精品解析：内蒙古包头市第九中学外国语学校2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

包九中外国语学校高一年级数学学科 （2026年4月） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过“1”的替换，齐次化，然后得到关于的方程，解方程即可 【详解】,解得 故选：C 2. 函数是（ ） A. 奇函数，且最小值为 B. 奇函数，且最大值为 C. 偶函数，且最小值为 D. 偶函数，且最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性，判定A、B不正确；再结合三角函数的图象与性质，求得函数的最大值和最小值，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数， 因为， 所以为的一个周期， 不妨设， 若时，可得， 因为，可得， 当时，即时，可得； 当时，即时，可得； 若，可得， 因为，可得， 当时，即时，可得； 当时，即时，可得， 综上可得，函数的最大值为，最小值为. 故选：D. 3. 设函数，，，则可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知为函数的最大值和最小值，再写出自变量的取值，作差变形即可求解． 【详解】因为，且， 所以为函数的最大值和最小值， 不妨设，即， 所以， 又，所以， 所以当时，，即可以是3， 故选：A． 4. 已知函数，当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，当时，所以， 结合正弦函数图像可知，时，的最小值为，最大值为， 故，因此，所以的最小值为. 5. 已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆外切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（ ） A. 1 B. 4 C. 9 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的线性运算及数量积运算即可求解. 【详解】 . 故选：D. 6. 时，函数与的图象交点个数为（    ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数图象即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中，分别作出与的图象， 根据图象可知：与的图象在有6个交点， 故选：D 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ） A. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 C. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】先从伸缩变换排除AB选项，再从左右平移排除C选项，D选项满足题意. 【详解】，将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到；而将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到，AB选项排除； C选项：将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到， 再向左平移个单位长度，得到,不符合要求； D选项：将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到， 再向左平行移动个单位长度，得到，满足要求，故D选项正确. 故选：D 8. 如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】法1以A为原点，建立平面直角坐标系，求坐标，利用夹角公式即可求解； 法2以为基底，利用平面向量基本定理将向量用表示，利用数量积的夹角公式即可求解. 【详解】法1：以A为原点，建立平面直角坐标系如图： 依题意可知：，，， 则：， ∴ ，， ∴． 故选：D. 法2：∵M，N分别是BC，AC的中点， ∴，． ∵与的夹角等于∠MPN，∴． ∵ ， ， ， ∴． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断. 【详解】最小正周期为，在区间上单调递减； 最小正周期为，在区间上单调递增； 最小正周期为，在区间上单调递减； 不是周期函数，在区间上单调递减； 故选：AC 10. 已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量的数量积以及向量运算逐项验证即可求解. 【详解】由题意得，所以， 所以，故A错误； 由，所以，故B正确； 又， 所以，所以， ，故C错误； ， 当时，，所以的最小值为，故D正确. 11. 已知函数，方程在区间上有且仅有4个解，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的最小正周期可能是 C. 在区间上有且仅有3个不同的零点 D. 在区间上单调递增 【答案】AB 【解析】 【分析】化简函数解析式后由题意根据正弦型函数的最值建立不等式，根据不等式有4个整数解求范围判断A，由范围可得周期范围，据此判断B，由自变量范围得出范围，结合正弦函数性质判断零点个数判断C，由得出的范围，利用正弦函数的单调性判断D. 【详解】由函数，令，， 则，，方程在区间上有且仅有4个解， 即有4个整数符合，由，得， 即，则，即，∴，故A正确； 对于B，最小正周期，由，则，， 又，∴的最小正周期可能是，故B正确； 对于C，∵，∴， ∵，∴， 当时，在区间上有且仅有3个不同的零点； 当时，在区间上有且仅有4个不同的零点，故C错误； 对于D，∵，∴，又， ∴ ，又，∴在区间上不一定单调递增，故D错误． 故选：AB． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间是______． 【答案】 【解析】 【详解】令， 所以函数的单调递增区间是. 13. 的重心为，外心为，且，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为为外心，所以，， 所以， 因为为重心，所以， 则， 所以. 14. 若是关于的方程的两个不等实根，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题设得，得到的范围，再根据一元二次方程根的性质可解 【详解】由题设得，解得或． 方法一 由是关于的方程的两个不等实根可得， 又，， 即，解得或， 又不满足条件，舍去，． 方法二 由是关于的方程的两个不等实根可得 ，两式分别相加与相减可得 ，由可得， 代入①可得，解得或， 又不满足条件，舍去，． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角差的三角公式化简可得所求代数式的值； （2）利用二倍角的正弦公式、辅助角公式化简可得所求代数式的值. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式. 16. 已知平面向量，且．求： （1）的值； （2）向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的运算律化简条件等式计算即得； （2）利用两向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因， 则， 可得； 【小问2详解】 因， ， 设向量与的夹角为， 则. 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）若函数在上恰有两个不同的零点，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据图象周期求出，再由过定点求出，进而求出解析式； （2）由，得到．结合在上有两个不同的零点，得到，解不等式即可． 【小问1详解】 由图可得的最小正周期． 因为，且，所以． 因为的图象经过点，所以， 所以，即. 因为，所以，则． 【小问2详解】 因为，所以． 由，得，因为在上有两个不同的零点，所以， 解得． 故的取值范围为． 18. 已知函数. （1）求函数的单调减区间； （2）若，，求的值； （3）当时，函数的最大值为，求m的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数单调性求出递减区间. （2）由（1）中函数求得，确定的范围求出，再利用和角的余弦公式计算得解. （3）利用二倍角公式，结合换元法，借助二次函数由最大值求出. 【小问1详解】 依题意，函数， 由，得， 所以函数的单调减区间为. 【小问2详解】 由（1）得， 解得，由，得， 当时，，当时， ，因此，， 所以 . 【小问3详解】 由（1）得， 当时，，令， 函数， 依题意，函数在上的最大值为， 当时，，，不符合要求； 当时，，，不符合要求； 当时，，，则， 所以. 19. 如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的高度为（单位：m）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为. （1）在筒车转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式； （2）5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？ （3）若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值. 【答案】（1），. （2）100秒 （3）20 【解析】 【分析】（1）由的最大值和最小值求出，再由周期求出，结合初始条件和相位范围确定，从而得到完整解析式。 （2）先求解的区间，计算一个个周期内盛水筒在水面下的时间，再结合总时长包含的周期数求出累计时间。 （3）由，化简可得或，即可求出的最小值. 【小问1详解】 由图可知，的最大值为，的最小值为， 则，, 因为筒车按逆时针每分钟转2圈，故，所以， 所以， 当时，，所以，则， 因为，所以，所以，. 【小问2详解】 由（1）得， 令，则，得， 则， 解得， 5分钟秒，则令，，得， 故5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为秒. 【小问3详解】 不妨设，由题意得， 故， ①，，解得，， 故，当且仅当，时，等号成立， ②，，解得， 显然当时，取得最小值，最小值为, 综上，的最小值为20. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包九中外国语学校高一年级数学学科 （2026年4月） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（       ） A. B. C. D. 2. 函数是（ ） A. 奇函数，且最小值为 B. 奇函数，且最大值为 C. 偶函数，且最小值为 D. 偶函数，且最大值为 3. 设函数，，，则可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知函数，当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆外切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（ ） A. 1 B. 4 C. 9 D. 15 6. 时，函数与的图象交点个数为（    ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ） A. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 C. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 8. 如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为 11. 已知函数，方程在区间上有且仅有4个解，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的最小正周期可能是 C. 在区间上有且仅有3个不同的零点 D. 在区间上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间是______． 13. 的重心为，外心为，且，则___________． 14. 若是关于的方程的两个不等实根，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求值： （1）； （2）． 16. 已知平面向量，且．求： （1）的值； （2）向量与夹角的余弦值． 17. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）若函数在上恰有两个不同的零点，求m的取值范围． 18. 已知函数. （1）求函数的单调减区间； （2）若，，求的值； （3）当时，函数的最大值为，求m的值. 19. 如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的高度为（单位：m）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为. （1）在筒车转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式； （2）5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？ （3）若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $