福建省福州高级中学2025-2026学年高二第二学期数学适应性训练

福州高级中学2025-2026学年高二第二学期数学适应性训练 班级： 座号： 姓名： 成绩： 一、单选题 1.小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡.若一次性抽取5张，则抽到的 卡中至少有一张稀有卡的概率为() A山器 B.CC C.1-Cc c D. 2.甲、乙两班各3人参加数学竞赛，6人分两排合影留念，若从甲班的3人和乙班的3人中 各选1人站在前排，后排的4人要求甲班的2人必须相邻，同时乙班的2人也必须相邻，则 不同的站法有() A.72种 B.144种 C.180种 D.288种 3.已知离散型随机变量X的分布列如下，若E(3X+4)=5,则a+b=() X -1 0 a 2 5 12 6 4 4 11 7 A. 12 B.1 c D. 6 4.如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、 蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求 的染色方法共有() A.19种 B.18种 C.17种 D.16种 x+3(x≤0) 右函数f⊙三1-4x+a(x>0 在定义域上恰有三个零点，则实数a的取值范围是 A.0<a<16 3 B.a<16 C.a<0或a9 D.as16 6.定义在R上的函数∫()满足f(-x)=∫(x),对任意的x,x2∈(-∞，0]，且x≠x2,均有 f)-f色，)>0.若关于x的不等式3f-3hx-2)22f)HfB血x-+2)对任意的 x1-X2 x∈1，e2恒成立，则实数t的取值范围是() 太贺 96 33 66 B.e'e. C. D. e ee 7.中国空间技术的突破和空间站的建设，吸引了众多太空爱好者.在“天宫课堂”第三课中就 有人提问：如何能成为一名航天员？如何才能加入探索太空的队伍中？已知航天员选拔时要接 受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击 五项现对这五项测试排序，要求前庭功能不排在第一项，超重耐力不排在最后一项，失重 飞行不排在第三项，则选拔测试的安排方案有() A.28种 B.36种 C.48种 D.64种 8.现有编号为1,2,3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个 3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号 球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次 从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是() A.在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是； B.第二次取到1号球的概率 0 C.如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大 D.若将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同分配方法有150种 试卷第1页，共4页 二、多选题 9.下列结论正确的是() A.若随机变虽X~864引，则D4r+)=48 B.某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为，则他做对的题数的期望为2 C.若0<P(C)<1,0<P(D)<1,且P(D)=1-P(DC),则C,D相互独立 D.P(A)=0.6,P(AB)=0.9,P(AB)=0.4,则P(a)的值为 10.如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点P从点A处出发， 每次向上或向右移动1个单位长度，直至到达点B时停止移动，则下列结论正确的是() A.移动的方法共有252种 B B.仅有4次连续向上移动的方法有30种 C.经过点M的移动方法有70种 D.若对任意k∈孔2,3}，从第+次到第+1(k+2-1次的移动 2 2 M 方向相同，则移动的方法有2种 11.己知f(x)=x+bx2+cx+d,则下列结论正确的是() A。若点P的华标为（一管（学，则过点P与）相切的直线只有一条 B.若y=f(9存在两个极值点x,x2,且x<x,则y=f(3,)与y=f(田有3个交点 C.若f0)=1,f2)=2,则f(3)-f(0)=9 D.若f(x)的图象与x轴交于A,B,C三点，且f(x)在三点处的切线的斜率分别为k,k2,飞， 则kk2+kk+kk=0 三、填空题 12.已知公+少的展开式中各项系数之和等于宁+)的展开式的常数项，而(a+1y的 Vx 展开式中系数最大的项等于54，则正数a的值为 13.某学校有A,B两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择A餐厅和选择B餐 的概率均为行如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为：如果第1天去8餐 厅，那么第2天去A餐厅的概率为！.假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量X为该 班3名同学中第2天选择B餐厅的人数，则随机变量X的均值E(X)= 14.若x0,+m,号1gx之0，则a的值为 四、解答题 15.为了了解学生普法教育情况，某学校组织了一次法律知识测试，现随机抽取了该校20 名学生的测试成绩如下：7979828384848485868687878788888990919192. (1)若测试成绩不低于90分，则称为“优秀成绩’，求从这20人中随机选取3人，至多有1 人是“优秀成绩”的概率： (2)以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记 表示抽到优秀成绩”学生的人数，求专的分布列及数学期望. 试卷第2页，共4页 16.己知函数f()=hx+a-2,a∈R (1)讨论f(x)的单调性. (2)若对任意x∈(0，+n)都有f(x)>0恒成立，求a的取值范围. 17.一动圆与圆C:x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆C2:x2+y2-6x-91=0内切，动圆的圆 心的轨迹C与x轴交于A,B两点，位于y轴右侧的动点P满足 环 k=5kA,并且直线PA,PB分别与C交于M,N两点. M (1)求轨迹C的方程及动点P的轨迹方程； (2)直线MN是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说 A 明理由 试卷第3页，共4页 18.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，其中AB=AD=CD=1, BC=PC=2,CD⊥PB. (1)求PD的长： (2)若PB=3, ①求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值： ②空间中一动点9满足B可=P四，求A回的最小值. A B 19.“猜灯谜”是我国独有的民间文娱活动，某地在元宵节举办形式多样的猜灯谜比赛活动， 比赛按照双人挑战赛和单人挑战赛两种模式进行. ()双人挑战赛规则如下：两位选手为一组，每次一位选手答题，若答对，则获得奖品并继 续答题，若答错，则换另一位选手答题.甲、乙一组，甲、乙两人第1次答题的概率均为， 已知甲每题答对的概率为子，乙每還答对的概率为} ()已知第2次答题的是选手乙，求第1次答题的是选手甲的概率； (ii)求第n次答题的是选手甲的概率. (2)单人挑战赛的规则为：选手每次答题，若答对，则答题立即结束并获得奖品，若答错， 则可继续答题；每位选手最多有次答题机会，第n次无论对错都要结束答题.丙选手每题 答对的概率均为}，设X为丙选手答题结束时进行答题的次数，X的数学期望为B(X),证 明：E(X)<3. 试卷第4页，共4页 福州高级中学2025-2026学年高二第二学期数学适应性训练答案 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案A B C A A D B BCD ABD ACD 6.因为f(-x)=f(x),故f(x)为R上的偶函数且原不等式可化为f(-3x-2)≥f(2)①， 又不妨设x<x≤0，则f(x)<f(x2),故f()在(-，0]上是增函数，所以f(x)在(0，+∞) 上是减函数，故①可化为r-3hr-2≤2在1，e2]上恒成立，所以-2≤tc-3nx-2≤2在 1,e]上恒成立，也就是3血≤t≤4+3血在[Le]上恒成立令g(x)3血x,则 g=30-,当x1.e)时，g)>0,枚g)为增函数：当x∈e,e)时，g)<0, 故g(四)为减函数，所以g(-三令()-4+3血，则)=3-4+3血.3+1 x2 x2 当e几e]时，<0，故a(y为诚西数，所以-9综上，s1s9, 。，故选：A. 8.对于A选项，记事件A,B,分别表示第一次、第二次取到i号球，i=1,2,3,则第一次抽 到：号球的条作下，第=次捕1号球的摄车P国1A)。}数A正瑞：对于B法项。 记事件A,B,分别表示第一次、第二次取到i号球，i=1,2,3,依题意A,A,A两两互斥，其 和为，并且4)-导P4)=2%),P(a4)-子P(a4-至8 P(A)P4)子P®，4)名，P@4)P@4)广P@,4)若 应用全棍华公式有26-立PaPg1)子子子片，改B错误： 对于C选项，依题设知，第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同， 则)得程安得-身 P(B) P4)-P)倒号Q子放在第二次取到1号球的条件下，它取自貔号为1的口 P(B)46 袋的概率最大，故C正确：对于D选项，先将5个不同的小球分成1,1,3或2,2,1三 份，再放入三个不同的口袋，则不同的分配方法有CCC+cCCA-150,故D正确 、AAJ 10.对A,由题可知，无论怎样走，一定移动10次，其中5次向上移动，5次向右移动， 故移动的方法共有CC=252种，故A正确；对B,仅有4次连续向上移动的方法有 2(C!+C+C+C?+1)=30种，故B正确；对C,若经过点M,则前3次向右移动2次向上 1次，后7次向右3次向上4次，所以移动的方法有CC=105种，故C错误：对D,由题 可知，当k=1时，第1,2次的移动方向相同，当k=2时，第3,4,5次的移动方向相同， 当k=3时，第6,7,8,9次的移动方向相同，因为向右5次，向上5次，所以第1~5次的移动 方向相同，则移动的方法有2种，故D正确故选：ABD 1,对于A,由点（学学》为6）的对移丰心，得学号 -bc+d, f'(x)=3x2+2br+c,设过点P的直线与y=f(x)相切的切点为(xf(x,),切线方程为 ”-)--).则f9f)-fx90,即 多行c+4好-加+，①+咖+6g）,整理得化骨=0，解行 27'93 6=3因此过点P与)相切的直线只有一条，A正确：对于B,依题意，XX,为 b 答案第1页，共4页 了到=3-20x+6=0的两个不等实根，则天+=-的戏+2血+c=0,设兰， 即m=-2x-b,由f(x)=f(m),得f(x)-f(m)=x+bx2+cx+d-m2-b2-cm-d =(x-m)[x2+(m+b)x+m2+bm+c]=(x-x)(x-m)=0,而m≠x1,因此方程f(x)=f(m)有两个 解，即y=f,五)与y=f)有两个交点，B错误；对于C,依题意，1和2是f(x)=x的 两根，设f(x)-x=(x-1)(x-2)(x-k),则 f(3)-f(0)=[(3-1)(3-2)(3-k)+3[(0-1)(0-2)(0-)+0]=9,C正确：对于D,设A,B,C三 点的横坐标分别为x,x,x,则f(x)=x+bx2+cx+d=(x-x)(x-x)(x-5), f'(x)=（x-x2)x-x3+-x)-x3H-x)(-x2),则 k=(年-x)3-),k=(3,-)(3-x),k=(3-)(3,-x),因此k+kh+kk=0,D正确. 12.√513.0.914.1【详解】因为x∈(0，+∞)，所以h(x+1)>0,所以 -aog20吃x牛h+20ax-a-n*20,令f四)=ac-a-x,所以 血(x+1) 了)=a子则当a≤0时f<0,副f倒在Q切上单洞递藏，所以当头，>1时， f)f0-0,矛盾，放as0.a>0时，0<<石f<0,f单词递减·0， f)单调递增：所以/以=f侣日1-a+a20,记g回=血a-a+a>0,求导得 g'(a)=上a,0<a<1,g(a)>0,g(a)单调递增：a>1,g(a)<0,g(a单调递减：所 以g(a)最大值为8I)=0,因此g(ad≤0恒成立，仅当a=1时g(a)=0满足要求，所以a=1 15.(1)由题可得，得知优秀成绩为4人，设“优秀成绩”人数为X,X服从超几何分 布，N=20,M=4,n=3,Px=k-C,k=0.123,4 设全多-人成线优对为件4则F国=-0=小总+器-号 (2)由样本估计总体可知抽到优秀成绩"学生的概率P=行5表示抽到优秀成绩"学生的 人数Be3Pe)-c9=0L23.Pe=0=cS993 P==9-=-贵p=动=r=皮 5可取0,1,2,3，故5的分布列为 0 1 2 3 64 48 12 1 125 125 125 125 故E5=0 64 +1x +2x12 12512 +3x1-3 12 12551 16.【详解K1D油题点可得xe(Q+w).f-片号学，当a≤0时，了()>0在x∈(Q+四) 恒成立，所以函数f(x)在(0，+∞)单调递增；当a>0时，x∈(0，a)时f"(x)<0,x∈(a,+o) 时f'(x)>0,故函数f(x)在(0，a)单调递减，在(a,+∞)单调递增，综上所述，当a≤0，函数 f(x)在(0，+o)单调递增；当a>0时，函数f(x)在(0，a)单调递减，在(a,+o)单调递增 (2)因为对任意x∈(0，+o)都有f(e)>0,所以nx+0-2>0,即a>2x-xnx, 令g(x)=2x-xhx,xe(0,+o),则g'(x)=1-nx,当xe(0,e)时，8(x)>0,8(x)单调 答案第2页，共4页 递增；当x∈(e,+o)时，g(x)<0,g(x)单调递减，所以8(r)ms=8(e)=e,故a>e. 17.(1)设动圆圆心为2x,y),半径为”，而圆C:(x+3)2+y2=4的圆心C(-3,0),半径1=2， 圆C2:(x-3)2+y2=100的圆心C2(3,0),半径=10。由动圆与圆C1外切，得C2=r+2, 由动圆与圆C内切，得C2=10-r,则C2+C9=12>CC2,即点2的轨迹C是以C,C, 为焦点，长轴长等于12的椭圆，显然该椭圆的长半轴长α=6，半焦距c=3,则短半轴长 b-匠-c-35,所以载迹C的方程为G号1：显然46086.0，设P0以x>0, 产65x中6当y≠0时，=9，当y=0时，点90符合要求，所以动 由ka=5h4,得y=5.y 点P的轨迹方程是x=9. (2)依题意，k。=k,设点M,为)，显然至+鉴=1，即巧=336-， 3627 4 当点P不在x轴上时，kak=业西 3 3 x466好36本，则kaa=20 「x=y+m 设直线N:x=y+m,由 3x2+4y'=108消去x得6+4y2+6w+32-108=0, 360m-1232+40m2-36)=4827+36-m)>0,+2三3+=3十，目 ea动得46产6品雨-20y头+0+0=+a0例+m6 整理得(3t2+20)y,+3(m+6)y+2)+3(01+6)2=0,则 3r产+20r-108+30m+0330m+O=0.,化简得240+60-4)=0 32+4 解得m=4或m=-6,当m=-6时，直线MN:x=y-6过点A,不符合题意，则m=4,满 足△>0，直线MN:x=y+4过定点(4,0)，当点P在x轴上时，直线MN与x轴重合，也过 点(4,0)，所以直线MN过定点(4,0). D 18.(1)如图：在等腰梯形ABCD中，过点A作AE⊥BC于E,过点D 作DF⊥BC于P,因为AB=AD=CD=1,BC=2,则C=分，所以 ∠DCF=60,连接BD,在三角形BCD中，由余弦定理得： BD2=4+1-2x2×1c0S60°=3，所以BD=V3,又BC=2,CD=1, 所以BD2+CD=BC2,所以BD⊥CD,又CD⊥PB,BD∩PB=B, 且BD,PBC平面PBD,所以CD⊥平面PBD,又PDC平面PBD,所 以CD⊥PD,因为PC=2,所以PD=√4-1=√3. Bc2 (2)①在三角形BDP中，由余弦定理得：cos∠BDP=,3+3-9= 1 2×√3xV5=2, 所以∠BDP=120°，由于CD⊥平面PBD,所以以D为坐标原点，分别以DB, DC向量的方向为x,y轴的正方向，过点D作垂直于DC的直线为z轴，建 Be: D 立知图所示的空同直角坐标系，[停-可小，85.0小，C0Lo0)。 D(0,0,0),P V3.3 -,0,- 2 设平面PAB的一个法向量为m=(x,y,=),A8 2 「51 - AB·m=0 ,令x=1,则y=-3,=√5， AP.m=0 所以2+2=0 2 所以m=(1,-V5,3),设平面P℃D的一个法向量为i=(a,b,c),DC=(0,10), 答案第3页，共4页 DC.n=0 「b=0 0z0,所以32+3e=0’令a=√3，则c=1,b=0, 所以i=W5,01,设平面PAB与平面cD的夹角为0，则cos8=osm列=727 23√21 ②因为点e满足B回=P四，所以设点2在P8的垂直平分面α上，则PB= 35.0 3 为 2 平面a的法向量，则AQ的最小值为点A到平面α的距离，PB的中点为E 99 313 A亚.P 所以点A到平面α的距离为 88 42'4 P 27,9 所以4@的最小值为子 19.(1)(i)设“第1次答题的是选手甲”为事件A,“第2次答题的是选手乙”为事件B, 则“第1次答题的是选手乙”为事件A,由题知，P(4)=P(@)=子P(8到A)=子P(a)=,由全 概率公式知，e-e42+e团4啊-计为是 11 PA=P）.P@4P(432.4 P(B) P(B) 5正·已知第2次答题的是选手乙，则第1次答题的是选手 A 甲的概率为号 (i)设“第n次答题的是选手甲为事件A,“第n次答题的是选手乙”为事件Bn,记Pn=P(A), 由思知，当≥2时，F(4a)-1--7(44)-子(2)=a)=1月号 由全概率公式知，马=P()=P(A8)P(8)+PAA)P(A)1-2+… 5 3 Pr= 1 14 公比为品的等比数列，“，号合厂，则，合号即第n次答题是选手 甲的概率为行侣”+号 （2)X的所有可能取值为12n,P(=))e=2…A-少P=网-()。 所以X的分布列为 X 1 2 n-1 3 間 故E(x)= 2x2 3 ①@.(0=号周2n)”- 子型得 答案第4页，共4页