立体几何初步：点到平面距离问题、直线到平面距离问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

立体几何初步：点到平面距离问题、直线到平面距离问题专项训练 立体几何初步：点到平面距离问题、直线到平面距离问题专项训练 考点目录 点到平面距离问题 直线到平面距离问题 考点一 点到平面距离问题 例1．（2025·上海崇明·模拟预测）如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． (1)求证：CE∥平面PAD； (2)求点B到平面PCF的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设是的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）先证明，再利用等体积法求解即可. 【详解】（1）证明：取中点，连接、， 由于是的中点，则，， 由于，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 由于，平面， 所以平面. （2）设点到平面的距离为， 因为平面，平面，所以， 由于，，所以四边形是平行四边形， 由于，所以， 由于平面， 所以平面， 又平面，所以， 在中，，所以，又. 由得， 即， 所以，即点B到平面的距离为. 例2．（25-26高二上·江西景德镇·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形是平行四边形即可证明结论； （2）证明，即可证明结论； （3）利用等体积法求解即可； 【详解】（1）证明：取中点，连接， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形，即， ∵平面，平面， ∴平面      （2）证明：∵平面平面， ∴ ∵，，， ∴， ∴，即 ∵，平面，平面， ∴平面， （3）解：设点到平面的距离为， ∵，平面，平面， ∴平面， ∴ ∵∵平面平面， ∴ ∵，，平面，平面， ∴平面， ∵，， ∴， ∴，即点到平面的距离为 例3．（25-26高二上·上海·月考）如图，在正方体中， (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若正方体的棱长为1，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求证，，利用线面垂直的判定定理和性质定理可证； （2）求证平面，进而得出，再利用线面垂直的判定定理即可； （3）利用等体积计算即可. 【详解】（1）连接，因为正方体，则平面，， 因平面，则， 又，平面，则平面， 又平面，则； （2）连接，因平面，平面，则， 因，平面，则平面， 又平面，则， 因，平面，则平面； （3）设点到平面的距离为， 因为等边三角形，且其边长为，则， 因，则， 则， 则点到平面的距离为. 变式1．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，在长方体中，，. (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证. （2）利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】（1）在长方体中，， 则四边形是平行四边形，，而平面，平面, 所以直线平面. （2）在长方体中，由，得，， 等腰的面积，， 设点到平面的距离为，由，得， 即，解得， 所以点到平面的距离为. 变式2．（24-25高一下·江西景德镇·期末）如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若，，求点B到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助棱柱性质及中位线性质，再结合线面平行性质定理即可得； （2）借助线面垂直的判定定理与性质定理可得，再借助等体积法计算即可得. 【详解】（1）由，分别为，的中点，则， 由直三棱柱性质可得，故， 又平面，平面，故平面； （2）由底面为直角三角形，，则， 又，则，由直三棱柱性质可得平面， 又、平面，则、，又、平面， ，故平面，又平面，故， 又、，， 则， 设点B到平面的距离为，则由， 可得，即， 即点B到平面的距离为. 变式3．（24-25高一下·云南·期末）如图，在正三棱锥中，，分别是，的中点，，. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理判断线面平行. （2）构造直线与平面所成的角，利用三角形的边角关系求角. （3）用等体积法求点到平面的距离. 【详解】（1）因为在中，，分别是，的中点，所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）如图: 分别连接，相交于点， 则在等边中，分别是，的中点，所以点是的中心， 从而在正三棱锥中点是点在底面内的射影点，即平面， 故在底面内的射影为，所以为与平面所成角的平面角. 因为在等边中，，分别是，的中点， 所以，. 又因为，所以，， 故直线与平面所成角的正弦值为. （3）如图连接，，则在三棱锥中 设点到平面的距离为， ， ， ， ，故. 点到平面的距离为. 考点二 直线到平面距离问题 例1．