分线及圆的画法和相似比及勾股定理等知识，解题的关键是构建直角三角形及找到关键相似三角形. 23. 已知二次函数 （a，b是常数，）． （1）若时，二次函数图象的对称轴为直线，求二次函数的表达式； （2）写出一组a，b的值，使函数 的图象的顶点在x轴上，并求此二次函数的顶点坐标； （3）已知二次函数 的图象和直线都经过点，求 的最小值． 【答案】（1） （2），时，顶点坐标是（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出答案； （2）根据一元二次方程根的判别式和抛物线与x轴的交点个数问题进行解答即可； （3）求出，代入 进一步解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵对称轴为直线， ∴． ∴； 【小问2详解】 解：令，则， 当时，则， ∴， ∴若，时，函数 的图象与x轴只有一个公共点， ∴此时函数为，顶点坐标是． 【小问3详解】 解：∵函数 的图象与直线都经过， ∴， ∴ ∴， ∴ 的最小值是． 24. 【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度． （1）现有m克盐水中含n克盐，则盐水的浓度为．加入a克水，则盐水浓度为．生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式：______（填“”、“”或“”）． 【数学思考】 （2）将（1）中的“加入a克水”改为“加入a克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，此时盐水浓度为______，由此得到新的不等式______（用含a、m、n的式子表示），试证明你发现的新的不等式． 【结论运用】 （3）在中，三条边的长度分别为x、y、z，试运用（1）、（2）中的不等式，证明：． 【答案】（1）；（2）；；（3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，正确得到，是解题的关键。 （1）根据盐水加水后会变淡可知加水后的盐水浓度小于未加水时盐水的浓度，据此可得答案； （2）根据盐水浓度等于盐的质量除以盐水的质量可得第一空答案，根据加盐后会变咸可知加盐后的盐水浓度大于未加盐时盐水的浓度，据此可得答案； （3）根据（1）（2）可得，，，，，，再由不等式的性质证明即可． 【详解】解：（1）由题意得，， 故答案为：； （2）由题意得，此时盐水浓度为， ∵盐水变得更咸了， ∴， 故答案为：；； （3）∵在中，三条边的长度分别为x、y、z， ∴， ∴，，， ∴； ∵，，， ∴， ∴． 25. 在中，，， ，点O为的中点．在 中，，， ，连接并延长到点F，使，连接． （1）如图1，当点D，E分别在 上时，求证； （2）如图2，若将图1中的 绕点B按逆时针方向旋转一定的角度α（），连接，，，． ①设，求k的值； ②当四边形 的面积最小时，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）证明 ，可得， ，从而得到 ，进而得到； （2）①证明，即可得到答案；②根据平行四边形的性质可得当最小时，四边形 的面积最小，即当E到的距离最小时，最小，四边形 的面积最小，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形 的面积最小，从而得到当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为，此时 时，最小，再由，可得，，然后根据勾股定理可得的长，再结合，即可求解． 【小问1详解】 解∵点O为的中点， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴ 【小问2详解】 解：①∵点O为的中点， ∴ ， ∵， ∴四边形 为平行四边形， ∴ ， ∵， ，， ， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；即． ②在中，∵，， ， ∴ ， 由①得四边形 为平行四边形， ∴四边形 的面积等于， ∴当最小时，四边形 的面积最小， 即当E到的距离最小时，最小，四边形 的面积最小， 如图，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形 的面积最小， ∵， ， ∴， 即当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为， 此时 时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①得：， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $