期中培优：解三角形周长问题与面积问题4种高频考法专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期中培优：解三角形周长问题与面积问题4种高频考法专项训练 期中培优：解三角形周长问题与面积问题4种高频考法专项训练 考点目录 周长问题 周长最值问题 面积问题 面积最值问题 考点一 周长问题 例1．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）在中，内角的对边分别为，已知. (1)若，求的面积； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先利用余弦定理求边，再利用三角形的面积公式求面积. （2）先利用正弦定理结合所给条件求角和角，再分情况确定三角形的形状求周长. 【详解】（1）由余弦定理得， 将代入，得， 化简得，所以，所以. 又，所以， 故. （2）由正弦定理得，又，可得. 因为，即， 所以，因为，所以一定是锐角，故. 同时，，故或. ①若，则，此时为直角三角形，为斜边. ， 所以周长. ②若，则，此时为等腰三角形， 所以， 周长. 综上所述，的周长为或. 例2．（25-26高三上·山东济宁·月考）已知函数. (1)写出函数的最小正周期和所有的严格单调递增区间； (2)在中角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若，，且，求的周长. 【答案】(1)；严格单调递增区间为， (2) 【分析】（1）由三角恒等变换得，再根据三角函数性质求解即可； （2）由得，根据向量数量积运算得，再结合余弦定理求得即可得答案. 【详解】（1）解：. 所以函数的最小正周期为； 由，得，. 因为， 所以函数的严格单调递增区间为，. （2）解：由，得. 所以或，. 因为B是三角形内角，所以. 因为，所以. 又，所以. 所以，则， 所以的周长为. 例3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为． (1)求的值； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）对已知的边的等式应用正弦定理，将边转化为角，结合三角形内角和定理与两角和的正弦公式展开化简，消去后求解； （2）先由求出，结合三角形面积公式与已知的，先求出边，再结合三角形的面积得到，最后用余弦定理求出，三边相加得到周长. 【详解】（1）由，正弦定理可得， ，， ， 因为，所以，两边同时除以得， 解得. （2）由，，得. 因为且，所以. 再由，得，即. 由余弦定理：，得. 因此的周长为. 变式1．（2026·广东湛江·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可化简求得即可求解. （2）由余弦定理以及三角形的面积公式化简求解即可. 【详解】（1）由及正弦定理，得. 因为， 所以， 整理得. 因为，所以，即. 又，所以. （2）由，且，得. 由余弦定理，及， 得. 所以（负值舍去）. 故的周长为. 变式2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若是边上一点，，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合分式有意义得到，根据二倍角公式、辅助角公式得到，进而求出角及. （2）方法一：根据余弦定理列方程组求解即可.方法二：根据向量的运算及余弦定理列方程组求解即可. 【详解】（1）由题意知，，即，即. 因为，所以， 即， 所以， 又，， 所以或，所以（舍）或， 因为，所以，则. （2） 方法一：设，则，， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 由，可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 联立解得，， 所以的周长为. 方法二：设，则，，即， 故，故， 所以，可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 联立解得，，所以的周长为. 变式3．（2026·北京丰台·一模）在中，，，分别为内角，，所对的边，． (1)求； (2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选择条件①②，周长为；选择条件③，三角形不存在 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，进而可求； （2）选择条件①：利用正弦定理可求得，利用三角恒等变换求得，进而利用正弦定理求得，进而可求周长. 选择条件②：利用三角恒等变换求得，进而利用正弦定理求得，进而可求周长. 【详解】（1）因为，所以． 因为，所以， 所以，所以. （2）由（1）知. 选择条件①：因为，，由正弦定理，得． 因为，所以，所以． ． 由正弦定理，所以，解得． 所以三角形的周长． 选择条件②：． 因为， 所以． 由正弦定理，所以， 解得， 所以三角形的周长. 选择条件③：因为，，， 由正弦定理，则， 解得，故不存在. 考点二 周长最值问题 例1．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【详解】（1）在中，因为， 所以，即， 因为所以，故 ，则； （2）因为的面积为，即， 所以. 由余弦定理得. 解得, 所以周长为. （3）由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则， 故， 故周长的取值范围为. 例2．（2026·北京西城·一模）已知的面积，且． (1)求C的大小； (2)记的周长为．给出的解析式，并求其最大值． 【答案】(1)/ (2)； 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式即可得解； （2）利用正弦定理表示出，化简，然后结合正弦函数性质求最值. 【详解】（1）由余弦定理和面积公式得：，， 代入可得：，化简得：， 又因为在三角形中，，所以. （2）设为三角形外接圆半径，则由正弦定理可得：，则， 所以，， 则三角形周长为： 其中，所以，代入可得： ， ，其中 所以，则当，即时，取得最大值， 所以. 例3．（25-26高一下·陕西西安·月考）已知分别为三个内角的对边，且. (1)若，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合两角和公式即可求角，然后利用余弦定理求第三边； （2）利用正弦定理来边化角，借助三角函数性质来求周长的取值范围. 【详解】（1）在中，因为，结合正弦定理边化角可得： ，所以， 因为，，所以，则； 因为的面积为，所以，可得， 又由余弦定理可得 解得，所以周长为 （2）由正弦定理可得， 则，， 由， 因为为锐角三角形，则，，所以， 即，则， 故， 所以周长的取值范围为. 变式1．（24-25高一下·湖北十堰·月考）已知的内角的对边分别为，，． (1)求的面积的最大值； (2)求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一，利用余弦定理和基本不等式求出范围，再利用面积公式；法二，利用正弦定理以及辅助角公式化简，再求范围即可. （2）法一，利用余弦定理和基本不等式求出范围；法二，利用正弦定理以及辅助角公式化简，再求范围即可. 【详解】（1）解法1：由余弦定理得， 结合基本不等式得， 所以，当且仅当时取等号， 所以，即的面积的最大值为． 解法2：由正弦定理有，得，． 所以． 因为在中，，所以，即，且， 则 ， 因为，则，所以， 即，当且仅当时等号成立. 所以，即的面积的最大值为． （2）解法1：由余弦定理得，则， 结合基本不等式得， 所以，当且仅当时取等号． 又因为，所以，所以周长的取值范围为． 解法2：由正弦定理有， 得，，所以． 因为在中，，所以，即，且， 所以． 又因为，则，所以，即． 变式2．（24-25高一下·广西南宁·月考）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边. (1)若，求； (2)若，，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，，，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【详解】（1）在中，因为， 所以，即， ,故 ， 则； （2）因为的面积为，即， . 由余弦定理得. 解得. 所以周长为. （3）由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ,故， 所以，则， 故, 故周长的取值范围为. 变式3．（2023·陕西·模拟预测）的内角的对边分别为． (1)求； (2)若，求的周长最小值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）首先利用正弦定理，边角互化，转化为边的关系，利用余弦定理求角的值； （2）根据（1）中等式结合基本不等式求周长的最小值. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 整理得， 由余弦定理知， 且，所以． （2）由（1）可知：，整理得， 且，当且仅当时，等号成立， 则，即，可得， 所以的周长最小值. 考点三 面积问题 例1．（2026·山东德州·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理求出与之间的关系，结合，利用三角恒等变换即可求解； （2）结合（1）的结论，求出，再求，结合三角形面积公式求结论即可. 【详解】（1）因为，， 所以由正弦定理知，， 又由， 故， 所以，故． （2）由知，， ， 因为， 所以 记的面积为， 所以， 故的面积为． 例2．（2026·四川雅安·二模）已知中，． (1)求的大小； (2)设为的中点，，，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】(1)利用三角恒等变换化简求解即可； (2)利用余弦定理及中线的向量表示化简，利用面积公式求解. 【详解】（1）因为， 所以，故． 又，故，所以，所以． （2）由余弦定理，得① 因为是的中点，所以， 故， 即， 即② ②－①得，． 例3．（2026·湖南·模拟预测）在中，已知，且． (1)求角的大小； (2)若，为中点，且，求的面积． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用降幂公式，结合正弦型函数的性质求解即可； （2）法一：由余弦定理可分别求出，，再根据两角互补可求出，可求出，由正弦定理可求出，根据三角形面积公式即可求解，法二：在中，由余弦定理可求，在中，由余弦定理得，可求出，再有面积公式即可求解. 【详解】（1）， ，即， ， 或， 又，为三角形的内角且，，． （2）法一：在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理，得， 又因为，所以，又因为中点， 所以，故， 化简可得， 故，在中， 由正弦定理得，所以， 在中，， 所以，可得， 所以三角形是等腰直角三角形，故， 所以，． 法二：在中，由余弦定理得，① 在中，因为为中点，所以， 由余弦定理得，② 由②-①，得，③ 将，代入③式，解得，， 将，代入②式，解得， 所以的面积． 变式1．（25-26高三下·海南·月考）已知的内角的对边分别为，且为锐角，. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）已知，由正弦定理可得， 中，，，所以有，即， 由为锐角，得. （2）已知，，由余弦定理，有， 即，由，解得， 所以的面积. 