精品解析：内蒙古包头市第九中学2024-2025学年高一下学期3月阶段性考试数学试题

包头九中2024-2025学年度下学期3月份阶段性考试 高一年级数学卷 命题人；李鑫 审题人：席璐 总分：150分 时间：120分钟 一､单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 函数的值域为（ ） A. B. C D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是的三个内角，且方程的两根之和与两根之积相等，则是（ ） A 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若的最小正周期是，则 B. 当时，的对称中心为 C. 当时， D. 若在区间上单调递增，则 9. 若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 10. 下列选项中，值为的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 D. 若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 12. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 当时，函数的值域为 C. 当时，函数的单调递增区间为 D. 若，函数区间内恰有2025个零点，则 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的定义域为__________. 14. 已知，，则___________. 15. 奇函数满足，当时，则的值为________． 16. 为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为______. 四､解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. 求值： （1）； （2）. 18. 函数的一个对称中心是. （1）求函数的最值及为何值时取到； （2）用“五点法”画出函数在上的简图. 19. 求证： （1） （2）. 20. 已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，若存在，使得不等式有解，求的取值范围. 21. 位于郑州海昌海洋旅游度假区内的“郑州之眼”摩天轮是目前中原地区最高的摩天轮．该摩天轮的最高点距离地面的高度约为105米，最低点距离地面约为15米，摩天轮上均匀设置了60个座舱．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时． （1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式； （2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为37.5米？ （3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔9个座舱，从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值及此时的时间t． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 包头九中2024-2025学年度下学期3月份阶段性考试 高一年级数学卷 命题人；李鑫 审题人：席璐 总分：150分 时间：120分钟 一､单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换进行判断. 【详解】将的图象向右平移个单位，可得的图象. 故选：B 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则 . 故选：C. 3. 下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用倍角公式可求答案. 【详解】因为，所以A不正确； 因为，所以B不正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D正确. 故选：D 4. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用半角正切公式即可求值，注意法二：正切值的符号. 【详解】方法一：∵，， ∴. 方法二：∵，， ∴的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限，即， ∴ 故选：C 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用整体法，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以，则， 故，故的值域为. 故选:C 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据条件分析出的奇偶性，然后取特殊值计算函数值分析得到的大致图象. 【详解】因为，且的定义域为关于原点对称，所以是奇函数，所以排除BC， 又因为当且较小时，可取，所以，所以排除D， 故选：A. 【点睛】本题考查根据函数解析式辨别函数图象，难度一般.辨别函数图象的常用方法：分析函数的奇偶性、单调性，计算特殊值的大小等. 7. 已知是的三个内角，且方程的两根之和与两根之积相等，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理得到，化简得到，得到答案. 【详解】方程的两根之和与两根之积相等 则 即 故答案选B 【点睛】本题考查了和差公式，韦达定理，意在考查学生的综合应用能力. 8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若的最小正周期是，则 B. 当时，的对称中心为 C. 当时， D. 若在区间上单调递增，则 【答案】D 【解析】 【分析】按照周期和对称中心计算公式计算周期和对称中心可判断AB选项；当时，代入以及，并根据周期性转化到同一周期，结合正切函数的单调性可比较大小，从而判断C；根据正切函数的单调性整体代入法列出不等式求解可得出的范围，可判断D. 【详解】A选项：的最小正周期是，所以，故A错误； B选项：当时，令，则，所以的对称中心为，故B错误； C选项；时，， ， ，在上单调递增，所以，即，故C错误； D选项：若在区间上单调递增，则，解得：，又因为，所以，D正确； 故选：D 9. 若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简函数式为，题意说明，得，由正弦函数图象与直线的交点个数得的范围． 【详解】由题意可得： ， 由可得， 因为，，则， 由题意可得，解得， 所以的取值范围为． 故选：D． 【点睛】易错点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 10. 下列选项中，值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦余弦公式等对每个选项逐一求解，看值是否为即可. 【详解】对于A选项: ,符合题意； 对于B选项: ,符合题意, 对于C选项: ，不符合题意； 对于D选项：，符合， 故选：ABD. 11. 已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 D. 若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】由函数图象可得，由，解得，故A正确； 所以，又函数过点，即， 所以，，即，，又，所以， ∴， 对于B：当时，， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C：将函数的图象向右平移个单位得到： ，故C错误； 对于D：当时，， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 又，，， 故方程在上有且只有一个实数根时，则的取值范围是，故D错误． 故选：AB. 12. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 当时，函数的值域为 C. 当时，函数的单调递增区间为 D. 若，函数在区间内恰有2025个零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦型函数和正弦函数的周期性可判断A选项；利用二次函数的值域可判断B选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；在时解方程，结合函数的周期性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 故函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，当时，， 令，则，， 当时，；当时，；当时，. 所以，， 所以，当时，函数的值域为，B对； 对于C选项，当时，， 则， 令，则，则外层函数， 外层函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，则内层函数单调递增时，则函数为增函数， 所以，； 当时，则内层函数单调递减时，则函数为增函数， 所以，. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为， ，C错； 对于D选项，当时，， 可得或， 由于函数的最小正周期为，且， 现在考虑函数在上的零点个数， 由可得，由可得或， 所以，函数在上的零点个数为， 因为，故，D对. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法： ①利用和的最值直接求； ②把形如的三角函数化为的形式求最值； ③利用和的关系转换成二次函数求最值； ④形如或转换成二次函数求最值. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由正切函数的定义得出定义域. 【详解】由，即， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 14. 已知，，则___________. 【答案】-7 【解析】 【分析】根据，，利用两角和与差的余弦公式展开，再两式相加 、相减分别得到、，然后利用商数关系求解. 【详解】因为，， 所以， 两式相加得：， 两式相减得：， 所以， 故答案为：-7 【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的应用以及同角三角函数的基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 15. 奇函数满足，当时，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出的周期，得到，利用该函数为奇函数，求出时，函数的解析式，代入求值即可. 【详解】由可知奇函数的周期为， 所以 因为该函数为奇函数，所以， 令，则， 所以, 即， 所以，， 所以. 故答案为： 16. 为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，设，可用的三角函数值表示，，即可得到四边形的面积，再根据三角函数的值域的求法即可求解． 详解】如图所示： 连接，设，作，，垂足分别为． 根据平面几何知识可知，，，． 所以，． 故四边形的面积也为四边形的面积， 即有 ，其中． 所以当即时，． 故答案为：． 四､解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. 求值： （1）； （2）. 【答案】（1）1； （2）. 【解析】 【分析】（1）将已知式中的切化弦，通分后利用辅助角公式，再利用二倍角公式和诱导公式化简即可； （2）由二倍角公式、诱导公式、两角和与差的正弦余弦公式将题中角统一为，进一步转化为，展开后化为特殊角即可求值. 【小问1详解】 【小问2详解】 18. 函数的一个对称中心是. （1）求函数的最值及为何值时取到； （2）用“五点法”画出函数在上的简图. 【答案】（1）当时，函数取得最大值2；当时，函数取得最小值-2 （2）图象见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知得，解得，结合正弦型函数性质求最值及取最值时的值； （2）应用五点法画出在上的图象即可. 【小问1详解】 由题设知，则，.∵，，， ∴，其最大值为2，最小值为-2. 当，即时，函数取得最大值2； 当，即时，函数取得最小值-2. 【小问2详解】 0 0 0 ∴函数在上的简图如下， 19 求证： （1）. （2）. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的倍角公式对分子、分母分别化简约分，即可证明； （2）将等式右边进行通分后，利用同角三角函数的平方关系及完全平方公式即可证明. 【小问1详解】 证明：左边==右边. 【小问2详解】 证明：右边==左边. 20. 已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，若存在，使得不等式有解，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用和差角公式，二倍角公式以及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解； （2）先求出的解析式，然后结合恒成立与存在性问题与最值关系转化即可求解. 【小问1详解】 令， 得 即的单调递减区间为. 【小问2详解】 根据题意可得. 因为存在，使得不等式有解， 所以. 当时，，， 当时，， 所以，即取值范围为. 21. 位于郑州海昌海洋旅游度假区内的“郑州之眼”摩天轮是目前中原地区最高的摩天轮．该摩天轮的最高点距离地面的高度约为105米，最低点距离地面约为15米，摩天轮上均匀设置了60个座舱．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时． （1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式； （2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为37.5米？ （3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔9个座舱，从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值及此时的时间t． 【答案】（1）， （2）5分钟或25分钟 （3）当或25分钟时，h最大值45米 【解析】 【分析】（1）设，根据所给条件求出，即可得到函数解析式； （2）令，由余弦函数的性质及的范围计算可得； （3）设经过分钟后甲距离地面的高度为，则乙距离地面的高度为，，表示出，再由三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 设． 由题意知． 又，故， ，，可取． ， 故解析式为，． 【小问2详解】 令，则，即， ，，或，解得或． 故游客甲坐上摩天轮后5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为37.5米． 【小问3详解】 经过分钟后，甲距离地面的高度为， 乙与甲间隔的时间为分钟， 所以乙距离地面的高度，， 则两人的高度差 ，． 令，解得，， 又，所以当或25分钟时，h最大值为45米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$