古典概型、独立事件的乘法公式专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

统计与概率：古典概型、独立事件的乘法公式专项训练 统计与概率：古典概型、独立事件的乘法公式专项训练 考点目录 古典概型 独立事件的乘法公式 考点一 古典概型 例1．（25-26高三下·安徽合肥·月考）四只不同的鹦鹉飞回三个不同的笼子，则至少有一个笼子空出来的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知，四只鹦鹉飞回三个不同的笼子的总方法数为种. 其中“至少有一个笼子空出来”有两种情况： 4只鹦鹉飞回同一个笼子，有种； 4只鹦鹉飞回2个笼子里，有种. 则所求概率为. 例2．（2026·海南省直辖县级单位·二模）从1至5的5个整数中随机取出2个不同的数，则这两个数都是偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】1至5的5个整数中，有两个偶数， 从1至5的5个整数中随机取出2个不同的数，则这两个数都是偶数的概率. 例3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在某道选词填空题中，有3个空格，4个备选单词。每个空格只能填入一个备选单词，且每个空格都有一个唯一的正确答案（这3个正确答案是4个备选单词中的3个，剩余1个备选单词是多余的）。若随机选择3个备选单词分别填入3个空格，则3个空格全部选错的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】假设4个单词分别是甲、乙、丙、丁，正确的顺序为甲乙丙. 第一类，选出的3个单词不包括丁，则符合要求的情况有乙丙甲，丙甲乙，共2种选法； 第二类，选出的3个单词包含丁，则从剩下的3个单词选两个有种情况，不妨设选出的单词为甲，乙， 则符合要求的情况有乙甲丁，丁甲乙，乙丁甲，共3种，即共有种选法. 综上，符合要求的情况共有种，全部情况为种， 则3个空格全部选错的概率是. 例4．（2026·辽宁鞍山·二模）将甲、乙、丙、丁、戊五名同学分到三个不同的公益活动小组，每组至少一人，至多两人，则甲乙恰好被分到同一小组的概率为________． 【答案】 【详解】由题可知分组后排列共有种方法， 其中甲、乙两名同学去同一个公益活动小组有种方法， 所以甲、乙两名同学去同一个公益活动小组的概率为. 例5．（25-26高二下·江苏·期中）现有7张卡片，分别写上数字1，2，3，4，5，6，7．从这7张卡片中随机抽取3张，所抽取卡片上数字的最小值为2的概率是_____________． 【答案】 【详解】从这7张卡片中随机抽取3张，总共， 已知所抽取卡片上数字的最小值为2， 必须抽到2，且不能抽到1，另外2张卡片必须从3，4，5，6，7中选取， 故抽取组合数为， 所抽取卡片上数字的最小值为2的概率是：． 例6．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）有一个摸球游戏，规则如下：在盒子里放入大小、质地完全相同的4个红球和3个白球，不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时游戏结束，则游戏结束时取球次数恰好为5次的概率为_______________. 【答案】 【详解】从7个球中取5个球有种不同的取法， 游戏结束时取球次数恰好为5次有两种情况： ①最后盒子里剩余的全是白球，则第五次摸出的必是红球，且前四次有一次摸出的是白球，三次摸出的是红球有种不同的取法； ②最后盒子里剩余的全是红球，则第五次摸出的必是白球，且前四次中有两次摸出的是红球，两次摸出的是白球有种不同的取法； 所以游戏结束时取球次数恰好为5次的概率为. 例7．（2026·四川达州·二模）某学校组织了种类丰富的社团活动.某寝室6名同学中，有2人选择了其中的2类，有3人选择了其中的3类，有1人选择了其中的4类，现从这6人中随机选出2人进行满意度测评. (1)求选出的2人选择社团种类的个数相同的概率； (2)记选出的2人选择社团种类的个数之和为，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望： 【详解】（1）选出的2人选择社团种类的个数相同的概率： ， （2）由题意知，所有可能取值为：4，5，6，7 ， ， ， ， 所以的分布列为： 4 5 6 7 的期望为：. 变式1．（2026·四川达州·二模）“本福特定律”又称“首位数字定律”，是一条关于自然界和人类社会中大量数据的首位数字分布概率的统计规律：一个数的首位数字是的概率为，据此可知，一个数的首位数字是3的概率与首位数字是5的概率之差约为（参考数据：）（    ） A．0.046 B．0.023 C．0.262 D．0.131 【答案】A 【详解】一个数的首位数字是的概率为， 一个数的首位数字是3的概率为， 首位数字是5的概率为 ， 一个数的首位数字是3的概率与首位数字是5的概率之差约为 ， 故选项A正确. 变式2．