期中培优：解三角形中线问题、角平分线问题、高线问题、多三角形问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期中培优：解三角形中线问题、角平分线问题、高线问题、多三角形问题专项训练 期中培优：解三角形中线问题、角平分线问题、高线问题、多三角形问题专项训练 考点目录 中线问题 角平分线问题 高线问题 多三角形问题 考点一 中线问题 例1．（2025·河北·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)已知，求边上的中线的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及进行化简，得到，从而得到； （2）利用余弦定理得到的值，由中线向量求得的长. 【详解】（1）由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 因为，所以. （2）在中，由余弦定理得， 代入数值得，解得（舍去）或， 因为是的中点，所以， 所以， 所以，即边上的中线的长为. 例2．（24-25高一下·海南儋州·月考）在中，角所对的边分别为已知，，角. (1)求边的长度，求的面积； (2)若点是的中点，求中线的长度. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）在中，由余弦定理求出，利用三角形的面积公式求出的面积； （2）设，在和中，分别用余弦定理表示出，则可得到关于的方程，解出，即可得到中线的长度. 【详解】（1）在中，，，角， 由余弦定理得， ， . （2）因为点是的中点，由（1）知，则， 设，又， 在中，由余弦定理，， 在中，由余弦定理，， 则， 解得，所以. 例3．（24-25高一下·云南德宏·期中）在中，角的对边分别为，若，且． (1)求角B的值； (2)若，且的面积为，求BC边上的中线AM的长． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）应用正弦定理边角转化得出正弦值进而得出角； （2）先化简求角，再应用面积公式得出，最后应用余弦定理得出中线. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 所以或， 又因为，则，故. （2）由（1）知，又，所以， 则，所以 又，所以， 在中， 由余弦定理得， 所以. 变式1．（24-25高一下·山东聊城·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)若，证明：； (2)若，是的中线，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理得，再根据余弦定理有，两者联立即可证明； （2）首先利用基本不等式和余弦定理得，再利用向量中线长定理有，则可求出的最大值. 【详解】（1）由正弦定理得，即，即， 由余弦定理知和， 得，即， 即，因为，所以. （2）因为，，所以， 故，当且仅当，即时等号成立， 故； 由是的中线，得， 即得 ， 即得，故的最大值为. 变式2．（24-25高一下·安徽合肥·月考）已知函数，最小正周期是，在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． (1)求的单调递减区间； (2)若，，AD为BC边上的中线，求AD的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为， (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简得，然后根据周期求得，进而求出解析式，然后利用正弦函数单调性求解单调递减区间； （2）先求出，利用余弦定理得，然后利用数量积的运算律得，然后由正弦定理及三角恒等变换得，然后利用正弦函数的性质求解即可． 【详解】（1）， 因为的最小正周期为，所以，所以， 令，，得，， 所以的单调递减区间为，． （2）由（1）可知，，则， 因为，所以，所以，解得． 由，及余弦定理，得， 因为，所以， 由正弦定理得，，， 所以 ． 所以， 又，所以，所以， 故， 所以周长的取值范围是． 变式3．（24-25高一下·福建三明·期中）记的内角所对的边分别为，若，且. (1)求角的大小； (2)若，求的周长； (3)求边上的中线长度的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理，得到，结合余弦定理，求得，即可求解； （2）根据题意，由正弦定理求得，得到，进而求得的周长； （3）根据题意，由余弦定理和基本不等式，求得，再由，根据向量的数量积的运算律，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 又由余弦定理，可得， 因为，所以. （2）解：因为，由正弦定理得， 因为，所以，所以， 又因为，所以，则， 由，可得，所以， 所以的周长为. （3）解：因为，由余弦定理得，即， 又因为，当且仅当时等号成立，所以，所以， 因为为边上的中线，可得， 所以， 所以，则， 所以边上的中线长度的最小值为. 考点二 角平分线问题 例1．（25-26高三上·山西太原·期末）在中，，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，求的角平分线的长. 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理，将已知的边角关系进行转化，最后求解即可； （2）利用余弦定理建立关于未知边 的一元二次方程，求解后再代入面积公式即可； （3）先利用角平分线将原三角形 分割成两个小三角形 和 ，得到它们的面积之和等于原三角形的面积，最后代入求解即可. 【详解】（1），，， 由得，. （2）由（1）得，， ，或（舍去）， 的面积. （3）设， 则，， ， . 例2．（25-26高一下·重庆·月考）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． (3)若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求解； （2）由正弦定理转化为三角函数，利用两角差的正弦公式化简，再由正弦型三角函数求值域即可； （3）由余弦定理及基本不等式求出范围，再由三角形面积公式得出，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理可得：， 因为， 所以， 即， 由可得，即， 由，可得. （2）因为， 所以 ， 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以，， 所以. （3）如图， 由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立， 又， 化简可得，， 所以，当且仅当时等号成立. 故BD长度的最大值为. 例3．（25-26高二下·云南怒江·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：. (2)若，A的角平分线交BC于D，且，求a. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）本题利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换，通过两角差的正弦公式推导角的等量关系，从而证明. （2）本题先由（1）的结论结合正弦定理得到与的关系，再利用角平分线的性质得到三角形内角的关系，结合正弦定理建立关于的方程，求解得到的值. 【详解】（1）由正弦定理得， 得， 得. 因为，，所以，得. （2）由正弦定理，得.① 因为A的角平分线交BC于D，所以，. 在中，得，得. 在中，由正弦定理得， 得.② 由①②得，得（负根舍去）. 变式1．（2026·贵州遵义·模拟预测）在中，内角、、所对的边分别为、、，，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由结合三角形的面积公式得出，结合余弦定理可求得的值，即可得出的周长. 【详解】（1）因为及正弦定理可得， 即， 即， 因为、，则，所以，可得，故. （2）因为，即， 可得①， 由余弦定理可得②， 联立①②可得，即， 因为，解得，故的周长为. 变式2．（24-25高二下·福建福州·期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，且 (1)求； (2)若，为的角平分线，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合正弦和角公式化解可解； （2）利用等面积法，可得，结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得，， 因为， 所以， 因为，所以， 所以，即， 又因为，所以． （2）因为为的平分线，则， 因为， 则， 即，化简得， 在中，由余弦定理可得， 即，整理可得，解得（负值舍）， 所以的面积． 变式3．（24-25高一下·云南文山·期中）在中，角的对边分别为，且，. (1)若，求的值； (2)若为锐角三角形. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若是的角平分线，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】(1)先边化角，结合两角和的正弦展开式求出角再利用余弦定理求的值； (2) （ⅰ）锐角三角形中最大角必为锐角结合余弦定理写出三边关系求出的取值范围； （ⅱ）由的取值计算出的取值范围结合面积公式及倍角公式计算出的取值范围即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， ∴， ∴， ∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴． 由余弦定理可得， ∴， ∴． （2）（ⅰ）已知，，， ∴，又∵△ABC为锐角三角形， 所以，即， ∴，∴． （ⅱ）因为，所以， 所以． 又∵， ∴， 化简得， 又∵，∴， ∴，∴． 考点三 高线问题 例1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在中，角，，所对的边分别为，已知，． (1)求的值； (2)若，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求解即可. （2）利用三角形面积公式，利用等积法求解即可． 