（24-25高一下·吉林·期末）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）将线面距离转化为点面距离，再利用等体积法求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，连接，交于点N，连接，如图： 则N为的中点，而M为的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2）连接，由，得，又平面，平面， 则，又平面，因此平面， 又平面，则，又，则是等腰直角三角形， ，，， ，设点A到平面的距离为d， 由，得，解得， 由平面，得直线到平面的距离即为点A到平面的距离， 所以直线到平面的距离为． 例2．（24-25高二上·上海·月考）如图，已知三棱锥中，平面为中点，为中点，为中点. (1)证明:平面平面 (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用面面平行的判定定理直接证明即可； (2)根据线面间的距离转化为点面距离，即可得出答案. 【详解】（1）因为为中点，为中点，为中点. 所以，平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 因为，平面 所以平面平面 （2）平面平面， 平面平面 所以，因为平面， 所以平面，由（1）可知平面 所以为直线到平面的距离， 因为为中点，则， 直线到平面的距离为. 例3．（24-25高一下·黑龙江黑河·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，是的中点.    (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，利用中位线的性质易知，结合线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）因为平面，直线到平面的距离即点到平面的距离，取的中点，连接，分析可知平面，结合等体积法可求出点到平面的距离. 【详解】（1）连接，并交于点， 因为四边形为正方形，则为的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，平面，因此平面. （2）因为平面，直线到平面的距离即点到平面的距离， 取的中点，连接，如下图所示：    因为、分别为、的中点，所以，， ， 因为平面，所以平面， 所以. 因为平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，则， 因为，、平面，故平面， 因为平面，所以， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，故平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以，， 因为平面，平面，所以， 故， 所以， 设点到平面的距离为，则，解得， 因此，直线与平面的距离为. 变式1．（24-25高一下·浙江·期中）四棱锥的底面是边长为的正方形，是的中点， (1)证明：平面； (2)若在底面上的投影为底面中心，求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点O，证明，根据线面平行判定定理证明结论； （2）由条件先证明，再结合（1）将问题求直线到平面的距离转化为求点到平面的距离，证明，根据线面垂直判定定理证明平面，由此可得结论. 【详解】（1）证明：连接交于点，连接 因为四边形是正方形，所以是的中点 因为是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为在底面上的投影为底面中心，所以平面 因为平面，所以， 由（1）知，平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离 因为为正方形，所以 因为平面，平面，， 所以平面， 所以点到平面的距离即线段的长度 在正方形中，， 所以，所以直线到平面的距离为 变式2．（24-25高三上·四川成都·月考）已知三棱锥中，与底面所成角相等，，为中点，点在上且截面.    (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设在面上射影为，先证明是的外心，再证明点和点重合，由此证明结论； （2）方法一：根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明点到平面的距离即，结合平面求结论. 方法二：由线面平行性质定理证明，再证明平面，利用等体积法求点到面的距离，结合平面可得结论. 【详解】（1）与底面成相等的角，设点在平面上射影为， 则有， ∴ 且， ∴是的外心. 是直角三角形，且是斜边的中点， ∴点和点重合， ∴平面. （2）法一：由（1）平面，平面，则， 又，，平面， ∴平面，又平面，则①. 且，又， 也是等腰直角三角形，，， 截面，过的平面与平面交于， ，则②， 由①②，都在面内，则平面， ∴点到平面的距离即， ，且由知是中点， ∴.点到平面的距离为. ∴平面， ∴到平面的距离即为点到面的距离，即为.    法二：截面，过的平面与平面交于， ∴，是中点，则是中点，故， 由（1）平面，又平面， ∴，又，，平面， ∴平面，平面， ，且， ， ∵， 因为是中点，平面， 所以点到平面的距离为， 设点到面的距离为， ， ∴，故， ∵平面， ∴到平面的距离即为C点到面的距离，即为. 变式3．（23-24高二上·上海杨浦·期中）如图,为菱形外一点,平面,,为棱的中点. (1)求证:平面; (2)若,求到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据已知得和，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）先把到平面的距离转化为点到平面的距离,再利用等体积法求解即可. 【详解】（1）连接,如图: 因为,四边形为菱形, 所以, 又为棱的中点, 所以, 因为, 所以, 因为平面,平面, 所以, 又平面,平面, 所以平面. （2）因为平面,平面, 所以平面, 则到平面的距离即为点到平面的距离, 设点到平面的距离为, 因为,,平面,,四边形为菱形, 所以, 解得, 即到平面的距离为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $立体几何初步：点到平面距离问题、直线到平面距离问题专项训练 立体几何初步：点到平面距离问题、直线到平面距离问题专项训练 考点目录 点到平面距离问题 直线到平面距离问题 考点一 点到平面距离问题 例1.(2025·上海崇明模拟预测)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,ABIICD,PA=AB=AD=2, CD=1,∠ADC=90°，E,F分别为PB,AB的中点. D (I)求证：CEI平面PAD; (2)求点B到平面PCF的距离. 例2.(25-26高二上江西景德镇期中)如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD/BC, AB=BC=1,AD=AS=2,M为SD的中点 S B D (1)求证：MC1/平面SAB; (2)求证：CD⊥平面SAC; (3)求点M到平面SAC的距离. 立体几何初步：点到平面距离问题、直线到平面距离问题专项训练 例3.(25-26高二上·上海月考)如图，在正方体ABCD-A,BCD,中， D A B C (1)证明：BD⊥A,C: (2)证明：B,D⊥平面A,BC; (3)若正方体的棱长为1，求点B到平面A,BC的距离. 变式1.(24-25高一下广东广州期末)如图，在长方体ABCD-A,B,CD,中，AB=1,BC=CC,=2 D A B D (I)求证：直线DB/1平面AB,D; (2)求点A到平面AB,D,的距离 2 立体几何初步：点到平面距离问题、直线到平面距离问题专项训练 变式2.(24-25高一下·江西景德镇·期末)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，底面ABC为直角三角形，AB=BC, D,E分别为BC,AC的中点. B B (I)求证：A,B,∥平面DEC1: (2)若A,A=4,AB=2,求点B到平面B,ED的距离. 变式3.(24-25高一下·云南期末)如图，在正三棱锥D-ABC中，E,F分别是AB,BC的中点，AD=3, AB=2. 0 B (1)证明：EF/平面ACD; (2)求直线AD与平面ABC所成角的正弦值； (3)求点E到平面BCD的距离. 立体几何初步：点到平面距离问题、直线到平面距离问题专项训练 考点二 直线到平面距离问题 例1.(2425高一下·吉林·期末)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，CA=CB=2,AB=2√2，AA,=3,M为AB的 中点 A 3 M B (1)证明：AC/平面B,CM; (2)求直线AC,到平面B,CM的距离. 例2.(24-25高二上·上海月考)如图，己知三棱锥P-ABC中，AB⊥AC,PA⊥平面ABC,PA=AB=3,AC=4,M 为BC中点，E为AC中点，F为PC中点 E B M (1)证明：平面MEF/平面PAB; (2)求直线ME到平面PAB的距离. 立体几何初步：点到平面距离问题、直线到平面距离问题专项训练 例3.(24-25高一下·黑龙江黑河·月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PD⊥ 底面ABCD,PD=CD,E是PC的中点 E B (1)求证：直线PA∥平面BDE; (②)求直线AP到平面BDE的距离. 变式1.(24-25高一下·浙江·期中)四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为3的正方形，M是PD的中点， D (I)证明：PB∥平面MAC; (2)若M在底面ABCD上的投影为底面中心，求直线BP到平面MAC的距离. 5 立体几何初步：点到平面距离问题、直线到平面距离问题专项训练 变式2.(24-25高三上四川成都月考)己知三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC与底面ABC所成角相等， ∠CAB=90°，AC=AB=PB=2,D为BC中点，E点在PB上且PCI/截面EAD. E D (1)求证：PD⊥平面ABC; (2)求直线PC到平面EAD的距离. 变式3.(23-24高二上·上海杨浦·期中)如图，P为菱形ABCD外一点，PD⊥平面ABCD,∠BAD=60°，E为棱BC的中 点 A (I)求证：ED⊥平面PAD; (2)若PD=AD=2,求BC到平面PAD的距离 6