（2026·陕西·二模）耀州中学的225名同学与王益中学的256名同学一起春游，将两所中学的学生混合在一起，随机组合，重新组织队伍，要求每队人数相同且队伍数量尽可能少，那么耀州中学的沉香和王益中学的李飞出现在同一个队伍的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出一起春游的总人数的最大真因数，从而找到每队人数最多的分队方式，再计算两人分到同一队的概率. 【详解】耀州中学、王益中学共有名同学一起春游， 要求每队人数相同且队伍数量尽可能少，即求的最大真因数， 因为，所以每队37人，共13队， 沉香被分到某队后，李飞需占据该队伍剩余的36个名额之一， 所以两个人出现在同一个队伍的概率为，即为. 变式3．（2026·上海黄浦·二模）某射击社团共有10名成员，其中社长与副社长各一人，现随机抽取4人组成代表队参加校际联谊活动，则社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为______． 【答案】 【分析】设相应事件，根据古典概型结合组合数可得，结合对立事件概率公式求解. 【详解】设“社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动”为事件A， 则事件为社长与副社长两人均不参加联谊活动， 则，可得， 所以社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为. 变式4．（2026·黑龙江吉林·一模）有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 【答案】 【分析】设事件表示“从第i个盒子中取到白球”（），利用全概率公式列式求解；当时，由全概率公式得，再通过构造等比数列求. 【详解】设事件表示“从第i个盒子中取到白球”（）， 则，， 所以； 当时， ， 所以，又， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 即从第2个盒子中取到白球的概率是，从第个盒子中取到白球的概率是. 变式5．（25-26高三下·上海浦东新·期中）一个家庭有两个孩子，生肖均为十二生肖之一（等可能）．已知其中一个孩子属马，则另一个孩子也属马的概率为________． 【答案】 【详解】两个孩子的生肖组合有种， 记事件A“其中一个孩子属马”，事件B“两个孩子都属马”， 则，， 所以. 变式6．（2026·四川凉山·二模）袋子中有若干个大小相同的小球，其中3个白球，个黑球. (1)每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.若第1次摸到白球的概率为，求在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率； (2)将袋子中所有小球排成一排，记至少有两个白球相邻的概率为，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2)4 【分析】（1）由古典概率公式求出，再利用条件概率公式求解. （2）利用对立事件的概率公式，结合组合计数问题列出不等式求解. 【详解】（1）由第1次摸到白球的概率为，得，解得， 所以在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率. （2）从个位置中选3个放白球，共种， 三个白球都不相邻：先排个黑球，产生个空隙，选3个空隙放白球，共种， 因此三个白球都不相邻的概率为，而， 则，而，整理得，解得，又 所以的最大值为4. 考点二 独立事件的乘法公式 例1．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记甲、乙都正常工作为事件，记丙、丁都正常工作为事件，计算出、，利用对立事件的概率公式可求得系统的可靠度为. 【详解】记甲、乙都正常工作为事件，记丙、丁都正常工作为事件， 因为每个部件的可靠度均为 所以，， 当且仅当事件或事件发生时，系统正常工作， 当且仅当事件和事件都不发生时，系统不工作. 因此，系统的可靠度为 例2．（2026·云南昆明·模拟预测）甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用独立重复事件分析求解即可. 【详解】甲第一局获胜并最终以获胜，说明甲、乙两人在5局比赛中，甲胜了4局，输了1局，并且输掉的这局为第二局或第三局或第四局， 故概率为：. 例3．（25-26高三下·河北沧州·月考·多选）现口袋里共有4个红球，5个黄球和3个蓝球，它们除颜色外完全相同.现进行取球，则（    ） A．若取出球后放回口袋，每次只取一个球，则第4次取出黄球的概率为 B．若取出球后不放回口袋，每次只取一个球，则第2次取出黄球的概率为 C．若取出球后放回口袋，每次只取两个球，则第4次取出的两个球中至少有一个是黄球的概率为 D．若取出球后放回口袋，每次只取两个球，则第2次取出的两个球中至少有一个是黄球的概率为 【答案】ABD 【分析】利用古典概型概率公式以及对立事件的概率公式判断即可. 【详解】对于A，显然其为独立重复试验，故第四次取出黄球的概率等价于第一次取出黄球的概率， 于是，故A正确； 对于B，可分为第一次取出黄球与第一次未取出黄球，由全概率公式得，故B正确； 对于C、D，从12个球中取出两个球，共有种，取出两个球没有黄球共有种， 则取出两个球至少有一个黄球的概率为，故C错误、D正确. 例4．（25-26高二下·福建莆田·月考）小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局）或20分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为，，，则比赛终止时小明积分为0分的概率为________. 【答案】 【分析】先明确积分为0分终止的所有可能比赛场次情况，上述情况的概率相加，得到比赛终止时积分为0分的总概率. 【详解】要计算比赛终止时小明积分为0分的概率，仅需考虑三场以内终止且得到0分的所有情况： 情况1：第二场比赛终止，得到0分： 初始积分10分，要第二场得到0分，必须前两场两连败：第一场负，积分变为（未终止），第二场再负，积分变为（终止）； 概率为：； 情况2：第三场比赛终止，得到0分： 前两场未终止，且前两场结束后积分为5分，第三场负得到0分， 积分为5分说明总变化为，只能是1负1平，共两种排列且两种排列都不会在前两场提前终止， 前两场得到5分的概率为：，第三场负的概率为，因此该情况概率： ； 总概率为两种情况相加：. 例5．（25-26高二上·江苏常州·期末）袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖. 若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是________． 【答案】 【分析】先确定摸一次中奖的概率，4个人摸奖，相当于发生4次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果． 【详解】从袋子中一次性摸出两个球，共有种情况， 其中两个号码的和为偶数的有共4种情况， 所以一个人摸球，能够获奖的概率为， 所以4人参与摸球，恰好2人获奖的概率. 故答案为：. 例6．（2026·山西运城·二模）小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响. (1)求小张周日打羽毛球的概率； (2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率； (3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为，求的数学期望． 【答案】(1)0.28 (2)0.352 (3)1.2． 【详解】（1）设小张周日打羽毛球为事件， 根据题目可知，周日下雨的概率为， 周日晴天或阴天的概率为，小张在雨天打羽毛球的概率为，小张在晴天或阴天打羽毛球的概率为， 由全概率公式可得. （2）设晴天或阴天打乒乓球的人数为， 根据题目可知，小张晴天或阴天打乒乓球的概率为，小李晴天或阴天打乒乓球的概率为，小王晴天或阴天打乒乓球的概率为，小周晴天或阴天打乒乓球的概率为， ， ， ， 故. （3）根据题目可知，因为同一天中每人最多打一种球，所以小李打羽毛球和打乒乓球是互斥事件，所以在雨天的情况下，小李打球的概率为， 小王雨天打球的概率为，小周雨天打球的概率为， 可能的取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 则． 例7．（25-26高三上·北京房山·月考）全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由． (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率． 【答案】(1)乙获得执业医师证书的可能性最大，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，计算甲乙丙获得执业医师证书的概率，比较大小，即可得解. （2）分三种情况，结合互斥事件的概率加法公式以及独立事件的乘法公式，即可得解. 【详解】（1）记甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”依次为事件，在医学综合笔试中“合格”依次为事件. 因为所有考试是否合格互不影响，所以与，与，与相互独立. 因此甲获得执业医师证书的概率； 乙获得执业医师证书的概率； 丙获得执业医师证书的概率， 所以. 故乙获得执业医师证书的可能性最大. （2）记甲、乙、丙三人获得执业医师证书依次为事件，则，，. 由于事件相互独立，则恰有两人获得执业医师证书的概率 . 故有两人获得执业医师证书的概率为. 变式1．（25-26高三下·陕西西安·开学考试）已知某足球队共有13名球员，其中主力球员11名，替补球员2名.假设主力球员定点射门的命中率为0.8，替补球员定点射门的命中率为0.6.现从该球队随机抽取1名球员进行定点射门，连续射门2次，则恰好命中1次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全概率公式计算即可. 【详解】记“恰好命中1次”为事件，记“抽取的球员为主力球员”为事件. 由题意得，. ，， 则. 