变式2．（25-26高三上·江西赣州·期末）在中，内角、、的对边分别为、、，若. (1)求的大小； (2)若，为角的平分线，点在线段上，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用结合三角形的面积公式可得出，再结合余弦定理可得出的值，最后利用三角形的面积公式可得出的面积. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理得 ， 所以， 因为、，故，所以，故. （2）因为为角的角平分线，由， 所以，     因为，解得①.     又，由余弦定理知，从而②.     由①②解得，从而的面积为. 考点四 面积最值问题 例1．（25-26高一下·浙江杭州·月考）在中，角的对边分别为，满足. (1)若，求周长的最小值； (2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （2）先使用余弦定理把角C计算出来，再运用正弦定理把锐角三角形面积表示成关于角A的三角函数, 通过是锐角三角形计算角A的取值范围再计算面积的取值范围. 【详解】（1）解：因为, ， 由基本不等式可知,当且仅当时等号成立, 所以,，,即, , 所以,当时，周长有最小值为； （2）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以， 由正弦定理可得，所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，有，即， 所以，，， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 例2．（25-26高一下·河南濮阳·月考）在中，． (1)若，的面积为，求边的长度； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理，可求角，再结合三角形的面积公式，可求的值，再利用余弦定理求边即可. （2）利用余弦定理结合基本不等式求三角形面积的最大值即可. 【详解】（1）由题意得， 则由正弦定理可得， 得到， 可得 则，因为为的内角，所以， 得到，又，可得， 由，解得. 由余弦定理得， 而，则. （2）在中，，， 由余弦定理得，则， 因为，当且仅当时取等， 所以， 所以. 所以当为等边三角形时，面积取得最大值为. 例3．（2026·辽宁锦州·模拟预测）在中，已知，三角形外接圆半径为2． (1)求的大小； (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变换的公式，化简求得，即可求解； （2）根据题意，求得，再由余弦定理和基本不等式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得， 整理得，解得或（舍去）， 因为，所以. （2）解：由（1）知：且的外接圆的半径为， 由正弦定理，可得， 又由余弦定理得， 当且仅当时，等号成立，所以，即， 所以，所以面积的最大值为． 变式1．（2026·重庆万州·模拟预测）在中，，，分别为内角，，的对边，已知，且. (1)若，的角平分线交于点，求的长度； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由正弦定理化角为边，再结合余弦定理求出，最后利用面积分割法​求解的长度； （2）以中点为原点建立平面直角坐标系，根据的条件推导点的轨迹方程，再利用圆上点的纵坐标最大值求解面积的最大值. 【详解】（1）由和正弦定理得，若， 由余弦定理有，所以解得，， 由，有，解得； （2）以的中点为原点，以和其中垂线为，轴建立直角坐标系， 则，，设，则由（1）知，所以有， ，整理得， 有，所以，所以. 即面积的最大值是. 变式2．（25-26高三下·辽宁抚顺·月考）已知 的内角所对的边分别为，且 (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据余弦定理解三角形，求出角即可. （2）根据正弦定理边角互化和正弦二倍角公式，对条件进行变形，求出，再根据基本不等式和三角形正弦面积公式，求出面积最大值. 【详解】（1）由已知得，由余弦定理得，即. （2）由，所以， 由正弦定理得，故. 由（1）知 ， 所以，即，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故的面积的最大值为. 变式3．（25-26高三上·江西宜春·期末）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足. (1)求角； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角变换公式可得，从而可求； （2）利用余弦定理结合基本不等式可求，从而可求面积的最大值. 【详解】（1）由，得， 即，即，即， 又是锐角三角形，所以，所以， 故，即. （2）由余弦定理得， 即，当且仅当时等号成立， 所以，即面积的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：解三角形周长问题与面积问题4种高频考法专项训练 期中培优：解三角形周长问题与面积问题4种高频考法专项训练 考点目录 周长问题 周长最值问题 面积问题 面积最值问题 考点一 周长问题 例1.(25-26高一下湖南衡阳·月考)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,b=√5c (I)若cosA=】 求ABC的面积 ②若snB+sinC3求ABc的周的 例2.(25-26高三上山东济宁.月考)已知函数f(x)=√3sin2x+cos2x-1(x∈R) (1)写出函数f(x)的最小正周期和0，π]所有的严格单调递增区间： ②在A8C中角4、R、C所对的边分别是ab、c0,若8副=0，丽：8C-,且a+e=4,求48C的周长 期中培优：解三角形周长问题与面积问题4种高频考法专项训练 例3.(2026黑龙江哈尔滨·模拟预测)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+3c=3 bcosA,且 ABC的面积为5V2 (I)求cosB的值： (2)若bsinC=2√2，求ABC的周长 变式1.(2026广东湛江二模)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且2 b cos C=2a-c (1)求角B的大小； (2)若b=2√5，且ABC的面积为√5，求ABC的周长 2 期中培优：解三角形周长问题与面积问题4种高频考法专项训练 变式2.(2026·湖南衡阳模拟预测)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C, sin 2A cos B-cosC 1+cos2A sin C-sin B (I)求cosA的值： (2)若D是边BC上一点，AD=DC=2BD,c=1,求ABC的周长 变式3.(2026北京丰台一模)在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，sin2A=sinA. (1)求∠A; (2)若a=V6,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC存在，求ABC的周长. 条件①：b=2; 条件@：B-: 条件③：c=2V5. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 期中培优：解三角形周长问题与面积问题4种高频考法专项训练 考点二 周长最值问题 例1.(25-26高一下·江苏无锡·月考)已知ABC为锐角三角形，a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，且 bcosC ccosB=2acosA, (1)求A; ②若6+6=5，ABC的面积为35，求ABC的周长， 2 (3)若a=1,求ABC周长的取值范围 例2.(2026北京西城一模)已知A8C的面积S=5a2+6-c,且a=2sim4. 4 (1)求C的大小： (2)记ABC的周长为f(A).给出f(A)的解析式，并求其最大值. 期中培优：解三角形周长问题与面积问题4种高频考法专项训练 例3.(25-26高一下·陕西西安·月考)已知a,b,C分别为ABC三个内角A,B,C的对边，且bcosC+ccosB=2 a cos A. @老6+e=5,48C的面积为35，求48C的周长， 2 (2)若ABC为锐角三角形，a=1,求ABC周长的取值范围， 变式1.423商-下潮北1张月考)已知ABC的内角8，C偷对边分别为aac,∠C-子.c=2, (I)求ABC的面积S的最大值； (2)求ABC的周长1的取值范围. 期中培优：解三角形周长问题与面积问题4种高频考法专项训练 变式2.(24-25高一下·广西南宁·月考)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边 (1)若bcosC+ccos B=2 acos A,求A; ②若4=子，b+e=5,ABC的面积为35，求4BC的周长： 2 (③)若ABC为锐角三角形，4=行，a=1,求4BC周长的取值范国 变式3.(2023~陕西·模拟预测)4BC的内角4,8，C的对边分别为a,bc,C-b- sinA a-b sinC+sinB (1)求C; (②)若a+b=6,求ABC的周长最小值， 6 期中培优：解三角形周长问题与面积问题4种高频考法专项训练 考点三 面积问题 例1.(2026山东德州模拟预测)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知b=6,c=2, B=C+I 3 (I)求tanC的值； (2)求ABC的面积. 例2.2026-四川雅安二机)已知ABc中，5co行4小+2sn-2. (1)求∠A的大小； (2)设D为BC的中点，BC=3,AD=2,求ABC的面积. 期中培优：解三角形周长问题与面积问题4种高频考法专项训练 例3.(2026湖南模拟预测)在ABC中，己知cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB,且A≠B. (1)求角C的大小； (2)若AB2+AC2=6,D为BC中点，且AD=1,求ABC的面积. 变式1.(25-26高三下·海南·月考)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且C为锐角，b=√2 csin B. (1)求C; (2)若a=√2，c=√10，求ABC的面积 期中培优：解三角形周长问题与面积问题4种高频考法专项训练 变式2.(25-26高三上·江西赣州：期末)在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、C,若c0sB=2c+b _2a B D (1)求A的大小： (2)若a=2√5，AD为角A的平分线，D点在线段BC上，AD=1,求ABC的面积. 0 期中培优：解三角形周长问题与面积问题4种高频考法专项训练 考点四 面积最值问题 例1.(25-26高一下·浙江杭州月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a2+b2-ab=c2 (1)若a+b=8,求ABC周长的最小值； (2)若ABC是锐角三角形，且c=2√5，求ABC面积S的取值范围， 例2.(25-26高一下河南濮阳月考)在ABC中，a=ccosB+b. (I)若a+b=8,ABC的面积为35，求C边的长度： (2)若c=4,求ABC面积的最大值. 9