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得， 得到，故. （2）由（1）可知，因为，所以，， 设边上的高为h，则，可得，   故边上的高为． 例2．（24-25高三上·福建厦门·期中）设三角形的内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形内角和关系转化，并用诱导公式化简为正弦形式，借助正弦定理将边比转化为对应角的正弦比，求出角. （2）利用三角形面积的表达式建立含与的等式，代入余弦定理公式即可求出. 【详解】（1）在中，，故， ，即， 由正弦定理得：，即 又，所以， 因为，所以， ，则，故. （2）已知，边上的高， ， ， ， ，代入，，， 得：， 化简整理得：，即， 或(舍去)，故. 例3．（25-26高二上·贵州六盘水·期中）在中，角对边分别为，且. (1)求； (2)若，，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，即可求解角； （2）利用余弦定理求解第三边，再用正弦定理求角，即可求高. 【详解】（1）由可得：， 由三角形内角和定理可知：， 化简可得：， 因为，则，所以上式可化简为：， 又因为，所以; （2） 由余弦定理得：， 解得或（舍去）， 再由正弦定理可得：， 所以边上的高. 变式1．（25-26高一下·福建厦门·月考）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且. (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求边上的高. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由余弦定理化角为边，化简即可得证； （2）由余弦定理可求得，可求的面积. 【详解】（1）因为，所以， 化简得，即， 所以是等腰三角形， （2）由余弦定理可得，得， 解得，由，所以， 所以的面积， 又，所以， 所以. 变式2．（24-25高二下·广西南宁·期末）在中，所对的边分别为，已知． (1)若，求及的面积； (2)若，求边上的高． 【答案】(1)，3 (2)． 【分析】（1）根据同角三角函数关系计算，再应用余弦定理得出，最后应用面积公式计算求解； （2）应用正弦定理得出，再应用面积公式求解. 【详解】（1）因为， 所以， 由余弦定理可得， 所以， 所以， 所以的面积为； （2）由，可得， 又因为，所以， 所以， 所以的面积为； 设边上的高为，所以的面积为，解得， 则边上的高为． 变式3．（24-25高一下·广东惠州·期中）如图，在中，为BC边上一点，且. (1)求AB的长； (2)求的值； (3)若的面积为，求中AD边上的高. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用同角三角函数关系得，然后在中利用正弦定理即可求出； （2）结合三角形的性质，由两角和的正弦公式求解即可； （3）方法一：先根据三角形的面积公式求出，再在中，由余弦定理求出，再在中，由余弦定理求出，即可求高； 方法二：先根据三角形的面积公式求出，再在中，利用正弦定理求得，进而求得，即可求高． 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以. （2）. （3）方法一：，所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 解得（CD舍去）， 所以中AD边上的高为. 方法二：，所以， 在中，， ， 所以中AD边上的高为. 考点四 多三角形问题 例1．（2026·吉林·模拟预测）在平面四边形中，，. (1)若. （i）若A，B，C，D四点共圆M，求； （ii）求四边形面积S的最大值. (2)若，，与交于点.记，求当为何值时，. 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）设，，利用余弦定理可得.（i）由题意可得，进而可得和；（ii）根据面积公式可得，整理可得，进而分析最值； （2）利用余弦定理可得，可知A，B，C，D四点共圆，且圆的半径，根据正弦定理已经圆的性质可得，运算求解即可. 【详解】（1）设，，其中， 在中，由余弦定理可得； 在中，由余弦定理可得； 即，可得. （i）若A，B，C，D四点共圆M，则， 可得，， 由可得，即， 则，即； （ii）因为四边形面积， 即，且， 又因为， 当且仅当时，等号成立 即，解得， 所以四边形面积S的最大值为. （2）在中，由余弦定理可得， 即， 则，即， 因为，可知A，B，C，D四点共圆，且圆的半径， 则， 且，可知， 若，则， 即，可得， 又因为，则，可得，解得， 所以当时，. 例2．（24-25高一下·广东深圳·月考）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)点在直线上，且．若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理得，结合已知条件运算得解； （2）由结合诱导公式可得或，结合已知条件可得或，求得，再根据运算得解. 【详解】（1）由余弦定理得，. 又，故，     所以，又， 所以，故而. （2）由，知或. 又或，所以只可能是或， 分别解得或（舍去），    故只有如图情况，即在线段上，且，故，， 于是，，即， 故.     例3．（25-26高三上·江西南昌·月考）如图，在中，，，点在上，， . (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和差余弦公式可求得，根据余弦定理可求得结果； （2）利用两角和差正弦公式可求得，采用面积桥，结合三角形面积公式可构造方程求得结果. 【详解】（1），，， ， . （2）由（1）得：； ，， 即，解得：. 变式1．（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图所示，在中，为边的中点，平面上一点E满足. (1)若，求线段的长度； (2)若为钝角，求线段长度的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，运用勾股定理表示出，再根据在中的表示，与在中的余弦定理表示，建立方程，即可得解； （2）设，，，则，根据为钝角，得到，再运用在与中的两种余弦定理表达建立方程，可得，又因为三角形的两边之和大于第三边，故有，综合以上条件，解关于的不等式即可. 【详解】（1） 取中点，连接，，. 设，则， 因为，故. 因为，故，则. 在中，由余弦定理可知，， 因此有，解得， 故. （2） 设，则，设， 设，则，. 由，得，得 因为钝角，故， 可得. 由余弦定理可知，在中，， 在中，， 因此有，整理得，得，， 故，解得，即. 同时，在中，有两边之和大于第三边： 故有：，即，因为，故恒成立； ，即，因为，故恒成立； ，即，即，，两边平方后，整理得. 综上所述，. 变式2．（24-25高二上·广东广州·期中）已知的内角的对边分别为，且．    (1)求； (2)如图，若点是边上一点，且，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理化简再结合余弦定理，结合特殊角即可解； （2）先设角以减少未知量，应用正弦定理求出正切，再结合角的范围计算求出结果. 【详解】（1）由及正弦定理得， 整理得，又由余弦定理推论及三角形内角性质得 （2）因为，所以， 设，所以， 在中，①， 在中，由正弦定理得②， 由①②及得，即，解得. 由，解得. 变式3．（25-26高一下·内蒙古赤峰·月考）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)如图，，是线段上的两个点，且，，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由正弦定理边化角，再根据三角恒等变换的相关公式化简即可求解； （2）设，在和中运用正弦定理，建立关于的方程即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 则. 因为，所以，即，所以. （2）设，则，，. 在中，，在中，， 两式相除可得. 因为，均为锐角，所以， 则，所以，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：解三角形中线问题、角平分线问题、高线问题、多三角形问题专项训练 期中培优：解三角形中线问题、角平分线问题、高线问题、多三角形问题专项训练 考点目录 中线问题 角平分线问题 高线问题 多三角形问题 考点一 中线问题 例1.(2025河北模拟预测)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 (bcosC+ccos B)sinC=3(acosC-b) (1)求角A的大小； (2)已知a=√9，b=3,求BC边上的中线AD的长 例2.(24-25高一下·海南儋州月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知c=8,a=5,角B=120° (I)求边b的长度，求ABC的面积； (2)若点D是AC的中点，求中线BD的长度. 期中培优：解三角形中线问题、角平分线问题、高线问题、多三角形问题专项训练 例3.(24-25高一下·云南德宏·期中)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若bcosC+ccosB=2 bsinA, 且sinA≥sinB. (1)求角B的值； (2)若cosC+sinB=0,且ABC的面积为√3，求BC边上的中线AM的长. 变式1.(2425高一下山东聊城期中)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,A= 3 (1)若(sinA+sinB)(sinA-sinB)=sin B sin C,证明：c=2b; (②2)若a=2,AD是ABC的中线，求AD的最大值. 期中培优：解三角形中线问题、角平分线问题、高线问题、多三角形问题专项训练 变式2.(24-25高一下·安徽合肥月考)已知函数f(x)=√3 sin@xcos@x-cos2ox+1(o>0),最小正周期是刀，在锐 角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c. (1)求∫(x的单调递减区间： ②法f=多，a=2,4D为BC边上的中线，求4D的取值范围。 变式3.(24-25高一下·福建三明期中)记ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=2√6，且 sin2C-sin2A-sin2B=sinA.sinB (1)求角C的大小； (2)若√3 bsinA=asin2B,求ABC的周长； (③)求AB边上的中线CD长度的最小值 期中培优：解三角形中线问题、角平分线问题、高线问题、多三角形问题专项训练 考点二 角平分线问题 例1.(2526商三上山西太原期末)在48C中，cos8=行bs5nA=2反 (1)求a; (2)若b=2√3，求ABC的面积； (③)在(2)的条件下，求∠ABC的角平分线BD的长 例2.(25-26高一下·重庆月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,b=√5且 3a =3csinB+3bcosC. (1)求B: (2)若ABC为锐角三角形，求2a-c的取值范围. (3)若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值. 期中培优：解三角形中线问题、角平分线问题、高线问题、多三角形问题专项训练 例3.(25-26高二下·云南怒江·月考)记aABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=2bc0sA+b. (1)证明：A=2B (2)若b=√5，A的角平分线交BC于D,且AD=2,求a. 变式1.(2026·贵州遵义模拟预测)在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C,b=6,且满足 bcosC=a+ 3 csinB. 3 (I)求角B; (②)若角B的角平分线交AC于点D,BD=√5，求ABC的周长. 期中培优：解三角形中线问题、角平分线问题、高线问题、多三角形问题专项训练 变式2.(24-25高二下·福建福州期末)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 csin4=3(b-acosC). (1)求A; (2)若BC=√6，AD为ABC的角平分线，且AD=1,求ABC的面积. 变式3.(24-25高一下·云南文山期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=4,c=3 (1)若(2c-b)cosA-a cosB=0,求a的值； (②)若ABC为锐角三角形 (i)求a的取值范围； (i)若AD是∠BAC的角平分线，求AD的取值范围. 6 期中培优：解三角形中线问题、角平分线问题、高线问题、多三角形问题专项训练 考点三 高线问题 例1.(25-26高三上湖南长沙月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=2b,A=120°. (1)求cosB的值： (2)若a=4√万，求BC边上的高. 例2.(24-25高三上·福建厦门期中)设三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且bsin B+C 2 =asinB。 (I)求角A的大小： ②若6=3，BC边上的高为32，求C. 7 期中培优：解三角形中线问题、角平分线问题、高线问题、多三角形问题专项训练 例3.(25-26高二上·贵州六盘水期中)在ABC中，角A,B,C对边分别为a,b,c,且asinB-√5 bcosA=-√5c (1)求B; (2)若a=2,b=V19,求AC边上的高h 变式1.(25-26高一下·福建厦门月考)已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 2acos B=c. (I)求证：ABC为等腰三角形； ②若e=2,cosC-}求8C边上的高h 6 期中培优：解三角形中线问题、角平分线问题、高线问题、多三角形问题专项训练 变式2.(24-25高二下广西南宁.期末)在ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=5,b=2. 0若oC=号：求c吸4BC的面积： (2)若√3b-2 csinB=0,求AC边上的高. 变式3.(24-25高一下·广东惠州期中)如图，在ABC中，∠B=30°，D为BC边上一点，且 cos∠ADC=2V 7,AD= B (I)求AB的长： (2)求sin∠DAB的值； ⊙)若4BC的面积为5，求：4CD巾D边上的高 0 期中培优：解三角形中线问题、角平分线问题、高线问题、多三角形问题专项训练 考点四 多三角形问题 例1.(2026吉林·模拟预测)在平面四边形ABCD中，AB=2,AD=4. (1)若BC=2CD=2 (i)若A,B,C,D四点共圆M,求AC; (i)求四边形ABCD面积S的最大值 ②若∠B4D-号∠BCD-子，4C与BD交T点0记∠C4D=9求当为的值时，5m=2S,x 例2.(24-25高一下·广东深圳月考)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知3 asinB+bcosA=c· (I)求tanB; 2点D在直线BC上，且AD L AB.若sin∠CAD=cos),a=6,求CD ⊙