变式2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制(先胜3局者胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由甲第一局获胜并最终以获胜可知第1,4局甲胜，第2,3局甲胜了一场，由独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】由甲第一局获胜并最终以获胜可知第1,4局甲胜，第2,3局甲胜了一场， 因为每局比赛甲获胜的概率为，所以甲输的概率为， 所以所求概率为， 故选：C. 变式3．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考·多选）天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为，至少有一个地方降雨的概率为，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响．则（    ）． A．甲地降雨的概率为 B．乙地降雨的概率为 C．在甲、乙两地3天假期中，任意一天仅有一地降雨的概率为 D．设在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的天数为X，则X的方差为 【答案】BD 【详解】设这段时间内甲乙两地下雨的概率分别为， 由题意得，解得，故A错误，B正确； 在甲、乙两地3天假期中，任意一天仅有一地降雨的概率为：，故C错误； 仅有一地降雨的天数为，则的可能取值为：， 依题意，，故X的方差为，故D正确. 变式4．（25-26高三上·广东深圳·期末）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，该运动员连续射击时各次射击是否中靶相互独立，该运动员连续中靶两次则停止射击，那么射击总次数的数学期望为________. 【答案】 【分析】设射击总次数的数学期望为，根据题意列出关于数学期望的方程求解即可. 【详解】设射击总次数的数学期望为， 若第一次没有中靶，则后续需重新射击，且后续重新射击的总次数的数学期望仍为， 此情况下发生的概率为，射击总次数为， 若第一次中靶，且第二次没有中靶，则后续需重新射击，且后续重新射击的总次数的数学期望仍为， 此情况发生的概率为，射击总次数为， 若第一次中靶，第二次中靶，则此情况发生的概率为，射击总次数为2， 则射击总次数的数学期望为， 解得 故答案为： 变式5．（25-26高二上·陕西渭南·期末）在如图所示的电路图中，开关a，b，c正常工作的概率分别为，且是相互独立的，则灯亮的概率是__________. 【答案】 【分析】利用相互独立事件同时发生乘法公式，结合对立事件来求解即可. 【详解】设“开关a，b，c正常工作”分别为事件，由题意可知事件是相互独立的， 则灯亮这一事件为，所以 故答案为：. 变式6．（25-26高三上·重庆·月考）据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加短道速滑世锦赛男子5000米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中． (1)甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三队中恰有两队进入决赛的概率为，求p的值； (3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列和数学期望 【答案】(1)乙进入决赛的可能性最大 (2) (3)的分布列为： 0 1 2 3 P 【分析】（1）根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，分别求得甲乙丙进入决赛的概率，即可求解； （2）由甲、乙、丙三队中恰有两队进入决赛的概率，列出方程，即可求解； （3）根据题意，得到的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，甲队进入决赛的概率为，乙队进入决赛的概率为， 丙队进入决赛的概率为， 因为，所以， 显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大. （2）因为甲、乙、丙三队中恰有两队进入决赛的概率为， 所以，解得或， 因为，所以. （3）由题意可知：甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为， 且随机变量的可能取值为， 可得，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 所以. 变式7．（2026·安徽淮南·二模）在学校举行的科学教育知识竞赛中，甲、乙两位同学进入了决赛，决赛以抢答的形式回答问题，一共回答3道题，每道题均从题库中随机抽取，若每道题甲、乙抢到的概率均为，每道题甲回答正确的概率均为，每道题乙回答正确的概率均为.比赛规定每道题由先抢到的同学回答，回答正确，该同学得1分，回答错误，对方得1分，得分高的同学获胜.甲、乙两人回答每道题正确与否均相互独立. (1)若，，设比赛结束甲的得分为，求； (2)为增加比赛的趣味性，拟由3道题增加到5道题，试判断增加两题后，甲获胜的概率是否增大？请说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分别求出每一道题甲得一分的概率，再结合二项分布期望值公式计算可得结果； （2）求出3道题和5道题时甲获胜的概率表达式，再利用作差法比较两概率的大小可得出结论. 【详解】（1）每一道题甲抢到并回答正确的概率为， 每一道题乙抢到并回答错误的概率为， 所以每一题甲得一分的概率均为； 若，，可得, 又甲、乙两人回答每道题正确与否均相互独立，所以， 可得. （2）设回答3道题时甲获胜的概率为，回答5道题时甲获胜的概率为， 则可知； 回答5道题时甲获胜的情况有三种：前3题甲均得分；前3题甲有2题得分，增加的两道题中甲至少有1题得分；前3题甲有1题得分，增加的两道题甲2题都得分； 则有, 所以； 易知， 于是当时，，即，甲获胜的概率增大， 当时，，即，甲、乙获胜的概率相同， 当时，，即，甲获胜的概率减小， 综上，增加两题后，甲获胜的概率未必增大，而是答题能力强的同学获胜的概率增大. 2 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：古典概型、独立事件的乘法公式专项训练 统计与概率：古典概型、独立事件的乘法公式专项训练 考点目录 古典概型 独立事件的乘法公式 考点一 古典概型 例1．（25-26高三下·安徽合肥·月考）四只不同的鹦鹉飞回三个不同的笼子，则至少有一个笼子空出来的概率为（ ） A． B． C． D． 例2．（2026·海南省直辖县级单位·二模）从1至5的5个整数中随机取出2个不同的数，则这两个数都是偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在某道选词填空题中，有3个空格，4个备选单词。每个空格只能填入一个备选单词，且每个空格都有一个唯一的正确答案（这3个正确答案是4个备选单词中的3个，剩余1个备选单词是多余的）。若随机选择3个备选单词分别填入3个空格，则3个空格全部选错的概率是（     ） A． B． C． D． 例4．（2026·辽宁鞍山·二模）将甲、乙、丙、丁、戊五名同学分到三个不同的公益活动小组，每组至少一人，至多两人，则甲乙恰好被分到同一小组的概率为________． 例5．（25-26高二下·江苏·期中）现有7张卡片，分别写上数字1，2，3，4，5，6，7．从这7张卡片中随机抽取3张，所抽取卡片上数字的最小值为2的概率是_____________． 例6．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）有一个摸球游戏，规则如下：在盒子里放入大小、质地完全相同的4个红球和3个白球，不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时游戏结束，则游戏结束时取球次数恰好为5次的概率为_______________. 例7．（2026·四川达州·二模）某学校组织了种类丰富的社团活动.某寝室6名同学中，有2人选择了其中的2类，有3人选择了其中的3类，有1人选择了其中的4类，现从这6人中随机选出2人进行满意度测评. (1)求选出的2人选择社团种类的个数相同的概率； (2)记选出的2人选择社团种类的个数之和为，求的分布列和期望. 变式1．（2026·四川达州·二模）“本福特定律”又称“首位数字定律”，是一条关于自然界和人类社会中大量数据的首位数字分布概率的统计规律：一个数的首位数字是的概率为，据此可知，一个数的首位数字是3的概率与首位数字是5的概率之差约为（参考数据：）（    ） A．0.046 B．0.023 C．0.262 D．0.131 变式2．（2026·陕西·二模）耀州中学的225名同学与王益中学的256名同学一起春游，将两所中学的学生混合在一起，随机组合，重新组织队伍，要求每队人数相同且队伍数量尽可能少，那么耀州中学的沉香和王益中学的李飞出现在同一个队伍的概率为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·上海黄浦·二模）某射击社团共有10名成员，其中社长与副社长各一人，现随机抽取4人组成代表队参加校际联谊活动，则社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为______． 变式4．（2026·黑龙江吉林·一模）有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 变式5．（25-26高三下·上海浦东新·期中）一个家庭有两个孩子，生肖均为十二生肖之一（等可能）．已知其中一个孩子属马，则另一个孩子也属马的概率为________． 变式6．（2026·四川凉山·二模）袋子中有若干个大小相同的小球，其中3个白球，个黑球. (1)每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.若第1次摸到白球的概率为，求在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率； (2)将袋子中所有小球排成一排，记至少有两个白球相邻的概率为，若，求的最大值. 考点二 独立事件的乘法公式 例1．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（    ）    A． B． C． D． 例2．（2026·云南昆明·模拟预测）甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三下·河北沧州·月考·多选）现口袋里共有4个红球，5个黄球和3个蓝球，它们除颜色外完全相同.现进行取球，则（    ） A．若取出球后放回口袋，每次只取一个球，则第4次取出黄球的概率为 B．若取出球后不放回口袋，每次只取一个球，则第2次取出黄球的概率为 C．若取出球后放回口袋，每次只取两个球，则第4次取出的两个球中至少有一个是黄球的概率为 D．若取出球后放回口袋，每次只取两个球，则第2次取出的两个球中至少有一个是黄球的概率为 例4．（25-26高二下·福建莆田·月考）小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局）或20分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为，，，则比赛终止时小明积分为0分的概率为________. 例5．（25-26高二上·江苏常州·期末）袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖. 若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是________． 例6．（2026·山西运城·二模）小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响. (1)求小张周日打羽毛球的概率； (2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率； (3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为，求的数学期望． 例7．（25-26高三上·北京房山·月考）全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由． (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率． 变式1．（25-26高三下·陕西西安·开学考试）已知某足球队共有13名球员，其中主力球员11名，替补球员2名.假设主力球员定点射门的命中率为0.8，替补球员定点射门的命中率为0.6.现从该球队随机抽取1名球员进行定点射门，连续射门2次，则恰好命中1次的概率为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制(先胜3局者胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考·多选）天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为，至少有一个地方降雨的概率为，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响．则（    ）． A．甲地降雨的概率为 B．乙地降雨的概率为 C．在甲、乙两地3天假期中，任意一天仅有一地降雨的概率为 D．设在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的天数为X，则X的方差为 变式4．（25-26高三上·广东深圳·期末）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，该运动员连续射击时各次射击是否中靶相互独立，该运动员连续中靶两次则停止射击，那么射击总次数的数学期望为________. 变式5．（25-26高二上·陕西渭南·期末）在如图所示的电路图中，开关a，b，c正常工作的概率分别为，且是相互独立的，则灯亮的概率是__________. 变式6．（25-26高三上·重庆·月考）据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加短道速滑世锦赛男子5000米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中． (1)甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三队中恰有两队进入决赛的概率为，求p的值； (3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列和数学期望 变式7．（2026·安徽淮南·二模）在学校举行的科学教育知识竞赛中，甲、乙两位同学进入了决赛，决赛以抢答的形式回答问题，一共回答3道题，每道题均从题库中随机抽取，若每道题甲、乙抢到的概率均为，每道题甲回答正确的概率均为，每道题乙回答正确的概率均为.比赛规定每道题由先抢到的同学回答，回答正确，该同学得1分，回答错误，对方得1分，得分高的同学获胜.甲、乙两人回答每道题正确与否均相互独立. (1)若，，设比赛结束甲的得分为，求； (2)为增加比赛的趣味性，拟由3道题增加到5道题，试判断增加两题后，甲获胜的概率是否增大？请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $